GIAO AN PP MOI NGUYEN HAM TICH PHAN VA UNG DUNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: Học sinh cần biết cách tính diện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi các
đường cong; Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox
2. Kỹ năng: Tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay nhờ tích phân trong các
trường hợp đơn giản
3. Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tính chủ động sáng tạo cho
học sinh
4.Năng lực hướng tới:
Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm
say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
Mô tả cấp độ tư duy
NHẬN BIẾT

THÔNG HIỂU

Học sinh cần biết cách
tính diện tích của các
hình phẳng được giới
hạn bởi các đường
cong; Thể tích của
khối tròn xoay được
tạo thành khi quay
hình phẳng quanh Ox

Tính diện tích hình
phẳng và thể tích của
khối tròn xoay nhờ
tích phân trong các
trường hợp đơn giản

VẬN DỤNG
Xây dựng được mô
hình toán học để giải
quyết các bài toán
thực tế

VẬN DỤNG CAO
- Sử dụng các tính
chất để giải các bài
toán khác

B. Chuẩn bị
1. Giáo viên: Chuẩn bị giáo án; sách giáo khoa; sách bài tập; sách tham khảo
2. Học sinh: Đọc trước bài mới; chuẩn bị sách vở; dụng cụ học tập
I. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Trang | 1


Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều
cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000.
Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông

muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên
dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC
HOÀNH.
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

Trang | 2


HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hình thang
cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b,
trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x)
là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b].

b

S = �f ( x)dx
a

HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hình
phẳng.
5

b) Tính tích phân sau I =
o

�( 2x + 1)dx

5
S = (AD +2 BC).CD
=28
2 = 28
I = (x +x)

Diện tích không đổi.

1

1

HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x
+ 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của
nó thay đổi như thế nào?

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai
đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức
b

S  f ( x) dx
a

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3.
Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục
tung và đường thẳng x   .

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

Trang | 3


HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như
hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

b

f  x  sx
A. S  �
a

b

f  x  dx
B. S  �
a
c

b

a

c

c

b

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx
C. S  �
f  x  dx  �
f  x  dx
D. S  �

HĐ3.2. Tính diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 4x, trục
hoành, đường thẳng x = -2 và x = 4.

4

S

0

x
�x  4 x dx = �
3

2

3

2

2

4

0

2

 4 x  dx 

 x3  4 x  dx  �
 x3  4x  dx  44
�

1 3
1
� 5�
2

0; �sao cho hình phẳng giới hạn
HĐ3.3. Cho  C  : y  x  mx  2 x  2m  . Giá trị m ��
3
3
� 6�

bởi đồ thị  C  , y  0, x  0, x  2 có diện tích bằng 4 là:
1
A. m   .
2

B. m 

1
.
2

C. m 

3
.
2

3
D. m   .
2

HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  mx cos x ; Ox ; x  0; x   bằng 3 .
Khi đó giá trị của m là:
A. m  3 .

B. m  3 .
C. m  4 .
D. m  �3 .
2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

Trang | 4


HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tô màu) ở các
hình dưới đây được tính như thế nào?

�y =
�
�
�y =
�
x=
�
�

f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]
a; x = b

1

2

Có thể tính S thông qua S và S không?
và tính như thế nào?

1

2

Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b].
Khi đó S = S1 - S2

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên  a;b  và hai
đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
b

S = �f1 ( x) - f2 ( x) dx
a

Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, và hai
đường thẳng x = -3 , x = -2
Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y = -x2 – 2x
+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x

= b như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang | 5


c

b

�
g x  f  x �
dx  �
�
f  x  g x �
dx
A. S  �
�
�
�
�
a

c

b

f  x  g x �
dx
�
B. S  �

�
�
a

c

b

�
f  x  g x �
dx  �
�
g x  f  x �
dx
C. S  �
�
�
�
�
a

c

c

b

a

c

f  x  dx  �
g  x  dx
D. S  �
HĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
thẳng y  e x ; y  e  x ; x  1
e 2  2e  1
e 2  2e  1
B.
e
e
2
2
e  2e  1
e  2e  1
C.
D.
e
e
A.

HĐ3.3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hàm số y  ln x , y  1

HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2 = R2

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Bài toán.

GỢI Ý

Trang | 6


2
Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  x  2x  1    x  1  2 �2, x
3
các
đường
2
 m  x 2  2x  1 dx
y   x  2x  1, y  m,  m  2  , x  0, x  1 . Tìm m S  �
0
sao cho S = 48
�
�3
x3
A. m = 4
B. m = 6
�
mx   x 2  x �  3m  24
3
C. m = 8
D. m = 10
�
�0
Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x = 0 , x = π.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
2

thị hs y 

1
x, y  x
2

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Bài toán 1. Cổng trường Đại học Bách khoa
Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng
là 8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp
một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2 cửa sắt
có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao
nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Gợi ý:
Giả sử parabol có phương trình

y  ax 2  bx  c  a �0 
Trang | 7


� 25 �
0; �
, D  4; 0  nên ta có hệ
Đi qua C �
� 2 �
phương trình:

� 25

�
c
�
�
c2
2
�
�
25
25
b0
��
b0
� y   x2 
�
32
2
�
�
25
25
�
�
16a 
0
a
2
32
�
�

4

25
25
200 2
S  2�
 x2 
dx 
m
32
2
3
0

Bài toán 2. Ông A có một mảnh vườn elip có độ dài
trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông
muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé
của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh
phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần
bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn)
Gợi ý:
x 2 y2
Giả sử elip có phương trình 2  2  1 . Từ giả thiết
a
b
ta có 2a  16 � a  8;2b  10 � b  5
Vậy
phương
trình

của
elip
là:
5
�
y
64  x 2  E1 
�
x
y
8

1� �
64 25
�y  5 64  x 2  E 
2
�
� 8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các
đường (E1); (E2); x  4; x  4 và diện tích của dải
2

2

4

4

5
5

2
2
vườn là S  2 � 64  x dx  �64  x dx
8
20
4
Khi
đó
số

tiền

�
3�
T  80 � 
.100000  7652891,82 �7.653.000
�
6
4
�
�

Trang | 8


Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa rào sắt có
hình dạng và kích thước giống như hình vẽ bên,
biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá
1m 2 của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi Ông An
phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như

vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)
Gợi ý:
+ Diện tích khung cửa bằng tổng diện tích hình
chữ nhật và diện tích của phần parabol phía trên
+

Diện

tích

hình

S1  AB.BC  5.1,5  7,5  m 2 

chữ

nhật

là

Gọi đường cong parabol có phương trình
y  ax 2  bx  C
Đường cong có đỉnh I  0; 2  suy ra:
b  0, c  2 � y  ax 2  2
Đường cong đi qua điểm:
2
2
�5 5 �
C � ; �� a   � y   x 2  2
25

25
�2 3 �

Phần diện tích tạo bởi parabol và đường thẳng
2,5

y  1,5 là: S2 

2,5

� S  S1  S2 

�2

x
��
�25

2

5
�
 0,5 �
dx 
3
�

55
55
� T  .700000 �6417000

6
6

đồng

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
Trang | 9


Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi
Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt và thể tích khối của
một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất hiện
đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức
được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là tích
phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai
nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật
lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng
giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành
chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng
rãi không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–1855). Ông đã
cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật
lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức. Riemann (1826–1866)
và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định
nghĩa của tích phân.
Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn
[a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng:
(1). Về sau

hiệu
được kí hiệu lại là (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu
số”), kí hiệu tổng số
cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”),
dấu tích phân là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu
là

.

Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b

Trang | 10


Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng
lại với nhau. Xét
và
sao cho
. Với
đủ nhỏ, ta xem độ
dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng
và
là độ dài của
đoạn thẳng nối 2 điểm
và
, cũng do
nhỏ, ta xem đoạn
thẳng này thuộc tiếp tuyến tại của
. Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2
điểm

và
được tính bằng
, trong đó là góc tạo
bởi tiếp tuyến tại của
và trục Ox nên
. Tóm lại
Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong đồ

thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng

và

là

NGUYÊN HÀM
Thời lượng: 5 tiết
A. Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số;
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm
2. Kĩ năng:
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và
cách tính nguyên hàm từng phần

Trang | 11


- Sử dụng được phương pháp đổ biến số(Khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổ biến số quá
một lần) để tính nguyên hàm
3. Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tính chủ động sáng tạo cho

học sinh
4.Năng lực hướng tới:
Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm
say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
B. Nội dung chủ đề
Nội dung 1: Định nghĩa nguyên hàm
Nội dung 2: Tính chất của nguyên hàm
Nội dung 3: Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm
từng phần
Mô tả cấp độ tư duy của từng nội dung
1. Định nghĩa tích phân
NHẬN BIẾT
Phát biểu được định
nghĩa nguyên hàm, ký
hiệu dấu nguyên hàm,
biểu thức dưới dấu
nguyên hàm.
f ( x)dx  F ( x)  C
�

THÔNG HIỂU

VẬN DỤNG

VẬN DỤNG CAO

Tìm được nguyên
hàm của một số hàm
số tương đối đơn giản
dựa vào bảng nguyên
hàm và cách tính
nguyên hàm từng
phần

Sử dụng được
phương pháp đổ biến
số(Khi đã chỉ rõ cách
đổi biến số và không
đổ biến số quá một
lần) để tính nguyên
hàm

- Sử dụng định nghĩa
để tính được nguyên
hàm của một số hàm
số khác

Tiết 1
C. Tiến trình lên lớp
1. Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
Trang | 12

3. Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

I. Nguyên hàm và các tính chất

Giáo viên: Vấn đáp

1. Nguyên hàm

- Hàm số nào có đạo hàm là 3x 2

Định nghĩa: Cho K là một khoảng hoặc đoạn
hoặc nửa khoảng. Hàm số F (x) được gọi là
một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu

- Đạo hàm của hàm số tan x

F ' ( x)  f ( x); x  K

Chủ động làm việc; trả lời câu hỏi của
thầy cô

Ví dụ
1) x 3 là một nguyên hàm của 3x 2 trên R
2) tan x là một nguyên hàm của

1

trên
cos 2 x

Học sinh:

Giáo viên:
- Nói: Hàm số x 3 là một nguyên hàm của
hàm số 3x 2 và hàm số tan x là một
nguyên hàm của hàm số

 
( ; )
2 2
Định lí 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của
hàm số f (x) trên K thì với mỗi C  R ;

1
cos 2 x

Học sinh:
- Tri giác vấn đề

F ( x)  C cũng là một nguyên hàm của f (x)
trên K

- Hình thành khái niện mới; chuẩn bị đề
xuất khái niệm mới

Định lí 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của
hàm số f (x) trên K mỗi nguyên hàm của

Giáo viên:

f (x) trên K đều có dạng F ( x)  C
Tóm lại: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K thì họ các nguyên hàm của f (x)

- Yêu cầu học sinh đề xuất khái niệm mới
- Nhận xét khái niệm mà học sinh đề xuất;
chính xác hoá khái niệm

trên K là F ( x)  C ; C  R . Và được kí hiệu là

- Vấn đáp:

f ( x)dx . Như vậy ta có:

+) Ngoài hàm số x 3 ; hãy chỉ ra một
nguyên hàm khác của 3x 2

f ( x)dx  F ( x)  C; C  R
Ví dụ:
1) 3 x 2 dx  x 3  C
1
2)  2 dx  tan x  C
cos x

+) Hàm số x 3  C với C là hằng số có
phải là nguyên hàm của hàm số 3x 2 hay
không

Học sinh:
Dựa vào định nghĩa; trả lời câu hỏi của
thầy cô
Giáo viên:
Trang | 13


- Phát biểu định lí 1; định lí 2
- Yêu cầu học sinh chứng minh định lí 1
Học sinh:
- Ghi nhớ các định lí 1;2
- Chứng minh định lí 1
2. Các tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

f ' ( x)dx  f ( x)  C

Giáo viên:
- Giới thiệu các tính chất của nguyên hàm

Tính chất 2: k . f ( x)dx k f ( x )dx

- Yêu cầu học sinh chứng minh nhanh các
tính chất của nguyên hàm

Tính chất 3:

Học sinh:

( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx  g ( x)dx

- Ghi nhớ các tính chất của nguyên hàm
- Vận dụng các tính chất của đạo hàm và
định nghĩa nguyên hàm để chứng minh
nhanh các tính chất của nguyên hàm

3. Điều kiện tồn tại nguyên hàm:
Định lí 3: Mọi hàm số f (x) xác định trên K đều
có nguyên hàm trên K
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
cơ bản

Từ bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản và
khái niệm nguyên hàm ta có bảng sau:

Sử dụng phương pháp thuyết trình
Giáo viên:
- Tổ chức cho học sinh tự ôn tập kiến thức
cũ: Hãy liệt kê các hàm số sơ cấp cơ bản
và đạo hàm của nó
- Yêu cầu học sinh chuyển bảng đạo hàm
của các hàm số sơ cấp cơ bản sang ngôn
ngữ nguyên hàm
Học sinh:
- Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo hướng
dẫn của thầy cô
- Vận dụng khái niệm nguyên hàm vừa
học phát biểu lại bảng đạo hàm dưới ngôn
ngữ nguyên hàm
Giáo viên:

Ví dụ áp dụng:

- Gọi học sinh thay nhau trả lời
- Nhận xét; chỉnh sửa; chính xác hoá kiến
Trang | 14


1) A  (2 x 2 

1
4

x3



thức; tổng hợp thành bảng

3

)dx 2 x 2 dx  x 4 dx

Học sinh: Ghi nhớ bảng nguyên hàm của
các hàm số sơ cấp cơ bản

1
4

2

 x3  4x  C
3
2) B (3 cos x  3 x  1 )dx 3cos xdx 
3 sin x 

Củng cố kiến thức:
1 x
3 dx
3

1 3x
3 x 1
 C 3 sin x 
C
3 ln 3
ln 3

Tìm các nguyên hàm sau:
1) A  (2 x 2 

1
4

x3

)dx

2) B  (3 cos x  3 x  1 )dx
3)C  ( x 3 

1
3

x

2

 6 sin x 

1
1
 x )dx
2
cos x e

4. Củng cố bài học:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2. SGK và đọc trước các phương pháp tính
nguyên hàm
D. Rút kinh nghiệm
Tiết 2
C. Tiến trình lên lớp
1. Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
3. Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt
Tóm tắt kiến thức:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số trên K .

- Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ
nguyên hàm của f (x) trên K là:

f ( x)dx F ( x)  C; C  R
- Sự tồn tại nguyên hàm: Nếu f (x ) là hàm số liên tục
trên K thì có nguyên hàm trên K

Hoạt động của thầy và trò
Giáo viên: Tổ chức cho học sinh chủ
động ôn tập kiến thức cũ:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số
trên tập hợp K ?
- Để kiểm tra xem F (x) có phải là
nguyên hàm của hàm số f (x) hay
không ta phải làm thế nào? Từ đó hãy
đề xuất cách giải toán.

Trang | 15


Bài 1. Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm
của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

a ) f ( x) ln( x  1  x 2 )
b) f ( x ) e sin x cos x
c) f ( x ) sin 2

1
x
x 1

d ) f ( x) 

x 2  2x  2

e) f ( x )  x 2 e

1
x

Và

g ( x) 

- Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo
hướng dẫn của thầy cô?
- Định hướng cách giải toán

1
1 x

Học sinh:

2

- Đề xuất cách giải của mình

Và

g ( x) e sin x

Và

g ( x) 

Và

g ( x)  x 2  2 x  2

Giáo viên:

1
2
sin
2
x
x

- Nhận xét góp ý cho hướng giải mà
học sinh đề xuất.
- Giao nhiệm vụ cho học sinh
Học sinh:

Và

g ( x) (2 x  1)e

1
x

- Chủ động làm bài tập
- Xung phong lên bảng trình bầy
Giáo viên:
- Gọi 5 học sinh lên bảng trình bầy
bài
- Đôn đốc giúp đỡ các học sinh khác
giải toán
- Nhận xét bài làm của học sinh

Bài 2. Chứng minh rằng mỗi hàm số F (x) và G (x)
đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) F ( x) 

x 2  6x 1
2x  3

b) F ( x ) 

1
sin 2 x

c ) F ( x ) 5  2 sin 2 x

Và
Và
Và

G ( x) 

Giáo viên:
- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài tập

x 2  10
2x  3

G ( x) 10  cot 2 x
G ( x) 1  cos 2 x

- Kiểm tra bài cũ đối với các học sinh
khác
- Đôn đốc học sinh chủ động giải
- Nhận xét bài làm của học sinh
Học sinh:
- Chủ động giải toán
- Đối chiếu với lời giải và kết quả của
bạn
- Cùng thầy cô nhận xét bài làm của
bạn

Bài 3. Tính:
Trang | 16


a ) ( x 2  2 x  1)dx
1  x  x3
c) 
x4

b) (1 

1
)dx
sin 2 x

x

2 1
d )  x dx
e

- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập
- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập của học
sinh
- Nhận xét bài

4. Củng cố bài học:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2. SGK và đọc trước các phương pháp tính
nguyên hàm
D. Rút kinh nghiệm
Tiết 3
C. Tiến trình lên lớp
1. Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
3. Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

II. Các phương pháp tính nguyên hàm

Giáo viên:

1. Phương pháp đổi biến

- Vấn đáp: Cho các nguyên hàm sau:

sin(2 x  1)dx

e

1 2 x

dx

+) Có tồn tại các nguyên hàm đó không?
Tại sao?
+) Có thể áp dụng luôn công thức

sin xdx  cos x  C để suy ra
sin(2 x  1)dx  cos(2 x  1)  C

hay

không? Tại sao lại như vậy?
+) Nếu biểu thức dưới dấu nguyên hàm là
f (u ) trong đó f là một hàm số sơ cấp

Ví dụ: Tìm A  sin(2 x  1)dx
Để áp dụng bảng nguyên hàm của các hàm số sơ
cấp cơ bản ta là như sau:

cơ bản thì để áp dụng bản nguyên hàm
của các hàm số sơ cấp cơ bản thì tiếp
theo f (u ) dưới dấu nguyên hàm phải là
dx hay du ?
- Hướng dẫn chi tiết học sinh tính
Trang | 17


Đặt u 2 x  1  du 2d  dx 

du
. Ta có:
2

1
1
A  sin( 2 x  1)dx  sin udu  cos u  C
2
2
1
 A  cos(2 x  1)  C
2

sin(2 x  1)dx
1 2 x
- Yêu cầu học sinh tìm e dx

Học sinh:
- Nghiên cứu lại bảng nguyên hàm; trả lời
các câu hỏi của thầy cô
- Theo dõi chi tiết cách giải toán của thầy
cô
1 2 x
- Độc lập tìm e dx . Xung phong

Định lí 1: Nếu

f (u )du  F (u )  C

với u u (x )

có đạo hàm liên tục thì

Giáo viên:

f (u ( x)).u ' ( x)dx F (u( x))  C
Hệ quả: Nếu

f (u )du  F (u )  C

trình bầy lời giải.

thì

1

f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C (a 0)

- Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy
- Nhận xét bài làm; rút kinh nghiệm;
nhận xét việc tập chung nghe giảng của
học sinh
- Phát biểu và chứng minh chi tiết định lí
1 và hệ qủa của nó.

Từ định lí trên ta có phương pháp tính nguyên hàm

Giáo viên:

dạng A f (u ( x)).u ' ( x )dx như sau

Yêu cầu học sinh xem lại định lí trên và
cách giải hai ví dụ ban đầu; hay xây dựng
phương pháp tính nguyên hàm dạng

Phương pháp đổi biến:

A f (u ( x)).u ' ( x )dx

Bước 1: Đặt t u (x)

Học sinh:

Bước 2: Tính dt u ' ( x )dx

- Làm việc theo hướng dẫn của thầy cô

Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức

- Xung phong trình bầy phương án của
mình

A f (u ( x)).u ' ( x )dx ta có:

Giáo viên:

A  f (t )dt  F (t )  C

- Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy

Bước 4: Thay ngược lại ta có A  F (u ( x))  C

- Nhận xét phương pháp của học sinh
- Đưa ra phương pháp dự kiến
- Lưu ý học sinh: Thông thường u ' ( x)
trong biểu thức A f (u ( x)).u ' ( x )dx bị
Trang | 18


ẩn đi. Cần phải luyện tập cách nhìn tinh
tế để phát hiện ra nó; và dùng phép đổi
biến cho có hiệu quả
Ví dụ . Tính các nguyên hàm sau:
ln x
b) B  
dx

x

a ) A  ( x  1)10 dx

Ví dụ củng cố:
x
c)C  
dx
( x  1) 5

Giáo viên:
Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh
Học sinh:
- Nghiên cứu đề bài; tìm hiểu nhiệm vụ
- Tìm phương án hoàn thành nhiệm vụ

Giải:

- Xung phong trình bầy bài

a. Đặt t  x  1  dx dt . Ta có
( x  1) 11
t 11
A ( x  1) dx t dt   C 
C
11
11
10

Giáo viên:

10

1
b. Đặt t ln x  dt  dx . Ta có
x
2

- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài
- Giúp đỡ các học sinh khác giải toán
- Gọi học sinh nhận xét bài

2

ln x
t
ln x
B   dx  tdt   C 
C
x
2
2

c. Đặt t  x  1  x t  1  dx dt . Ta có:

- Chính xác hoá lời giải; Phân tích; góp ý
cho các lời giải đề xuất khác
- Đưa ra lời giải dự kiến
- Hướng dẫn học sinh làm các khác đối

x
t1
1 1
1
1
ln x
C 
dx  5 dx ( 4  5 )dt  3  4  S với nguyên hàm B 
dx như sau:
( x  1) 5
t
t
t
3t
4t
x

Hay: C 

Đặt x e t  dx e t dt . Ta có:

1
1

S
3
3( x  1)
4( x  1) 4

ln e t

t2
ln 2 x
B   t e t dt  tdt   C 
C
2
2
e

4. Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 3. SGK và đọc trước phương pháp nguyên hàm
từng phần
D. Rút kinh nghiệm
Tiết 4
C. Tiến trình lên lớp
1. Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số
Trang | 19


2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
3. Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau bằng phương
pháp đổi biến theo hướng dẫn trong bài:

a ) (1  x) 9 dx (Đặt t 1  x )
b) cos 3 x. sin xdx (Đặt t cos x )

Hoạt động của thầy và trò
Giáo viên: Tổ chức cho học sinh tự ôn tập

kiến thức cũ, hướng dẫn học sinh khai thác
đề bài; tìm lời giải:
- Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản?
- Đã có thể áp dụng luôn bảng đó chưa?
Trở ngại gì mà ta đã gặp phải?

3

2
c) x(1  x 2 ) 2 dx (Đặt t 1  x )

dx
d ) x
(Đặt t e x  1 )
x
e e 2

- Phương pháp đổi biến dùng để tính
nguyên hàm dạng nào: Phương pháp đổi
biến tính nguyên hàm?
Học sinh:
- Chủ động ôn tập kiến thức cũ
- Nghiên cứu đề bài; chủ động giải bài tập
- Xung phong lên bảng trình bầy bài
Giáo viên:
- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài
- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập và giúp đỡ
các học sinh khác giải toán
- Gọi học sinh nhận xét bài

- Rút kinh nghiệm cách giải bài tập

Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau:
1
a)
dx
2 x 1
1 x

c) 3 dx

b) sin(1  3 x)dx
Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài
d )  2 x  3dx

Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau:
Trang | 20


x.e

Giáo viên:

1 3 x 2

a ) tan xdx

b) 

sin( 1  3 x )

c)
dx
1  3x

dx
d ) 2
x  5x  6

1  3x 2

dx

- Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh(Có
thể gợi ý; dẫn dắt học sinh tìm cách đặt
biến mới)
Học sinh:

Cách giải:

- Tìm hiểu đề bài; tìm phương án hoàn
thành nhiệm vụ

sin x
dx
a. tan xdx  
cos x

- Xung phong trình bầy bài hoặc đề xuất
các cách giải của mình

Đặt t cos x  dt  sin xdx . Do đó:
sin x

dt

tan xdx cos x dx  t


 ln t  C
Giáo viên:

tan xdx  ln cos x  C

b. Đặt t  1  3x

- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài

2

- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học
sinh khác giải toán

c. Đặt t  1  3x
dx
A
B

dx  
dx
d. Biến đổi:  2

x 2
x 3
x  5x  6

- Gọi học sinh nhận xét bài
- Rút kinh nghiệm các giải toán
- Phân tích; góp ý cho các lời giải đề xuất
- Đưa ra lời giải dự kiến

4. Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm các bài tập trong sách bài tập
D. Rút kinh nghiệm
Tiết 5
C. Tiến trình lên lớp
1. Ổn định lớp; kiểm tra sĩ số
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
3. Bài mới:

Nội dung kiến thức cần đạt
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Ví dụ: Tính
Giải:

x sin xdx

Hoạt động của thầy và trò
Hoạt động 1. Tiếp cận kiến thức:
Giáo viên: Yêu cầu một học sinh đứng tại
chỗ giải bài toán:
1) Tính đạo hàm của hàm số

Trang | 21


f ( x )  x. cos x
Ta có:
( x. cos x)' cos x  x sin x   x sin x ( x. cos x)' cos x
2) áp dụng các tính chất của nguyên hàm
và bảng nguyên hàm; hãy tính
Do đó ta có:

( x cos x)dx; cos xdx . Từ đó hãy tính
x sin xdx [( x cos x)' cos x]dx  x cos x  sin x  C
nguyên hàm: x sin xdx
Hay x sin xdx  x cos x  sin x  C


Học sinh:

x(cos x)' dx x. cos x  cos xdx
Hay:

xd (cos x) x. cos x  cos xdx
Ta có thể viết kết quả này như sau:

- Chủ động xem lại kiến thức cũ; và làm
bài tập mà thầy cô đã đặt ra.
- Theo dõi và nhận xét bài làm của bạn
Giáo viên:
- Chính xác hoá lời giải

Định lí 2: Nếu hai hàm số u ( x); v ( x ) có đạo hàm
liên tục trên K thì

- Viết lại kết quả của bài toán dưới dạng

x(cos x)' dx x. cos x  cos xdx

u( x).v' ( x)dx u ( x)v( x)  v( x).u' ( x)dx
Chú ý: Vì v ' ( x) dx dv; u ' ( x) dx du nên có thể

- Phân tích cách viết; phát biểu định lí
tổng quát

viết lại đẳng thức trên như sau: udv uv  vdu

Học sinh:

(Công thức nguyên hàm từng phần)

- Ghi nhận định lí(Việc chứng minh xem
như bài tập)
Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:
a ) x.e x dx

b) x cos xdx

c ) ln xdx
Giáo viên:

Giải:

 u x

a. Đặt 
x
 dv e dx

x.e

x

 du dx
. Do đó ta có:

x
 v e

dx udv uv  vdu  xe x  e x dx 

- Chép đề
- Chữa chi tiết ý a
- Giao nhiệm vụ cho học sinh làm ý b; c

e x ( x  1)  C
 u x
 du dx
 
b. Đặt 
. Do đó ta có:
 dv cos xdx  v sin x

Học sinh:
- Nghiên cứu đề bài
- Theo dõi chi tiết lời giải của thầy cô

x cos xdx udv uv  vdu x sin x  sin xdx 
 x sin x  cos x  C

- Chủ động tìm phương án hoàn thành
nhiệm vụ mà thầy cô đã giao cho
Trang | 22


 u ln x

c. Đặt 
 dv dx

1

 du  dx
x . Do đó ta có:

 v  x

- Xung phong trình bầy bài

Giáo viên:

ln xdx udv uv  vdu  x ln x  dx 
 x (ln x  1)  C

- Gọi học sinh lên bảng làm bài
- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học
sinh khác làm bài tập
- Nhận xét bài làm của học sinh
- Chính xác hoá lời giải

Cách đặt u; dv trong một số dạng nguyên hàm
thường gặp

Củng cố: Gọi P (x ) là đa thức của x . Từ
ví dụ trên hãy hoàn thành bảng sau:

4. Củng cố bài học:
- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần; Cách đặt u; dv trong các trường hợp thường gặp
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 4. SGK
D. Rút kinh nghiệm

Trang | 23


TÍCH PHÂN
Thời lượng: 5 tiết
A. Mục tiêu
1. Kiến thức
- Biết khái niệm về diện tích hình thang cong. Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng
công thức Newton- Leibnitz.
- Biết các tính chất của tích phân.
- Biết được các phương pháp tính tích phân (Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích
phân từng phần).

2.Kĩ năng:Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa, dựa vào
tính chất, bằng phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.
3.Thái độ: Chủ động, tích cực, tự giác trong học tập.
4.Năng lực hướng tới:
Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm
say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
B. Nội dung chủ đề
Nội dung 1: Định nghĩa tích phân:
Nội dung 2: Tính chất của tích phân
Nội dung 3: Phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng
phần
Nội dung 4. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Mô tả cấp độ tư duy của từng nội dung
1. Định nghĩa tích phân
Trang | 24


NHẬN BIẾT

THÔNG HIỂU

VẬN DỤNG

VẬN DỤNG CAO

Phát biểu được định
nghĩa tích phân, ký hiệu
dấu tích phân, cận trên,
cận dưới, biểu thức
dưới dấu tích phân.

Biết được tích phân từ
a đến b của hàm số

- Sử dụng định nghĩa
để tính được tích phân
của một số hàm số đơn
giản.

- Sử dụng định
nghĩa để tính được
tích phân của một
số hàm số khác

b

f ( x)dx F (b)  F (a )
�
a

f  x    là hiệu số:
F (b)  F (a )
trong đó F  x  là một
nguyên hàm của hàm

f  x  trên đoạn  a; b 
.

a

f ( x) dx  0;
�
a

a

a

b

b

b

a

a

f ( x)dx  �
f (t ) dt
�

Tích phân đó chỉ phụ
thuộc vào f và các
cận a; b mà không phụ

thuộc vào biến số x
hay t

-Biết được:

b

-Nhấn mạnh :

f ( x) dx   �
f ( x ) dx
�

Câu hỏi : Phát biểu định nghĩa tích phân, chỉ rõ dấu tích phân, cận trên, cận dưới, biểu thức dưới
dấu tích phân (yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa)
Bài tập tương ứng:
Mức độ nhận biết:
2

3dx
- Xác định: cận trên, cận dưới và biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân sau I  �
1

- Tìm lời giải đúng trong các lời giải sau
2

3dx   3x  1  3.2  3.1  3
Lời giải 1. I  �
2

1

2

3dx   3x  1  3.1  3.2  3
Lời giải 2. I  �
2

1

Mức độ thông hiểu:
a

- Chứng tỏ :

f ( x ) dx  0;
�

f ( x) dx ;
-Nhấn mạnh : �
a

a

a

b

f ( x) dx   �
f ( x) dx

�

a

a

b

b

b

a

a

f ( x)dx  �
f (t )dt
�

- Nhắc lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
- Tính một số tích phân của hàm số dơn giản theo định nghĩa
Trang | 25