Tập GT của hàm số - ÔTĐH

I/ Định nghĩa về Tập giá trị của hàm số.
1. Định nghĩa thứ nhất về tập giá trị của hàm số :
Cho tập X

R. ánh xạ f : X

R đợc gọi là một hàm số xác định trên X. Tập X
đợc gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số f
Tập ảnh f(X)={f(x):x

X} đợc gọi là tập giá trị hay miền giá trị của hàm số f .
2. Định nghĩa thứ hai về tập giá trị của hàm số :
Cho X

R . Nếu ta có một quy tắc f nào đó mà ứng với mỗi x

X xác định đợc
một giá trị tơng ứng y

R thì quy tắc f đợc gọi là một hàm số của x và viết y=f(x). x
đợc gọi là biến số hay đối số và y gọi là giá trị của hàm số tại x. Tập hợp tất cả các
giá trị y với y =f(x); x

X gọi là tập giá trị của hàm số f.
3. Định nghĩa thứ ba về tập giá trị của hàm số:
Cho

X

R. Một hàm số f xác định trên X là một quy tắc f cho tơng ứng mỗi
phần tử x

X xác định duy nhất một phần tử y

R.
x đợc gọi là biến số hay đối số .
y đợc gọi là giá trị của hàm số tại x.
X đợc gọi là tập xác định hay miền xác định của hàm số.
Tập giá trị của hàm số T = f(X) ={ f(x): x

X}.
II/ Tập giá trị của một số hàm số sơ cấp cơ bản.
1.Hàm hằng số :
Y = f(x) = c
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị : T = { c} .
2.Hàm số bậc nhất :
Y = f(x) =ax +b ( a0 ).
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R .
3.Hàm số bậc hai :
y = a x
2
+ b x +c ( a0 ).
Tập xác định : D = R.
Tập giá trị của hàm số :
+ Nếu a > 0 , Tập giá trị của hàm số là T =[ -
a4

; +

).
+ Nếu a< 0 , Tập giá trị của hàm số là T = (-

;-
a4

] .
4.Hàm số y =
x
.
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = R
*
+
.
5. Hàm số y =
[ ]
x
.
Tập xác định : D = R .
Tập giá trị : T = Z .
6. Các hàm số l ợng giác :
1
+ y = Sinx , y = Cosx có TGT là T = [ -1 ; 1] .
+ y = Tanx và y = Cotx có TGT là T = R .
7. Hàm số mũ:
y = a
x
; 0 < a 1 :
Tập xác định : D = R .

Tập giá trị của hàm số : T = R
*
+
.
8. Hàm số Lôgarít :
y = Log
a
x ; 0 < a 1 :
Tập xác định : D = R
*
+
.
Tập giá trị : T = R .
III/ Một số phơng pháp tìm tập giá trị của hàm số .
1.Ph ơng pháp 1 :Tìm tập giá trị của hàm số bằng cách tìm tập xác định của hàm
số ngợc của nó .
Ta đã biết hai hàm số ngợc nhau thì tập giá trị của hàm số này là tập xác định của
hàm số kia và ngợc lại. Do vậy để tìm tập giá trị của một hàm số ta đi tìm tập xác
định của hàm số ngợc của nó:
Ví dụ 1 :
Tìm tập giá trị của hàm số y =
12
53

+
x
x
.
Hàm số có tập xác định là D = R \

2
1
.
Với mọi x

D ta có : y =
12
53

+
x
x


y(2x -1) = 3x + 5


( 2y 3) x = y + 5


x =
32
5

+

y
y
.
Biểu thức có nghĩa khi : 2y 3 0



y
2
3
Vậy tập giá trị của hàm số là : T = R\
{ }
2
3
.
áp dụng phơng pháp này ta có thể tìm đợc tập giá trị của một số hàm số sau coi
nh bài tập
1.
x
a
y
=
2.
dcx
bax
y
+
+
=
3.

cbxaxy
++=
2

2
2.Ph ơng pháp 2 :Tìm tập giá trị của hàm số từ điều kiện có nghiệm của phơng
trình : f(x) = y
Từ điều kiện có nghiệm của phơng trình f(x) = y ta đánh giá đợc
y

[a;b] từ đó ta tìm đợc tập giá trị của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của hàm số y =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
Gọi y là một giá trị của hàm số khi đó phơng trình sau có nghiệm
y =
1
1
2
2
++
+

xx
xx



y x
2
+yx + y =x
2
x + 1 có nghiệm



( y 1 )x
2
+(y + 1 )x + y 1 = 0 có nghiệm
Nếu y = 1 thì phơng trình có nghiệm x = 0 .
Nếu y

1 thì phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi

'

= (y + 1)
2
- 4(y 1)
2


0

- 3y
2
+10 y 3

0



3
3
1

y
.
Vậy tập giá trị của hàm số là T =






3;
3
1
.
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số y =
32
32

++
++
CosxSinx
CosxSinx
Lời giải:
Tập xác định của hàm số là D = R.
y là một giá trị của hàm số thì phơng trình sau có nghiệm
y =
32
32
++
++
CosxSinx
CosxSinx


2y Sinx + y Cosx +3y = Sinx +2Cosx + 3 có nghiệm


( 2y 1) Sinx + (y 2) Cosx = 3 3y có nghiệm


( 2y 1)
2
+( y+2)
2


(3 3y)
2

2y
2
-5y + 2

0



2
2
1

y
Vậy tập giá trị của hàm số là T =






2;
2
1
.
* Sau đây là một số bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sa
1.
5

12

+
=
x
x
y
2.
1
2
++=
xxy
3.
1
43
2
2
+
+
=
x
xx
y
3
4.
7sin4cos3
3cossin2
+
+
=

xx
xx
y
5.
2coscossin4sin3
1cos4cossin3sin2
22
22
++
++
=
xxxx
xxxx
y
6.
xxxy cossin4sin
2
+=
7.
xxxxy 3sinsin3coscos
33
=
.
Bài 2 : Tìm a và b để tập giá trị của hàm số
1
2
2
+
++
=

x
baxx
y
có tập giá trị là
[ ]
2;0
.
Bài 3 : Tìm a để hàm số
ax
axx
y

+
=
2
2
có tập giá trị là R.
Bài 4 : Tìm a để hàm số
ax
x
y


=
2
1
có tập giá trị chứa [-1;0] .
Bài 5: Tìm tập giá trị của hàm số

22

22
32
20103
),(
yxyx
yxyx
yxf
++
++
=
trên miền
{ }
0:),(
22
yxyxD
+=

3 /Ph ơng pháp tìm tGT của hàm số bằng cách sử DụNG bất
đẳng thức.
Bằng các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta chứng minh đợc
Mym

và
chỉ ra đợc dáu = xảy ra khi nào thì ta kết luận đợc tập giá trị của hàm số y = f(x).
VD1: Tìm tập giá trị của hàm số
y =x +
2005
1
16
+

+
x
Tập xác định của hàm số là : D=(-1;+

)
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng
1
+
x
;
1
8
+
x
;
1
8
+
x
ta có

12
1
8
.
1
8
).1(3
1
8

1
8
1
3
=
++
+
+
+
+
++
xx
x
xx
x

x+
11
1
16

+
x



x+
20202009
1
16

+
+
x
Hay Y
2020

Dấu = xảy ra

x+1=
1
8
+
x


(x+1).
1
+
x
=8


x=3
Mặt khác hàm số đã cho liên tục trên D và lim y=+

x
+
Vậy tập giá trị của hàm số là T=[2020;+

).

VD2: Tìm TGT của hàm số y=
1
+
x
+
x

8
Lời giải: Hàm số có TXĐ là D=[-1;8]
Dễ thấy y
0

Ta có :y
2
=9 + 2
)8).(1( xx
+
9

đẳng thức xảy ra

x=-1 hoặc x=8

y
3

Mặt khác :áp dụng BĐT Côsi ta có:
2
)8)(1( xx
+

x+1 +8-x =9

y
2

9 +9 = 18

y

3
2
4
đẳng thức xảy ra

x+ 1= 8 x

x =
2
7
mà hàm số liên tục trên D

TGT của hàm số là [3;3
2
].
* Nhận xét: Bằng phơng pháp này kết luận dợc tập giá trị của hàm số đồng thời
cũng kết luận đợc về GTLN, GTNN của hàm số đó là một ứng dụng rất quan trọng
về tập giá trị của hàm số mà chúng ta đề cập ở phần sau
** Sau đây là một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm TGT của hàm số:

y =
1
+
x
+
52
+
x
+
103

x
.
Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số:

yxxyyxyxf 282254),(
22
+++=
.
Bài 3: Tìm tập giá trị của hàm số :

xyz
yx
yxf
+
=
),(
trên miền
{ }
1;0;;:);;(

=++=
zyxzyxzyxD
4/Phơng pháp tìm TGT của hàm số bằng cách khảo sát
hàm số:
Bằng cách sử dụng đạo hàm khảo sát hàm số , lập bảng biến thiên của hàm số . Từ
bảng biến thiên ta có thể kết luận về tập giá trị của hàm số .
VD1: Tìm TGT của hàm số : y =
2
1
2
+
+
x
x
Hàm số có TXĐ: D = R

'y
=
2)2(
2
22
++

xx
x
y
,
= 0

x= 2;

)2(y
=
2
3
Lim
2
1
2
+
+
x
x
= lim
2
2
1
1
1
x
x
+
+
= -1
x

x

lim
2
1

2
+
+
x
x
= 1
x
+
do đó ta có bảng biến thiên
5
Từ bảng biến thiên

TGT của hàm số là T=[-1;
2
3
].
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số :

yx
yx
yxf
2
3
)(
),(
+
=
trên miền
{ }
0,0:),( yxyxD

=
Lời giải:
Ta có
2
3
)(
)1(
),(
y
x
y
x
yxf
+
=
, đặt
t
y
x
=
với
0

t
thì
2
3
)1(
)(),(
t

t
tgyxf
+
==


2
1
0
)12()1(
)(
4
2
,
==
+
=
t
t
ttt
tg

Ta có bảng biến thiên
t
0
2
1
+
g
,

(t) - 0 +

g (t)
+

+

4
27
Từ bảng biến thiên ta có tập giá trị của hàm số là : T=






+
,
4
27
.
*Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số chúng ta còn kết luận đợc về GTLN,
GTNN của hàm số đồng thời còn có thể biện luận về số nghiệm của phơng trình và
giảI đợc bất phơng trình. Đó là những ứng dụng của tập giá trị của hàm số chúng ta
sẽ xết ở phần sau
Để xét các bài toán ứng dụng đợc tốt , các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1:Tìm TGT của hàm số :y= (2 +
)3
x2
+(2 -

)3
x2
-8[(2+
32()3
+
x
)
x
].
x

2
+
y

+ 0 -
y

2
3
1
-1
6