Truyền dẫn ánh sáng trong các tinh thể quang tử hai chiều phân tách tia sáng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Viện Điện tử - Viễn thông

BÀI TẬP LỚN CÔNG NGHỆ NANO
Đề tài:
Truyền dẫn ánh sáng trong các tinh thể quang tử hai chiều: Phân tách tia sáng.
Giảng viên hướng dẫn:
TS. Nguyễn Việt Hưng
Th.S. Nguyễn Bích Huyền
Nhóm

Hà Nội, 12/2017
1


DANH MỤC HÌNH ẢNH

2


MỤC LỤC

3


I.

Phương pháp FDTD
Giới thiệu chung
FDTD là phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (Finite
Difference Time Domain). Phương pháp này được đưa ra bởi Kane Yee người

Nhật năm 1966. Trong thời gian đầu, phương pháp FDTD không được áp dụng
rộng rãi do sự hạn chế của bộ nhớ và khả năng xử lý của máy tính. Tuy nhiên, thời
gian gần đây với sự phát triển nhanh của công nghệ máy tính, dung lượng bộ nhớ
và tốc độ xử lý của máy tính không còn là vấn đề, phương pháp FDTD trở thành
một trong những kỹ thuật mô phỏng các bài toán trường điện từ thông dụng nhất.
Phương pháp FDTD giải hệ phương trình Maxwell trực tiếp trong miền thời gian,
do vậy kết quả có thể trải trên một dải tần số rộng chỉ với một tiến trình mô
phỏng.
1.

Hình 1: Một Cell trong không gian mô phỏng FDTD
2.
-

Cơ sở thuật toán FDTD cho các phương trình Maxwell
Thay thế toàn bộ dẫn xuất trong 2 luật Ampe và Faraday với sự khác biệt hữu
hạn. Rời rạc không gian và thời gian để các trường từ và điện được xen kẽ
trong cả hai miền.

-

Giải các phương trình để thu được “phương trình mới” thể hiện các trường
tương lai (chưa biết) trong các lĩnh vực (đã biết) trong quá khứ.

-

Đánh giá trường từ để chúng được biết đến (giờ trở thành lĩnh vực trong quá
khứ)

-

Đánh giá điện từ để chúng được biết đến (giờ trở thành lĩnh vực trong quá khứ)
4


-

Lặp lại hai bước trên cho đến khi các trường đã thu được trong khoảng thời
gian mong muốn

3.

Phương pháp FDTD trong mô phỏng hai chiều
Xét phương trình Maxwell chuẩn hóa

-

ur
uu
r
∂D
1
=
∇× H
∂t
ε 0 µ0
uu
r
ur
∂H

1
= − ∇× E
∂t
µ0
ur
ur
D (ω ) = ε 0 .ε r (ω ).E (ω )

(1)

(2)
(3)
-

Xét bài toán sóng điện từ ngang TM để mô phỏng, ta có:

uuu
r
uuu
r
uur

∂
H
∂Hx 
∂ Dz
1
y
=
−


÷
∂t
∂y ÷
ε 0 µ0  ∂x

uur
uur
Dz (ω ) = ε r (ω ) E z (ω )
uuu
r
uur
∂Hx
∂ Ez
1
=−
∂t
ε 0 µ0 ∂y
uuu
r
uur
∂H y
1 ∂ Ez
=−
∂t
ε 0 µ0 ∂x

(4)
(5)
(6)

(7)

-

Rời rạc các phương trình thứ 4, 6 và 7 ta có:

5


Dzn +1/ 2 (i, j ) − Dzn −1/ 2 (i, j )
=
∆t

(8)
−

(9)

(10)

(11)

1  H xn (i, j + 1/ 2) − H xn (i, j − 1/ 2) 
÷
∆y
ε 0 µ0 


H xn +1 (i, j + 1/ 2) − H xn (i, j )

=−
∆t

1
ε 0 µ0

Ezn +1/ 2 (i, j + 1) − Ezn +1/2 (i, j )
∆x

H yn +1 (i + 1/ 2, j ) − H yn (i, j )

1
ε 0 µ0

Ezn +1/ 2 (i + 1, j ) − E zn +1/2 (i, j )
∆x

∆t

-

1  H yn (i + 1/ 2, j ) − H yn (i − 1/ 2, j ) 

÷
÷
∆x
ε 0 µ0 


=−

Dựa vào phương trình trên ta có thể thấy không gian mô phỏng sẽ có dạng
lưới. Hình sau cho ta thấy cấu tạo một lưới FDTD trên mặt phẳng Oxy.
( nx , n y , nt )

Ez ( x, y , t ) = E z

= Ez( n,nt )

Hình 2: Cấu tạo một lưới FDTD trên mặt phẳng Oxy.

6


II.

Điều kiện biên tuần hoàn và điều kiện biên PML (Perfectly
Matched Layer)

1 Cơ sở lý thuyết
a.
-

(12)

-

Toán tử laplace
được gọi là toán tử laplace hay kí hiệu
Trong tọa độ Descartes:

+ +

(13)

-

Và đối với hàm vô hướng:

(14)

-

Trong hệ tọa độ trụ:

2 Điều kiện biên

(15)

-

Các thông số đặc trưng cho tính chất của môi trường là những hàm số của tọa
độ. Trong cùng một môi trường chúng là những hàm liên tục không có những
điểm nhảy vọt.

-

Tại mặt biên phân chia môi trường chất khác nhau, các đại lượng thay đổi đột
ngột kéo theo các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ E, D, B, H cũng thay
đổi. các điều kiện xác định trạng thái các vecto của trường điện từ tại mặt biên
phân chia hai môi trường khác nhau gọi là điều kiện biên.

-

Trường điện từ truyền từ môi trường có dang môi trường có

7


Hình 3: Trường điện từ truyền từ môi trường có ℇ1 dang môi trường có ℇ2

-

Xét điều kiện biên của B

Hình 4: Mặt phẳng phân cách hai môi trường

-

Xuất phát từ phương trình divB = 0. Điểm khảo sát là điểm M nằm trên mặt
phân cách hai môi trường. Chọn mặt Gauss là mặt trụ chứa điểm M gồm mặt
bên Sb và hai đáy S1 và S2 dủ nhỏ để có thể coi vecto trường không đổi trên
mỗi đáy.
Từ định luật Gauss cho ta phương trình:

-

Khi cho thì thì và thì:

-

(16)

8


(17)
(18)
(19)
-

Trong đó, B1n và B2n là thành phần pháp tuyến của B ở trong môi trường 1 và
2.

-

Do đó ta có (B1n - B2n).S0 = 0

-

Nên B1n = B2n  thành phần pháp tuyến của B biến thiên liên tục
 μ1.H1n = μ2.H2n

-

Thành phần pháp tuyến của H không biến thiên liên tục tại mặt phân cách giữa
2 môi trường.

-

Tương tự ta có bảng điều kiện biên của các thành phần:

Thành phần
E
D
H
B

Công Thức

Đặc tả

x (1 -2) = 0

E1t = E2t

x (1 -2) =s

D1t - D2t =s

x(2 -1) = s

H2t = H1t + Js

x(1-2) = 0

B1n = B2n

2

2
2

2

9


3 Điều kiện biên PML
-

Perfectly matched layer (PML) là lớp hấp thụ nhân tạo cho các phương trình
sóng , thường được sử dụng để cắt các vùng tính toán bằng các phương pháp số
để mô phỏng các vấn đề với các ranh giới mở, đặc biệt là trong các phương
pháp FDTD và FE.

-

Kích thước của không gian mô phỏng bị giới hạn do dung lượng bộ nhớ máy
tính. Giả sử, có một sóng được tạo ra từ một nguồn và lan truyền trong không
gian mô phỏng. Cuối cùng nó cũng đến bờ của không gian được xác định bởi
các ma trận với kích thước đã được xác định trong chương trình. Khi đó, hình
thành sóng phản xạ ngược về không gian mô phỏng. Nếu điều này không được
quan tâm, rất khó xác định đâu là sóng từ nguồn truyền đến và đâu là sóng phản
xạ từ bờ về không gian mô phỏng. Đây là lý do để bờ hấp thu được xây dựng
trong mô phỏng. Một trong những bờ hấp thu hiệu quả và linh hoạt nhất là PML
được phát triển bởi Berenger. Ý tưởng cơ bản là: Nếu một sóng truyền trong
môi trường A và truyền đến môi trường B thì sự phản xạ nhiều hay ít phụ thuộc
vào trở kháng sóng của hai môi trường và được thể hiện qua hệ số phản xạ:

-

Muốn cho không có hiện tượng phản xạ xảy ra thì trở kháng sóng của hai môi
trường tại bề mặt phân cách phải có giá trị bằng nhau.

-

Công thức xác định hệ số phản xạ và truyền qua:

-

Từ ý tưởng trên Berenger đã đưa ra một kỹ thuật thiết kế biên hấp thụ sao cho
trở kháng sóng của bề mặt biên hấp thụ của không gian biên và của không gian
khảo sát bằng nhau.

(19)

(20)
(21)

4 Phân tách vecto PML
-

Berenger đề nghị phân tách mỗi vecto thành phần của điện trường và từ trường
thành hai vecto thành phần con:
o

Xét Hx ta xem nó được tổng hợp từ Hxy và Hxz, tương tự đối với Ex và
Ey.
10

o

Do đó ta sẽ tách được hai phương trình:

(22)
Sau đó áp dụng phương pháp sai phân để rời rạc phương trình này, rồi áp dụng
điều kiện phối hớp trở kháng sóng.

-

4.
-

(23)
(24)
(25)

Lớp PML không phân tách
Trong kỹ thuật này các thành phần của trường vẫn được giữ nguyên mà không
biến tiến hành phân tách và tiến hành áp dụng phối hợp trở kháng sóng bề mặt
đồng thời thiết kế các thông số làm suy hao năng lượng của các tín hiệu khi đi
vào trong lớp PML.

-

Phương trình Maxwell có thể được viết dưới dạng:

-

Khi áp dụng phương trình Maxwell trên tại lớp PML, ta cần phảo thêm vào các

phương trình trên các hệ số điện môi phức và hệ số từ thẩm phức vì các hệ số
này sẽ đóng vai trò phối hợp trở kháng sóng tại bề mặt và làm suy hao năng
lượng tín hiệu lan truyền tới. Phương trình lan truyền theo phương x là:

-

Các phương trình theo phương y và z cũng được định nghĩa một cách tương tự.

-

Theo điều kiện phối hợp trở kháng sóng PML chúng ta có:

(26)
(27)
(28)

+) Trị số của trở kháng sóng đi từ môi trường mô phỏng sang môi trường PML
tại vùng bề mặt phân cách của hai vùng không gian phải là không đổi.

(29)
(30)

Trong đó là trở kháng sóng của môi trường FDTD và là trở kháng
sóng của lớp PML.
+) Khi xét dọc phương trực giao với biên, hằng số điện môi và hệ số từ thẩm
theo phương này phải là giá trị nghịch đảo khi đi theo phương khác.

(31)
-

(32)
(33)
(34)

Với giá trị của các thông số như sau:
11


(35)

-

Thay (33), (34) vào phương trình (28), (29) và (30) ta được:

-

Hệ số điện dẫn phụ thuộc vào x và sẽ có giá trị tăng dần khi đi sâu vào bên
trong lớp PML, do đó khi x tăng thì có thể sẽ tănghoặc giảm tùy thuộc vào vị
trí của lớp hấpp thụ PML.

-

Từ (33) (34) và (28), (29) thay vào phương trình (26), (27) ta được:

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

12


III.

Tổng quan về tinh thể quang tử

1 Giới thiệu chung
-

Tinh thể quang tử là các cấu trúc nanô quang học có ảnh hưởng đến sự lan
truyền của các hạt photon trong nó tương tự như cách mà các tinh thể bán
dẫn tác động lên chuyển động của electron. Các tinh thể quang tử xuất hiện một
cách tự nhiên trên vỏ Trái Đất ở nhiều dạng và đã được nghiên cứu từ đầu thế kỷ
20.

-

Năm 1887, nhà vật lí người Anh Lord Rayleigh thử nghiệm các ngăn điện môi
nhiều lớp tuần hoàn, cho thấy chúng có khoảng cách quang tử trong không gian
một chiều. Sự quan tâm về đề tài này đã tăng lên cùng với công trình vào năm
1987 của Eli Yablonovitch và Sajeev John về cấu trúc quang học tuần hoàn
nhiều chiều - nay được gọi là tinh thể quang tử.

Hình 5: Tinh thể quang tử tự nhiên

Hình 6: Tinh thể quang tử nhân tạo

13


-

Tinh thể quang tử có thể chia làm tinh thể 1 chiều, 2 chiều hoặc 3 chiều

-

Tinh thể quang tử một chiều cấu tạo bởi các lớp xen kẽ có hằng số điện môi khác
nhau xếp chồng lên nhau

-

Tinh thể hai chiều có thể được tạo ra bằng cách chồng các khối trụ lên nhau
bằng phương pháp khắc, hoặc bằng cách khoan lỗ trong một bề mặt phù hợp.

-

Tinh thể ba chiều có thể chế tạo bằng cách khoan dưới các góc độ khác nhau,
xếp chồng lên nhau nhiều lớp 2 chiều, dùng laze trực tiếp...

Hình 7: Tinh thể quang tử 1 chiều (1D), 2 chiều (2D), 3 chiều (3D)
Tinh thể quang tử 1 chiều (1D)
Các tinh thể quang tử 1-D có hình dạng đơn giản nhất. Chúng gồm có các tầng
của hai lớp điện môi khác nhau và vì vậy chúng cũng được gọi là các màng

nhiều lớp.

5.
-

14


Hình 8: Tinh thể quang tử 1 chiều
-

Ngoài ra, các tinh thể quang tử này còn có thể xác định các mode ánh sáng.
Thuộc tính duy nhất này của tinh thể quang tử một chiều làm cho chúng có ích
trong chế tạo của gương điện môi hoặc phân bố bộ lọc quang học phản hồi
(DFB).
Tinh thể quảng tử 2 chiều (2D)
Tinh thể quang tử 2-D: Là tinh thể mà cấu trúc của nó là sự sắp xếp tuần hoàn
cuả vật liệu điện môi theo 2 trục (x,y) và đồng nhất theo trục thứ 3 (z). Tinh thể
quang tử 2-D có ba mô hình thiết kế rất đặc trưng, mỗi mô hình có tính chất
riêng.

6.
-

Hình 9: Tinh thể quang tử 2 chiều
-

Sự phản xạ đối xứng gương trong tinh thể khiến các mode được phân cấp vào
hai phân cực riêng biệt, một là phân cực điện ngang (TE) mà tại đó vector điện
trường nằm trên mặt phẳng tuần hoàn, và vector từ trường là trực giao với mặt

15


phẳng trên; một phân cực khác nữa là phân cực từ ngang (TM), trong đó chiều
của điện trường và từ trường là đối ngược với của TE.
Tinh thể quang tử 3 chiều (3D)
Tinh thể quang tử 3-D: Là tinh thể mà cấu trúc của nó là sự sắp xếp tuần hoàn
của vật liệu điện môi theo 3 chiều trong không gian.

7.
-

Hình 10: Tinh thể quang tử 3 chiều
Những thuộc tính thực sự của tinh thể quang chỉ tồn tại ở dạng 3-D. Do sự chế
tạo và phân tích của những cấu trúc này là rất khó, vì vậy tinh thể quang tử 2-D
thường được sử dụng. Thật ra, tinh thể quang tử 2-D có hầu hết thuộc tính của
PC 3-D hơn nữa chúng lại có thể dễ dàng chế tạo. Do vậy, ta tập trung vào dạng
2-D của tinh thể quang tử.

-

IV.

Nguyên lý truyền dẫn và điều khiển ánh sáng

1 Vùng cấm quang (photonic band gap)
-

Thuộc tính quan trọng nhất của tinh thể quang tử đó là vùng cấm quang tử,
nghĩa là ánh sáng với dải tần số đã biết không được phép lan truyền trong tinh

thể. Nhiều ứng dụng của tinh thể quang tử, đặc biệt là loại 2-D và 3-D, phụ
thuộc vào vị trí và bề rộng của vùng cấm của chúng. Ví dụ, một tinh thể có
vùng cấm có thể hoạt động như một bộ lọc băng hẹp, bỏ qua tất cả các tần số
trong vùng cấm hoặc nó có thể được sử dụng như là một bức tường phản chiếu,
hình thành một khoang cộng hưởng cho các chế độ bên trong vùng cấm. Có thể
nói rằng trong tinh thể quang tử, hằng số điện môi càng khác nhau nhiều thì
vùng cấm càng rộng

16


Hình 11: Vùng cấm quang
Vùng cấm quang tử có thể loại bỏ bức xạ điện từ trong một khoảng tần số. Tần
số trung tâm của khoảng cách loại trừ có thể xác định bởi các thí nghiệm ở bất
cứ đâu từ quang cho đến sóng cực ngắn. Chiều rộng của khoảng cách sẽ là rất
lớn, ít nhất 20% của tần số trung tâm, sự bức xạ ngoài khoảng cách đó sẽ được
truyền qua vật liệu, trong khi bức xạ trong khoảng cách sẽ được phản xạ. Trong
khoảng cách bức xạ được tạo ra bên trong vật liệu sẽ bị mắc kẹt. Ứng dụng cho
một loại vật liệu như vậy sẽ rất đa dạng: từ lọc và tiếng ồn ức chế để sửa đổi
của chân không điện và ngăn chặn của xạ tự phát.

-

8.
-

-

Các sai hỏng đường trong tinh thể quang tử
Sự tồn tại của các sai hỏng trong cấu trúc mạng tuần hoàn tạo ra những trạng

thái trong vùng cấm quang tử.
Khi tinh thể quang tử có sai hỏng, cấu trúc vùng bị thay đổi. Trong vùng cấm
quang tử lúc này sẽ xuất hiện những tần số cho phép ánh sáng truyền qua. Sự
xuất hiện của các tần số ấy khiến cho tinh thể quang tử có những tính chất vô
cùng đặc biệt: khả năng chọn lọc, giam giữ ánh sáng, khả năng dẫn truyền và
khuếch đại ánh sáng. Chính vì vậy, tinh thể quang tử có sai hỏng được quan tâm
nghiên cứu và ứng dụng nhiều hơn trong thực tế.
Sai hỏng đường của tinh thể quang tử là một dãy các sai hỏng điểm liên tiếp
trên một đường thẳng hay trên một hướng nào đó. Hiện tượng xảy ra trong
Sai hỏng đường tương tự như đối với sai hỏng điểm, nếu ánh sáng chiếu đến có
tần số nằm trong vùng cấm quang tử thì sẽ bị giữ lại bên trong sai hỏng đường.
Nhờ vậy, photon ánh sáng sẽ được lan truyền theo đường dẫn là một sai hỏng
mà không thể xâm phạm các phần khác của cấu trúc, làm cho năng lượng tiêu
hao rất ít, chính vì thế sai hỏng đường được ứng dụng trong ống dẫn sóng với
ưu điểm hơn hẳn so với sợi đồng và sợi quang trước đây.
17


Hình 12: Sai hỏng đường trong mạng tinh thể
Bộ chia quang
3.1. Giới thiệu bộ chia quang
9.

-

-

-

Trong thông tin quang, bộ chia quang là bộ chia hay ghép quang được sử dụng

để phân tách hoặc kết hợp các tín hiệu quang trong hệ thống mạng quang khác
nhau. Là thiết bị thụ động không cần nguồn nuôi, cho phép chia một đầu vào
quang học thành nhiều đầu ra quang đồng nhất với hiệu suất quang học cao,
tính ổn định và độ tin cậy cao đáp ứng các yêu cầu ứng dụng khác nhau.
Việc sử dụng bộ chia quang là việc cần thiết. Với giá thành rẻ hơn so với cáp
đồng, có thể lắp đặt ở bất kỳ đâu, mọi vị trí, không phụ thuộc vào điều kiện môi
trường, không cần phải cung cấp năng lượng cho các thiết bị giữa phòng máy
trung tâm và phía người dùng. Ngoài ra, ưu điểm này còn giúp các nhà khai
thác giảm được chi phí bảo dưỡng, vận hành.
Hiện tại bộ chia quang đang được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực viễn thông,
khi mạng cáp quang phát triển ngày càng mạnh thì nhu cầu sử dụng bộ chia
quang ngày càng lớn.

3.2. Phân loại bộ chia quang
-

-

Bộ chia quang có thể được chia làm 2 loại theo nguyên tắc quang phổ
o Fused Biconical Taper (FBT)
o Planar Lightwave Circuit (PLC): mạch chia sóng quang phẳng
FBT là thiết bị gồm 2 hoặc nhiều sợi quang kết hợp với nhau. Trong khi PLC là
1 thiết bị vi quang thích hợp với in thạch bản, tạo thành 1 ống dẫn sóng quang
học trong môi trường hoặc trên một nền bán dẫn. Về cơ bản cả 2 loại đều thiết
18


kế dựa trên nguyên tắc quang phổ. Cả 2 được chế tạo bằng cách thay đổi các sợi
quang học (mức độ ghép nối, chiều dài ghép nối) cũng như thay đổi bán kính
sợi quang để đạt được kích thước phân nhánh khác nhau.

3.3. Đề xuất bộ chia quang chữ T
Xét mạng tinh thể 2 chiều hình vuông gồm các thanh chắn GaAs có chỉ số
khúc xạ 3,4 tại bước sóng được nhúng trong không khí. Bước sóng này là bước
sóng một trong những bước sóng quan trọng nhất trong quang tử học, do sự hấp
thụ ánh sáng trong bộ lọc quang thông thường là nhỏ nhất ở bước sóng này và
vì vậy nó rất hữu dụng cho việc truyền dữ liệu sợi quang. Bài báo cáo này đề
cập đến việc sử dụng thanh với bán kính 0.18a (với a là hằng số mạng) trong
cấu trúc tinh thể trong sự truyền của ánh sáng cho kết quả tới hơn 90% và sự
phản xạ chỉ khoảng 8%. Vì vậy cũng chúng ta có thể sử dụng tỉ số này cho bán
kính của thanh chắn.

Hình 13: Mô hình tinh thể quang tử 2-D mạng vuông của các thanh
GaAs
Hình 13 chứng minh tinh thể quang tử hai chiều đã được sử dụng cho các
thiết kế của bộ lọc. Đường tròn đặc trưng cho thanh GaAs có bán kính 0.18a.
Sử dụng phương thức PWE, cấu trúc băng tần TE mode của màn chắn trong
hình 6 được tính toán và chứng minh trong hình 7. Như đã minh họa, màn này
cung cấp một vùng cấm băng tần dải rộng cho TM mode trong khoảng của tỉ số
a/λ giữa 0,3 và 0,44.

19


Do chúng ta ưa thích truyền và chia ánh sáng với bước sóng khoảng
1550nm, chúng ta chọn hằng số màn là a=644,8nm. Vì vậy tỉ số a/λ cho λ
=1550nm sẽ là 0.416 và nó ở trong vùng cấm đó. Do bán kính của thanh r có
liên quan tới a bởi r= 0.18a, nên giá trị r sẽ là 116.06 nm. Một bộ lọc lí tưởng
cần chia chùm ánh sáng tới thành hai phần riêng biệt với 50% năng lượng
truyền trong mỗi hướng (truyền 100%) và phản xạ 0 cho toàn bộ dải tần số của
ống dẫn sóng tương ứng

Hình 14: Vùng cấm quang của tinh thể có cấu trúc như hình 13
Hình dạng đơn giản nhất mà có thể được sử dụng như một khớp nối hình T
được thể hiện trong hình 8.

Hình 15: Một khớp nối chữ T đơn giản
20


3.4. Kết quả mô phỏng

Hình 16: Kết quả mô phỏng 2D
Kết quả mô phỏng FDTD cho thấy khớp nối được miêu tả trong hình 8 có thể
chỉ cung cấp 78% sự truyền dẫn (39% cho mỗi nhánh) cho chùm sáng tới và hầu
hết bị phản chiếu.

21


V. Tài liệu tham khảo
[1]. Documentations của phần mềm OptiFDTD và các tài liệu trên Website của phần
mềm này.
[2]. M.S.Wartak, Computational Photonics, Cambridge University Press.
[3]. D. Joannopoulos, S. Johnson, Photonic Crystals-Molding the flow of light,
Princeton University Press.
[4]. Sử dụng Wikipedia và nhiều tài liệu khác trên mạng.

22