ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ

SỞ GD & ĐT …………………
TRƯỜNG THPT ………………..
----------

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA
MÔN: VẬT LÝ

ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ

Người viết: ……………….
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: THPT ……………..

Năm học …………….
1


ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SÓNG CƠ
- Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Học sinh lớp 12
- Số tiết dự kiến: 04 tiết.
PHẦN A. MỞ ĐẦU
I) Lý do chọn đề tài
Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ môn vật
lí đã chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng kiến thức trong mỗi
bài thi rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi
các em thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi
hỏi phải chính xác.
Trong đề thi THPT Quốc Gia, luôn có những câu hỏi thuộc chương sóng cơ
yêu cầu học sinh tính toán phức tạp, nếu giải bằng phương pháp truyền thống thì mất

nhiều thời gian. Do đó, việc xây dựng phương pháp mới để giải nhanh bài toán sóng
cơ là rất cần thiết cho học sinh, giúp các em có thể đạt điểm cao trong kì thi THPT
Quốc Gia.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy việc sử dụng đường tròn lượng giác để
giải một số bài toán sóng cơ giúp học sinh tiếp thu nhanh hơn và dễ hiểu hơn, việc giải
bài toán mất ít thời gian hơn. Xuất phát từ đó, tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Ứng
dụng đường tròn lượng giác để giải một số bài toán sóng cơ” nhằm trao đổi với quý
đồng nghiệp và cung cấp một hệ thống bài tập chương sóng cơ đến học sinh đang ôn
thi THPT Quốc Gia.
II. Mục đích của đề tài
Ứng dụng đường tròn lượng giác để giải một số bài toán sóng cơ. Giúp HS vận
dụng tốt và giải nhanh nhiều bài tập trắc nghiệm liên quan trong ôn thi THPTQG.
III. Đối tượng và phạm vi áp dụng
1) Đối tượng sử dụng đề tài:
- Giáo viên dạy môn Vật lý lớp 12 tham khảo để hướng dẫn học sinh giải bài tập.
- Học sinh học lớp 12 luyện tập để kiểm tra, thi môn Vật Lý.
2) Phạm vi áp dụng:
- Chương sóng cơ của chương trình Vật Lý 12 – Ban Cơ bản.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm

PHẦN B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT

2


Một phương trình sóng cơ học được biểu diễn theo hàm sin hoặc cosin theo thời
gian là một phương trình dao động điều hòa. Vì vậy, các tính chất của sóng cơ học

cũng tương tự như một vật dao động điều hòa. Vì vậy, cơ sở cho việc sử dụng đường
tròn lượng giác để giải các bài toán sóng cơ vẫn tương tự như giải bài toán dao động
điều hòa bằng đường tròn lượng giác.
- Một vật dao động điều hòa dạng x =Acos(ωt+φ) (cm) được
B
biểu diễn bằng một véctơ quay trên đường tròn lượng giác
M
như sau:
φ
x
+ Vẽ một vòng tròn có bán kính bằng biên độ A
C
PA
O
+ Vẽ trục Oxuunằm
ngang
có
tâm
đường
tròn
gốc
O
uu
r
+ Vẽ véctơ OM có độ lớn bằng biên độ A và hợp với trục Ox
góc  là pha ban đầu.
Quy ước:

D

- Chiều quay véctơ là chiều ngược chiều kim đồng hồ
- Khi vật chuyển động phía trên trục Ox thì đó là chiều âm
- Khi vật chuyển động phía dưới trục Ox thì đó là chiều dương
- Tâm đường tròn là vị trí cân bằng của vật
Trên vòng tròn lượng giác có bốn điểm đặc biệt:
+ A: Vị trí biên dương xmax = + A và có góc   0 rad
+ B: vị trí cân bằng theo chiều âm và có  
+ C: vị trí biên âm và có    rad


rad
2

+ D: vị trí cân bằng theo chiều dương và có  


rad
2

* Một số tính chất của đường tròn lượng giác:
+ Tốc độ quay của chất điểm M trên đường tròn bằng

+ Thời gian để chất điểm M quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T
+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong quá trình vật chuyển
động tròn đều:  = .t
 A
Mở rộng:
M
v
Trong dao động điều hòa, các phương trình li độ,

vận tốc, gia tốc như sau:
O t  
x

x  Acos  t   

a

v   A sin  t   
a   2 Acos  t   

-A

A

 2 A

 A
2

A

Như vậy, các giá trị x, v, a lần lượt là hình chiếu
của chất điểm M chuyển động tròn đều lên các trục
v
Ox, Ov, Oa như hình vẽ:
Lưu ý:
2
- Do v   A sin  t    nên trục Ov hướng xuống. - Do a   Acos  t   
nên trục Oa hướng ngược với trục Ox

3


- Như vậy, có thể dùng một hệ trục tọa độ là có thể biết cả ba đại lượng x, v, a bằng
cách hạ hình chiếu của M xuống các trục tương ứng.
II. CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG SÓNG CƠ HỌC – VẬT LÍ 12
CHỦ ĐỂ 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SÓNG CƠ HỌC
Dạng 1: Tìm biên độ, li độ của sóng.
A. Phương pháp giải
- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng.
- Xác định vị trí nguồn sóng O ban đầu và ở thời điểm t trên vòng tròn lượng giác
- Biến đối t  n.

T
T
 t ' với t ' 
2
2

- Xác định độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng:  
- Phân tích   n1.2  n2   '
- Sử dụng các tính chất hàm lượng giác để tìm biên độ hoặc li độ.

2 d


B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Một sóng cơ lan truyền từ nguồn O dọc theo một đường thẳng với biên độ

không đổi, ở thời điểm t = 0, điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Ở thời
điểm t bằng

1
1
chu kì, tại một điểm M cách O một khoảng bằng bước sóng có li độ
2
4

bằng 5cm. Biên độ của sóng là:
A. 5 cm
B. 5 2 cm

C. 5 3 cm

Hướng dẫn giải
- Tại thời điểm t = 0, nguồn O có vị trí như hình vẽ.
- Tại thời điểm t 

D. 10cm
T
O’ (t  )
2


2

T
, nguồn O tại vị trí O’.
2


2

d
- Độ lệch pha giữa M và O là:  
4 



2

u

2

Vậy, điểm M ở vị trí biên dương � xM  A  5 cm � chọn đáp án A

M

(t  0)O

Nhận xét: với bài toán dạng này, ta cũng có thể giải theo cách khác là viết phương
trình sóng tại M , sau đó dựa vào điều kiện ban đầu để tìm kết quả.
Bài 2 ( Đề thi tốt nghiệp – năm 2013): Cho một sợi dây đàn hồi, thẳng dài. Đầu O
của sợi dây dao động với phương trình u  4cos 20 t cm . Tốc độ truyền sóng trên
dây là 0,8m/s. Li độ của điểm M trên dây cách O 20cm theo phương truyền sóng tại
thời điểm 0,35s là:
A. 2 2 cm
B. 2 2 cm

C. 4cm
D. 4cm

4


Hướng dẫn giải
- Từ phương trình sóng u  4 cos 20 t cm , ở thời điểm t = 0 nguồn O ở biên dương.

2
2

 0,1 s
 20
- Bước sóng:   v.T  80.0,1  8cm
- Chu kì sóng: T 

O

O’

2 d 2 .20

 5
- Độ lệch pha giữa M và O là:  

8

M

u

- Ở thời điểm 0,35s thì số chu kì sóng truyền đi được:

t 0,35
T

 3,5 � t  3,5T  3T 
T
0,1
2
Vậy , lúc này nguồn O đang ở biên âm (vị trí O’) nên điểm M sẽ ở biên dương.
Hay xM  A  4 cm . Vậy chọn đáp án C.
Bài 3 (Đề thi ĐH – năm 2012): Hai điểm M, N cùng nằm trên một hướng truyền sóng
và cách nhau một phần ba bước sóng. Biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền.
Tại một thời điểm, khi li độ dao động của phần tử tại M là 3 cm thì li độ dao động của
phần tử tại N là -3 cm. Biên độ sóng bằng
A. 6 cm.
B. 3 cm.
C. 2 3 cm.
D. 3 2 cm.
Hướng dẫn giải
- Độ lệch pha giữa M và N là:   2 d 



3  2

3

2 .

-3

- Vậy M, N có vị trí như hình vẽ.
- Từ vòng tròn lượng giác, ta suy ra: A
Vậy chọn đáp án C.

3
 3 � A  2 3 cm
2

3

u
M

N

Bài 4 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2- 2013): Một nguồn sóng cơ truyền dọc theo
đường thẳng, nguồn dao động với phương trình u N  a cos t cm . Một điểm M trên
phương truyền sóng cách nguồn một khoảng x 


T
, tại thời điểm t  có li độ
3
2

uM  2 cm . Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi, biên độ sóng là:

A. 2cm
B. 2 2 cm
C. 2 3 cm
D. 4cm
Hướng dẫn giải
- Từ phương trình sóng u N  a cos t cm � tại thời điểm
t = 0 nguồn ở biên dương.

2 .
2

d
- Độ lệch pha giữa M và N là:  
3  2 �



3
M ở vị trí M1.
- Tại thời điểm t 

T
�ON  600
� M ở vị trí M2 � M
2
2
5

M2
N

2
M1

u


- Từ vòng tròn lượng giác, ta suy ra:

A
 2 � A  4cm Vậy chọn đáp án D.
2

Bài 5 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1- năm 2013): Một sóng cơ lan truyền trên
một sợi dây với chu kì T, biên độ A. Ở thời điểm t 1, li độ của các phần tử tại A và C
tương ứng là -4,8mm và +4,8mm; phần tử B tại trung điểm AC đang ở vị trí cân bằng.
Ở thời điểm t2, li độ của các phần tử tại A và C là +5,5mm thì phần tử B cách vị trí cân
bằng là:
A. 10,3mm
B. 11,1mm
C. 5,15mm
D. 7,3mm
Hướng dẫn giải

- Tại thời điểm t1 các vị trí A, B, C như hình 1, vậy khoảng cách AC= 4,8.2=9,6 mm
- Tại thời điểm t2 các vị trí A, B, C như hình 2.
- Do A và C có cùng li độ 5,5 mm nên OH = 5,5 mm
Ta có H là trung điểm AC nên AH= 0,5.AC= 4,8mm
Vậy x B  OB  a  OH 2  AH 2  5,52  4,82  7,3mm . Chọn đáp án D
Bài 6: Một sóng cơ được truyền theo phương Ox với vận tốc v=20cm/s. Giả sử khi
 

truyền đi, biên độ không đổi. Tại O dao động có dạng uo=4.cos( t - ) (cm). Tại thời
6

2

điểm t1 li độ của điểm O là u=2 3 cm và đang giảm. Li độ tại điểm O tại thời điểm t2
= t1 + 3s và li độ của điểm M cách O một đoạn d =40 cm ở thời điểm t1là:
A. -2cm; 2 3cm
B. 2cm; 2 3cm
D. 2 3cm ; 2cm

C. 2 3cm ; -2cm

O(t1+3)

Hướng dẫn giải

v

20

- Bước sóng:   f  1

O(t1)

 240cm

600

12

2

4 u

-2

- Độ lệch pha giữa M và O là:

M (t1)

2 d 2 .40 
 



240
3

- Góc mà O quay được từ thời điểm t 1 đến thời điểm t2 =t1+3s là:   .t 



.3 
6
2

� Vị trị của M và O ở hai thời điểm được biểu diễn như hình vẽ. Vậy u O(t1+3)=-2;
uM(t1)= 2 3 cm � chọn đáp án A
6

Bài 7 (Đề thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội – lần 6 – 2013): Trên một sợi dây đàn hồi
đang có sóng truyền. Xét hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước sóng. Tại thời
điểm t, phần tử sợi dây tại A có li độ 0,5mm và đang giảm; phần tử sợi dây tại B có li
độ 0,866mm và đang tăng. Coi biên độ sóng không đổi. Biên độ và chiều truyền sóng
này là:
A. 1,2mm và từ A đến B
B. 1,2mm và từ B đến A
C. 1mm và từ A đến B
D. 1mm và từ B đến A

Hướng dẫn giải
- Độ lệch pha giữa A và B là:

2 d
 




4 

2

2 .

� A,

1

3
u  u  A � A  ( ) 2  ( ) 2  1mm .
2
2

Nên

2
A

2
B

A

B vuông pha.

2

Từ

0,5

3 2u
B

hình vẽ ta thấy A sớm pha hơn B nên sóng truyền từ A đến
B � chọn đáp án C.

Bài 8 (Trích đề thi thử chuyên ĐHSP Hà Nội – lần 4 năm 2013): Một sóng hình sin

có biên độ A truyền theo phương Ox từ nguồn O với chu kì T, bước sóng  . Gọi M, N
là hai điểm trên Ox, ở cùng một phía so với O sao cho OM – ON = 5  /3. Các phần tử
môi trường tại M, N đang dao động. Tại thời điểm t 1, phần tử môi trường tại M có li độ
dao động bằng 0,5A và đang tăng. Tại thời điểm t 2 = t1 + 1,75T phần tử môi trường tại
N có li độ dao động bằng:
A. 

3
A
2

B.

1
A
2

C.

3
A
2

Hướng dẫn giải

D. 0
N
(t2)

5

- Vì OM  ON 
nên N sớm pha hơn M.
3
- Độ lệch pha giữa M và N là:

 

2 d
OM  ON 10

 2

 2   


3
3

- Ở thời điểm t1 xM 

N
(t1)
M
(t1)

A
và v >0 nên M có vị trí như hình và N đang ở biên âm.
2

- Ở thời điểm t2, góc mà N quay được là:

2
2


(t2  t1 ) 
.1, 75T  3,5  2    � N đang ở vị trí cân bằng theo chiều
T

T

2

âm � xN  0 . Vậy chọn đáp án D.
C. Bài tập vận dụng:

7


Bài 1: Một sóng cơ được phát ra từ nguồn O và truyền dọc theo trục Ox với biên độ
sóng không đổi khi đi qua hai điểm M và N cách nhau MN = 0,25 ( là bước sóng).
Vào thời điểm t1 người ta thấy li độ dao động của điểm M và N lần lượt là u M = 4cm và
uN = 4 cm. Biên độ của sóng có giá trị là
A. 4 3cm .
B. 3 3cm .
C. 4 2cm .
D. 4cm.
Bài 2: Một nguồn O dao động với tần số f = 50Hz tạo ra sóng trên mặt nước có biên
độ 3cm(coi như không đổi khi sóng truyền đi). Biết khoảng cách giữa 7 gợn lồi liên
tiếp là 9cm. Điểm M nằm trên mặt nước cách nguồn O đoạn bằng 5cm. Chọn t = 0 là
lúc phần tử nước tại O đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t 1 li độ

dao động tại M bằng 2cm. Li độ dao động tại M vào thời điểm t 2 = (t1 + 2,01)s bằng
bao nhiêu ?
A. 2cm.
B. -2cm.
C. 0cm.
D. -1,5cm.
Bài 3: Sóng lan truyền từ nguồn O dọc theo 1 đường thẳng với biên độ không đổi. Ở
thời điểm t = 0 , điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều (+). Ở thời điểm bằng 1/2
chu kì một điểm cách nguồn 1 khoảng bằng 1/4 bước sóng có li độ 5cm. Biên độ của
sóng là
A. 10cm
B. 5 3 cm
C. 5 2 cm
D. 5cm
Bài 4: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo 1 đường thẳng có phương truyền sóng tại
2

nguồn O là : uo = Acos(
t + ) (cm). Ở thời điểm t = 1/2 chu kì một điểm M cách
T

2

nguồn bằng 1/3 bước sóng có độ dịch chuyển uM = 2(cm). Biên độ sóng A là
A. 4cm.
B. 2 cm.
C. 4/ 3 cm.
D. 2 3 cm
Bài 5: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc v =
50cm/s. Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là : u0 = acos(

2
t) cm. Ở thời điểm t = 1/6 chu kì một điểm M cách O khoảng /3 có độ dịch
T

chuyển uM = 2 cm. Biên độ sóng a là:
A. 2 cm.
B. 4 cm.
C. 4/ 3 cm
D. 2 3 cm.
Bài 6: Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng
có biên độ A, chu kì T. Tại thời điểm t 1 = 0, có uM = +3cm và uN = -3cm. Ở thời điểm t2
liền sau đó có uM = +A, biết sóng truyền từ N đến M. Biên độ sóng A và thời điểm t2 là
A. 2 3cm và

11T
11T
B. 3 2cm và
12
12

C. 2 3cm và

22T
12

D. 3 2cm và

22T
12

Bài 7: Một sóng ngang tần số 100 Hz truyền trên một sợi dây nằm ngang với vận tốc
60 m/s. M và N là hai điểm trên dây cách nhau 0,15 m và sóng truyền theo chiều từ M
đến N. Chọn trục biểu diễn li độ cho các điểm có chiều dương hướng lên trên. Tại một
thời điểm nào đó M có li độ âm và đang chuyển động đi xuống. Tại thời điểm đó N sẽ
có li độ và chiều chuyển động tượng ứng là
A. Âm; đi xuống. B. Âm; đi lên. C. Dương; đi xuống. D. Dương; đi lên.
Bài 8: Một sóng cơ lan truyền trên sợi dây với chu kì T, biên độ A. Ở thời điểm t0, li
độ các phần tử tại B và C tượng ứng là -24 mm và +24 mm; các phần tử tại trung điểm
D của BC đang ở vị trí cân bằng. Ở thời điểm t 1, li độ các phần tử tại B và C cùng là
+10 mm thì phần tử ở D cách vị trí cân bằng của nó
A. 26 mm
B. 28 mm
C. 34 mm
D. 17 mm

8


Bài 9: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc v =
50cm/s. Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là : u0 = acos(
2
t) cm. Ở thời điểm t = 1/6 chu kì một điểm M cách O khoảng /3 có độ dịch
T

chuyển uM = 2 cm. Biên độ sóng a là:
A. 2 cm.
B. 4 cm.
C. 4/ 3 cm
D. 2 3 cm.
Bài 10: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng với biên độ sóng không

đổi có phương trình sóng tại nguồn O là: u = A.cos(  t -  /2) cm. Một điểm M cách
nguồn O bằng 1/6 bước sóng, ở thời điểm t = 0,5  /  có ly độ 3 cm. Biên độ sóng A
là:
A. 2 (cm)
B. 2 3 (cm) C. 4 (cm)
D. 3 (cm)
Dạng 2: Tìm tốc độ truyền sóng hoặc tốc độ dao động của một điểm trên phương
truyền sóng
A. Phương pháp giải
- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng.
- Xác định độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng:  

2 d


- Phân tích   n1.2  n2   '
- Dựa vào chiều truyền sóng để xác định vị trí tại thời điểm t1
- Xác định góc quét trong thời gian t  t2  t1 :   t    t2  t1 

- Phân tích góc quét thành   n3 .2  n4   ''
- Xác định vị trí tại thời điểm t2 trên đường tròn lượng giác
- Chiếu xuống trục Ou hoặc Ou’ để tìm li độ u hoặc vận tốc v.
Chú ý: Nếu xác định vận tốc ở thời điểm trước đó thì ta quay cùng chiều kim đồng hồ,
còn nếu xác định vận tốc ở thời điểm sau thì ta quay ngược chiều kim đồng hồ.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s. Phương trình
sóng tại nguồn là u = 3cost(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O một
khoảng 25cm tại thời điểm t = 2,5s là:
A. 25cm/s.
B. 3cm/s.

C. 0.
D. -3cm/s.
Hướng dẫn giải

v 25

 50cm
f 0,5
2 d 2 .25


- Độ lệch pha giữa M và O:  

50
- Bước sóng:  

- Góc mà M quay được sau 2,5s là:

  .t   .2,5  2,5  2 
theo chiều dương.


� M ở vị trí cân bằng
2
9

O

M
M

(t=2,5s)


Vậy vM  . A  3.  3 cm / s . Vậy chọn đáp án B.
Bài 2: Một sóng cơ có bước sóng  , tần số f và biên độ a không đổi, lan truyền trên
một đường thẳng từ điểm M đến điểm N cách M 19  /12. Tại một thời điểm nào đó,
tốc độ dao động của M bằng 2fa và theo chiều âm, lúc đó tốc độ dao động của điểm
N bằng:
A.

B. fa

2fa

C. 0

3fa

D.

Hướng dẫn giải

M

Độ lệch pha giữa M và N:

19
2 d
12  38  3    2    
 




12
6
6
�
- Tốc độ của M bằng 2fa
M đang ở vị trí cân bằng �
2 .



O

u

M và N có vị trí như hình vẽ.
- Chiếu N lên trục Ou’:

vN 

3
3
vMax 
.2 fa  3 fa � chọn đáp án D
2
2

N

u/

Bài 3 (Đề thi ĐH – Năm 2013): Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo
chiều dương của trục Ox. Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại thời điểm t1 (đường
nét đứt) và t2 = t1 + 0,3 (s) (đường liền nét). Tại thời điểm t2, vận tốc của điểm N trên
đây là :
A. 65,4 cm/s. B. - 65,4 cm/s
C. -39,3 cm/s. D. 39,3 cm/s.

Hướng dẫn giải

N
(t1)

- Từ hình vẽ ta thấy: λ = 40cm. và ON = 35cm
- Độ lệch pha của O và N:  

2 d 7


4

�N

và O có

vị trí như hình.
- Ở thời điểm t2 thì N đang ở vị trí cân bằng theo chiều
dương � vN  vMax  . A

O
(t1)
3
4
N
(t2)

O7

4

�3 �
�
� chọn đáp án D.
 �
Với
4 �
�


 2,5 � vN  2,5 .5  39,3cm / s
t
0,3

10

u

Bài 4 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 3 năm 2013: Một sóng hình sin lan truyền
theo phương Ox với biên độ không đổi A = 4 mm. Hai điểm gần nhau nhất trên cùng
phương truyền sóng mà có cùng độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2 mm, nhưng có vận
tốc ngược hướng nhau thì cách nhau 4 cm. Tỉ số giữa tốc độ dao động cực đại của một
phần tử với tốc độ truyền sóng là
A.


20

B.


60

C.


30

D.

Hướng dẫn giải


15

M1

- Hai điểm có độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2mm và có vận

tốc ngược nhau. Vậy độ lệch pha là:  

2
3

u
-4

2

� có vị trí M1 và M2 như hĩnh vẽ.
2 d 2


� d   4 �   12cm
- Ta có:  

3
3

4

M2

vMax  A 2 A 



Vậy tỉ số vận tốc cần tìm là: v



15 � chọn đáp án D.
T
Bài 5 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 4 năm 2013: Một sóng cơ lan truyền trên
một sợi dây dài. Ở thời điểm t0, tốc độ của các phần tử tại B và C đều bằng vo, phần tử
tại trung điểm D của BC đang ở vị trí biên. Ở thời điểm t 1 vận tốc của các phần tử tại B
và C có giá trị đều bằng vo thì phần tử ở D lúc đó đang có tốc độ bằng
A. 2 vo
B. 2vo
C. vo
D. 0.
Hướng dẫn giải
- Do B và C cùng tốc độ nên chúng phải có cùng li độ (hoặc
li độ đối xứng nhau). D là trung điểm BC và ban đầu D ở
biên.
- Sau một thời gian B, C lại cùng tốc độ v 0 � B, C đối xứng
nhau qua biên và vuông pha với nhau.
- Từ hình vẽ, ta thấy D ở vị trí cân bằng nên có vận tốc cực đại.
Ta có: vB  v0   A2  x02   A2 

D

- x0

B �C
x0

D

C

2

A
A

�  A  2v0 � chọn đáp án A.
2
2

Bài 6: Cho sóng cơ ổn định, truyền trên một sợi dây rất dài từ một đầu dây. Tốc độ
truyền sóng trên dây là 2,4 m/s, tần số sóng là 20 Hz, biên độ sóng là 4 mm. Hai điểm
M và N trên dây cách nhau 37 cm. Sóng truyền từ M tới N. Tại thời điểm t, sóng tại M
có li độ –2 mm và đang đi về vị trí cân bằng, Vận tốc sóng tại N ở thời điểm (t 0 = t 1,1125)s là
A. - 8π 3 cm/s.
B. 80π 3 mm/s
C. 8 cm/s D. 16π cm/s

11


Hướng dẫn giải
- Bước sóng:  

v 240

 12cm
f
20

N(t0)

- Độ lệch pha giữa M và N:

 

2 d 2 .37 74



 6 

12
12
6

O


 



u

� ở thời điểm t M, N có vị trí như hình vẽ.
N(t)
T
Ta có: t  1,1125s  22T 
M (t)

4
T
A
� lùi N theo chiều kim đồng hồ
� N có li độ u N   và đang đi xuống
4
2
A 3
40 .4 3
� vN  

 80 3mm / s
2
2
� chọn đáp án A.
Bài 7: Sóng truyền theo phương ngang trên một sợi dây dài với tần số 10Hz. Điểm M
trên dây tại một thời điểm đang ở vị trí cao nhất và tại thời điểm đó điểm N cách M
5cm đang đi qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ và đi lên. Coi biên độ sóng không đổi
khi truyền. Biết khoảng cách MN nhỏ hơn bước sóng của sóng trên dây. Chọn đáp án
đúng cho tốc độ truyền sóng và chiều truyền sóng.
A. 60cm/s, truyền từ N đến M
B. 3m/s, truyền từ N đến M
C. 60cm/s, từ M đến N
M
 .N


D. 30cm/s, từ M đến N
Hướng dẫn giải

N

5
3

- Điểm M ở vị trí cao nhất tức là ở biên dương.
- Điểm N qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ nên M,N có vị
trí như hĩnh vẽ.
* Vậy bài toán có hai trường hợp xảy ra như sau:
Trường hợp 1: sóng truyền từ M đến N nghĩa là M sớm pha hơn N.

O


3



N

2 d 2 .5 

 �   30cm


3
+ Vận tốc truyền sóng: v  . f  30.10  300cm / s  3m / s
+ Độ lệch pha giữa M và N:  

Trường hợp 2: sóng truyền từ N đến M nghĩa là N sớm pha hơn M.

2 d 2 .5 5


�   6cm


3
+ Vận tốc truyền sóng: v   . f  6.10  60cm / s .Vậy chọn đáp án A.
+ Độ lệch pha giữa M và N:  

Bài 8 ( ĐH 2014): Một sóng cơ truyền dọc theo một sợi dây đàn hồi rất dài với biên
độ 6 mm. Tại một thời điểm, hai phần tử trên dây cùng lệch khỏi vị trí cân bằng 3 mm,
chuyển động ngược chiều và cách nhau một khoảng ngắn nhất là 8 cm (tính theo

12

u


phương truyền sóng). Gọi  là tỉ số của tốc độ dao động cực đại của một phần tử trên
dây với tốc độ truyền sóng.  gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 0,105.
B. 0,179.
C. 0,079.
D. 0,314.

u

Hướng dẫn giải

2
Độ lệch pha của 2 phần tử trên dây là
3
2d 2
 

�   3d  3.8  24 cm.

3
v
2fA 2A 2.3,14.6


�0,157 .
Tỉ số:   max 
v
f

240

M

2
3

6
3

N
y

O

Vậy, giá trị gần nhất là 0,179.

-6
C. Bài tập vận dụng:
Bài 1:

Một sóng cơ ngang truyền trên một sợi dây rất dài có phương trình
u 6 cos 4t  0,02x  ; trong đó u và x có đơn vị là cm, t có đơn vị là giây. Hãy xác
định vận tốc dao động của một điểm trên dây có toạ độ x = 25 cm tại thời điểm t = 4 s.
A.24  (cm/s)
B.14  (cm/s)
C.12  (cm/s)
D.44  (cm/s)
Bài 2: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s. Phương trình
sóng tại nguồn là u = 3cost(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O một
khoảng 25cm tại thời điểm t = 2,5s là:
A. 25cm/s.
B. 3cm/s.
C. 0.
D. -3cm/s.
Bài 3: Một sóng ngang có biểu thức truyền sóng trên phương x là :
u  3cos(100 t  x)cm , trong đó x tính bằng mét (m), t tính bằng giây (s). Tỉ số giữa tốc
độ truyền sóng và tốc độ cực đại của phần tử vật chất môi trường là :
1
A. 3
B.  3  .
C .3-1.

D. 2 .
Bài 4: Một dao động lan truyền trong môi trường liên tục từ điểm M đến điểm N
cách M một đoạn 7/3(cm). Sóng truyền với biên độ A không đổi. Biết phương trình
sóng tại M có dạng uM = 3cos2t (uM tính bằng cm, t tính bằng giây). Vào thời điểm t 1
tốc độ dao động của phần tử M là 6(cm/s) thì tốc độ
dao động của phần tử N là
A. 3 (cm/s).
B. 0,5 (cm/s).
C.4(cm/s).
D. 6(cm/s).

CHỦ ĐỀ 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SÓNG DỪNG
Dạng 1: Tìm biên độ, li độ trong sóng dừng
A. Phương pháp giải
- Vẽ vòng tròn có vị trí nút sóng là tại tâm đường tròn, vị trí bụng tại biên.

13


- Tính độ lệch pha (biên độ):  

2 d
giữa hai điểm trên dây


- Dựa vào độ lệch pha  xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn
- Sử dụng các tính chất lượng giác, mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao
động điều hòa đã biết để tìm biên độ sóng dừng.
Chú ý: Nếu sóng dừng có biên độ Bụng là 2a thì:
+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động cùng pha, cùng biên độ a là:


3

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động ngược pha, cùng biên độ a là:


6

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động cùng pha, cùng biên độ a

3 là:


6

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động ngược pha, cùng biên độ a

3 là:


3

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động cùng pha, cùng biên độ a

2 là:


4

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động ngược pha, cùng biên độ a

2 là:


4

B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định, B là một bụng sóng, biên
độ dao động tại bụng là A. Điểm M cách B một đoạn bằng một phần ba bước sóng.
Biên độ sóng tại M là:
A. AM  2 A

B. AM 

A
2

C. AM  A

D. AM 

A 3
2

M
Hướng dẫn giải
- Độ lệch pha biên độ dao động giữa M và B.



2 .
2 .MB
3  2
 MB 



3
 A
- Từ hình vẽ, ta thấy AM  A.cos  � Chọn B
3 2

14

AO
2

2
3

Bụng



Bài 2: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định, N là một nút sóng, biên
độ dao động tại bụng là A. Điểm M cách N một đoạn bằng


. Biên độ dao động tại M
3

là:
A. AM  2 A

B. AM 

A
2

C. AM  A

A 3
2

D. AM 

Hướng dẫn giải

M

- Độ lệch pha biên độ dao động M và N


2 .
2 .MN
3  2
 




3

- Từ hình vẽ, ta thấy AM  A.cos

Bụng
O

 A 3�

6
2

2
3



N Nút

Chọn đáp án D
Bài 3: Một sóng dừng trên một đoạn dây có bước sóng bằng 30cm và biên độ dao
động của một phần tử cách một nút sóng một đoạn 5cm có giá trị là 9mm. Biên độ A
của bụng sóng là:
A. 9 2 mm
B. 18mm
C. 9mm
D. 6 3 mm
Hướng dẫn giải
- Gọi N là nút và B là bụng gần N nhất.

Bụng

- Độ lệch pha biên độ dao động M và N
O

2 .MN 2 .5 
 



30
3

M

3

- Từ hình vẽ, ta thấy:

u B  AM  A.cos





 A 3

 9 � A  6 3mm
6
2

N Nút

� chọn đáp án D

Bài 4: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, có sóng dừng ổn định. Trên dây A là một nút,
B là điểm bụng gần A nhất, AB = 14 cm. Biên độ tại bụng là 2A. C là một điểm trên
dây trong khoảng AB, AC = 14/3 cm. Biên độ dao động
tại điểm C là:
AB
A 3
A. AC 
B. A C = A 3
C. A C =
Bụng
2
2
O

A
D. AC = 2A

15


6

A Nút

C

Hướng dẫn giải
- Gọi A là nút và B là bụng gần A nhất � Bước sóng:   4. AB  4.14  56cm
- Độ lệch pha biên độ dao động A và C là:

 

2 . AC



14
3 
56
6

2 .

 AB 2 A


 A � Chọn đáp án C
3 2
2
Bài 5: Một sóng dừng trên một đoạn dây có dạng u = Asin(bx).cos(  t)(mm), trong đó
- Từ hình vẽ, ta thấy: AC  AB .cos

x đo bằng cm , t đo bằng giây. Cho biết bước sóng bằng 0,4 m và biên độ dao động của
một phần tử cách một nút sóng một đoạn 5 cm có giá trị là 5mm. Biên độ A của bụng

sóng là:
A. 5 2 (mm)

B. 10 (mm)

C. 5 (mm)

D. 10 2 (mm)

Hướng dẫn giải
- Gọi N là nút, điểm cách nút 5cm là M
- Độ lệch pha biên độ dao động M và N

 

2 .MN 2 .5 



40
4

O

AB 2
Bụng
2




4

- Từ hình vẽ, ta thấy:

M

N Nút

 A 2
u B  AM  A.cos 
 5 � A  5 2mm �
4
2

chọn đáp án A
Bài 6 (Đề thi thử đại học chuyên ĐH Vinh - lần 2 năm 2013): M, N, P, là 3 điểm
liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ dao động 2 2 cm,
dao động tại P ngược pha với dao động tại M và MN = NP. Biên độ dao động tại điểm
bụng sóng là:
A. 2 2 cm.
B. 3 2 cm.
C. 4cm .
D. 4 2 cm.
Hướng dẫn giải
- M, N, P là ba điểm liên tiếp nhau có cùng biên độ, có

P

MN = NP và dao động tại P ngược pha với dao động tại M.

Vậy M, N, P có vị trí như hình vẽ.
Từ hình vẽ, suy ra MN  NP 



O



� PB 
4
8

Độ lệch pha biên độ giữa P và B là:

4

M

N

Nút
16

Bụng




2 .PB

8 
 



4

2 2
2 2  AB .cos � AB 
 4cm
Vậy
. Chọn đáp án C
4
2
2
2 .

Bài 7: Trên dây AB có sóng dừng với đầu B là nút sóng. Sóng trên dây có bước sóng
 . Hai điểm gần B nhất có biên độ dao động bằng một nửa biên độ dao động cực đại
của sóng dừng cách nhau một khoảng là:
A.


3

B.


4

C.


6


12

D.

Hướng dẫn giải

N

- Gọi C là bụng gần nút B nhất và M, N là hai điểm có
biên độ dao động bằng một nửa biên độ dao động cực đại

O

9 (biên độ dao động của điểm C).

2
3

- Từ hình vẽ, ta có:

Bụng
C
M

AC
1

2
�
�
�
COM
 2  � COM
 � MON

  MN
AC 2
3
3

B

Nút

Độ lệch pha biên độ giữa M và N là:

 MN 

2 .MN
 MN . 2 . 
� MN 

 . Chọn đáp án A


2
3.2 3

Bài 8 (Đề thi thử đại học Triệu Sơn 2- lần 3 năm 2014): Một sợi dây đàn hồi dài
2,4 m, căng ngang, hai đầu cố định. Trên dây đang có sóng dừng với 8 bụng sóng.
Biên độ bụng sóng là 4 mm. Gọi A và B là hai điểm trên dây cách nhau 20 cm. Biên độ
của hai điểm A và B hơn kém nhau một lượng lớn nhất bằng?
A. 2 3 mm.

B. 3 mm.

C. 2 2 mm.

D. 4 mm.

Hướng dẫn giải

- Vì có 8 bụng nên bước sóng 4  2,4m

B

�   0,6m  60cm

Bụng

- Độ lệch pha giữa hai điểm A và B là:

 AB

2 d 2 .20 2  




 

60
3
2 6

-4

O

2
3

A Nút
17




- Từ hình vẽ, ta thấy biên độ của hai điểm A, B hơn kém nhau một lượng lớn nhất khi
A là nút, tức biên độ sóng tại A bằng 0. Khi đó biên độ của B là:

AB  4cos


 2 3mm . Vậy chúng hơn kém nhau một lượng lớn nhất là 2 3mm .
6

Vậy chọn đáp án A.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một sóng dừng trên dây có bước sóng λ và N là một nút sóng. Hai điểm P và Q
nằm về hai phía của N có vị trí cân bằng cách N những đoạn lần lượt là và . Ở vị trí có
li độ khác không thì tỉ số giữa li độ của P so với Q là
A. 

1
3

B.

1
3

C. – 1

D. -

Bài 2: Sóng dừng trên dây có tần số f = 20 Hz và truyền đi với tốc độ 1,6 m/s. Gọi N là
vị trí của một nút sóng; C và D là hai vị trí cân bằng của hai phần tử trên dây cách N
lần lượt là 9 cm và cm và ở hai bên của N. Tại thời điểm t 1 li độ của phần tử tại điểm
D là - cm. Xác định li độ của phần tử tại điểm C vào thời điểm t0 = t1 + s
A. - cm
B. - cm
C. cm
D. cm
Bài 4: Sóng dừng trên dây nằm ngang. Trong cùng bó sóng, A là nút, B là bụng, C là
trung điểm AB. Biết CB = 4 cm. Thời gian ngắn nhất giữa hai lần C và B có cùng li độ

là 0,13 s. Tính vận tốc truyền sóng trên dây.
A. 1,23 m/s
B. 2,46 m/s
C. 3,24 m/s
D. 0,98 m/s
Bài 5: Sóng dừng xuất hiện trên sợi dây với tần số ƒ = 5 Hz. Gọi thứ tự các điểm
thuộc dây lần lượt là O,M,N,P sao cho O là điểm nút, P là điểm bụng sóng gần O nhất
(M, N thuộc đoạn OP). Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp để giá trị li độ của điểm P
bằng biên độ dao động của điểm M, N lần lượt là 1/20 và 1/15s. Biết khoảng cách giữa
2 điểm M,N là 0,2 cm. Bước sóng của sợi dây là:
A. 5,6 cm
B. 4,8 cm
C. 1,2 cm
D. 2,4 cm
Bài 6: Một sợi dây AB dài 2m căng ngang có 2 đầu cố định. Ta thấy khoảng cách giữa
2 điểm gần nhau nhất dao động với biên độ bằng lần biên độ điểm bụng thì cách nhau
1/4 (m). Số bó sóng tạo được trên dây là
A. 7.
B. 4.
C. 2.
D. 6.
Bài 7: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên
độ 4 cm, và không phải là điểm bụng. Biết MN = NP = 10 cm. Tính biên độ tại bụng
sóng và bước sóng.
A. 4 cm, 60 cm B. 8cm, 40 cm C. 8 cm, 60 cm D. 4 cm, 40 cm
Bài 8: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Khoảng thời gian
giữa hai lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là 0,1 s tốc độ truyền sóng trên dây là 3 m/s.
Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên sợi dây dao động cùng pha và có biên
độ dao động bằng một nửa biên độ của bụng sóng là
A. 20 cm

B. 30 cm
C. 10 cm
D. 8 cm
Bài 9: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi căng ngang với bước sóng λ, biên độ tại
bụng sóng là Ab. Trên dây, hai điểm M, N cách nhau 1,125λ, tại M là một nút sóng. Số
điểm trên MN dao động với biên độ bằng 0,7Ab là
A. 4
B. 6
C. 3
D. 5
Bài 10: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng

18


biên độ 4 cm, dao động tại P ngược pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP = 20 cm.
Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04 s sợi dây có dạ ng một đoạn thẳng. Tính
biên độ tại bụng sóng, tốc độ truyền sóng.
A. 4 cm, 40 m/s
B. 8 cm, 60 m/s C. 8 cm, 6,4 m/s D. 8 cm, 7,5 m/s
Bài 11: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đầu A cố định. Trên dây đang có sóng dừng
ổn định. Gọi B là điểm bụng thứ hai tính từ A, C là điểm nằm giữa A và B. Biết AB =
30 cm, AC = cm, tốc độ truyền sóng trên dây là v = 50cm/s. Khoảng thời gian ngắn
nhất giữa hai lần mà li độ của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C
là:
A. s.
B. s
C. s
D. s.
Bài 12: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi căng ngang với chu kỳ T, bước sóng λ.

Trên dây, A là nút sóng, B là bụng sóng gần A nhất, C là một điểm trên dây Trong
khoảng AB thỏa mãn AB = 4BC. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao
động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là
A. T/4
B. T/6
C. T/8
D. T/3
Bài 13: Sóng dừng trên một sợi dây đàn hồi căng ngang với chu kỳ T, bước sóng λ.
Trên dây, A là nút sóng, B là bụng sóng gần A nhất, C là một điểm trên dây Trong
khoảng AB thỏa mãn AB = 4AC. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao
động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là
A. T/4
B. T/6
C. T/8
D. 3T/18
Dạng 2: Tìm tốc độ truyền sóng hoặc tốc độ dao động của một điểm trên dây có
sóng dừng
A. Phương pháp giải
- Vẽ vòng tròn có vị trí nút sóng là tâm đường tròn, vị trí bụng tại biên.
- Tìm bước sóng  từ điều kiện bài toán.
- Tính độ lệch pha (biên độ) :  

2 d
giữa hai điểm trên dây


- Dựa vào độ lệch pha  xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn
- Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định chu kì T hoặc tần số f .
- Tính vận tốc truyền sóng v 


 . f
T

- Trường hợp tính vận tốc dao động tại một điểm trên dây có sóng dừng thì ta sử dụng
các tính chất như trong sóng cơ.
Chú ý:
+ Các điểm đối xứng nhau qua nút sóng thì dao động ngược pha (chiều vận tốc
ngược nhau), các điểm đối xứng nhau qua bụng sóng thì dao động cùng pha (vận tốc
cùng dấu), các điểm trên cùng một bó sóng thì dao động cùng pha.
+ Trong sóng dừng chỉ có dao động cùng pha hoặc ngược pha

19


B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là
một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18 cm, M là một điểm trên dây
cách B một khoảng 12 cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ
lớn vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc cực đại của phần tử M là 0,1s.
Tốc độ truyền sóng trên dây là:
A. 3,2 m/s.

B. 5,6 m/s.

C. 4,8 m/s.

D. 2,4 m/s.

Hướng dẫn giải

- A là nút, B là bụng gần A nhất và AB = 18cm.

�


 18 �   72cm
4

- Độ lệch pha giữa M và B.

O

MB 2 .12 
  2



72
3



Bụng

AM

B

3

- Biên độ sóng tại M.

M


1
AM  AB .cos  2 A.  A
3
2

A

Nút

- Trong 1T tốc độ dao động của phần tử B nhỏ hơn tốc độ
cực đại của phần từ M được biểu diễn như hình vẽ.


3

2 2
�

.0,1 � T  0,3s
- Từ hình vẽ
3
T

A
2 A

O


Vậy tốc độ truyền sóng trên dây:

 72
v 
 240cm / s  2,4m / s
. Chọn đáp án D
T 0,3

3

M

Bài 2 (Đề thi ĐH năm 2011) : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn
định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của
AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động
của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2s. Tốc độ truyền sóng
trên dây là
A. 2m/s.

B. 0,5m/s.

C. 1m/s.

D. 0,25m/s.

Hướng dẫn giải

- A là nút, B là bụng gần A nhất và AB = 10cm.


�  10 �   40cm
4

C



O

- Độ lệch pha biên độ giữa C và B.

4

20
C
A

Nút

Bụng



  2

CB




- Biên độ sóng tại C:


8 

4

2 .

AC  AB .cos

 AB 2

4
2

- Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà li độ dao động của phần từ tại B bằng biên

T
 0,2 � T  0,8s
4
 40
 50cm / s  0,5m / s . Chọn C.
Vậy tốc độ truyền sóng trên dây là: v  
T 0,8
độ dao động của phần tử tại C là 0,2s �

Bài 3 (Đề thi thử chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – lần 3 năm 2012): M, N, P là

ba điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4mm, dao
động tại N ngược pha với dao động tại M. NP = 2MN=2cm. Cứ sau khoảng thời gian
ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng. Tốc độ dao động của phần tử vật
chất tại điểm bụng khi qua vị trí cân bằng là:
A. 375mm/s
B. 363mm/s
C. 314mm/s
D. 628mm/s
Hướng dẫn giải
- M, N dao động ngược pha, cùng biên độ nên chúng đối

P

xứng nhau qua nút sóng.
- N, P cùng biên độ và ở cùng một bó sóng nên đối xứng

Bụng

O



nhau qua bụng sóng.
- Từ hình vẽ �   2 MP  2  1  2   6cm
- Độ lệch pha biên độ giữa N và B :

NP
NB
1 
 NP  2

 2 . 2  2 


6 3
A
AB  N  2 AN  2.4  8mm

Vậy bụng sóng có biên độ :
cos
3
T
Ta có :  0,04 � T  0,08s
2

M

N

Nút

Vậy tốc độ cực đại của điểm bụng khi qua vị trí cân bằng :

vmax   AB 

2
2 .8
. AB 
 628mm / s . Chọn đáp án D.
T
0,08

Bài 4 : Một dây đàn hồi AB đầu A được rung nhờ một dụng cụ để tạo thành sóng dừng
trên dây, biết Phương trình dao động tại đầu A là uA= acos100t. Quan sát sóng dừng
trên sợi dây ta thấy trên dây có những điểm không phải là điểm bụng dao động với

21


biên độ b (b0) cách đều nhau và cách nhau khoảng 1m. Giá trị của b và tốc truyền
sóng trên sợi dây lần lượt là :
A. a 2 ; v = 200m/s.
B. A 3 ; v =150m/s.
C. a; v = 300m/s.
D. A 2 ; v =100m/s.
Hướng dẫn giải
- Các điểm dao động với biên độ b  0 và b  2a (tức là

P

Q

không phải là điểm nút và điểm bụng) cách đều nhauthì
khoảng cách giữa hai điểm bằng /4 = 1m

�   4m

b

O
M

N

- Vận tốc truyền sóng trên dây là:
v = f = 4.50 = 200 (m/s)
- Từ hình vẽ, ta thấy b =

a

Nút

2a 2
=a 2
2

Chọn đáp án A
Bài 5: Trên một sợi dây đàn hồi, hai đầu A B cố định có sóng dừng ổn định với bước
sóng  = 24 cm. Hai điểm M và N cách đầu A những khoảng lần lượt là d M = 14cm và
dN = 27 cm. Khi vận tốc dao động của phần tử vật chất ở M là v M = 2 cm/s thì vận tốc
dao động của phần tử vật chất ở N là:
A. -2 2 cm/s.
B. 2 2 cm/s.
C. -2 cm/s. D. 2 3 cm/s.
Hướng dẫn giải
- Độ lệch pha biên độ giữa M và A là:

M


6

Bụng

a
a

O

4
A

 MA  2




N

Nút

MA
14 7

 2 . 
 

24 6
6

- Độ lệch pha biên độ giữa N và A là:

 NA  2

NA
27 9

 2 . 
 2 

24 4
4

Vậy vị trí M , N được xác định như hình vẽ � M, N ở hai bó sóng liền kề nhau nên
hai dao động ngược pha nhau.

22


Ta có:

vM
A
v .A
2.a 2
  M � vN   M N  
 2 2cm / s . Chọn đáp án A
vN
AN
AM
a

Bài 6 (ĐH 2014): Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng
cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử sóng dao động với
tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai
phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7
cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí cân bằng. Vào
thời điểm t 2  t 1 
A. -0,75 cm.

79
s , phần tử D có li độ là
40

B. 1,50 cm.

C. -1,50 cm.

Hướng dẫn giải

D. 0,75 cm.

C

N
10,5 cm

- Theo đề ta có:


 6 �   12cm , biên độ điểm bụng là Ab = 3 cm.

2

- Biên độ của điểm C và D:
2.CN
2.10,5
3
A C  A b sin
 3. sin

cm.

12
2
2.ND
2.7
A D  A b sin
 3. sin
 1,5cm.

12

- Nhận thấy hai phần tử C và D ngược pha nhau
- Ở thời điểm t1:

u1D
A
1,5
3 2
 D 
2 � u1D  

cm.
u1C
AC
3
4

- Xét phần tử D: Góc quét
  .t  2f (t 2  t1 )  10.

7 cm

uD

u1D

79
7
 19, 75  18 
40
4

Bài 6( THPT QG – 2015) Trên một sợi dây OB
căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng
với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm
trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là 4
cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng
sợi dây tại thời điểm t1 (đường 1) và
11
(đường 2). Tại thời điểm t1, li độ
12f

của phần tử dây ở N bằng biên độ của phần tử
dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60
cm/s. Tại thời điểm t2, vận tốc của phần tử dây ở P là
A. 20 3 cm/s.
B. 60 cm/s.
C. – 20 3 cm/s. D. – 60 cm/s.
Hướng dẫn giải

23

1,5

7
4

- Vẽ đường tròn: Ở thời điểm t2, ta tìm được u2D = -1,5 cm.

t 2  t1 

D

1,5


- Từ đồ thị ta có λ = 24cm.
- B là nút sóng, Vì M, N và P là 3 điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là
4cm, 6cm, 38cm nên nếu gọi A là biên độ dao động của bụng thì A chính là biên độ
dao động của N. Ta có: AN  A; AM  A

3
A
; AP 
2
2

- Mặt khác M, N cùng pha (cùng thuộc một bó sóng), P ngược pha với M nên ta có:
uM
A
3
 M 
;
uN
AN
2
v
vP
A
1
  max P   P  
vM
vmax M
AM
3
- Để tính vP tại thời điểm t2 thì ta sẽ tính vM tại thời điểm t2. Ta sẽ sử dụng đường tròn
để tính vận tốc vM tại thời điểm t2, muốn tính được thì ta phải biết tại thời điểm t 1 thì
vM có giá trị bao nhiêu ( âm hay dương), đang tăng hay đang giảm.
- Từ đồ thị ta thấy, tại thời điểm t1 hình dạng sợi dây là (1), nếu phần tử tại M đang đi
xuống thì sau t  t 2  t1 

11 11T

, tức là sau gần 1 chu kì thì hình dạng sóng không
12f
12

thể là (2). Vậy M phải đi lên, tức là tại thời điểm t 1 M đang đi lên với vận tốc v M = +
60cm/s và đang giảm.
- Tại thời điểm t1 ta có: u N  AM � uM 
2

3
3
uN 
AM
2
2

2

�x � �v �
Mà : � M � � M �  1 � vMmax  2 vM  120(cm / s )
�AM � �vMmax �
uur
- Tại thời điểm t2 thì véc tơ vM quét được góc
11
11

 = t = 2πf.
=

= 2π 12 f
6
6

Sử dụng đường tròn ta có:
- Tại thời điểm t2 thì : v  v
M

Mmax

t1

11
6

t2
t2

vM


.cos( )  60 3cm / s
6

Vận tốc phần tử dây tại P ở thời điểm t2 là: � vP  

vM
3

 60cm / s

C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Trên một sợi dây đàn hồi, hai đầu A B cố định có sóng dừng ổn định với bước
sóng λ = 24 cm. Hai điểm M và N cách đầu A những khoảng lần lượt là d M = 14 cm và
dN = 27 cm. Khi vận tốc dao động của phần tử vật chất ở M là v M = 2 cm/s thì vận tốc
dao động của phần tử vật chất ở N là
A. - 2 cm/s.
B. 2 cm/s.
C. -2 cm/s.
D. 2 cm/s.
Bài 2: Một sợi dây AB = 120 cm, hai đầu cố định, khi có sóng dừng ổn định xuất hiện
5 nút sóng. O là trung điểm dây, M, N là hai điểm trên dây nằm về hai phía của O, với
OM = 5 cm, ON = 10 cm, tại thời điểm t vận tốc của M là 60 cm/s thì vận tốc của N là
A. - 60 cm/s
B. 60 cm/s
C. 30 cm/s
D. 60 cm/s
Bài 3: Một sóng dừng trên dây có bước sóng λ và N là một nút sóng. Hai điểm M 1, M2
nằm về 2 phía của N và có vị trí cân bằng cách N những đoạn lần lượt là và . Ở cùng

24


một thời điểm mà hai phân tử tại đó có li độ khác không thì tỉ số giữa li độ của M 1 so
với M2 là
u1

u1

u1

1

u1

1


 2

A. u  2
B.
C.
D.
u2
u2
u2
3
3
2
Bài 4: Cho sóng cơ ổn định, truyền trên một sợi dây rất dài từ một đầu dây. Tốc độ
truyền sóng trên dây là 2,4 m/s, tần số sóng là 20 Hz, biên độ sóng là 4 mm. Hai điểm
M và N trên dây cách nhau 37 cm. Sóng truyền từ M tới N. Tại thời điểm t, sóng tại M
có li độ –2 mm và đang đi về vị trí cân bằng, Vận tốc sóng tại N ở thời điểm (t 1,1125) s là
A. -8π cm/s. .
B. 80π mm/s
C. 8 cm/s
D. 16π cm/s.
Bài 5: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có bước sóng
60 cm, MN = 3NP = 30 cm và N là bụng sóng. Khi vận tốc dao động tại P là cm/s thì

vận tốc tại M là
A. 2 cm/s
B. -2 cm/s
C. cm/s D. 1,3 cm/s
Bài 6: M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên
độ 4 cm, dao động tại N cùng pha với dao động tại M. Biết MN = 2NP = 20 cm và tân
số góc dao động của sóng là 10 rad/s. Tính tốc độ dao động của điểm bụng khi dây có
dạng một đoạn thẳng.
A. 40 cm/s
B. 60 cm/s
C. 80 cm/s D. 40 3 cm/s
Bài 7: Một sóng dừng trên một sợi dây có dạng u = 40sin(2,5πx)cos(ωt) (mm), Trong
đó u là li độ tại thời điểm t của một điểm M trên sợi dây mà vị trí cân bằng của nó cách
gốc tọa độ O đoạn x (x tính bằng mét, t đo bằng s). Khoảng thời gian ngắn nhất giữa
hai lần liên tiếp để một chất điểm trên bụng sóng có độ lớn li độ bằng biên độ của
điểm N cách nút sóng 10 cm là 0,125 s. Tốc độ truyền sóng trên sợi dây là:
A. 320 cm/s
B. 160 cm/s
C. 80 cm/s
D. 100 cm/s

PHẦN C. KẾT LUẬN

25