CHUYÊN ĐỀ HAY : HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SÔ LÔGARITH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.23 MB, 171 trang )
Văn Tấn Hải
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SÔ LÔGARITH
A - CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARITH CẦN NHỚ
1.Công thức lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý.
1.
a n a.a.a...a
ax a
b x b
6.
n
2.
a x y a x .a y
y
7.
xy
ax
1
y a n n
a
a
3.
a
4.
a x.y a x
5.
a x .b x a.b
8.
a a
x
x
x
y
0
u x
u x 1 x 0 1,
x 0
y
n
9.
x
10.
a . n b n a.b
n
a
m
a
n
m
a
m
n
2. Công thức Logarit: Cho 0 a 1 và b, c 0
1.
loga b x b a x
2.
lg b log b log10 b
7.
(Logarit thập phân)
3. ln b
log e b
6.
e 2,718...
(Logarit tự nhiên hay log nepe)
8.
b
loga b loga c
c
log a b khi lÎ
log a b
log a b khi ch½n
1
loga b log b
loga
b log a a b
4.
loga 1 0 , loga a 1
9.
5.
log a b.c log a b log a c
10.
b aloga b
Công thức đổi cơ số:
1.
2.
logc b
logc a
ln b
1
, log a b
log a b
log b a
ln a
log a b
3.
alogb c clogb a
4.
log ab c
1
1
1
log a c log b c
1
Văn Tấn Hải
3. Hàm số mũ - logarit và đạo hàm:
a) Hàm số mũ: y a x , a 0, a 1
- TXĐ: D
- Tập giá trị: T 0;
- Tính đơn điệu: • Khi a > 1: hàm số đống biến.
• Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.
- Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
- Dạng đồ thị:
y
y = ax
y = ax
y
a>1
0
O
O
x
x
b) Hàm số logarit: y loga x , a 0, a 1
- TXĐ: D 0;
- Tập giá trị: T
- Tính đơn điệu: • Khi a > 1: hàm số đồng biến.
• Khi 0 < a < 1: hàm số nghịch biến.
- Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
- Dạng đồ thị:
2
Văn Tấn Hải
y
y
a>1
y = logax
0
1
O
1
O
x
x
y = logax
c) Đạo hàm của hàm mũ và logarit:
Đạo hàm hàm số sơ cấp:
Đạo hàm hàm số hợp
x .x , x 0
2. a a .ln a
3. e e
1.
u .u 1.u '
a a .u'.ln a
e u '.e
1
x
u
x
x
x
u
u
u
4.
log x x ln1 a
loga u
5.
ln x
u'
ln u
u
a
1
x
,
x 0
u'
u.ln a
B_PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Với chương này thì mình phải học công thức thật kĩ rồi áp dụng cho phù hợp.
Vấn đề 1: Tính toán – Rút gọn các biểu thức
1. Phương pháp:
- Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính các giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức, chứng
minh một biểu thức không phụ thuộc tham số,…
- Cần lưu ý:
+ Với a
, n
, n 1 thì
2n
a2 n a
( VD:
2
22 2 2 )
3
Văn Tấn Hải
2 n a2 n . A khi a 0
+ Ngược lại với A 0 thì a2 n A
2 n a2 n . A khi a < 0
VD: 2 A 2 A
VD: -2 A 2 A
2
2
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1
a) A
256
0,75
4
1 3
27
b)
1
B
49
1,5
2
1 3
125
Giải:
1
a) A
256
4
0,75
1 3
27
Ta quan sát thấy: 0,75
3
4
256 2 8 (bấm máy)
27 33
1
Bây giờ A 8
2
3
4
(bấm máy)
4
1 3
3
3
Ta chú ý đề kêu tính giá trị biểu thức nên mình phải đưa về gọn nhất để tính. Ta thấy 8.
làm gọn và 3.
4
cũng vậy, giờ chủ yếu là làm sao thôi.
3
ax a
Ta có công thức 6: x
b
b
1
8
2
Ta thấy:
3
có thể
4
3
4
1
3
4
2
8
3
4
1
3
8 4
2
x
Mà 1 có mũ mấy cũng bằng 1.
Ta thấy công thức: a x . y a x
y
4
Văn Tấn Hải
1
2
3
8.
4
1
2
2.3
1
1
26 . Lại có: an n
6
2
a
4
1 3
Tương tự cho 3
3
1
4
3 3
3
1
4
3.
3
3
1
34
4
3
Trình bày:
1
Ta có: A
256
1
b) B
49
1,5
0,75
3
4
4
1
1
1 3 1 4 1 3
8 3 6 4 26 34 64 81 145
2
3
2
3
27
2
1 3
125
Tương tự câu (a).
1
Ta thấy:
49
1,5
=
3
1 2
2
7
1
3
2 2
7
áp dụng:
x
ax
a
b
bx
1
1
73 ( áp dụng an n )
3
7
a
2
2
1 3 1 3
Tương tự:
53
125
1
2
3.
3
5
1
52
2
5
Trình bày:
1
B
49
1,5
2
3
2
1
1
1 2 1 3
1 3
3 3 2 73 52 318
2
7
5
7
5
125
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức:
a)
A
3
125 4
. 81
64
98. 5 343
B
5
64
5
b)
5
Văn Tấn Hải
c) C
17
7
3
7
11
5
4 : 4 2 .2
4
5
d)
1
D 31
5
5
3 5
.3 2
Giải:
a) A
3
125 4
. 81
64
Đầu tiên, ta cứ thấy số nào đưa về mũ được thì ta cứ đưa.
Ta thấy: 125 53 ; 64 2 6 ; 81 34
Suy ra: A
3
53 4 4
. 3
26
Tới đây ta có công thức:
n
m
n
m
a m a và
nhưng bản chất cũng chỉ là dạng
n
n
n
m
n
m
a
a
a
k . Công thức thứ 2 mặc dù không ghi
k
n k
b
b
bn
m
n
a a .
m
3
A
3
3
53
26
.3
4
4
53
4
.3 4
6
23
5
15
.3
2
2
4
Trình bày:
3
5
4
3 3
3
125
5
15
5
. 4 81 3 6 . 4 34
A 3
. 4 34 36 .3 4
3 6
64
4
2
2
23
98. 5 343
b) B
. Ta áp dụng
5
64
5
5
n
a . b a.b và
n
n
n
n
a na
b
b
98.343 5 98.343
. Ta thấy: 98 2.49 2.72 ; 343 73 ; 64 2 6
5
64
64
m
98.343 5 2.72.73 5 21.75 5 75
5
5 . Áp dụng:
64
26
26
2
n
am a n
b m b
7
2
6
Văn Tấn Hải
Trình bày:
5
5 5
2.75
7
98. 5 343 5 2.72 . 5 73
7
B
=
5
5 6
5 6
5 5
2
64
2
2
2
5
17
3
11
4
17
7
3
7
47
c) C 4 7 : 4 7 2 5 .2 5
17
Ta thấy: * 4
:4
4
am
¸p
dông
amn
n
a
17 3
7
47
3
7
14
4 7 42
11
5
4
5
* 2 .2 2
2
15
5
11 4
5 5
( áp dụng a x .a y a x y )
23
Trình bày:
C 4
17
7
3
7
11
5
4
5
: 4 2 .2
4
17
7
4
1
d) D 31
3
5
5
3
7
11
5
4
5
14
7
2 .2 4 2 4 2 23 8
1 5
3 5
3 5
3.
1 5
2
.3 3
.3 2
3 5 3
1 5
.3
3 5
2
3
15
5
3 5 3 3 5
2
1 5
¸p dông a a
m
21 5
2 3 5 3 3 5 1 5
3
n
m. n
6 5 6 3 5 15
9 5 9
2 1 5
2 1 5
3
3
21 5
9 1 5
3
3
9
2
8
2 39 2 3.38 3. 38 3.3 2 = 3.34 81. 3
Trình bày:
D 3
1 5
1 5
9 1 5
3
2 1 5
1 5 . 3. 3 5
3 5 3 3 5
35
1 5
2
2
.3 3 1 5 2 3
.3 3
3
2 3 5 3 3 5 1 5
2 1 5
3
6 5 6 3 5 15
9 5 9
2 1 5
2 1 5
3
9
3 2 2 39 2 3.38
7
Văn Tấn Hải
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
c)
2 1
1
a .
a
2
a
b)
a . 4 a 2 : a 4
d)
a 2 .a1,3 : 3 a3
3
3
2
Giải:
2 1
1
a) a .
a
n
1
1
( áp dụng n a n )
a
a
1 2
a .a
2
2
a ( áp dụng an .am anm )
2 1 2
a
1
2
4
2
b) a . a : a
c) a
4
3
a
3. 3
1,3
3
3 2
3
2
1
4 2
a
a2
a4
a2
a . 4 a . a 2 a
a . 4 4 a .
4 4
a
a
a
a4
d) a . a : a
a3 ( áp dụng am am.n )
n
a 2 . a1,3
3
a3
a 2 . a1,3
2
a
3 2
3
a 2 .a1,3
a
2
a1,3
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức rồi tính:
a)
b)
3
2 3
a . a2 3 9 6
a . a , a 0 ( áp dụng với a 1; a 3 )
6
a
b 3 27 b3 3 7
B
6 4 b , b 0 ( áp dụng với b = 27 )
6
b 81
b
A
Giải:
3
2 3
3
2
2
3
6
1
a .a
a . a
9 6
3
3
a) A
a . a 1 a .a 9
6
a
a6
a
3 2
2 3
a
1
6
2
a
1 6
3 9
a
13
6
a
1
6
a a
13 1
6 6
( áp dụng
n
a a
m
m
n
)
am
a ( áp dụng n a m n )
a
a2 a
• Với a 1 a2 a 1 1 2
8
Văn Tấn Hải
• Với a 3 a2 a 32 3 12
1
2
3 3
b 3 27 b
b
3 b3
3 7
b) B
3 b7
64 b 1
6
3 6
b 81
b
b 4 34
b6
3
b
3
3
7
1
7
3 b3
3 b3
6 4 b 3 b3 2 b3
b 3
b 3 34
1 1
2 6
1
1
3
7
2
3 b3 3 73
b 2 . 2 .b b 3 b 3.b 3
b 3 b
1
3
1
3
b b 3. b 3 b 3 3 b b b 2 3 b ( áp dụng
m
a k m a 1 k m a )
3 3
• Khi b 27 thì B 27 2 3 27 27 2 3 27 6 21
Ví dụ 5: Đơn giản các biểu thức sau:
a)
a2
a
2
b2
b
2
a
2 5
3
3
2
5
3
a b
a
b)
1
b
5
a
c)
3
7
3
7
b
d)
2 7
3
1 a2
2 3
a4
a
b
3
2
3
a 3 a3
a
3
3
1
4 ab
Giải:
a)
a2
a
b2
2
b
2
Ta thấy: a
a
2
b
a2
a
2
2
3
3
2
b
2
2
a2
b2
b
1
3
3
3
2
3
2
là một hằng đẳng thức nên cứ khai triển bình thường.
2
2a 2 b
1
3
a2
a2
2
b2
2
3
b2
2a 2 b
3
3
b2
3
1
9
Văn Tấn Hải
Ta thấy ở mẫu có a2
làm được gì không?
a2
2
b2
2
b2
3
a2
a2
2
2a 2 b
2a 2 b
2
Ta thấy trên tử: 2a2
mà có thêm số 1 đứng một mình nên ta cứ quy đồng lên để xem có
3
2
3
b2
3
b2
3
3
2a 2 b
2a
3
2a2
2
a2
a
2
2
2a 2 b
2a 2 b
2
b
3
3
3
b2
3
mà dưới mẫu thật ra là a
2
b
3
nên ta
2
có thể làm gọn đi.
a
2
2a
a
b
2
b
2
3
3
2a
2
2
. Đây là đáp án cần tìm.
a
2
b
a2
2
b2
3
2
3
Trình bày:
a)
b)
a2
2
b
2
a
2
2a
a
a
b2
a
3
2
2
1
b
b
2
2 3
3
3
2
1 a2
a4
3
3
3
2
a
3
b
2
3
b
3
2
b
3
a 3 a3
3
3
a
Thấy a3
3
3
1 a
3
2
3
a2
2
2a 2 b
a
2
b
1 a
3
1
3
a
3
3
1 a2
a
3
1 d¹ng a
3
b2
1 ( áp dụng am.n am
3
a 3 .a 3 a 3 a 3 .a2
a 3 .a3 3 a
1 a
2
3
3
b2
3
2
3
a
* a4
a2
3
3
2
2
Nó có dạng: a b a b a b a
* a2
2
2
a 3 a3
a
Ta quan sát thấy a2
2a
a
a
3
a
3
3
3 3
2
1 a
3
n
)
3
( áp dụng a x y a x .a y và đặt nhân tử chung)
1
b3 a b a 2 2 ab b 2
10
Văn Tấn Hải
a 3 1 a2
3
a 3 1
Trình bày:
a
2 3
1 a2
a4
a
3
a
3
a
a
3
1 a
a
c)
3
2 5
3
5
a 3 a3
a
3
3
a b
a
3
1 a
a 1 a a
1 a a 1
3
2 3
7
3
a
1 .a
3
a
1 .a
b
5
3
3
3
3
3
a
3 3
3
1
3
1 a2
3
3
1
7
b
2 7
3
5
3
và b
7
3
là chính, và trên tử là a
không làm được gì cả, nên ta thử chuyển ở tử sao cho xuất hiện a
5
7
5
a 3
a
a
7
5
3
5
và b 7 . Nếu chỉ để vậy ta
và b
7
3
.
3
7
a 3
3
3
5
2 3
Ta quan sát coi dưới mẫu có số a
a
Ta thấy
a
3
( áp dụng am
5 7
a 3 a 3
3
n
a m.n )
ta thÊy cã d¹ng a
3
b3 a b a 2 ab b 2
7 2 5
5
7
2 7
5
3
3
3
3
3
a a a a .a a 3
Ta đã thấy có 1 vế giống mẫu nên có thể rút gọn được.
Trình bày:
11
Văn Tấn Hải
3
a
a
2 5
3
a b
a
a
d)
b
5
3
5
3
a
5
7
7
3
b
2 7
3
5 7
a 3 a 3
a
2 5
3
5
3
a b
7
3
b
3
7 2 5
5
7
2 7
5
3
3
3
3
3
3
a
a
a
a
.
a
a
2 7
3
a
2 5
3
5
3
a b
7
3
b
2 7
3
7
3
b
2
1
4 ab
Ta thấy: a b
2
a2 2a b b2 a2 2 ab b2 ( áp dụng a x .b x ab )
x
1 1
4 ab 4 . ab 4. ab
a2 2a b b2 4a b a2 2 ab b2 a b
a
b
2
2
a b
Trình bày:
a
b
2
1
4 ab a 2 2 a b b 2 4 a b a 2 2 a b b 2
a
b
2
a b
9
1
3
14
4
2
2
a a b b 3 a 6 b14
: 1
. 4. 2
Ví dụ 6: Cho biểu thức M
5
1
1
a
a4 a4 b2 b 2 b
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a 5 ; b 2 .
Giải:
9
4
2
1
4
9
4
a) Ta quan sát thấy: a a
1
4
a .a
2
1
4
1
4
1
4
1
4
a a a a .a a 1 a
2
2
1
4
a 1 a 1 a
12
Văn Tấn Hải
1
1
5
1
* a4 a4 a4 a4
* b
1
2
1
1
1
3
2
b , mục đích là ta tìm cách đặt nhân tử chung như ở phía trên.
3
2
Thấy b b
1
2
1
2
1
2
2
b .b 2
1
2
3
2
1
2
b b b b .b b
1
2
Tương tự: b b
1
2
3
1
b
2
1
2
a 6b
a
. 2 4
4
b
a
b
14
Còn :
1
a 4 a 4 .a a 4 1 a
b
1
3
1
2
1
2
1 b
2
b
1
2
1
2
b.b b
1
6
1
3
14
6
1
2
1 b 1 b
b
1
2
1
3
b 1
7
3
1
3
7
3
7 4
b
a b
a b
a b
. 2 4 . 2 4 . 1 1 . 4 b 3 3 b
a
b3 a6
b3 a3 a3 b3
14
Vậy là xong.
Trình bày:
9
1
3
14
4
2
2
a a b b 3 a 6 b14
: 1
. 4. 2
M
5
1
1
a
a4 a4 b2 b 2 b
1
1
1
1
14
14
2
2
4
2
2
3
a a .a b b .b a b 6
1
:
. 4. 2
1
1
1
a 4 a 4 .a b.b 2 b 2 b 3 a 6
1
14
1 7
2
a
1
a
1
a
b
1
b
1
b
: . a 3 . b 3 1 a .b
1
1
1 4 1 b
4
2
a
1
a
b
b
1
a 3 b 3
b) Với a 5 ; b 2
M
1 5
. 2 4
1 2
Bình luận:
Với các dạng bài tập rút gọn chủ yếu mình chia ra từng cụm để phân tích rồi ghép lại. Công thức
áp dụng không có gì nhiều, khi làm chủ yếu là biến đổi cho linh hoạt.
Ví dụ 7: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
a) A 2. 2 2
5
3
b) B a. a. a. a : a
11
16
a 0
13
Văn Tấn Hải
c) C
4
d) D
x2.3 x
5
b3 a
a b
ab 0
Giải:
1
5
3
a) A 2. 3 2 2 2. 2.2
5
1
1
2
1
31
1
.
1 3
5
1 1 3 5
= 5 2. 2.2 2 5 2. 2 2 2.2.2 3 2.2 2
1
1
31
3
.
12 5 1 12 5 23 5
25
10
2.2 2 2 2 2
Nhận xét:
Thật ra ta chỉ đang đưa từng số về dạng mũ, ta cứ lấy từ trong ra ngoài. Kiến thức ta áp dụng chỉ
m
n m
n
a a
là: a x .a y a x y
x y
x .y
a a
Bạn nào muốn gọn thì có thể làm như thế này.
1
1
1
1
1
1
5
5
1
3 5
3
1 3
3 3
5
2
2
5
3
2
10
2
2 .2 2 2
A 2. 2 2 2.2 .2 2 .2
Còn không nhìn cách trên rối quá ta có thể xét một cách làm khác đơn giản hơn. Ta coi từng con số
chịu ảnh hưởng bao nhiêu cái căn thức.
1
Dễ thấy : số 2 đầu tiên chịu ảnh hưởng của căn 5 5 2 2 5 , số 2 thứ hai chịu ảnh hưởng của
căn 5 và căn 3 5
5
3
3
2 2
1
5.3
, số 2 thứ 3 chịu ảnh hưởng của ba căn thức căn 5, căn 3 và căn 2
1
2 2 5.3.2
1
5
1
5.3
Từ đó ta có : A = 2. 2 2 = 2 .2 .2
5
3
1
5.3.2
2
1 1 1
5 15 30
3
10
2
14
Văn Tấn Hải
1
b) Ta có: a. a. a. a a. a. a.a
1
7
23 2
34 2
a. a. a a. a.a a.a 8
1
2
1
15
78 2
16
a
a.a
B a. a. a. a : a
15
16
11
16
a :a
11
16
a
15 11
16 16
a
1
4
Cách trình bày khác:
1
B a. a. a. a : a
1
2
1
2
11
3 2
2
16
a .a .a : a
11
16
1
1
2
3 12 2 11
7
11
1
4 1
8
16
16
a .a : a a : a
15
1
a 16
a
a4
11
16
Hoặc cách làm khác tương tự như cách trên :
11
B a. a. a. a : a 16
1
1
1
1
11
1
1
1
1
11
1 1 1 1
4 8 16
= a 2 .a 2.2 .a 2.2.2 .a 2.2.2.2 : a16 a2 .a 4 .a8 .a16 : a16 a2
11
15
11
15 11
16
: a16 a16 : a16 a16
1
a4
1
c) C
4
4
x 2 . 3 x x 2 .x
1
3
7
2 13 4
12
x x
1
5
1
5
1
1
2
2
2
1
2
2 5
1
15
1
1 5
a
b
a
b
b
a
b
. . 1 a 3 .b 3 a 3 .b 3 a 15 .b 15 2
d) D 5 3
a
a b b a
3
b
a 15
1
3
1
3
2
a 15
b
15
Văn Tấn Hải
4a 9a 1 a 4 3a 1
Ví dụ 8: Cho biểu thức:A 1
1
1
1
2
a2 a 2
2a 3a 2
Rút gọn và tính giá trị của A khi a 4
2
Giải:
4 a 9 a 1
Ta quan sát thấy
1
2
1
2
1
2
1
2
ở dưới mẫu có 2a và 3a . Lúc này thấy ở trên tử có 4a 9a1
2 a 3a
2 a 3 a1 ta sẽ suy nghĩ đến việc đưa về hằng đẳng thức để rút gọn tử và mẫu.
2
2
2
Ta có:
4 a 9 a 1
1
1
2 a 2 3a 2
Tiếp tục:
a 4 3a 1
1
2
a a
2
1
1
12
12
12 21
2
2 a 3a 2 a 3a 2
2 a 3a
1
1
2
2 a 3a 2
1
1
1
1
2 a 2 3a 2
2 a 2 3a 2
ta cứ thử nhiều cách để xem có hướng nào không?
1
2
Giả sử ở mẫu có
1
2
a a
1
2
1
2
a a
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a a .a a 1 a
1
1
1
a 1
= a 1 a2
a
a
1
2
Ở mẫu không còn a1 nữa, nhưng ở tử còn 3a1 , ta sẽ biến đổi cho mất.
a 4 3a1 a 4
a2 4a 3
3
a
a
Lúc này ta thấy có thể gọn hơn.
a2 4a 3
a2 4 a 3 a 1 a 3 a 3
a
1
1
1
1
a 1
2
2
2
a a 1
a2
a
a a 1
a
1
2
Ta thấy: 2a 3a
1
2
a3
a
3a
1
2
1
2
2a
3
a
1
2
a3
a
1
2
1
2
1
2
2a .a 3
a
1
2
a3
a
1
2
2a 3 a 3
a
1
2
3a
a
1
2
1
2
16
Văn Tấn Hải
2
1
A 3a 2 9a
Ở đây ta cứ biến đổi ở trong ngoặc trước giống như làm nháp vậy, rồi mới trình bày.
Trình bày:
4a 9a 1 a 4 3a 1
A 1
1
1
1
2
a2 a 2
2a 3a 2
2
1
1
12
12
2
2 a 3a 2a 3a 2
2
a
4
a
3
1
1
1
2 a 2 3a 2
a 2 a 1
2
2
1
1
12
12
2
2
2
2
a
3
a
2
a
3
a
1
1
a 1 a 3 2a 2 3a 2 a 3
1
1
1
1
2
2
2
2 a 3a
a a 1
a2
2
2
2a 3 a 3
3a
1 9a
1
2
a2
a
Khi a 4 A 9.4 36 .
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức sau:
1 1
ab
a b 14
1
: a b4
A
3
1
1
1
a 4 a 2 .b 4 a 4 b 4
1
2
a)
1
2
b)
3
3
34
34
4
a b a b 4
B
ab
1
1
a2 b2
Giải:
1
14
a) Ta thấy: a a .b a a b 4 . Lúc này ta nghĩ đến việc trong dấu ngoặc vuông có mẫu
1
1
1
chung là a 2 a 4 b 4 .
3
4
1
2
1
4
1
2
17
Văn Tấn Hải
1
1
1
1
1
1
2
2
ab
a 2 b 2 14
a
b
a
b
1
.
3
1
: a b4 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
4
4
4
4
4
2
4
4
4
a
a
.b
a
b
a a b a b a b4
1
1
1
1
12
12
2
2
2
1
1
a b a a b
b a b2
a 2 .b 2 b
1
1
. 1
.
. 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
14
4
4
2
4
4
2
2
4
4
4
a
b
a
a
b
a
b
a a b
a a b
a b
2
2
14 14
Tới đây ta hãy chú ý: a b a b ( đây là dạng a2 b2 )
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
b 2 a 4 b 4 a 4 b 4
2
b
b
1
.
1 1 1
1
1
1
a
a2
a4 b4
a2 a4 b4
Trình bày thì em dựa vào cấu trúc đã ghi, cứ làm theo ý của mình.
3
3
34
34
4
b) Ta quan sát thấy a b a b 4 thì ta thấy nó có dạng
3
2
a b
a b . a b a
2
b2
3
2
3
3
12 12
Ta thấy: a b a b ( Dạng a3 b3 a b a2 ab b2
2
2
1
1
1
1
1
1
12
12
12 12
2
2
2
2
2
a b a a .b b a b a a .b 2 b
3
2
3
2
Ráp vào:
3
3
1
1
1
34
12
34
4
4
2
2
a b a b
a b a a .b 2 b
B
ab
ab
1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
18
Văn Tấn Hải
1
1
1
2
1
2
a a 2 .b 2 b ab ( Ta có:
1
2
1
1
1
ab ab 2 a 2 .b 2 )
1
2
a a .b b a .b a b
Trình bày:
1
1
1
3
3
34
12
34
2
2
4
4
3
3
a b a a .b 2 b
a b a b
2
1
1
a b2
2
a .b 2
ab
B
ab = 1
1
1
1
1
1
a2 b2
a2 b2
a 2 b 2
1
2
1
2
1
2
1
2
a a .b b a .b a b
Ví dụ 10: Đơn giản các biểu thức sau ( giả thiết chúng có nghĩa ):
a)
3
2
3
1
2
a 14
a
b
4
:
a
b
A
b 3 a a b 3
b) B
a2 4
2
a2 4
a
4
2a
Giải:
3
2
a3 b a
Ta thấy: 3
b a a b3
a
2
b3
2
3
3
2
1
1 3
a 2 .b 2
2
2
13
a.b
1
b.a 3
3
2 12
a
3
a.b 2
2
1 13
a
1 1
b 3
3
2
1
1 1 3
a 2 .b 2
2
.
32
a
1
a
1
1 3
23
.
.2
.2
b a.b3
32
2
2
b
a .b
23
1
1 14
a
A 3 : a b4
b a.b
a2 b2 1
1
1
3 4
ab a b 4
Tới đây ta không thể làm gọn hơn được nữa.
Trình bày:
19
Văn Tấn Hải
3
2
3
1 13
1
1
2
a
a
a b
4
4
A
b 3 a a b3 : a b 1 1
3
b
1
a2 b2 1
1 1
a
3 : a4 b4
1
1
b a.b
ab3 a 4 b 4
3
2
1
1 1 3
a 2 .b 2
2
1
1
: a4 b4
2
b) Ta thấy:
a2 4
4 thì cứ giải quyết phía trong căn.
2
a
a 4 8a2 16 16a2
a4 8a2 16
a 4 8a2 16
4
4a2
4a2
4a2
a2 4
2a
2
a
2
4
2
4a2
a2 4
. Có vẻ là gọn hơn rồi.
2a
2a
a2 4
Ráp vào ta được:
2
a
a2 4
a2 4
a
a
4
2a
2a
a2 4
a nÕu a 0
a nÕu a<0
2
Ta thấy vì a 4 0, a , còn a
2 nÕu a 0
a
2 nÕu a < 0
2a
Trình bày:
B
a2 4
2
a2 4
a
4
2
a
2 nÕu a 0
2 nÕu a<0
a2 4
a
a4 8a2 16
4a2
a2 4
a2 4
a
2a
2
2a
a2 4
2
a
a 4
a
2a
20
Văn Tấn Hải
Ví dụ 11: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào b :
1
b b 12
2
B 1 2
:
a
b
a a
2
a 0, b 0, a 0
Giải:
b b
cớ dạng a2 2ab b2 với a 1 , b
a a
Ta thấy: 1 2
b b
b
1 2
1
a a
a
b
.
a
2
Ráp vào B, ta được:
2
2
2
1
a b
b 12
2
:
a
b
B 1
:
a
a
a b
2
1
a
2
1
a
Bình luận:
Khi làm xong các bài tập trên suông sẻ thì kỹ năng về hàm mũ của em đã kha khá, vì muốn làm
các bài tập về giải phương trình mũ thì yếu tố biến đổi tốt là tất yếu. Bây giờ, anh sẽ cho bài tập
và chỉ giải chi tiết chứ không đưa ra phần phân tích trước khi giải.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
1
3
1 3 1 5
a ) 16 0,75
243
125
1
c) 64
81
2
3
0,75
250,5
1
3
2
3
b) 0, 001 2 .64 27
d) 0,5
4
2
1
6250,25 2
4
1
1
1
2
1
3
70
2
19 3
3
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
4
a) x 2 3 x x
x 0
b) 5
b3 a a
a b b
21
Văn Tấn Hải
11
c)
23 2 2
3 3 3
3
d)
a a a a : a 16 a 0
Bài 3: Đơn giản các biểu thức sau a, b 0 :
a)
4
a3 b 2
3
12
a b
4
b)
6
1
7
1
3
4
3
a3 a3
a a
1
5
a 3 a3
2
3
a a
1
3
Bài 4: Đơn giản các biểu thức sau a, b 0 :
a b
a 4 ab
4
a4b 4a4b
a)
ab
3
ab
:
3a3b
c)
3
ab
ab
3
a3b 3a3b
b)
a3b
a 1
2
d)
3
4
.
1
a a2
a 4 a 14
.a 1
a 1
Bài 5: Đơn giản các biểu thức sau:
a)
a
a
3 1
5 3
3 1
1
b) a .
a
2 1
a 3
b) 3 1
b
3 1
2
.a 4
5
Bài 6: Đơn giản các biểu thức sau:
a) a 2
c)
a2
a
1
2
2 1
a
2
2
b2
b
3
3
2
2 1
1
d)
x
y
.
2
a 1 3
b 2
1
4 xy
a1n a n
n1
n
b
b
Bài 7: Chứng minh rằng biểu thức M ab
, với 0 b a không phụ
n
ab
thuộc vào giá trị của a và b .
n
22
Văn Tấn Hải
Bài 8: Cho biểu thức: M
ab 2 ab 1
a
2
1 2
a 2 b a 2 b 1
b
3
a) Chứng minh M không phụ thuộc vào b .
b) Tính giá trị của M khi a 2 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
1
3
1 3 1 5
24
a) 16 0,75
125
243
1
3
2
3
b) 0, 001 2 .64 27
10
2
1
1
3
5
3
1
3
1
3 3
10
7
0
3
2
5
3
5
23 5 33
2
6 3
2
2
3
3
2
4
3
175
8
12
24
1
566
34 1 10 4 1
2
2
81
81
1
c) 64
81
2
3
0,75
25
0,5
24 33 51 16 27
0,5
d)
3
4
4
2
6 3
3
2
4
3
4
5
2
1
2
1 214
5
5
1
6250,25 2
4
1
1
2
19 3
3
3
2 1
4
1
4 4
5
3 2 2
1
+19.
3
3
2
3
3
19
8 19
3
2 19
2 5
24 5
16 5
10
27
27 27
2
3 27
4
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
1
4
a) x 2 3 x x
4
x
23
x.x
1
2
1
1
5
3 3
52 4
4
2
2 2
2
4
x x x .x x x 8
23
Văn Tấn Hải
1
3
1
1
b a a 5 b 3 a a 2 5 b 3 a 2 5 b a 2 5 b b 2
.
b) 5 3
.
.
a a
a b b
a b b
a b
a b
1
1
b 2 b 10
5
a
a
Cách khác:
1
5
1
1 1 1
15 30
1
1
b 3 a a b 5 a 3.5 a 2.3.5 b 5
.
.
a b b a b b
a
1
3
3
c)
2 3 2 2 2 2
.
3 3 3 3 3
a a a a :a
d)
11
16
11
.
33
1
2
2
.
3
1
2.2
a .a .a
111
. .
233
1
2.2.2
.a
2
3
1
2.2.2.2
:a
b 10
a
1 1 1
3 9 18
11
16
2
3
a
1
2
1 1 1 1
2 4 8 16
11
16
15
16
:a a :a
11
16
a
1
4
Bài 3: Đơn giản các biểu thức sau a, b 0 :
a)
4
3
b)
a3 b 2
12
a b
1
3
7
3
1
3
4
3
a a
a a
4
a3 .b 2
12
6
6
a 2.3 .b 2.3
1
3
a a
2
3
a a
5
3
1
3
a3 .b 2
2 ab
a .b
1
3
a 1 a
1
3
2
1
3
a 1 a
a 1 a
a
2
1
3
1 a 1 a 2 a
1 a
Bài 4: Đơn giản các biểu thức sau a, b 0 :
a b
a ab
a)
4
a4b 4a4b
4
4
a4b
4
4
a4b
a b
4
2
4
a
a
ab
ab
b)
3
a3b 3a3b
4
4
4
2
4
b
4
a4b
4
a4b
a b
4
a
4
4
2
4 ab
a4b
a4b 4a4b
a b a b
3
3
3
3
a3b
3
3
3
3
3
3
a3b
24
Văn Tấn Hải
3
a3b
3
a2 3 a . 3 b 3 b2
3
a3b
3 a2 3 a . 3 b 3 b2
ab
3
ab
c) 3
:
a3b
a3b
3
3
3
3
3
4
a a
a a
.a
a 1
1
4
4
1
2
.
a b
3
3
2
a3b
1
a2 3 ab 3 b2
a2 2 3 ab 3 b2 :
3
a3b
2
a 1
3
a2 3 a . 3 b 3 b2
3
a3b
3
3
3
3
3
3
ab :
3
3
a3b
3
a3b
3
a3b
2
:
1
ab
a b
ab :
3
2
a2 3 a . 3 b 3 b2
3
a3b
3
a 1
d)
3
a3b
2
2
a3b
2
1
1
a 1 a2 a4 1
.
.a 4 1 a 1 1 a
1
1
1
a 1
a4 a2 a4
Bài 5: Đơn giản các biểu thức sau:
a
a)
3 1
a
5 3
3 1
.a 4
1
b) a .
a
5
a
a
2 1
3 1
5 3 4 5
a 2 . a1
2
3 1
a31
a
a
2 1
a 2 .a1
2
a
2 1 2
a
Bài 6: Đơn giản các biểu thức sau:
2 1
a) a
a2
2 1
1
a 2 2 a
2 1
a
2
2
2 2 2 2 2 1
2 2 1
.a
a
a3
2 2
a 3
b) 3 1
b
3 1
a 2
2
a
2 1
2 1
3 1
a 1 3
a
. 2
3 1
b
b
3
2 1
a 1 3 a3 3 1 3 2
. 2 2 .a
.b a3
3 1
b
b
3 1 3
a2
25
