BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.

Bắn vào bia 5 phát. Gọi Ai là biến cố bắn trúng ít nhất i phát. Bj là biến cố bắn trúng đúng j phát.
a) Diễn tả các biến cố A1 , B1 , A2 , B2 ?
b) Hai biến cố A1 , B1 có xung khắc nhau không?
c) Diễn tả các biến cố A1 + B2 ; B1 + A2 ; A1 B2 ; A2 B1 ?

2.

3.

4.

5.

6.

Kiểm tra 4 sản phẩm . Gọi A k là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các biến cố sau qua
qua Ak .
a) A: tất cả đều xấu
b) B: có ít nhất 1 sản phẩm xấu
c) C: có ít nhất 1 sản phẩm tốt
d) D: không phải tất cả các sản phẩm đều tốt
e) E: có đúng một sản phẩm xấu
f) F: có ít nhất 2 sản phẩm tốt
Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Gọi B j là biến cố sinh viên thứ j làm bài đạt yêu cầu. Hãy biểu
diễn các biến cố sau đây qua Bj.
a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu.
b) Có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu.
c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu.

d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
Một xưởng có 3 máy hoạt động. Gọi Ai là biến cố máy thứ i bị hỏng. Viết biểu thức của các biến
cố.
A=”chỉ có máy 2 bị hỏng”
a) B=”máy 1, 2 bị hỏng nhưng máy 3 không hỏng’
b) Ci=”có i máy hỏng”
c) D=”có ít nhất 2 máy hỏng”
d) E=”có không quá hai máy hỏng”
Kiểme)tra lần lượt từng sản phẩm trong kho cho đến khi nào thấy sản phẩm hỏng thì dừng kiểm
tra. Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ i là sản phẩm hỏng.
Biểu diễn các biến cố sau qua Ai
a) Dừng kiểm tra ở lần thứ 4.
b) Kiểm tra không quá 3 lần.
Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy 4 sản phẩm từ hộp 1 để kiểm tra. Gọi
A=”có không quá hai phế phẩm”; B=”có hơn 3 phế phẩm”
Mô tả
. Chứng minh A.B = ∅ . Mô tả biến cố A+B; A\B
A; B
a)
Tính P(A); P(B); P A
b)

( )

7.

Cho A và B là hai biến cố sao cho P ( A) = 0,5; P ( B) = 0,65; P ( AB) = 0,35

1
XSTK 9/2012

a)
b)
c)

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

( )
P ( AB)
P ( AB)
P ( A + B)
P ( A | B)
P ( A | B)
P ( AB | B) P ( AB | B) P ( AB | B)
P ( A + B)

( )

P ( AB)
P A+ B

P A+ B

d)
Trong một hộp có 15 bóng đèn trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn
lại 3 bóng để dùng. Tìm xác suất để:
a) Cả 3 bóng đều hỏng?
b) Cả 3 bóng đều không hỏng?
c) Có ít nhất 1 bóng không hỏng?
d) Chỉ có bóng thứ 2 hỏng?
Trong tủ có 8 đôi giày. Lấy ngẫu nhiên ra 4 chiếc. Tính xác suất sao cho trong các chiếc giày lấy
ra
Không lập thành đôi nào cả?
a) Có đúng một đôi giày?
Xác b)
suất vi trùng kháng mỗi loại thuốc A, B, C lần lượt là 5%, 10%, 20%. Người ta dùng cả 3
loại để diệt vi trùng. Biết vi trùng bị tiêu diệt nếu một trong ba thuốc có tác dụng và ba thuốc này
độc lập nhau. Tính xác suất để vi trùng bị tiêu diệt?
Có 5 lá thăm trong đó có 3 lá thăm đánh dấu x. Có 5 người rút thăm, lần lượt từng người rút
thăm. Mỗi người rút một lá thăm.
Tìm xác suất để người thứ 3 rút được lá thăm có đánh dấu x
a) Nếu người thứ nhất rút được thăm đánh dấu x. Tìm xác suất người thứ 4 rút được thăm có
b) dấu x.
Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm là phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt
6 sản phẩm không hoàn lại. Nếu có ít nhất một phế phẩm thì không mua lô hàng.
Tìm xác suất lô hàng được mua.
a) Kiểm tra 3 lô hàng theo cách trên. Tính xác suất có 2 lô được mua?
b) Kiểm tra n lô theo cách trên. Nêu công thức tổng quát tính xác suất có k lô được mua?

Một c)
nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem tennis của những người có gia đình. Từ số
liệu thu được anh ta kết luận: 60% các ông chồng thích xem tennis; nếu chồng thích xem tennis
có 40% các bà vợ cũng thích xem tennis; nếu chồng không thích xem tennis có 30% các bà vợ
thích xem tennis. Tìm xác suất:
Vợ thích xem tennis?
a) Vợ hoặc chồng không thích xem tennis?
b) Nếu vợ thích xem tennis thì chồng cũng thích xem tennis.
c) nhân cùng làm ra một loại sản phẩm, xác suất để người thứ 1, 2, 3 làm ra chính phẩm
Ba công
tương ứng là 0,9; 0,8; 0,7. Có thông tin một người được chọn ngẫu nhiên trong đó làm ra 3 sản
phẩm thì thấy có 1 phế phẩm. Giả sử các sản phẩm do 3 người này làm ra là độc lập nhau.

2
XSTK 9/2012


15.

16.

17.

Người này có khả năng là người nào nhất?
a) Tính xác suất để người này làm 3 sản phẩm tiếp theo cũng có 1 phế phẩm?
Có nb)người được tập hợp một cách ngẫu nhiên.
Tính xác suất không có 2 người trong số đó có cùng ngày sinh nhật trong một năm có 365
a) ngày?
Tìm n để xác suất này nhỏ hơn 0,5?
b) Tính xác suất không có ai có cùng ngày sinh trong trường hợp nhóm này có 70 người?

Một c)
người mua vé số cào, người đó mua liên tiếp từng vé cho đến khi nào trúng thì ngừng. Tính
xác suất người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng biết rằng xác suất trúng thưởng của mỗi lần mua là
như nhau và bằng 0,01.
Trong một kho chứa cam có 42% cam Trung Quốc, 24% cam Thái Lan, 26% cam Campuchia và
8% cam Việt Nam. Trong số đó có một số cam hư gồm: 20% số cam của Trung Quốc, 10% số
cam của Thái Lan, 12% số cam của Campuchia và 2% số cam của Việt Nam. Lấy ngẫu nhiên 1
trái cam trong kho.
a. Tính xác suất để lấy phải 1 trái cam TQ bị hư?
b. Tính xác suất để lấy phải 1 trái cam hư?
c. Biết trái cam lấy ra bị hư. Tính xác suất để trái cam ấy của CPC?
d. Biết trái cam lấy ra không bị hư. Tính xác suất để trái cam ấy không của Việt Nam hoặc
không của CPC?

18.

19.

20.

Trong một cơ quan điều tra người ta dùng máy dò tìm tội phạm, kinh nghiệm cho biết cứ 10
người bị tình nghi thì có 7 người là tội phạm. Máy báo đúng người có tội với xác suất 0,85. Máy
báo sai người vô tội với xác suất 0,1. Một người được máy phân tích. Hãy tìm xác suất.
a. Máy báo người này là tội phạm?
b. Người này thực sự có tội biết rằng máy đã báo có tội?
c. Máy báo đúng bản chất người này?
Có 8 bình đựng bi trong đó có :
+ 2 bình loại 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đỏ.
+ 3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đỏ.
+ 3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đỏ.

Lấy ngẫu nhiên 1 bình và từ bình đó lấy ra 1 bi.
a. Tính xác suất để lấy được bi trắng?
b. Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Tính xác suất để bình lấy ra là loại 3?
Kiện hàng 1 có 5 sản phẩm loại A, 1 sản phẩm loại B. Kiện hàng 2 có 2 sản phẩm loại A, 4 sản
phẩm loại B. Từ mỗi kiện chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm đem giao cho khách hàng. Sau đó các
sản phẩm còn lại dược dồn chung vào kiện hàng 3 đang trống.
a) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3 thì xác suất để chọn được sản phẩm loại B là
bao nhiêu?

3
XSTK 9/2012


21.

22.

23.

24.

25.

26.

b) Nếu ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3, hãy tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm
loại B trong 2 sản phẩm được chọn?
Một nhà máy sản xuất mainboard của máy vi tính có tỉ lệ sản phẩm đạt chất lượng là 85%. Trước
khi xuất xưởng người ta dùng một dụng cụ để kiểm tra sản phẩm đó có đạt chất lượng hay
không? Thiết bị này có khả năng phát hiện đúng sản phẩm đạt tiêu chuẩn với xác suất 0,9 và phát

hiện đúng sản phẩm kém chất lượng là 0,95. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong nhà máy rồi
đem cho máy kiểm tra. Tính xác suất
Sản phẩm này không đạt tiêu chuẩn biết máy đã kết luận là đạt tiêu chuẩn?
a) Sản phẩm này được máy kết luận đúng với thực chất của nó?
b) Được máy kết luận là đạt tiêu chuẩn
Biết c)
tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B, AB trong cộng đồng tương ứng là: 34%; 37%; 21% và
8%. Người có nhóm máu O, A, B chỉ có thể nhận được nhóm máu cùng loại với mình hoặc của
người có nhóm máu O; còn người có nhóm máu AB có thể nhận máu từ bất kì người có nhóm
máu nào. Chọn ngẫu nhiên một người cho máu và một người nhận máu. Tính xác suất việc
truyền máu được thực hiện.
Cũng như bài 27, nhưng giả sử việc truyền máu đã được thực hiện. Tính xác suất
Người cho máu có nhóm máu A?
a) Người nhận máu có nhóm máu B?
Côngb)ty lớn A hợp đồng sản xuất bo mạch điện tử với 2 công ty B, C với tỷ lệ là 60% và 40%.
Công ty B lại mang sản phẩm hợp đồng với công ty A hợp đồng sản xuất với 2 công ty là D, E
với tỷ lệ 70% và 30%. Khi các bo mạch được hoàn thành từ các công ty C,D,E thì được chuyển
đến công ty A để gắn vào máy. Người ta nhận thấy có 1,5%; 1%; 3% bo mạch của các công ty
C,D,E gắn vào máy thì bị hư sau 90 ngày sử dụng. Tìm xác suất bo mạch của máy tính công ty A
bị hư sau 90 ngày sử dụng.
Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%. Mỗi sản phẩm
sản xuất ra được lần lượt qua 2 lần kiểm tra độc lập.
+ Lần 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90%, và nhận biết sai một phế phẩm
là 3%.
+ Lần 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95%, và nhận biết đúng một phế
phẩm là 98%.
Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu trong cả 2 lần kiểm tra được coi là chính phẩm.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để:
a) Sản phẩm được đưa ra thị trường?
b) Sản phẩm bị loại biết nó là chính phẩm?

c) Sản phẩm không qua được lần kiểm tra 1 biết nó nằm trong số các sản phẩm bị loại?
d) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của công ty ngoài thị trường. Tính xác suất sản phẩm
này là phế phẩm?
Một hộp có 8 viên bi gồm 2 màu đỏ và xanh. Tất cả các giả thiết về số bi xanh và đỏ trong 8 viên
bi này xem như đồng khả năng. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 viên bi từ hộp thì thấy có 3 bi
đỏ và một bi xanh. Tính xác suất khi lấy tiếp 3 viên bi nữa từ hộp thì có 1 đỏ và 2 xanh.

4
XSTK 9/2012


27.

28.

29.

Tỉ lệ mắc bệnh tim ở một vùng là 6%. Việc chẩn đoán một người có bị bệnh tim hay không được
bệnh viện thực hiện qua 2 xét nghiệm. Nếu xét nghiệm 1 kết luận có bệnh thì mới tiến hành tiếp
tục xét nghiệm 2. Khả năng chẩn đoán đúng của xét nghiệm 1 là 85% đối với người mắc bệnh và
chẩn đoán sai với người không có bệnh là 2%. Ở xét nghiệm 2, khả năng chẩn đoán đúng với
người có bệnh là 99% và chỉ có 1% người không có bệnh bị chẩn đoán là có bệnh. Một người
được bệnh viện kết luận là có bệnh nếu xét nghiệm 2 cho kết quả là có bệnh. Một người ngẫu
nhiên trong vùng đi kiểm tra như trên. Biết rằng người này đã bị bệnh viện kết luận là có bệnh.
Tính xác suất người này thực sự không có bệnh?
Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kì đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung
bình và rủi ro cao. Tỷ lệ dự án các loại đó tương ứng là: 20%; 45% và 35%. Kinh nghiệm cho
thấy tỷ lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là: 5%; 20%; 40%.
Tính tỷ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.
a) Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư, thì khả năng dự án đó thuộc loại rủi ro cao

b) là bao nhiêu.
Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: trong một phiên giao dịch xác suất
giá tăng lên một đơn vị là p và xác suất giảm một đơn vị là (1-p). Sự thay đổi giá của các phiên
giao dịch là độc lập nhau.
Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch thì giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị.
a) Giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị. Tính xác
b) suất giá tăng trong phiên giao dịch thứ 2.

BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1. Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương
ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong ngày. Tìm qui luật phân phối xác suất của X?
2. Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Biết tỉ lệ sản phẩm loại 1 của các máy lần lượt là
10%; 20%. Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại 1 trong 4 sản phẩm sản xuất ra.
b) Tìm số sản phẩm loại 1 tin chắc nhất, số sản phẩm loại 1 trung bình trong 4 sản phẩm sản
xuất ra.
3. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập nhau. Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị
hỏng tương ứng là 0,4; 0,3 và 0,2.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X?
b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?
c) Tìm xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ phận bị hỏng?
d) Tìm Mod(X) và Med(X)?
4. Xác suất một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn cho đến khi bắn
trúng bia. Tìm qui luật phân phối xác suất của số viên đạn bắn trượt?
5. Cho hai máy sản xuất, mỗi máy 2 sản phẩm. Biết tỉ lệ sản phẩm loại A của mỗi máy tương ứng
là 20%; 30%.
a) Lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm được sản xuất ra.

5
XSTK 9/2012

b) Tìm số sản phẩm loại A tin chắc nhất; số sản phẩm loại A trung bình có trong 4 sản phẩm;
phương sai của số sản phẩm loại A trong 4 sản phẩm.
6. Sản phẩm của một nhà máy khi sản xuất xong được đóng thành kiện 5 sản phẩm. Gọi X là số
sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm. X có bảng phân phối như sau:
X
2
3
4
P
0,3
0,5
0,2
a) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ một kiện ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Tìm phân phối xác
suất cho số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra.
b) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất ra lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm thì thấy
có một sản phẩm loại A. Tính xác suất để trong kiện này còn lại 2 sản phẩm loại A.
c) Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản phẩm thì thấy
có 1 sản phẩm loại A. Tìm phân phối xác suất cho số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm
còn lại của kiện.
7. Một hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong hộp, X có bảng phân phối xác suất như
sau:
X
0
1
2
P
0,7
0,2

0,1
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm. Tìm luật phân phối xác suất của số phế
phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.
8. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lô 2 có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm.
Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô 2 sau đó từ lô thứ 2 lấy ra 2 sản phẩm. Gọi X là số
chính phẩm được lấy ra.
a) Tìm qui luật phân phối của X?
b) Xác định hàm phân phối xác suất tích lũy của X?
9. Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng. Xác suất ném
trúng của từng người tương ứng là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném trước.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ của mỗi người?
b) Tìm qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của hai người?
10. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Chọn ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần). Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra. Tìm phân
phối xác suất của X. Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và P(X≥1)?
11. Tung đồng xu 4 lần. Nếu sấp thì được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng. Gọi X là số tiền thu được
sau 4 lần tung. Tính E(X); Var(X)?
12. Một hộp có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng tốt, 3 bóng hỏng. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại
từng bóng đem thử cho đến khi thu được 2 bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm luật phân
phối xác suất của X. Trung bình cần bao nhiêu lần thử?
13. Có hai hộp sản phẩm: H1 có 7 tốt và 3 xấu, H2 có 8 tốt và 2 xấu.
a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tìm xác suất để sai lệch giữa số
sản phẩm tốt được lấy ra và kỳ vọng của nó nhỏ hơn 1.
b) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. Lập
bảng phân phối xác suất của Y. Tính Mod(Y), E(Y), Var(Y).
14. Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng các sản phẩm trong hộp này. Mọi giả
thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3

6
XSTK 9/2012

sản phẩm thì thấy có 2 sản phẩm tốt. Theo bạn thì khả năng nhiều nhất có bao nhiêu sản phẩm
tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp?
15. XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A, B một cách
độc lập. Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như sau:
XA
4
6
8
10
12
P
0,05
0,1
0,3
0,4
0,15
XB
-4
2
8
10
12
16
P
0,1
0,2
0,2
0,25

0,15
0,1
a) Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?
b) Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?
c) Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:
a. Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?
b. Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?
16. Phí qua cầu đối với một xe nhỏ là 10 ngàn đồng; một xe lớn là 15 ngàn đồng. Theo thống kê có
khoảng 60% xe nhỏ qua cầu trong một giờ, còn lại là xe lớn. Nếu có 250 xe qua cầu trong một
giờ thì số tiền trung bình thu được là bao nhiêu?
17. Thống kê hàng năm cho biết tỉ lệ xe máy bị tai nạn giao thông là 0,0055 vụ/năm. Một công ty
bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 600 ngàn/năm và họ
chi trả trung bình cho một vụ tai nạn xe máy là 50 triệu đồng. Hỏi công ty kỳ vọng thu được bao
nhiêu tiền trên mỗi hợp đồng bảo hiểm. Biết rằng chi phí quản lý và các chi phí khác chiếm tới
30% số tiền bảo hiểm.
18. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:
X
-5
2
3
4
P
0,4
0,3
0,1
0,2
a) Tính E(X), V(X) và σX?
b) Tìm Mod(X)?
19. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân bố xác suất như sau:
X

x1
x2
P
p1
0,7
Tìm x1,x2 và p1 biết E(X)=2,7 và V(X)=0,21
20. Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như
sau(đơn vị : ngàn sản phẩm)

k( 30 − x)
f ( x) = 

0

x∈ ( 0,30)
x∉ ( 0,30)

a) Tìm k?
b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12 ngàn sản phẩm một năm?
c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó?
21. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân phối xác
suất như sau(đơn vị: phút)

7
XSTK 9/2012


0

F ( x) = ax3 − 3x2 + 2x

1


,x≤ 0
,0 < x ≤ 1
,x >1

a) Tìm hệ số a?
b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình?
c) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì cố không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút?
22. Giả thiết nền kinh tế phát triển theo 3 mức độ: trì trệ, tăng trưởng trung bình, tăng trưởng khá
với xác suất tương ứng là: 0,3; 0,5; 0,2.
Công ty có một lượng vốn M, đang khảo sát để quyết định xem nên chọn giải pháp nào trong 3
giải pháp kinh doanh: mua cổ phiếu, mua trái phiếu hay kinh doanh bất động sản.Nếu công ty A
mua cổ phiếu, khi nển kinh tế trì trệ thì giá cổ phiếu giảm công ty sẽ bị lỗ 100 triệu. Khi nền
kinh tế tăng trưởng bình thường thì lãi 70 triệu. Khi nền kinh tế tăng trưởng khá thì lãi 120 triệu.
Lỗ và lãi tương ứng khi mua trái phiếu là: lỗ 40 triệu, lãi 50 triệu, lãi 90 triệu. Nếu kinh doanh
bất động sản thì lỗ lãi tương ứng: lỗ 150 triệu, lãi 40 triệu, lãi 180 triệu.
Gọi X1, X2, X3 là số tiền thu được của công ty khi kinh doanh các loại hình tương ứng. Tính kỳ
vọng của 3 biến ngẫu nhiên này. Nếu coi giải pháp có lợi nhuận trung bình là giải pháp tối ưu thì
nên chọn giải pháp nào trong 3 giải pháp trên.
23. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:
3

kx
f ( x) = 

0

, x∈ [0,1]

, x∉ [0,1]

Tìm k, E(X), Var(X), Mod(X) ?
a) Tính
P ( X − E ( X ) < 0,5 )
b)

BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1. Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng. Nếu chào hàng 12 lần và gọi
X là số lần bán được hàng thì X tuân theo qui luật gì? Tại sao?
2. Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm của nhà máy là 5%. Lấy ngẫu nhiên lần lượt, có hoàn lại
100 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản phẩm
a) X có luật phân phối gì?
b) E(X), Mod(X)?
3. Một gia đình có 5 con. Biết xác suất sinh con trai là 0,51.Tìm xác suất sao cho gia đình đó có
a) 2 con trai.
b) Không quá 2 con trai
4. Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm
theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.

8
XSTK 9/2012


a) X tuân theo qui luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của qui luật?
b) Tìm E(X), V(X)?
c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó?
5. Xác suất để mỗi khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất
trong 855 hành khách.
6. Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho rằng việc nghỉ làm 2 ngày một tuần lễ sẽ nâng cao

hiệu quả công tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức để phỏng vấn thì xác suất có ít nhất 10
người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu?
7. Một cuốn sách có 500 trang, mỗi trang có hơn 300 chữ. Biết cuốn sách đó có 300 chữ in sai. Mở
ngẫu nhiên 1 trang. Tìm xác suất để trang đó có 3 chữ in sai.
8. Trong 1 đợt xổ số, người ta phát hành 100.000 vé, trong đó có 10.000 vé trúng giải. Nếu 1 người
mua 10 vé thì xác suất trúng ít nhất 1 vé là bao nhiêu?
9. Một nhà máy có 3 phân xưởng, mỗi phân xưởng có 100 máy. Xác suất trong một ca sản xuất
mỗi máy bị hỏng là như nhau và bằng 2,5%.
a) Tìm luật phân phối cho số máy bị hỏng trong một ca sản xuất của mỗi xưởng.
b) Trung bình trong một ca sản xuất toàn nhà máy có bao nhiêu máy bị hỏng.
c) Nếu mỗi nhân viên bảo trì có thể sửa tối đa 2 máy trong một ca sản xuất thì nhà máy cần bố
trí bao nhiêu nhân viên bảo trì cho hợp lý nhất.
10. Một trạm cho thuê xe du lịch có 3 chiếc xe. Hàng ngày, trạm phải nộp tiền trả góp 500.000đ cho
1 chiếc xe (bất kể xe đó có được thuê hay không). Mỗi chiếc được cho thuê với giá 1.500.000
đ /ngày. Giả sử số xe được yêu cầu cho thuê của trạm trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có
phân phối nhị thức B(3 ; 0,8).
a) Tính số tiền trung bình trạm thu được trong 1 ngày.
b) Giả sử xác suất mỗi xe được thuê đều là 0,8 và các xe độc lập nhau. Theo bạn, trạm nên có
3 hay 4 chiếc xe?
11. Xác suất để gặp 1 laptop bị lỗi là 0,005. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1000 laptop ta
gặp:
a) Đúng 2 máy bị lỗi.
b) Ít nhất 2 máy bị lỗi.
c) Có ít nhất 1 máy bị lỗi.

9
XSTK 9/2012


12. Trong một đợt thi nâng bậc thợ của ngành dệt, mỗi công nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong

2 máy và với máy đã chọn dệt 100 sản phẩm. Nếu trong 100 sản phẩm sản xuất ra có từ 75 sản
phẩm loại 1 trở lên thì được nâng bậc. Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sản xuất được
sản phẩm loại 1 đối với 2 máy lần lượt là 0,7 và 0,8. Tính xác suất để công nhân được nâng bậc
thợ.
13. Một xe vận tải chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là
0,004. Tìm xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai bị vỡ?
14. Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại. Xác suất để trong mỗi phút mỗi máy gọi đến
tổng đài là 0,02. Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút?
15. Trung bình cứ 40s có 2 ô tô đi qua trạm thu phí. Tính xác suất
a) Có từ 3 đến 4 ô tô đi qua trạm trong khoảng thời gian 2 phút.
b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian t có ít nhất một ô tô đi qua.
16. Số khách hàng vào một cửa hàng bách hoá trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật
Poisson với mật độ là 8 khách trong 1 giờ. Tìm xác suất để trong 1 giờ nào đó có hơn 4 khách
vào?
17. Ở trạm bơm xăng bình quân mỗi giờ có 12 xe máy đến bơm. Tìm xác suất để trong 1 giờ nào đó
có :
a) Hơn 8 xe đến bơm?
b) Hơn 15 xe đến bơm?
c) Dưới 10 xe đếm bơm?
18. Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Người ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng đó và nếu có
không quá 2 phế phẩm thì lô hàng được chấp nhận. Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận?
19. Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con nhiễm khuẩn có hại cho người. Tìm xác suất để
trong một lô cá gồm 1800 con mới đánh bắt về có không quá 2 con bị nhiễm khuẩn?
20. Nhà máy có rất nhiều sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 25%. Kiểm tra ngẫu nhiên
400 sản phẩm. Tính xác suất để có 90 phế phẩm.
21. Biến ngẫu nhiên X tuân theo qui luật chuẩn với μ=10 và σ=2. Tìm xác suất để X nhận giá trị
trong khoảng (8,12)?
22. Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật
chuẩn với μ=100 gam và σ=1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó
đạt từ 98 đến 102 gam.

10
XSTK 9/2012


a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của nhà máy?
b) Tìm tỉ lệ phế phẩm của nhà máy?
23. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở 1 vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với
μ=160 cm và σ=6 cm. Một thanh niên bị coi là thấp nếu chiều cao bé hơn 157 cm.
a) Tìm tỉ lệ thanh niên thấp vùng đó?
b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 10 người thì có ít nhất 1 anh thấp? Có không quá 2 anh cao
hơn 157cm.
24. Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với μ=50 tạ/ha và σ=3,6 tạ/ha.
Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng suất sai
lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha?
25. Tiến hành kiểm tra chất lượng 900 chi tiết. Xác suất được chi tiết đạt tiêu chuẩn là 0,9. Hãy tìm
với xác suất 0,9544 xem số sản phẩm đạt tiêu chuẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số chi
tiết đạt trung bình?
26. Một loại sản phẩm được gia công chiều dài và chiều rộng độc lập nhau. Chiều dài X và chiều
rộng Y của sản phẩm là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với E(X)=8cm, E(Y)=4cm ,
V(X)=0,3 cm2; V(Y)=0,2 cm2. Chi tiết được coi là đạt tiêu chuẩn khhi chiều dài sai lệch với kích
thước trung bình không quá 0,9cm và chiều rộng sai lệch so với kích thước trung bình không
quá 0,4cm.
a) Lấy ngẫu nhiên một chi tiết. Tính xác suất để chi tiết ấy đạt tiêu chuẩn.
b) Gia công 3 chi tiết, gọi Z là số chi tiết đạt tiêu chuẩn. Tìm E(Z), V(Z)? Tính xác suất có ít
nhất một chi tiết đạt tiêu chuẩn trong 3 chi tiết trên?
c) Lấy ngẫu nhiên một chi tiết thì thấy nó không đạt tiêu chuẩn. Tính xác suất này không đạt
tiêu chuẩn do gia công sai chiều dài.
27. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với μ=11 năm và σ=2 năm.
a) Nếu qui định thời gian bảo hành là 10 năm thì tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là bao nhiêu?

b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định thời gian bản hành là bao
nhiêu?
28. Tuổi thọ một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có luật phân phối chuẩn với trung bình 1000 giờ
và độ lệch chuẩn 10 giờ.
a) Nếu thời gian bảo hành là 980 giờ. Hãy tính tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành?

11
XSTK 9/2012


b) Khi bán một sản phẩm thì tiền lãi thu được là 50.000 đồng, nhưng nếu trong thời gian bảo
hành ( 980 giờ) sản phẩm bị hỏng thì chi phí bảo hành trung bình là 500.000 đồng. Hỏi tiền
lãi trung bình đối với mỗi sản phẩm bán ra là bao nhiêu?
c) Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm bảo hành là 10% thì phải qui định thời gian bảo hành là bao lâu?
d) Nếu tiền lãi trung bình đối với mỗi sản phẩm bán ra là 45.000 đồng, tiền lời khi bán một sản
phẩm là 50.000 đồng và chi phí cho một sản phẩm bảo hành là 500.000đồng thì tỉ lệ sản
phẩm bảo hành là?

12
XSTK 9/2012