GIAO AN PP MOI TOÁN 12 NGUYEN HAM TICH PHAN VA UNG DUNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM
A. Mục tiêu
1. Kiến thức:
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số;
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm
2. Kĩ năng:
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính
nguyên hàm từng phần
- Sử dụng được phương pháp đổ biến số(Khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổ biến số quá một lần)
để tính nguyên hàm
3. Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tính chủ động sáng tạo cho học sinh
4.Năng lực hướng tới:
Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê
khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
B. Nội dung chủ đề
Nội dung 1: Định nghĩa nguyên hàm
Nội dung 2: Tính chất của nguyên hàm
Nội dung 3: Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm từng
phần
Mô tả cấp độ tư duy của từng nội dung
1. Định nghĩa tích phân
NHẬN BIẾT
Phát biểu được định
nghĩa nguyên hàm, ký
hiệu dấu nguyên hàm,

biểu thức dưới dấu
nguyên hàm.

THÔNG HIỂU

VẬN DỤNG

VẬN DỤNG CAO

Tìm được nguyên hàm
của một số hàm số
tương đối đơn giản dựa
vào bảng nguyên hàm
và cách tính nguyên

Sử dụng được phương
pháp đổ biến số(Khi đã
chỉ rõ cách đổi biến số
và không đổ biến số quá
một lần) để tính nguyên

- Sử dụng định nghĩa để
tính được nguyên hàm
của một số hàm số khác

Trang | 1


∫ f ( x)dx = F ( x) + C

hàm từng phần

hàm

Tiết 1
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Mục tiêu: Học sinh tính được đạo hàm của các hàm số và định hình được hàm số “gốc”.
Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn.
Sản phẩm: Học sinh tính được đạo hàm của các hàm số và đưa ra được hàm số “gốc” của hàm số
đơn giản.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
HOẠT ĐỘNG 1: Hoạt động hình thành NGUYÊN HÀM.
Mục tiêu: Học sinh hiểu và nắm được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K.
Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn.
Sản phẩm: Học sinh đưa ra được định nghĩa nguyên hàm và các yếu tố cơ bản về nguyên hàm.
3. Bài mới:
Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

I. Nguyên hàm và các tính chất

Giáo viên: Vấn đáp

1. Nguyên hàm

- Hàm số nào có đạo hàm là 3x 2

Định nghĩa: Cho K là một khoảng hoặc đoạn
hoặc nửa khoảng. Hàm số F (x) được gọi là một
nguyên hàm của hàm số f (x) trên K nếu

- Đạo hàm của hàm số tan x

F ' ( x) = f ( x); ∀x ∈ K

Chủ động làm việc; trả lời câu hỏi của thầy cô

Ví dụ

Giáo viên:

1) x 3 là một nguyên hàm của 3x 2 trên R

- Nói: Hàm số x 3 là một nguyên hàm của hàm số
3x 2 và hàm số tan x là một nguyên hàm của hàm

2) tan x là một nguyên hàm của
(−

π π
; )
2 2

1
trên

cos 2 x

Học sinh:

số

1
cos 2 x

HOẠT ĐỘNG 2: Hoạt động hình thành tính chất của nguyên hàm.
Mục tiêu: Học sinh hiểu và nắm được các tính chất của nguyên hàm.
Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp.
Hình thức tổ chức hoạt động: Cá nhân, cặp đôi.
Phương tiện dạy học: Bảng phụ, phấn.
Sản phẩm: Học sinh đưa ra được các tính chất cơ bản về nguyên hàm.

Trang | 2


Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

Định lí 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K thì với mỗi C ∈ R ; F ( x) + C cũng

- Vấn đáp:

là một nguyên hàm của f (x) trên K

+) Ngoài hàm số x 3 ; hãy chỉ ra một nguyên hàm
khác của 3x 2

Định lí 2: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm
số f (x) trên K mỗi nguyên hàm của f (x) trên
K đều có dạng F ( x) + C

+) Hàm số x 3 + C với C là hằng số có phải là
nguyên hàm của hàm số 3x 2 hay không

Tóm lại: Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số
f (x) trên K thì họ các nguyên hàm của f (x) trên
K là F ( x) + C ; C ∈ R . Và được kí hiệu là

∫ f ( x)dx .

Như vậy ta có:

Học sinh:
Dựa vào định nghĩa; trả lời câu hỏi của thầy cô
Giáo viên:
- Phát biểu định lí 1; định lí 2

∫ f ( x)dx = F ( x) + C; C ∈ R

- Yêu cầu học sinh chứng minh định lí 1
Học sinh:

Ví dụ:
1) ∫ 3 x 2 dx = x 3 + C

2) ∫

1
dx = tan x + C
cos 2 x

2. Các tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:

∫ f ' ( x)dx =

f ( x) + C

- Ghi nhớ các định lí 1;2
- Chứng minh định lí 1

Giáo viên:
- Giới thiệu các tính chất của nguyên hàm

Tính chất 2: ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x )dx

- Yêu cầu học sinh chứng minh nhanh các tính
chất của nguyên hàm

Tính chất 3:

Học sinh:

∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

- Ghi nhớ các tính chất của nguyên hàm
- Vận dụng các tính chất của đạo hàm và định
nghĩa nguyên hàm để chứng minh nhanh các tính
chất của nguyên hàm

3. Điều kiện tồn tại nguyên hàm:
Định lí 3: Mọi hàm số f (x) xác định trên K đều có
nguyên hàm trên K
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp cơ
bản

Từ bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản và
khái niệm nguyên hàm ta có bảng sau:

Sử dụng phương pháp thuyết trình
Giáo viên:
- Tổ chức cho học sinh tự ôn tập kiến thức cũ:
Hãy liệt kê các hàm số sơ cấp cơ bản và đạo hàm
của nó
- Yêu cầu học sinh chuyển bảng đạo hàm của các
hàm số sơ cấp cơ bản sang ngôn ngữ nguyên
hàm
Trang | 3


Học sinh:
- Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo hướng dẫn
của thầy cô
- Vận dụng khái niệm nguyên hàm vừa học phát
biểu lại bảng đạo hàm dưới ngôn ngữ nguyên

hàm
Giáo viên:
- Gọi học sinh thay nhau trả lời
- Nhận xét; chỉnh sửa; chính xác hoá kiến thức;
tổng hợp thành bảng

Ví dụ áp dụng:
1) A = ∫ (2 x +

1

2

4

x3

−

3
4

)dx = 2 ∫ x dx + ∫ x dx
2

Học sinh: Ghi nhớ bảng nguyên hàm của các
hàm số sơ cấp cơ bản

1

=

2 3
x + 4x 4 + C
3

2) B = ∫ (3 cos x − 3 x −1 )dx = 3∫ cos xdx −

Củng cố kiến thức:
Tìm các nguyên hàm sau:

1 x
3 dx
3∫

1) A = ∫ (2 x 2 +

1 3x
3 x −1
= 3 sin x −
+ C = 3 sin x −
+C
3 ln 3
ln 3

1
4

x3

)dx

2) B = ∫ (3 cos x − 3 x −1 )dx
3)C = ∫ ( x 3 +

1
3

x

2

+ 6 sin x −

1
1
+ x )dx
2
cos x e

C. Củng cố kiến thức:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2. SGK và đọc trước các phương pháp tính nguyên hàm
D. Tìm tòi, mở rộng.

Tiết 2
Tiến trình lên lớp
HOẠT ĐỘNG 3: Hoạt động luyện tập.

Trang | 4


Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

Tóm tắt kiến thức:

Giáo viên: Tổ chức cho học sinh chủ động ôn
tập kiến thức cũ:

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số trên K .
- Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên K thì họ
nguyên hàm của f (x) trên K là:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C; C ∈ R
- Sự tồn tại nguyên hàm: Nếu f (x ) là hàm số liên tục
trên K thì có nguyên hàm trên K
Bài 1. Kiểm tra xem hàm số nào là một nguyên hàm
của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

- Khái niệm nguyên hàm của hàm số trên tập
hợp K ?
- Để kiểm tra xem F (x) có phải là nguyên
hàm của hàm số f (x ) hay không ta phải làm
thế nào? Từ đó hãy đề xuất cách giải toán.
Học sinh:
- Chủ động ôn tập kiến thức cũ theo hướng
dẫn của thầy cô?

- Định hướng cách giải toán
- Đề xuất cách giải của mình

1

a ) f ( x) = ln( x + 1 + x )

Và

g ( x) =

b) f ( x ) = e sin x cos x

Và

g ( x) = e sin x

Và

g ( x) = −

2

Và

g ( x) = x 2 − 2 x + 2

1
x

Và

2

c) f ( x ) = sin 2

1
x
x −1

d ) f ( x) =

x − 2x + 2

e) f ( x ) = x e
2

1+ x2

Giáo viên:

1
2
sin
2
x
x

- Nhận xét góp ý cho hướng giải mà học sinh
đề xuất.

- Giao nhiệm vụ cho học sinh
Học sinh:
- Chủ động làm bài tập

g ( x) = (2 x − 1)e

1
x

- Xung phong lên bảng trình bầy
Giáo viên:
- Gọi 5 học sinh lên bảng trình bầy bài
- Đôn đốc giúp đỡ các học sinh khác giải toán
- Nhận xét bài làm của học sinh

Bài 2. Chứng minh rằng mỗi hàm số F (x) và G (x)
đều là nguyên hàm của cùng một hàm số:
a ) F ( x) =

x 2 + 6x + 1
2x − 3

x 2 + 10
2x − 3

Và

G ( x) =

1

b) F ( x ) =
sin 2 x

Và

G ( x) = 10 + cot 2 x

c) F ( x ) = 5 + 2 sin 2 x

Và

G ( x) = 1 − cos 2 x

Giáo viên:
- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài tập
- Kiểm tra bài cũ đối với các học sinh khác
- Đôn đốc học sinh chủ động giải
- Nhận xét bài làm của học sinh
Học sinh:
- Chủ động giải toán
- Đối chiếu với lời giải và kết quả của bạn
Trang | 5


- Cùng thầy cô nhận xét bài làm của bạn

Bài 3. Tính:
a ) ∫ ( x 2 − 2 x + 1)dx
c) ∫

1+ x − x
x4

3

b) ∫ (1 −
d )∫

- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài tập

1
)dx
sin 2 x

- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập của học sinh

2 −1
dx
ex
x

- Nhận xét bài

4. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI:
- Khái niệm nguyên hàm của hàm số; bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
- Các tính chất của nguyên hàm; và điều kiện tồn tại nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 2. SGK và đọc trước các phương pháp tính nguyên hàm
Tiết 3
A. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP KHỞI ĐỘNG
Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp

B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
HOẠT ĐỘNG 1: Hoạt động hình thành PHƯƠNG PHÁP ĐỖI BIẾN SỐ.
Nội dung kiến thức cần đạt

Hoạt động của thầy và trò

II. Các phương pháp tính nguyên hàm

Giáo viên:

1. Phương pháp đổi biến

- Vấn đáp: Cho các nguyên hàm sau:

∫ sin(2 x + 1)dx

∫e

1− 2 x

dx

+) Có tồn tại các nguyên hàm đó không? Tại
sao?
+) Có thể áp dụng luôn công thức

∫ sin xdx = − cos x + C để suy ra
∫ sin(2 x + 1)dx = − cos(2 x + 1) + C

hay không?

Tại sao lại như vậy?
+) Nếu biểu thức dưới dấu nguyên hàm là f (u )
trong đó f là một hàm số sơ cấp cơ bản thì để
Ví dụ: Tìm A = ∫ sin( 2 x + 1)dx
Để áp dụng bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản ta là như sau:

áp dụng bản nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
cơ bản thì tiếp theo f (u ) dưới dấu nguyên hàm
phải là dx hay du ?
- Hướng dẫn chi tiết học sinh tính

Trang | 6


Đặt u = 2 x + 1 ⇒ du = 2d ⇒ dx =

du
. Ta có:
2

1
1
A = ∫ sin(2 x + 1)dx = ∫ sin udu = − cos u + C
2
2
1
⇒ A = − cos(2 x + 1) + C
2

1− 2 x
- Yêu cầu học sinh tìm ∫ e dx

Học sinh:
- Nghiên cứu lại bảng nguyên hàm; trả lời các
câu hỏi của thầy cô
- Theo dõi chi tiết cách giải toán của thầy cô
1− 2 x
- Độc lập tìm ∫ e dx . Xung phong trình bầy

lời giải.
Giáo viên:
Định lí 1: Nếu

∫ f (u )du = F (u ) + C

với u = u (x ) có - Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy

đạo hàm liên tục thì

∫ f (u ( x)).u ' ( x)dx = F (u( x)) + C
Hệ quả: Nếu

∫

f (u )du = F (u ) + C thì

- Nhận xét bài làm; rút kinh nghiệm; nhận xét
việc tập chung nghe giảng của học sinh

- Phát biểu và chứng minh chi tiết định lí 1 và hệ
qủa của nó.

1

∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C (a ≠ 0)
Từ định lí trên ta có phương pháp tính nguyên hàm
dạng A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx như sau

Phương pháp đổi biến:

Giáo viên:
Yêu cầu học sinh xem lại định lí trên và cách
giải hai ví dụ ban đầu; hay xây dựng phương
pháp tính nguyên hàm dạng
A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx

Bước 1: Đặt t = u (x)

Học sinh:

Bước 2: Tính dt = u ' ( x )dx

- Làm việc theo hướng dẫn của thầy cô

Bước 3. Thay các yếu tố trên vào biểu thức

- Xung phong trình bầy phương án của mình

A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx ta có:

A = ∫ f (t )dt = F (t ) + C
Bước 4: Thay ngược lại ta có A = F (u ( x)) + C

Giáo viên:
- Gọi học sinh đứng tại chỗ trình bầy
- Nhận xét phương pháp của học sinh
- Đưa ra phương pháp dự kiến
- Lưu ý học sinh: Thông thường u ' ( x) trong biểu
thức A = ∫ f (u ( x)).u ' ( x )dx bị ẩn đi. Cần phải
luyện tập cách nhìn tinh tế để phát hiện ra nó; và
dùng phép đổi biến cho có hiệu quả

Ví dụ . Tính các nguyên hàm sau:

Ví dụ củng cố:

Trang | 7


a ) A = ∫ ( x − 1)10 dx

b) B = ∫

ln x
dx
x

c)C = ∫

x

dx
( x + 1) 5

Giáo viên:
Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh
Học sinh:
- Nghiên cứu đề bài; tìm hiểu nhiệm vụ
- Tìm phương án hoàn thành nhiệm vụ

Giải:

- Xung phong trình bầy bài

a. Đặt t = x − 1 ⇒ dx = dt . Ta có

Giáo viên:

( x − 1) 11
t 11
A = ∫ ( x − 1) dx = ∫ t dt =
+C =
+C
11
11
10

10

b. Đặt t = ln x ⇒ dt =
B=∫

- Gọi 3 học sinh lên bảng làm bài

1
dx . Ta có
x
2

- Giúp đỡ các học sinh khác giải toán
- Gọi học sinh nhận xét bài
2

ln x
t
ln x
dx = ∫ tdt = + C =
+C
x
2
2

- Chính xác hoá lời giải; Phân tích; góp ý cho
các lời giải đề xuất khác

c. Đặt t = x + 1 ⇒ x = t − 1 ⇒ dx = dt . Ta có:

- Đưa ra lời giải dự kiến
- Hướng dẫn học sinh làm các khác đối với

C=∫

x
t −1
1 1
1
1
dx = ∫ 5 dx = ∫ ( 4 − 5 )dt = − 3 + 4 + S
( x + 1) 5
t
t
t
3t
4t

Hay: C = −

nguyên hàm B = ∫

ln x
dx như sau:
x

Đặt x = e t ⇒ dx = e t dt . Ta có:

1
1
+
+S
3
3( x + 1)

4( x + 1) 4

B=∫

ln e t t
t2
ln 2 x
e
dt
=
tdt
=
+
C
=
+C
∫
2
2
et

4. HOẠT ĐỘNG Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 3. SGK và đọc trước phương pháp nguyên hàm từng phần
Tiết 4
A. Tiến trình lên lớp
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
3. Bài mới: ( Luyện tập).
Nội dung kiến thức cần đạt
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp
đổi biến theo hướng dẫn trong bài:

a ) ∫ (1 − x) 9 dx (Đặt t = 1 − x )
b) ∫ cos 3 x. sin xdx (Đặt t = cos x )

Hoạt động của thầy và trò
Giáo viên: Tổ chức cho học sinh tự ôn tập kiến
thức cũ, hướng dẫn học sinh khai thác đề bài; tìm
lời giải:
- Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ
bản?
- Đã có thể áp dụng luôn bảng đó chưa? Trở ngại
Trang | 8


gì mà ta đã gặp phải?
3
2

- Phương pháp đổi biến dùng để tính nguyên hàm
dạng nào: Phương pháp đổi biến tính nguyên
hàm?

2
c) ∫ x(1 + x ) dx (Đặt t = 1 + x )
2

d )∫

dx
(Đặt t = e x + 1 )

e + e−x + 2
x

Học sinh:
- Chủ động ôn tập kiến thức cũ
- Nghiên cứu đề bài; chủ động giải bài tập
- Xung phong lên bảng trình bầy bài
Giáo viên:
- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài
- Kiểm tra bài cũ; vở bài tập và giúp đỡ các học
sinh khác giải toán
- Gọi học sinh nhận xét bài
- Rút kinh nghiệm cách giải bài tập

Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau:
a)∫

1
dx
2x + 1

b) ∫ sin(1 − 3 x)dx

c) ∫ 3 dx

Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài

d ) ∫ 2 x − 3dx

1− x

Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau:
a ) ∫ tan xdx
c) ∫

sin( 1 − 3 x )
1 − 3x

dx

1−3 x 2

b) ∫

x.e

d )∫

dx
x − 5x + 6

1 − 3x 2

dx

2

sin x
dx
cos x

Đặt t = cos x → dt = − sin xdx . Do đó:
sin x

∫ tan xdx = ∫ cos x dx = −∫

- Chép đề; giao nhiệm vụ cho học sinh(Có thể gợi
ý; dẫn dắt học sinh tìm cách đặt biến mới)
Học sinh:
- Tìm hiểu đề bài; tìm phương án hoàn thành
nhiệm vụ

Cách giải:
a. ∫ tan xdx = ∫

Giáo viên:

dt
= − ln t + C
t

- Xung phong trình bầy bài hoặc đề xuất các cách
giải của mình

Giáo viên:

⇒ ∫ tan xdx = − ln cos x + C

- Gọi 4 học sinh lên bảng làm bài

b. Đặt t = 1 − 3x 2

- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học sinh khác
giải toán
Trang | 9


- Gọi học sinh nhận xét bài

c. Đặt t = 1 − 3x

- Rút kinh nghiệm các giải toán

dx
A
B
∫ x 2 − 5x + 6 = ∫ x − 2dx + ∫ x − 3dx

d. Biến đổi:

- Phân tích; góp ý cho các lời giải đề xuất
- Đưa ra lời giải dự kiến

4. Củng cố: Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm các bài tập trong sách bài tập
Tiết 5
A. Tiến trình lên lớp
2. Kiểm tra bài cũ: thực hiện trong quá trình lên lớp
B. HOẠT ĐỘNG : Hoạt động hình thành PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG
PHẦN.

Nội dung kiến thức cần đạt
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Ví dụ: Tính

∫ x sin xdx

Giải:

Hoạt động 1. Tiếp cận kiến thức:
Giáo viên: Yêu cầu một học sinh đứng tại chỗ
giải bài toán:
1) Tính đạo hàm của hàm số f ( x) = x. cos x

Ta có:
( x. cos x)' = cos x − x sin x ⇒ − x sin x = ( x. cos x)'− cos x
Do đó ta có:
− ∫ x sin xdx = ∫ [( x cos x)'− cos x]dx = x cos x − sin x + C
Hay

Hoạt động của thầy và trò

∫ x sin xdx = − x cos x + sin x + C
∫ x(cos x)' dx =x. cos x + ∫ cos xdx

2) áp dụng các tính chất của nguyên hàm và
bảng nguyên hàm; hãy tính

∫ ( x cos x)dx; ∫ cos xdx . Từ đó hãy tính nguyên
hàm: ∫ x sin xdx
Học sinh:

- Chủ động xem lại kiến thức cũ; và làm bài
tập mà thầy cô đã đặt ra.
- Theo dõi và nhận xét bài làm của bạn

Hay:

∫ xd (cos x) =x. cos x + ∫ cos xdx
Ta có thể viết kết quả này như sau:
Định lí 2: Nếu hai hàm số u ( x); v ( x ) có đạo hàm liên
tục trên K thì

∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ v( x).u' ( x)dx
Chú ý: Vì v ' ( x) dx = dv; u ' ( x) dx = du nên có thể viết
lại đẳng thức trên như sau: ∫ udv = uv − ∫ vdu (Công

Giáo viên:
- Chính xác hoá lời giải
- Viết lại kết quả của bài toán dưới dạng

∫ x(cos x)' dx =x. cos x + ∫ cos xdx
- Phân tích cách viết; phát biểu định lí tổng
quát
Học sinh:
Trang | 10


thức nguyên hàm từng phần)

- Ghi nhận định lí(Việc chứng minh xem như
bài tập)

Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:
a ) ∫ x.e x dx

b) ∫ x cos xdx

c ) ∫ ln xdx
Giáo viên:

Giải:
u = x
du = dx
⇒
a. Đặt 
. Do đó ta có:
x
x
dv = e dx v = e

- Chép đề

∫ x.e

- Giao nhiệm vụ cho học sinh làm ý b; c

x

dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = xe x − ∫ e x dx =

- Chữa chi tiết ý a

= e x ( x − 1) + C
u = x
du = dx
⇒
b. Đặt 
. Do đó ta có:
dv = cos xdx v = sin x

∫ x cos xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = = x sin x − ∫ sin xdx =

= x sin x + cos x + C

1

u = ln x du = dx
⇒
x . Do đó ta có:
c. Đặt 
dv = dx
v = x

∫ ln xdx = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x ln x − ∫ dx =

= x(ln x − 1) + C

Học sinh:
- Nghiên cứu đề bài
- Theo dõi chi tiết lời giải của thầy cô
- Chủ động tìm phương án hoàn thành nhiệm

vụ mà thầy cô đã giao cho
- Xung phong trình bầy bài

Giáo viên:
- Gọi học sinh lên bảng làm bài
- Quan sát; động viên; giúp đỡ các học sinh
khác làm bài tập
- Nhận xét bài làm của học sinh
- Chính xác hoá lời giải

Cách đặt u; dv trong một số dạng nguyên hàm thường
gặp

Củng cố: Gọi P (x) là đa thức của x . Từ ví dụ
trên hãy hoàn thành bảng sau:

4. Củng cố bài học:
- Phương pháp tính nguyên hàm từng phần; Cách đặt u; dv trong các trường hợp thường gặp
5. Bài tập và hướng dẫn học ở nhà: Làm bài tập 4. SGK
Trang | 11


C. LUYỆN TẬP
HOẠT ĐỘNG : Hoạt động luyện tập dùng phương pháp đỗi biến số.
VD. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
f(x) = 1− x + 2x3 +

a.

1 2

− .
x x2

b. f(x) = (2x + 3)3.

 Giải
a. Ta có:
1


1
1 2

3
2
f(x)dx
1
−
x
+
2x
+
−
dx
1
−
x
+ 2x3 + − 2x−2 ÷dx
= ∫
= ∫

∫
2÷
x x 
x



1

+1

x2
x3+1
x−2+1
2 3 1 4
2
x + x + ln x + + C .
= x − 1 + 2. 3+ 1 + ln x − 2. −2 + 1 + C = x −
3
2
x
+1
2

b. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:
Cách 1: Ta có phân tích:

∫ f(x)dx = ∫ (2x + 3) dx = ∫ (8x
3

3

+ 36x2 + 54x + 27)3 dx

= 2x4 + 12x3 + 27x2 + 27x + C .
Cách 2: Ta biến đổi:
1

1
(2x + 3)4 + C .
8

∫ f(x)dx = ∫ (2x + 3) dx = 2 ∫ (2x + 3) d(2x + 3) =
3

3

VD. Tìm các nguyên hàm sau:

∫ x( 2x

a.
c.

2

∫

)

4

− 1 dx .

sin(2x − 1)dx
.
cos2 (2x − 1)

cosx.dx

∫ 2sinx − 3 .

b.
d.

xdx
.
4
−1

∫x

 Giải
1
4

a. Đặt u = 2x2 − 1, suy ra du = 4x.dx ⇔ xdx = du .
Từ đó:
1 4
11

1 5
1
u du = . u5 + C =
u +C =
(2x2 − 1)5 + C .
∫
4
45
20
20
1
b. Đặt u = 2sinx − 3, suy ra du = 2cosx.dx ⇔ cosx.dx = du .
2

∫ x( 2x

2

)

4

− 1 dx =

Từ đó:
cosx.dx

1 du
1
1

= ln u + C = ln 2sinx − 3 + C .
u
2
2

∫ 2sinx − 3 = 2 ∫

1
2

c. Đặt u = cos(2x − 1), suy ra du = −2sin(2x − 1)dx ⇔ sin(2x − 1)dx = − du .
Từ đó:
sin(2x − 1)dx
1
1 du
1
+C.
+C =
=− ∫ 2 =
2
2cos(2x − 1)
cos (2x − 1)
2 u
2u
1
d. Đặt u = x2, suy ra du = 2x.dx ⇔ xdx = du . Từ đó:
2
1  1
1 
1 du

1
xdx
∫ x4 − 1 = 2 ∫ t2 − 1 = 2 ∫  u − 1 − u + 1÷ du = 2( ln u − 1 − ln u + 1) + C

∫

=

1 u− 1
1 x2 − 1
ln
+ C = ln 2
+C .
2 u+ 1
2 x +1

Trang | 12


HOẠT ĐỘNG 5: Hoạt động luyện tập dùng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
VD. Tìm nguyên hàm

x.dx

∫ sin 2x .
2

 Giải
Đặt:
u = x

 du = dx


⇔
.


dx
1
dv
=
v = − cot2x


2
sin 2x
2


Khi đó:
x.dx

1

1 cos2x.dx
sin2x

∫ sin 2x = −x.cot2x + 2 ∫ cot2x.dx = −x.cot2x + 2 ∫
2

1
lnsin2x + C.
4

= −x.cot2x +

Dạng 1: Tính I = ∫ P(x)sin(αx)dx hoặc

∫ P(x)cos(αx)dx với P là một đa thức thuộc R[X] và α∈ ¡

*

.

Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bíc 1:
Đặt:

 du = P'(x)dx
 u = P(x)


⇒  v = − 1 cosαx .
dv
=
sin(
α
x)dx



α
Bíc 2:
Khi đó:
1
1
I = − P(x)cosαx + ∫ P'(x).cosαx.dx.
α
α
Bíc 3:
Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ " khử " được đa thức.

VD. Tìm các nguyên hàm sau:

∫ x.sin(x + 1).dx .

a.

b.

∫ (2x + 1).cos

2

x
.dx .
2

 Giải
a. Đặt:

u = x
 du = dx
⇒
.

 dv = sin(x + 1).dx  v = − cos(x + 1)

Khi đó:

∫ x.sin(x + 1).dx = −x.cos(x + 1) + ∫ cos(x + 1).dx = −x.cos(x + 1) + sin(x + 1) + C .
x
1
.dx = ∫ (2x + 1)(1+ cosx)dx
2
2
1
1
+ 1).dx − ∫ (2x + 1).cosx.dx
= 2 ∫1(2x
(1)
4 2 4 3 2 1 4 44 2 4 4 43 .

∫ (2x + 1).cos

2

I1

I2

Ta có ngay I1 = x2 + x + C .
Với nguyên hàm I2, ta có đặt:

(2)

u = 2x + 1
du = 2dx
⇔
.

dv = cosx.dx  v = sinx

Khi đó:
I2 = (2x+1).sinx∫ sinx.dx = (2x+1).sinx + 2cosx + C.

(3)

Thay (2), (3) vào (1) ta được:

∫ (2x + 1).cos

2

1
1
x
.dx = x2 + x − (2x + 1).sinx − cosx + C .
2
2
2

Trang | 13


Dạng 2: Tính I = ∫ P(x)eαxdx với P là một đa thức thuộc R[X] và α∈ ¡ * .
Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bíc 1:
Đặt:
 du = P'(x)dx
u = P(x)

⇒
.

1 αx
αx
dv = e dx  v = e
α

Bíc 2:
Khi đó:
1
1
I = P(x)eαx − ∫ P'(x).eαx.dx.
α
α
Bíc 3:
Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ " khử " được đa thức.

VD. Tìm các nguyên hàm sau:

∫ (x + 1)e

2x+1

a.

dx .

b.

 Giải
a. Đặt:

∫ xe

x2 +1

dx .

 du = dx
u = x + 1

⇒  1 2x+1 .

2x+1
 dv = e dx  v = 2 e

Khi đó:

∫ (x + 1)e

2x+1

dx =

1 2x + 1 1 2x+1
1
1
x.e
− ∫ e dx = x.e2x + 1 − e2x+1 + C.
2
2
2
4

b. Đặt t = x2 + 1 , suy ra:
t2 = x2 + 1 ⇒ 2t.dt = 2xdx ⇔ t.dt = x.dx.
Từ đó:
x +1
t
∫ xe dx = ∫ te .dt .
2

Đặt:
u = t
 du = dt
⇒
.


t
t
 dv = e dt  v = e

Khi đó:

∫ xe

t
t
dx = te − ∫ e .dt = tet − et + C =

x2 +1

(

)

2

x2 + 1 − 1 e x +1 + C .

Dạng 3: Tính I = ∫ p(x).lnαxdx với p là một đa thức thuộc R[X] và α∈ ¡ * .
Phương pháp
Giả sử p(x) có nguyên hàm là P(x), ta thực hiện theo các bước sau:
Bíc 1:
Đặt:
1

 u = ln αx

du = dx
x
⇔
.

dv = p(x)dx
 v = P(x)

Khi đó:
P(x)dx
∫
I = P(x)lnαx  14 2x43 .
Bíc 4:

I1

Bíc 2:

Nguyên hàm I1 được xác định bằng cách chia đa thức.

VD. Tìm các nguyên hàm sau:
2
a.
∫ x.ln(x + 1).dx .

b.

∫ (x

2

+ 1)2 lnx.dx .
Trang | 14


 Giải
a. Đặt t = x2 + 1, suy ra:
1
2

dt = 2x.dx ⇔ x.dx = dt
Khi đó:

∫ x.ln(x

2

Đặt:

+ 1).dx =

1
lnt.dt.
2∫

dt

u = lnt  du =
t .


⇒
dv = dt  v = t


Khi đó:

1
1
1
1
lnt.dt = (t.lnt − ∫ dt ) = (t.lnt −t) + C = [(x2 + 1).ln(x2 + 1) −(x2 + 1)] + C.
2∫
2
2
2

b. Đặt:

dx

du =

u = lnx

x


⇒
.
2

2
4
2
 v = 1 x5 + 2 x3 + x
dv = (x + 1) dx = (x + 2x + 1)dx

5
3

Khi đó:

2
2
1

1

+ 1)2 lnx.dx =  x5 + x3 + x ÷lnx − ∫  x4 + x2 + 1÷dx
5
3
5
3




1 5 2 3

 1 5 2 3


=  5 x + 3 x + x ÷lnx −  25 x + 9 x + x ÷+ C .





∫ (x

2

D. VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG
HOẠT ĐỘNG 6: Hoạt động vận dụng, tìm tòi, mở rộng.
ax
ax
Tính I = ∫ e sin(bx)dx hoặc ∫ e cos(bx)dx với a, b ≠ 0.

Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bíc 1:
Đặt:

du = −bsin(bx)dx
 u = cos(bx) 

⇒  v = 1 eax
.
ax
dv = e dx

a

Khi đó:

1 ax
b
e cos(bx) + ∫ eaxsin(bx)dx.
a
a
Bíc 2:
Xét J = ∫ eaxsin(bx)dx, đặt:
 du = bcos(bx)dx
 u = sin(bx) 
⇒  1 ax
.

ax
 dv = e dx
 v = a e

I=

(1)

Khi đó:
1
b
1
b
J = eaxsin(bx) − ∫ eaxcos(bx)dx = eaxsin(bx) − I. (2)
a

a
a
a
Bíc 3:
Thay (2) vào (1), ta được:
1 ax
b 1
b
I = e cos(bx) + [ eaxsin(bx) − I]
a
a a
a
⇔I =

[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax
+C
a2 + b2

VD. Tìm nguyên hàm I = ∫ ex + 1.cos(2x + 1).dx.
 Giải
Trang | 15


Đặt:
du = e x +1dx
 u = e x +1

⇒ 1

dv = cos(2x + 1).dx

 v = sin(2x + 1)
2


Khi đó:
I=

1 x+1
1
e .sin(2x + 1) − ∫ e x +1.sin(2x + 1).dx .
2
2

(1)

Xét tích phân J = ∫ e x +1.sin(2x + 1).dx , đặt:
du = e x +1dx
x +1

 u = e
⇒
.

1
dv = sin(2x + 1).dx
 v = − cos(2x + 1)
2


Khi đó:

1
2

J = − ex + 1.cos(2x+1) +

1 x +1
1 x+1
1
∫ e .cos(2x + 1).dx = − e .cos(2x+1) + I. (2)
2
2
2

Thay (2) vào (1), ta được:
I=

1 x+1
1 1
1
e .sin(2x + 1) − [− ex + 1.cos(2x + 1) + I]
2
2 2
2

⇔ 4I = 2ex + 1.sin(2x + 1) + ex + 1.cos(2x + 1) − I
⇔I =

1
[2sin(2x + 1) + cos(2x + 1)]ex + 1 + C.
5

E. HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ. Phát tờ trắc nghiệm.

BÀI 2: TÍCH PHÂN
I. Hoạt động khởi động
Mục đích: Tạo sự tò mò, gây hứng thú cho học sinh về “tính diện tích hình phẳng kín” trong thực tế.
Nội dung: Giáo viên chiếu hình ảnh hồ Gươm và đặt các câu hỏi.
Cách thức: Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi

Trang | 16


Diện tích khoảng 12 ha

Đây là hồ nào ở thủ đô Hà Nội?

Theo em người ta tính diện tích hồ này
như thế nào?

- Sản phẩm: Học sinh đặt ra câu hỏi: trong toán học để tính diện tích của những hình phẳng tương tự như
trên người ta làm như thế nào?
Học sinh mô tả bằng cách hiểu của mình về cách tính.
2) Hoạt động hình thành kiến thức.
- Mục đích: + Nêu được công thức tính diện tích hình thang cong
+ Phát biểu được định nghĩa, các tính chất của tích phân
+ Phát biểu được định lý cơ bản về tích phân
Trang | 17


+ Nắm được các phương pháp tính tích phân

+ Áp dụng được tích chất và các phương pháp để tính được tích phân.
- Nội dung: + Học sinh nghiên cứu SGK
+ Phát biểu định nghĩa và các định lý, trả lời các câu hỏi, làm các ví dụ GV yêu cầu.
- Cách thức: + Giáo viên đưa ra ví dụ và yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi tương ứng. Học sinh làm ví
dụ và trình bày trên bảng. GV nhận xét và yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa tích phân.
+ Giáo viên đưa ví dụ để học sinh làm, sau đó lên bảng trình bày.
- Sảm phẩm:
+ Học sinh phát biểu được định nghĩa, các tính chất của tích phân.
+ Tính được tích phân
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Ví dụ 1. Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường
thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 5) (H.1).
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.2).
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1;5].

3.

Hình 1
Hình 2
Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1 ; 5] và diện tích S = S(5) − S(1).

- Giao việc: GV yêu cầu học sinh thực hiện nhiệm vụ của ví dụ?
- GV tổng hợp, nhận xét các câu trả lời của HS và chốt định nghĩa.
+ Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa diện tích hình thang và nguyên hàm
+ GV chốt tổng quát: Công thức tính diện tích hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f ( x ) (liên tục, không âm trên đoạn [ a; b ] ), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b .

S = F (b) − F (a) (trong đó F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) )

Ví dụ 2. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 2 x + 2 , trục hoành và hai
2

đường thẳng x = −2, x = 3 .
2. Định nghĩa tích phân
Trang | 18


Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b].
Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của
hàm số f(x), kí hiệu là
b

∫ f (x)dx .
a

b

Ta còn dùng kí hiệu F(x) a để chỉ hiệu số F(b) − F(a).
b

Vậy

b

∫ f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a).
a

- GV: Hướng dẫn học sinh ghi nhớ các kí hiệu, tên gọi trong định nghĩa và các trường hợp đặc biệt
Ví dụ 3. Tính

π

1

a)

∫ x dx
3

b)

0

1

∫ sin xdx

c)

0

e

∫ e dx
x

d)

0

1

∫ t dt
1

- GV: Chốt cách tính theo định nghĩa và gọi học sinh nêu nhận xét, nhấn mạnh ý nghĩa hình học của tích
phân.
II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
- GV: Dựa vào tính chất của nguyên hàm hướng dẫn học sinh xây dựng các tính chất của tích phân
TÍNH CHẤT 1
b

b

∫ kf ( x)dx = k∫ f (x)dx
a

(k là hằng số).

a

TÍNH CHẤT 2
b

b

b

a

a

a

c

b

∫ [ f (x) ± g( x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
TÍNH CHẤT 3
b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a

a

(a < c < b).

c

Ví dụ 4. Tính
9

a)

∫ ( 4x
1

3

)

− 2 x dx

π

3

b)

∫x

2

0

− 2 x dx

c)

∫

1 − sin 2xdx

0

III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số

Trang | 19


1

∫

2
Ví dụ 5. Cho tích phân I = (2x + 1) dx.
0

1. Tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2.
2. Đặt u = 2x + 1, a = u(0), b = u(1). Biến đổi biểu thức (2x + 1)2dx thành g(u)du.
u(1)

∫

3. Tính

g (u )du và so sánh kết quả với I trong câu 1.

u(0)

- GV: giao nhiệm vụ và hướng dẫn học sinh làm ví dụ trên qua đó định hướng hình thành phương pháp
đổi biến số.
ĐỊNH LÍ
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].
Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ (β ) = b và
a ≤ ϕ (t) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ].
Khi đó

b

β

a

α

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t))ϕ '(t)d t.

Ví dụ 6. Tính

a) I =

π
2

3

∫ ( sin x + 2 )

3

b) J =

.cos xdx

1

∫9+ x

2

dx

0

0

- GV: Hướng dẫn học sinh và giao nhiệm vụ cho học sinh thực hiện. Định hướng tích phân J cho
phương pháp đổi biến số loại 2.
 Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép đổi biến số ở dạng sau :
b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính

∫ f (x)dx , đôi khi ta chọn hàm số u = u(x) làm
a

biến số mới, trong đó u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] và u ( x) ∈[α ; β ].
Giả sử có thể viết: f ( x) = g(u( x))u '( x), x ∈ [a ; b], với g(u) liên tục trên đoạn [α ; β ].
Khi đó, ta có
b

u(b)

∫ f (x)dx = ∫
a

g(u)du.

u( a)

2. Phương pháp tích phân từng phần
Ví dụ 7.

a) Hãy tính

∫ (x + 1)e dx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
x

1

b) Từ đó tính

∫ (x + 1)e dx.
x

0

- GV: Hướng dẫn học sinh thực hiện và phát biểu định lí
Trang | 20


ĐỊNH LÍ
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì
b

∫ u( x)v'(x)d x = (u(x)v(x))

b
a

b

∫

− u '( x)v( x)d x

a

b

∫ u d v = uv

hay

b
a

a

a

b

∫

− vd u .

a

Ví dụ 8. Tính
π

a)

∫ x cos xdx

e

∫

b)

0

ln x
x3

1

dx

3) Luyện tập:
- Mục đích: Học sinh tính được tích phân
- Nội dung: Học sinh làm bài tập
- Cách thức: Giáo viên phát bài tập, học sinh làm ở nhà
- Sản phẩm: Giải được một số dạng toán cơ bản về tích phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau :

1
2

a)

∫

−

2

(1 − x) dx ;

b)

1
2

2

e)

3

π
2

∫

0

2

1
dx
π

;
sin  − x ÷dx ; c) 1 x( x + 1)
4


∫ ( x + 1)2 dx ;

f)

1
2

d)

2

∫ sin 3x cos5xdx ;

g)

π
−
2

∫ x( x + 1) dx ;
2

0

2

π
2

1 − 3x

2

∫

∫ 1 − x dx ;

h)

0

π
2

∫ sin

2

xdx .

0

Bài 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính :
3

x2

∫

2

d x (đặt u = x + 1);
a)
3
0
(1 + x)2
1 x

c)

∫

0

e (1 + x)
x

1 + xe

b)

∫

4 − x2 d x (đặt x = 2sin t) ;

0
1
x

d x (đặt u = 1 + xe ) ;

d)

1

∫ 1 − x + x2 dx (a > 0)

(đặt x =

0

3
tan t) ;
2

Bài 3. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính :
a)

π
2

∫ (x + 1)sin xdx

0

e

;

b)

∫x

1

2

1

ln xdx ;

c)

∫ ln(1 + x)dx ;

0

Trang | 21

1

d)

∫ (x

2

ln 3

−x

− 2x − 1)e dx ;

e)

0

∫ 2 xe dx ;
x

f)

0

π
4

sin x
dx .
3
x

∫ x. cos
0

Bài 4. Tính các tích phân sau :
1

a)

∫ (1 +

3
3x)2 dx

;

b)

0

1
2 3

x −1

∫ x2 − 1

2

dx ;

c)

0

∫

ln(1 + x)

1

x2

dx;

d)

e

ln 2 x + 2 ln x
dx .
∫1
x
4) Ứng dụng, tìm tòi mở rộng.
- Mục đích: + Vận dụng kiến thức đã học để tính diện tích hình thang cong tổng quát.
- Nội dung: Học sinh đọc và nghiên cứu bài đọc: “Tính diện tích bằng giới hạn”

- Cách thức: + Học sinh tự đọc bài đọc: “Tính diện tích bằng giới hạn”
+ Học sinh tự lấy ví dụ và tự thực hiện lời giải ở nhà.
- Sản phẩm: Học sinh lấy được ví dụ và giải được.

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
A. Mục tiêu
1. Kiến thức: Học sinh cần biết cách tính diện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong;
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox
2. Kỹ năng: Tính diện tích hình phẳng và thể tích của khối tròn xoay nhờ tích phân trong các trường hợp
đơn giản
3. Tư tưởng; thái độ: Rèn luyện việc tính toán chính xác; cẩn thận. Tính chủ động sáng tạo cho học sinh
4.Năng lực hướng tới:
Năng lực chung
- Năng lực hợp tác, giao tiếp, tự học, tự quản lí
- Năng lực tuy duy, sáng tạo, tính toán, giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng CNTT, sử dụng ngôn ngữ Toán học.
- Năng lực mô hình hóa toán học và năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công nghệ tính toán
Năng lực chuyên biệt: Thấy được ứng dụng của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê
khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội.
Mô tả cấp độ tư duy
Trang | 22


NHẬN BIẾT
Học sinh cần biết cách
tính diện tích của các
hình phẳng được giới
hạn bởi các đường cong;
Thể tích của khối tròn

xoay được tạo thành khi
quay hình phẳng quanh
Ox

THÔNG HIỂU
Tính diện tích hình
phẳng và thể tích của
khối tròn xoay nhờ tích
phân trong các trường
hợp đơn giản

VẬN DỤNG

VẬN DỤNG CAO

Xây dựng được mô hình
toán học để giải quyết
các bài toán thực tế

- Sử dụng các tính chất
để giải các bài toán khác

B. Chuẩn bị
1. Giáo viên: Chuẩn bị giáo án; sách giáo khoa; sách bài tập; sách tham khảo
2. Học sinh: Đọc trước bài mới; chuẩn bị sách vở; dụng cụ học tập
I. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều
cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000.
Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông
muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên
dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Trang | 23


B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1.
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC
HOÀNH.

Trang | 24


GỢI Ý

+) HĐ1: Khởi động.
HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hình thang
cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b,
trục hoành và đường cong y = f(x), trong đó f(x)
là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a;b].

b

S = ò f ( x)dx
a

HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x = 5.
a) Dùng công thức hình học tính diện tích hình
phẳng.
5

b) Tính tích phân sau I =
o

ò( 2x + 1)dx

5
S = (AD +2 BC).CD
=28
2
I = (x +x) = 28

Diện tích không đổi.

1

1

HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số y = 2x
+ 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì diện tích của
nó thay đổi như thế nào?

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai

đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức
b

S = ∫ f ( x) dx
a

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3.
Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục
tung và đường thẳng x = π .

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như
hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang | 25