CHUYÊN ĐỀ 03 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (209.71 KB, 27 trang )
CHUYÊN ĐỀ III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c
a ' x + b ' y = c ' trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
{ A} thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) ∩ (d’) =
(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm
•
Hệ phương trình tương đương
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có
một phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào
đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
3 x − 10 + 4 x = 4
7 x = 14
x = 2
x = 2
3 x − 2 y = 4 3 x − 2 ( 5 − 2 x ) = 4
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
y = 5 − 2x
y = 5 − 2x
y = 5 − 2.2
y =1
2 x + y = 5
y = 5 − 2 x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 2;1)
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
3 x − 2 y = 4
3x − 2 y = 4
7 x = 14
x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
2 x + y = 5
4 x + 2 y = 10
2 x + y = 5
2.2 + y = 5
y =1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 2;1)
1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
− x + 3 y = −10
x − 5 y = 16
19
3 x + 2 y = 8
2 x − 3 y = −12
37
2 x + y = 4
2 x + 0 y − 6 = 0
2.
2 x + y = 7
− x + 4 y = 10
20
2 x + y = 5
x + 7 y = 9
38
x − 2 y = 2
2 x − 4 y = 1
3.
3 x − 5 y = −18
x + 2 y = 5
21
5 x + 3 y = −7
3x − y = −8
39
3 x + 2 y − 2 = 0
9 x + 6 y − 4 = 0
4.
4 x + 3 y = −6
2 x − 5 y = 16
22
−2 x + y = −3
3 x + 4 y = 10
40
2 x − y = 2
4 x − 2 y − 4 = 0
5.
2 x − y = x + 3 y + 3
3 x − 3 y = 9
23
x + y = 2
x + 3y = 6
41
x + 2 y = 4
2 x + 9 y = 18
6.
2 x − 4 y = 3
− x + 2 y = 1
24
x − 2 y = −5
3x + 4 y = −5
42
−2 x + y = −3
x + y = 3
7.
x + y = −2( x − 1)
7 x + 3 y = x + y + 5
25
3 x − 2 y = 12
4 x + y = 5
43
x − y = 0
2 x + y = −5
8.
2 x + 5 y = −( x + y )
6 x + 3 y = y − 10
26
2 x − y = 10
5 x + 2 y = 6
44
2 x + y = 0
x − 4 y = 0
9.
3 x + y = −2
−9 x − 3 y = 6
27
5 x − 2 y = 10
5 x − 2 y = 6
45
− x + y = 3
x + 2 y = 3
10
2 x + 5 y = 7
2 x − 3 y = −1
28
3 x + 2 y = 8
4 x − 3 y = −12
46
x − y = 2
3 x − 2 y = 9
11
− x + 3 y = −10
2 x + y = −1
29
2 x + y = −3x − 20
4 x + y = x − 2 y − 12
47
3 x + y = 2
6 x + 2 y = 3
12
2 x + 3 y = −2
3 x − 2 y = −3
30
5 x − y = 1
10 x − 2 y = 0
48
2 x − 3 y = 6
4 x − 6 y = 12
13
2 x − y = 3
3x + y = 7
31
3 x + 2 y = − x
5( x + y ) = −3x + y − 5
49
3 x + 2 y = 6
2 x − 3 y = 4
14
2 x + y = 7
− x + 2 y = −5
32
2 x − 5 y = 1
4 x − 10 y = 2
50
x + 2 y = −2
2 x − y = 1
15
x − 2 y = −5
3x + 2 y = 1
33
2 x + y = 5
x − y = 1
51
2 x + y = 5
3 x − y = 15
16
3 x − 2 y = 12
4 x + 3 y = −1
34
− x + 2 y = −4( x − 1)
5 x + 3 y = −( x + y ) + 8
52
3 x + 2 y = 8
5 x + 2 y = 12
17
−5 x + 3 y = 22
3 x + 2 y = 22
35
x + y = −1
3x − 2 y = −8
53
2 x + 3 y = 5
2 x + 3 y = 1
2
18
3x + y = 0
x + 2 y = 5
0 x + y = 3
x − 2 y = −4
36
54
2 x − 3 y = 5
4 x − 6 y = 10
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
4x + y = 2
1. 8x + 3y = 5
3x − 2y = 11
2. 4x − 5y = 3
5x − 4y = 3
3. 2x + y = 4
4x − 3
x+ y = 5
x + 3y = 15− 9y
14
4.
x+ y x− y
5 = 3
x = y +1
5. 4 2
5x 2y
3 − 5 = 19
4x + 3y = 21
2
6.
Bài 3. Giải hệ phương trình bằng phương phép thế:
1.
x 2
=
y 3
x + y − 10 = 0
2x − 3y = 5
5. x + 2 y = −7
2 x + 4 y = −8
2. x − y = −1
3x − 4 y + 2 = 0
3. 5 x + 2 y = 14
2 x + 5 y = 3
4. 3x − 2 y = 14
2x + 3y = 5
6. 5 x + 4 y = −10
x + 2 y = 6
2x − y = 2
7.
x + 2 y = 6
2x − y = 2
8.
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
( x + 5)( y − 4 ) = xy
;
(
)(
)
x
−
5
y
+
12
=
xy
2.
(3 x + 2)( 2 y − 3) = 6 xy
1. (4 x + 5)( y − 5) = 4 xy
y + 27
2 y − 5x
+
5
=
− 2x
3
4
x + 1 + y = 6 y − 5x
7
5. 3
(2 x − 3)( 2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54
4. ( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12
1
1
2 ( x + 2)( y + 3) − 2 xy = 50
1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
2
6. 2
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
3. ( x + y ) + 2( x − y ) = 5
( x + 2 )( y − 2 ) = xy
( x + 4 )( y − 3) = xy + 6
8.
( x + 20)( y − 1) = xy
7. ( x − 10)( y + 1) = xy
( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = 4
9. ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18
( x − 1)( y − 2 ) = ( x + 1)( y − 3)
( x − 5)( y + 4) = ( x − 4)( y + 1)
10.
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2
( x − y − 3) 2 = ( x − y − 1) 2
11.
9x 2 y
7 − 3 = −28
3x 12 y
+
= 15
5
12. 2
4x − 3
x
+
y
=
5
15 − 9 y
x + 3 y =
14
13.
x + 3 2x − y
+
=4
9
12
2 x − 5 y 3x − 7 y
−
= −55
3
11
14.
2x − 5 y −1 x − 2 y
+
= 16
11
3
7 x + y 2( x − 1)
+
= 31
5
3
15.
3
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1 1 1
x + y = 12
8 + 15 = 1
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: x y
1
1
= a; = b
y
Điều kiện: x; y ≠ 0 . Đặt x
. Ta có hệ phương trình sau:
1 1
1
1
1
=
b
=
b
=
1
8
7
b
=
x = 28
x 28
a + b =
8a + 8b =
21
21
3
⇔
⇔
⇒
⇔
12 ⇔
12 ⇔
y = 21
a + 1 = 1
a = 1
1 = 1
8a + 15b = 1 8a + 15b = 1
a + b = 1
21 12
28 y 21
12
(thỏa
mãn
điều kiện)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( x; y ) = ( 28; 21)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giải các hệ phương trình sau:
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1 1
x − y = 1
2 + 4 = 5
x y
1)
2
x + 1 +
2 +
x +1
2)
2
x − 2 +
2 −
x−2
4)
1
1
+
x + y x − y = 3
2 − 3 =1
x + y x − y
5)
2
=2
y −1
3
=1
y −1
3
=1
y
5
=1
y
1
x − 2 +
2 −
x−2
3)
1
=2
y −1
3
=1
y −1
6
2
+
x − y x + y = 1,1
4 − 9 = 0,1
x− y x+ y
6)
y
2x
+
x + 1 y + 1 = 3
x + 3 y = −1
x +1 y +1
7)
1 1 3
x + y = 4
1 + 1 = 2
6 x 5 y 15
8)
2
1
x − y − 2 = 2
3 + 1 =1
x y − 2
9
3
x
x + y + x + y = 5
2x − 1 = 3
x + y x + y
10)
4
2
−3
x − y + 2 x + y = −2
4 − 10 = 2
x − y 2x + y
11)
2 1
x + y = 2
6 − 2 =1
14) x y
x
x
y − y + 12 = 1
x − x =2
x − 12 y
12)
15)
2 ( x + y ) = 5 ( x − y )
20
20
x+ y + x− y = 7
3
2
x + y-2 = 4
4 - 1 =1
13) x y - 2
3
x−2 +
2 +
16) x − 2
2
11
=
y +1 3
3
=3
y +1
Bài 2. Giải các hệ phương trình
( x + 2)( y − 2) = xy
a. ( x + 4)( y − 3) = xy + 6
( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = 4
b. ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18
( x + 5)( y − 2) = xy
c. ( x − 5)( y + 12) = xy
2 x − 5 y −1 x − 2 y
+
= 16
11
3
7 x + y + 2( x − 1) = 31
3
d. 5
9x 2 y
7 − 3 = −28
3 x + 12 y = 15
5
e. 2
4x − 3
x + y = 5
x + 3 y = 15 − 9 y
14
f.
5
x −1 +
1 +
g. x − 1
1
4
x + 2y − x − 2y =1
20 + 3 = 1
h. x + 2 y x − 2 y
i.
7
x−7 −
5 +
x−7
l.
3
2
x + y − 3 − x − y −1 = 8
3
1
+
= 1,5
x
+
y
−
3
x
−
y
+
1
m.
1
= 10
y −1
3
= 18
y −1
5
2
3x − y − x − 3 y = 3
1 + 2 =3
k. 3 x − y x − 3 y 5
4
5
=
y+6 3
3
13
=
y+6 6
4
3
13
+
=
x
y 36
6
10
+
=1
x
y
Bài 3. Giải các hệ phương trình
x − 1 + y − 2 = 1
x −1 + 3 y = 3
a.
x 2 + 10 x + 25 = x + 5
2
x − 10 x + 25 = 5 − x
b.
x − 2 + 2 y − 1 = 9
x + y − 1 = −1
c.
x 2 + y 2 = 2( xy + 2)
d. x + y = 6
x + y + xy + 1 = 0
2
2
e. x + y − x − y = 22
x + y + xy = 7
2
2
f. x + y + xy = 13
x 2 + y 2 = 10
g. x + y = 4
x 2 + y 2 = 65
h. ( x − 1)( y − 1) = 18
x 2 y + xy 2 = 6
i. xy + x + y = 5
x3 + y 3 = 1
5
x + y5 = x2 + y 2
k.
x + y = 1
3
3
2
2
l. x + y = x + y
( x + 1)( y + 1) = 10
m. ( x + y )( xy + 1) = 25
5
x + y = 5
x y 13
y + x = 6
n.
2 5
x − y = 1
−1 + 3 = − 2
5
r. x y
p.
3
3
x + y = 2
2
2
x y + xy = 2
q.
1 1
1
+
3x 3y = 4
5 +1=2
6x y 3
s.
4
4
x + y = 97
2
2
xy ( x + y ) = 78
2x
x +1 +
x +
x +1
t.
y
=3
y +1
3y
= −1
y +1
Bài 4. Giải các hệ phương trình
1
2
x + 2 y + y + 2x = 3
4 − 3 =1
1. x + 2 y y + 2 x
1
4
−
=1
x + 2y x − 2y
;
20
3
+
=1
x
+
2
y
x
−
2
y
10.
4
5
+
=5
2x + y 2x − 3y
;
15
2
+
=5
2
x
+
y
2
x
−
3
y
21.
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
2x − 5 = 9
2. x + 1 y + 4
5
12
−
= 63
x −3 y + 2
;
8
15
+
= −13
x
−
3
y
+
2
11.
5
12
−
= 63
x−3 y + 2
8
15
+
= −13
x−3 y +2
3.
5
10
+
=1
4y +1
12 x − 3
;
7
8
+
=1
12
x
−
3
4
y
+
1
22.
7 x 2 + 13 y = −39
;
2
5
x
−
11
y
=
33
12.
16
+
x2
8
2+
x
23.
5
2
−
=8
x + y − 3 x − y +1
3
1
+
= 1,5
x + y − 3 x − y +1
4.
2 x 2 + y 2 = 10
;
2
x − 2y2 = 5
13.
( x + 3) − 2 y = 6
;
2
3
(
)
3
x
+
3
+
5
y
=
7
14.
2
3
x −1 − 3 y + 2 = 2
2 x − 1 + 5 y + 2 = 15
5.
2( x − 1) 2 − 3 y 3 = 7
;
2
5( x − 1) + 6 y 3 = 4
15.
x + 3 − 2 y +1 = 2
2 x + 3 + y + 1 = 4
6.
( x − 1) 2 − ( y + 1) 2 = 0
;
x
+
3
y
−
5
=
0
16.
4 x + 3 − 9 y + 1 = 2
5 x + 3 + 3 y + 1 = 31
7.
4
5
7
−
=
y+6 3
x−7
5
3
13
+
=
y+6 6
x−7
8.
xy − 2 x − y + 2 = 0
;
3
x
+
y
=
8
17.
18.
( x + y ) 2 − 4( x + y ) = 12
;
2
(
)
(
)
x
−
y
−
2
x
−
y
=
3
3
=1
y2
;
9
=1
y2
100 27
− 2 =1
x2
y
;
2
y
9
=
2
25
24. x
3 x + 2 y = 16
2 x − 3 y = −11
25.
x + 4 y = 18
3 x + y = 10
26.
27.
2( x 2 − 2 x) + y + 1 = 0
2
3( x − 2 x) − 2 y + 1 = −7
28.
5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
2 4 x 2 − 8 x + 4 + 5 y 2 + 4 y + 4 = 13
6
5
+
x −1
1
−
x
−
1
9.
1
= 10
y −1
;
3
= 18
y −1
x 2 + y 2 = 13
2
3x − 2 y 2 = −6
x −1 + y + 2 = 2
x −1 + y = 3
29.
( x + 3) 2 − 2 y 3 = 6
2
3( x + 3) + 5 y 3 = 7
20.
x +1 + y −1 = 5
x +1 − 4 y + 4 = 0
30.
19.
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau
1.
x − y = 3
3x − 4y = 2
x −1 y
3 + 2 = 1
x + 3 − y −1 = 2
3
9. 2
1 1
x + y = 2
3 − 1 = 2
x y
17.
3
1
x + 2 + 2y − 1 = 4
4 − 1 =3
18. x + 2 2y − 1
4x + 2y = 2
7x − 3y = 5
2.
1 1 1
+ =
x y 2
10. x + y = 9
4x + 4y = 16
4x − 3y = −24
3.
2x + 1 y − 2 1
−
=
4
3
12
x + 5 − y + 7 = −4
3
2
11.
1
4
x + y + y −1 = 5
1 − 2 = −1
x + y y −1
19.
4.
2x − 3y = −5
−3x + 4y = 2
2 x − y = 3
x +y=3
12.
5.
x − 3y = 0
3x + 2y = 5
2( x + y ) + x + 1 = 4
( x + y ) − 3 x + 1 = −5
13.
4
5
7
−
=
2x + 3
3− y 3
3
13
5
+
=
2x + 3
3− y 6
20.
2
3x
−
x − 1 y + 2 = 4
2x + 1 = 5
x −1 y + 2
21.
6.
2 ( x − 2 ) + 3 ( 1 + y ) = −2
3 ( x − 2 ) − 2 ( 1 + y ) = −3
4
7
+
2x + y 2x − y = 74
3 + 2 = 32
2x + y 2x − y
14.
4
5
7
−
=
x −7
y +6 3
5 + 3 = 21
x −7
6
y +6
22.
7
7.
3
1
x + 2y + 1 = 2
2 + 4 = 3
x 2y + 1
15.
3 x − 1 + 2 y = 13
2 x − 1 − y = 4
23.
8.
2
1
x−y=
3
3
x + 3y = 2
2 x − 1 + x + y = 4
x − 1 + 2x + 2y = 5
16.
6x + 6y = 5xy
4 3
x − y =1
24.
x + 3 − 2 y + 1 = 2
2 x + 3 + y + 1 = 4
17.
( x − 2 ) 2 − 2y3 = 6
2
3
3 ( x − 2 ) + 5y = 7
25.
9.
6
2
x − y + x + y = 1,1
4 − 9 = 0,1
x − y x + y
( x + 1) ( y − 3 ) = ( x − 1) ( y + 3)
( x − 3) ( y + 1) = ( x + 1) ( y − 3)
( x + 1) ( y − 1) = xy − 1
( x − 3) ( y − 3 ) = xy − 3
18.
2 ( x + y ) + x + 1 = 4
( x + y ) − 3 x + 1 = −5
10.
5. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và B (0; 1).
Giải: Gọi phương trình đường thẳng là
( d ) : y = ax + b .
2 = 1.a + b
a = 1
⇔
b = 1
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có: 1 = a.0 + b
Thay a = 1 và b = 1 vào phương trình đường thẳng d ta có
Bài 1. Xác định a, b để đường thẳng
a.
A ( 2;1)
và
B ( −1; −5 )
Bài 2. Tìm a và b để
a.
M ( 2; 4 )
và
( d ) : y = ax + b
b.
A ( 4; −1)
và
( d ) : y = x +1
đi qua hai điểm:
B ( 3; 2 )
c.
A ( 2;5)
và
B ( 1; 2 )
( d ) : y = ( 2b − a ) x − 3 ( a + 5b ) đi qua điểm:
N ( −1;3)
b.
M ( 2;1)
và
N ( 1; −2 )
Bài 3.
3
A −1; ÷
2 và B ( 3; −5 ) .
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
d : mx − 2 ( 3n + 2 ) y = 18 và ( d 2 ) : ( 3m − 1) x + 2ny = −37. Tìm m và
b) Cho hai đường thẳng ( 1 )
d
d
I −5;2 )
n để ( 1 ) cắt ( 2 ) tại điểm (
Bài 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm
a)
A ( 2;1) và B ( −2;3)
c)
P ( −2; −4 ) và Q ( −1; −1)
e)
A ( −3;2 ) và B ( 1;2 )
8
b)
M ( 3; −2 ) và N ( 1;2 )
d)
C ( −2;3) và D ( 1; −3)
f)
A ( 1;3) và B ( 1; −2 )
2 x + ay = b + 4
Bài 5. Xác định a, b để hệ phương trình ax + by = 8 + 9a có nghiệm là x = 3; y = −1
( a − 2 ) x + 5by = 25
2ax − ( b − 2 ) y = 5
( x; y ) = ( 3;1)
Bài 6. Tìm a và b biết hệ
có nghiệm
Bài 7. Cho ba điểm:
A ( 2;1) , B ( −1; −2 ) , C ( 0; −1)
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
c. Tìm a, b để
( d ) : ( 2a − b ) x + 3a − 1 đi qua điểm B và C.
ax + by = 3
( x; y ) = ( 3; −2 )
Bài 8. a. Tìm a, b để hệ phương trình: 2ax − 3by = 36 có nghiệm
2ax + by = 12
( x; y ) = ( −2;1)
b. Với giá trị nào của a, b thì hệ phương trình ax − 2by = −6 có nghiệm
Bài 9. Chứng minh các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi:
a.
( d ) : mx − y = 3m + 2
b.
( d ) : 2mx + y = ( 3m − 2 ) − 2 x
c.
( d ) : ( m − 3) x − 3 y = m + 2010
Bài 10. Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng tọa độ:
a.
( d1 ) : 3x + 2 y = 5; ( d 2 ) : 2 x − y = 4; ( d3 ) : mx + 7 y = 11
b.
( d1 ) : y = 2 x + 3; ( d 2 ) : y = x + 4; ( d3 ) : y = ( 3 − 5m ) x − 5m
c.
( d1 ) : 3x + y = 5; ( d2 ) : 2 x + y = −4; ( d3 ) : ( 4m − 1) x + y = −1
Bài 11. Cho 3 đường thẳng
đồng quy.
( d1 ) : y = 2; ( d 2 ) : y = 3x − 7; ( d3 ) : y = ( 2m + 1) x − 13 . Tìm m để 3 đường thẳng đó
9
B. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
I. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp: - Từ một phương trìn của hệ tìm y theo x, rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình
bậc nhất đối với x.
- Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
- Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
+ Nếu a = 0 thì (1) trở thành 0x = b .
•
•
Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
Nếu b # 0 thì hệ vô nghiệm
+ Nếu a # 0 thì
nhất.
( 1) ⇒ x =
b
a . Thay vào biểu thức của x ta tìm được y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy
mx − y = 2m
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình: 4 x − my = m + 6
( 1)
( 2)
4 x − m ( mx − 2m ) = m + 6 ⇔ ( m 2 − 4 ) x = ( 2m + 3 ) ( m − 2 )
1) ⇒ y = mx − 2m
(
Từ
, thay vào (2) ta được:
+ Nếu m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 thì
2
→ Hệ có nghiệm duy nhất:
x=
( 2m + 3 ) ( m − 2 )
m −4
2
=
( 3)
2m + 3
m
y=−
m+2 .
m + 2 . Khi đó:
2m + 3
m
;−
÷
m+2
m+2
( x; y ) =
+ Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó: y = mx − 2m = 2 x − 4 .
→ Hệ có vô số nghiệm
( x; 2 x − 4 )
∀x ∈ R
+ Nếu m = - 2 thì (3) trở trình 0x = 4.
→ Hệ vô nghiệm
Kết luận: - Nếu m ≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất
2m + 3
m
;−
÷
m+2
m+2
( x; y ) =
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm ∀x ∈ R
- Nếu m = - 2 thì hệ vô nghiệm
BÀI TẬP
Bài 1. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
( m − 1) x − my = 3m − 1
2 x − y = m + 5
mx + y = 3m − 1
1. x + my = m + 1
mx + 4 y = 10 − m
2. x + my = 4
3.
x + my = 3m
mx − y = m 2 − 2
4.
x − my = 1 + m2
mx + y = 1 + m2
5.
2 x − y = 3 + 2m
2
mx + y = ( m + 1)
6.
10
x + my = 3
Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau: mx + 4 y = 6
Bài 3. Giải và biện luận hệ phương trình:
mx + y = 2m
x + my = m + 1
Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx + y = 3m− 1
mx − y = 2m
4x − my = m+ 6
a)
b) x + my = m+ 1
II. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO
TRƯỚC
Dạng 1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Phương pháp: - Giải hệ phương trình theo tham số
n+
- Viết x, y của hệ về dạng:
- Tìm m nguyên để
f ( m)
k
f ( m)
với n, k nguyên.
là ước của k.
mx + 2 y = m + 1
Ví dụ 2: Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 2 x + my = 2m − 1
Giải:
( m 2 − 4 ) y = 2m 2 − 3m − 2
( m 2 − 4 ) y = ( m − 2 ) ( 2m + 1)
2mx + 4 y = 2m + 2
mx + 2 y = m + 1
⇔
⇔
⇔
2
2
2 x + my = 2m − 1 2mx + m y = 2m − m
2 x + my = 2m − 1
2 x + my = 2m − 1
2
Để hệ có nghiệm duy nhất thì m − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 .
( m − 2 ) ( 2m + 1) = 2m + 1 = 2 − 3
y =
m2 − 4
m+2
m+2
x = m −1 = 1 − 3
m+2
m+2
Vậy với m ≠ ±2 thì hệ có nghiệm duy nhất
⇔ m + 2 ∈ { −3; −1;1;3} ⇒ m ∈ { −5; −3; −1;1}
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 ∈ Ư (3)
Vậy
m ∈ { −5; −3; −1;1}
Dạng 2. Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
mx + 4 y = 9
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: x + my = 8 .
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
38
=3
m2 − 4
.
Giải: - Giải hệ phương trình theo m:
11
8m − 9
y= 2
(m − 4) y = 8m − 9
mx + 4 y = 9
mx + 4 y = 9
m −4
⇔
⇔
⇔
2
x + my = 8
x + my = 8
mx + m y = 8m
x = 9m − 32
m2 − 4
2
- Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là: m ≠ ±2
8m − 9
y = m 2 − 4
9m − 32 8m − 9
38
x = 9m − 32
2. 2
+ 2
+ 2
=3
2
m − 4 vào hệ thức đã cho ta được:
m −4 m −4 m −4
- Thay
⇔ 18m − 64 + 8m − 9 + 38 = 3m 2 − 12
m = 1
⇔ 3m − 26m + 23 = 0 ⇔
m = 23
3
2
Vậy m = 1 hoặc
m=
(thỏa mãn)
23
3
BÀI TẬP
3 x − 2 y = 7
5n + 1) x − ( n − 2 ) y = n 2 − 4n − 3
(
( x; y ) = ( 1; −2 )
Bài 1. Cho hệ phương trình:
. Tìm m để hệ có nghiệm
1
2
5m ( m − 1) x + my = ( 1 − 2m )
3
4mx + 2 y = m 2 + 3m + 6
( x; y ) = ( 1;3)
Bài 2. Cho hệ phương trình:
. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
2mx + ( n − 2 ) y = 9
( m + 3) x + 2ny = 5 . Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 3; −1)
Bài 3. Cho hệ phương trình:
mx + y = 1
Bài 4. Cho hệ phương trình: x + my = 2
a. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
( x; y )
thỏa mãn x − y = 1 .
c. Tìm biểu thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
( x; y )
Bài 5. Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất
a. Tìm biểu thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
b. Giải và biện luận hệ theo m.
2
c. Trong trường hợp hê có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thỏa mãn: 2 x − 7 y = 1
12
2x − 3 y
d. Tìm giá trị của m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên.
x = 7 − y
Bài 6. Tìm giá trị của m và p để hệ phương trình: mx = 2 y + p
a. Có một nghiệm duy nhất
b. Có vô số nghiệm
3 x + 2 y = −8
−3mx + ( m + 5) y = ( m − 1) ( m + 1)
Bài 7. Cho hệ phương trình:
mãn: 4 x − 2 y = −6 .
c. Vô nghiệm
. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
( x; y )
thỏa
mx + y = 5
Bài 8. Cho hệ phương trình: 2mx + 3 y = 6 .
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn:
Bài 9. Cho hệ phương trình:
( 2m − 1) x + ( m + 1) y = m .
( m + 2 ) x + 2 y = 5
mx − y = 1
.Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.
( m − 3) x + y = 2
mx + 2 y = 8
. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 10. Cho hệ phương trình:
x + my = 4
Bài 11. Cho hệ phương trình: nx + y = −3
a. Tìm m,n để hệ phương trình có nghiệm
( x; y ) = ( −2;3)
b. Tìm m, n để phương trình có vô số nghiệm.
3x − y = − m
9 x − m 2 y = −3 3
Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm:
mx − y = 1
3
m x + ( m 2 − 1) y = 2
Bài 13. Tìm giá trị của m để hệ phương trình:
vô nghiệm, vô số nghiệm.
3x + ( m − 1) y = 12
( m − 1) x + 12 y = 24
Bài 14. Cho hệ phương trình:
a. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = −1
b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
Bài 15. Cho hệ phương trình:
2
mx − y = m
2
2 x + my = m + 2m + 2
a. Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.
13
2
b. Tìm m để biểu thức: x + 3 y + 4 nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Bài 16. Biết cặp số
thức
( x; y )
P = xy + 2 ( x + y )
là nghiệm của hệ phương trình:
x + y = 6
2
2
2
x + y = −m + 6
. Hãy tìm giá trị của m để biểu
đạt giá trị nhỏ nhất.
( m + 1) x − y = m + 1
x + ( m − 1) y = 2
Bài 17. Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều
kiện x + y có giá trị nhỏ nhất.
mx + y = 1
Bài 18. Cho hệ phương trình: x + my = 2
a. Giải hệ phương trình theo tham số m
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
( x; y )
thỏa mãn x − y = 1
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2 x + 3 y = m
Bài 19. Cho hệ phương trình: 25 x − 3 y = 3 . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0; y < 0.
kx − y = 2
Bài 20. Cho hệ phương trình: x + ky = 1
a. Giải hệ phương trình khi k = 5
b. Gọi nghiệm của hệ phương trình là
( x; y ) . Tìm số tự nhiên k để
x + y = −1
2 x + my = m
( m − 1) x + 2 y = m − 1
Bài 21. Cho hệ phương trình:
a. Giải hệ phương trình khi m = - 3
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiênh duy nhất
( x; y )
2
thỏa mãn điều kiện x + y = 1
( m + 1) x + 2 y = m − 1
2
m x − y = m 2 + 2m
Bài 22. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
2mx − ( m + 1) y = m − n
( m + 2 ) x + 3ny = 2m − 3
Bài 24. Tìm m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; - 1):
( m − 1) x + y = m
x + ( m − 1) y = 2
( x; y )
Bài 25. Cho hệ phương trình:
có nghiệm duy nhất
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b. Giải và biện luận hệ theo m.
14
2
c. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm giá trị của m thỏa mãn: 2 x − 7 y = 1
2mx + 3 y = 5
Bài 26. Cho hệ phương trình: − x + 3my = 4
a. Cmr hệ luôn có nghiệm duy nhất
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Bài 27. Cho hệ phương trình:
3mx − y = 3m 2 − 2m + 1
2
x + my = 2m
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
mx + y = 2m
Bài 28. Cho hệ phương trình: x + my = m + 1
a. Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b. Giả sử
( x; y )
là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập vớới m.
c. Tìm x nguyên để x, y nguyên.
d. Chứng tỏ
( x; y )
luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với x, y là nghiệm của hệ phương trình)
Bài 29. Cho hai hệ phương trình:
x + y = a
ax − 2 y = 6
( II ) :
x + y = 4 và
x − y = 1
( I) :
a. Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình trên tương đương
b. Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình trên không tương đương
x + my = 9
Bài 30. Cho hệ phương trình: mx − 3 y = 4 . Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:
x − 3y =
28
−3
m2 + 3
.
mx − y = 2
Bài 31. Cho hệ phương trình: 3x + my = 5 .
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:
x + y = 1−
m2
m2 + 3 .
Bài 32. Tìm các giá trị của m để:
mx − y = 5
a. Hệ phương trình 2 x + 3my = 7 có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0; y < 0
mx + y = 3
b. Hệ phương trình 4 x + my = 6 có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 1; y > 0
15
mx + y = 2m
Bài 33. Cho phương trình x + my = m + 1 . Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y là
các số nguyên.
16
ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
x − y = 1
1. 2 x + 3 y = 5
x − 2 y = 3
5. x + 2 y = 4
x − 2 y = 1
9. 2 x − 4 y = 5
x − y = 1
2. x + 3 y = 5
x + y = 2
3. 2 x + y = 1
x + y = 0
1
4 x + 3 y = 1
7.
2 x − 5 y = 0
6. 2 x + y = 3
2 x − y = 0
4. 2 x − 4 y = 3
x + 4 y = 2
8. − x + y = 0
( x + 1) − 3( y − 6) = 1
10. 2( x + 1) − 3( y − 6) = 4
3( x + 2) − 3( y − 3) = 1
11. x + 2 − y + 3 = 2
2
x + y = 1
− 2 + y = 2
12. x
3 x − 2 − y + 2 = 1
x−2 + y+2 = 3
13.
1
x −
2 +
14. x
3
x + 1 − 4 y = 1
2 + 4y = 0
15. x + 1
1
x −
2 −
16. x
2
3x − y = 1
2 + 3 y = 5
17. x 2
1
x + 2 −
1 +
18. x + 2
x −1
4 y − 6 y = 6
2 x − 1 + 3 y = 4
19. y
3
=1
y −1
1
=5
y −1
1
=4
y
3
=5
y
3
+3= 0
y
3
−3 = 0
y
3 x − y = 2
Bài 2. Cho hệ phương trình: 9 x − my = m
a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm
của hệ phương trình
c. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
mx + y = 4
Bài 3. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình: x − my = 1
Có nghiệm thỏa mãn điều kiện
x+ y =
8
m + 1 . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
2
17
2mx + 3 y = m
Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình: x + y = m + 1 có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên
đó.
Bài 5. Cho ba đường thẳng:
đường thẳng đồng quy.
( d1 ) : y = 2 x − 5; ( d 2 ) : y = 1; ( d3 ) : y = ( 2m − 3) x − 1 . Tìm các giá trị của m để
ba
x + ay = 2
Bài 6. Cho hệ phương trình ax − 2 y = 1 . Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn
điều kiện x > 0, y < 0.
Bài 7. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số
( d ) : y = ax + b đi qua điểm A(- 5; - 3) và điểm B(3; 1).
Bài 8. Tìm các giá trị của m để
mx − y = 5
2 x + 3my = 7 có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0.
a. Hệ phương trình:
mx + y = 3
4 x + my = 6 có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0.
b. Hệ phương trình:
mx + y = 2m
Bài 9. Cho hệ phương trình x + my = m + 1 . Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y là
các số nguyên.
(m + 1) x + my = 2m − 1
2
Bài 10. Cho hệ phương trình mx − y = m − 2
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất.
(m + 1) x − y = m + 1
Bài 11. Cho hệ phương trình x + (m − 1) y = 2
. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa
mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất.
mx + my = m
Bài 12. Cho hệ phương trình mx + y = 2m m, n là các tham số
a. Giải và biện luận hệ phương trình
b. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn
điều kiện x > 0, y < 0.
Bài 13. Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
18
( m + 3) x + 4 y = 5a + 3b + m
x + my = am − 2b + 3m − 1
Bài 14. Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
3
2
y = x − 4 x + a.x
2
3
2
x = y − 4 y + ay
x + y = m
2
2
2
Bài 15. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: y + x = − m + 6 .
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
x + y = 2a − 1
2
2
2
Bài 16. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: y + x = a + 2a − 3 Xác định giá trị của tham số a để hệ
thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
xy = a 2
1 1 1
x + y = b
Bài 17. Cho hệ phương trình:
Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
2 x + my = 1
Bài 18. Cho hệ phương trình: mx +2 y = 1
a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
x + my = 4
Bài 19. Cho hệ phương trình: mx +4 y = 10 − m (m là tham số).
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.
( m − 1) x − my = 3m − 1
Bài 20. Cho hệ phương trình: 2 x − y = m + 5
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(m + 1) x + my = 2m − 1
2
Bài 21. Cho hệ phương trình: mx − y = m − 2.
. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có
nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT
19
1
+ 2( x + y ) = 3
x
x(3x − 1) + 3xy = 2
Bài 1. Giải hpt:
4( x + y ) = 5( x − y )
40
40
x+ y − x− y =9
Bài 3. Giải hpt:
7
1 1
+ +1 =
xy
x y
2
2
x + y + xy = 13
Bài 5. Giải hpt:
x 2 + y 2 +3xy = 5
( x + y )( x + y + 1) + xy = 7
Bài 2. Giải hpt:
Bài 4. Giải hpt:
y − 1 2x+1
+
= −2
2x + 1 y − 1
x+ y=5
x + y + 2 = 4( x + 1)( y + 1)
−3
x + y + xy =
4
Bài 6. Giải hpt:
3
2
x + 1 + y − 1 = −1
3 − 2 =5
Bài 7. Giải hpt: x + 1 y − 1
Bài 8. Giải hpt:
x −1 + 2 y = 5
2 x − 1 − 3 y = −4
Bài 9. Giải hpt:
1
2
x
+
y
+
=0
4
x + y2 + 1 = 0
4
Bài 10. Giải hpt:
x + y = 5
x + y − xy = 7
Bài 11. Giải hpt:
( x + 3)( y − 5) = xy
Bài 12. Giải hpt: ( x − 2)( y + 5) = xy
x 2 + 3x − xy = 0
xy + x + 3 = 0
Bài 13. Giải hpt:
2 x − 1 + y + 2 = 2
x −1 − 3 y + 2 = 1
Bài 14. Giải hpt:
xy − ( x − 1)( y − 3) = −4
Bài 15. Giải hpt: ( x + 1)( x − 4) − y = −3
−2
x − 3y =
x
2
y + xy = 2
Bài 16. Giải hpt:
x + 3y = 2
1
1
x − 2 + y =1
Bài 17. Giải hpt:
3 y − 2x 2x
x +1 − y = 2
2(3 y − 2x) + 2x = 7
y
Bài 18. Giải hpt: x + 1
(
Bài 19. Giải hpt:
)
2 +1 x + y = 2 +1
x + 2 y = 2 +1
( x − 2 y ) 2 + x − 2 = 2 y
x + y = −2
x −1 + 2 y = 2
2x − y = 1
Bài 20. Giải hpt:
x + 2( x − y + 3) = y
2
x + ( x + 3)(2x − y + 5) = x + 16
Bài 21. Giải hpt:
20
ÔN TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
1.
1 1
x + y = 4
x ( 1+ 4 y ) + y = 2
2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13
2
x − 4 xy − 2 y 2 = −6
7.
2
17
3
x − 2 + y +1 = 5
2 x − 2 + y + 2 = 26
2. x − 2 y − 1 5
8.
x + y + xy = 3
2
2
x + 4 xy + y = 6
x 2 + 3xy + y 2 = 5
2
2 x − 2 xy + 4 y 2 = 4
5.
x 2 + x + 1 = 3 y
2
y + y + 1 = 3x
3.
x 2 + 1 = 2 y
2
y + y + 1 = 3x
4.
x3 + y 3 + xy = 3
2
x + y2 + x + y = 4
9.
x 2 + 5 xy − 2 y 2 = 4
2
3 x + 2 xy − 3 y 2 = 2
10.
x 2 + xy + y 2 = 19
x − xy + y = −1
6.
11.
1
1
=1
+
x y +1
3 y − 1 = xy
Bài 2. Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
( m + 1) x − y = m + 1
x + ( m − 1) y = 2
2 x + by = −4
Bài 3. Xác định a và b để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: bx − ay = −5
x − 1 + y − 2 = 1
2
( x − y ) + m ( x − y − 1) − x + y = 0
Bài 4. Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
3
2
a + 2b − 4b + 3 = 0
2
2
2
a + a 2b 2 − 2b = 0
Bài 5. Tính a + b biết rằng a và b thỏa mãn hệ phương trình:
Bài 6. Cho hệ phương trình:
( a + 1) x − y = 3
ax + y = a
a. Giải hệ phương trình khi a = − 2
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0
x + my = m + 1
mx + y = 2m
Bài 7. Cho hệ phương trình
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
b) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất (x; y) với x, y là số nguyên
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m.
3x − y = − m
9 x − m 2 y = −3 3
Bài 9. Cho hệ phương trình:
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
21
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm
của hệ phương trình
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2mx + 3 y = m
Bài 10. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình: x + y = m + 1
Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 11. Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d 1) và (d2)
Bài 12. Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x - 5
(d2): y = 1
(d3): y = (2m - 3)x - 1
Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy.
x + ay = 2
Bài 13. Cho hệ phương trình: ax − 2 y = 1
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 14. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(- 5; - 3) và điểm B (3; 1)
Bài 15. Tìm các giá trị của m để
mx − y = 5
2 x + 3my = 7 có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
c. Hệ phương trình:
mx + y = 3
4 x + my = 6 có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
d. Hệ phương trình:
mx + y = 2m
Bài 16. Cho hệ phương trình: x + my = m + 1 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y
là các số nguyên
(m + 1) x + my = 2m − 1
2
Bài 17. Cho hệ phương trình: mx − y = m − 2
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
(m + 1) x − y = m + 1
Bài 18. Cho hệ phương trình: x + (m − 1) y = 2
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất
mx + my = m
Bài 19. Cho hệ phương trình: mx + y = 2m m, n là các tham số
a. Giải và biện luận hệ phương trình
b. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn
điều kiện x > 0, y < 0
x + y = m
2
y + x 2 = −m2 + 6
Bài 20. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
22
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
x + y = 2a − 1
2
2
2
Bài 21. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: y + x = a + 2a − 3 . Xác định giá trị của tham số a để
hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
Bài 22. Cho hệ phương trình:
xy = a 2
1 1 1
x + y = b
Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật.
2 x + my = 1
Bài 23. Cho hệ phương trình: mx +2 y = 1
c. Giải và biện luận theo tham số m.
d. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
x + my = 4
Bài 24. Cho hệ phương trình: mx +4 y = 10 − m (m là tham số).
c. Giải và biện luận theo m.
d. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.
( m − 1) x − my = 3m − 1
Bài 25. Cho hệ phương trình: 2 x − y = m + 5
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(m + 1) x + my = 2m − 1
2
Bài 26. Cho hệ phương trình: mx − y = m − 2.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
mx + 2 y = m + 1
Bài 27. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: 2 x + my = 3.
x + my = 2
Bài 28. Cho hệ phương trình: mx − 2 y = 1.
a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
x + my = 1
Bài 29. Cho hệ phương trình: mx − 3my = 2m + 3.
a. Giải hệ khi m = - 3.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
mx + 2my = m + 1
Bài 30. Cho hệ phương trình: x + (m + 1) y = 2.
23
a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng
cố định khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5.
mx + 4 y = m + 2
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: x + my = m.
có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y
là các số nguyên.
2 x + my = 1
Bài 32. Cho hệ phương trình: mx + 2 y = 1.
a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng
cố định.
2
d. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2 .
x 2 + y 2 = 25
Bài 33. Với giá trị nào của m, hệ phương trình: mx − y = 3m − 4 có nghiệm?
xy + x + y = 71
2
x y + xy 2 = 880
Bài 34. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho:
. Tìm giá trị của biểu thức: M = x2 + y2.
(a + 1) x − y = a + 1
Bài 35. Cho hệ phương trình: x + ( a − 1) y = 2
(a là tham số).
a. Giải hệ phương trình với a = 2.
b. Giải và biện luận hệ phương trình.
c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
2(m + 1) x + (m + 2) y = m − 3
Bài 36. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: (m + 1) x + my = 3m + 7
( m − 1) x + 2my + 2 = 0
Bài 37. Cho hệ phương trình: 2mx + ( m − 1) y − ( m − 1) = 0 (m là tham số).
a. Giải hệ phương trình trên.
b. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
(m − 1) x + y = 3m − 4
Bài 38. Cho hệ phương trình: x + ( m − 1) y = m
(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình.
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
c. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
24
x + my = m + 1
Bài 39. Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − 1 (m là tham số)
a. Giải hệ phương trình.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
ìï ax - by = - 4
ï
í
ï bx + y + 3 = 0
( - 2;1) .
b
Bài 40. a. Xác định a , để hệ phương trình ïî
có nghiệm
ìï ax + 2y = 2
ï
í
ï bx - ay = 4
b. Xác định a , b để hệ phương trình ïî
có nghiệm
(
2;-
).
2
ìï 2mx - ( n + 1) y = m - n
ï
í
ï ( m + 2) x + 3ny = 2m + 10
( 2;- 1) .
c. Xác định m , n để hệ phương trình ïïî
có nghiệm
ìï 3x - 2y = 6
ï
í
ï mx + y = 3
Bài 41. a. Cho hệ phương trình ïî
. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất.
ìï ax - y = 3
ï
í
ï - x + 2ay = 1
b. Cho hệ phương trình ïî
. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
ìï 2x + my = - 4
ï
í
ï mx - 3y = 5
c. Cho hệ phương trình ïî
. Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất.
ìï ( m + 2) x + ( m + 1) y = 3
ï
í
ï x + 3y = 4
d. Cho hệ phương trình ïïî
. Tìm các giá trị của m để hệ vô nghiệm.
ìï mx + 2y = 18
ï
í
ïx- y =- 6
Bài 42. a. Cho hệ phương trình ïî
.
( x;y) thỏa mãn 2x + y = 9.
Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
ìï x + y = 3m - 2
ï
í
ï 2x - y = 5
b. Cho hệ phương trình ïî
.
x2 - y - 5
( x;y) thỏa mãn y + 1 = 4 .
Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
ìï 2x + y = 5m - 1
ï
í
ï x - 2y = 2
c. Cho hệ phương trình ïî
.
( x;y) thỏa mãn x2 - 2y2 = - 4.
Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
25
