CHUYÊN đề 03 hệ PHƯƠNG TRÌNH phần 2

ÔN TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
�1 1
�x  y  4
�
�x  1  4 y   y  2
1. �

�2 x 2  xy  3 y 2  13
�2
x  4 xy  2 y 2  6
7. �
�x  y  xy  3
�2
x  4 xy  y 2  6
8. �

2
17
�3
�x  2  y  1  5
�
�
�2 x  2  y  2  26
�
2. �x  2 y  1 5

3.

9.

�x 2  3xy  y 2  5
� 2
2 x  2 xy  4 y 2  4
5. �

�x  x  1  3 y
�
�2
�y  y  1  3x
2

6.

�x 2  1  2 y
�2
y  y  1  3x
4. �
�x 3  y 3  xy  3
�2
2
�x  y  x  y  4

10.

2
2
�x  5 xy  2 y  4
� 2
3 x  2 xy  3 y 2  2
�

11.

1
�1
1
�
�x y  1
�
3 y  1  xy
�

�x 2  xy  y 2  19
�
�x  xy  y  1

HƯỚNG DẪN GIẢI
1.ĐK: x, y �0
�1 1
�x  y  1
�x  y  4 xy
�x  y  4
�
��
��
�
1
x

y


4
xy

2
xy 
�
�x  1  4 y   y  2
�
�
4
�
Khi đó x, y là nghiệm của phương trình
�1 1 �
�; �
Vậy hệ có 1 nghiệm �2 2 �.

X2  X 

1
1
0� X 
4
2

2.Dk : x �2, y �1
2
17
�3
�3

�x  2  y  1  5
�x  2 
�
�
��
�
�2 x  2  y  2  26
�2 
�
�
y 1 5
�x  2
�x  2
Vậy hệ có 1 nghiệm

 3; 4 

2
17
�1

1
�
�
y 1 5
�x  2
�x  3  TM 
��
��
.

1
1
1
11
y

4
TM


�
�


�y  1 5
y 1 5
�

3.

1


�
x2  y 2    x  y   3  y  x 
�
�x 2  x  1  3 y
 x  y   x  y  4  0

�

�
��
� �2
�2
2
�y  y  1  3 x
�y  y  1  3 x
�y  y  1  3x
�
�x  y
x  y 1
�
��
x y
�
�2
y

y

1

3
y
�
�
�
�
x y40 � �
�x  4  y

� ��
��
�
x


4

y
�
�2
�2
�
�
�
�y  y  1  3  4  y 
�y  y  1  3x
�
2
�
y

y

1

3

4


y


�
�
x  y 1
�
x  y 1
�
�
��
��
� x  y 1
�x  4  y
VN
�
�
2
�
�y  4 y  13  0
�
 1;1 .
Vậy hệ có 1 nghiệm
�x 2  1  2 y
2
2
�
x

1


2
y
�
x

1

2
y
�
�
�
�� 2
� ��
x y
�2
2
 x  y   3  x  y   0 ��y   x  3
�y  y  1  3x
�
��
4.
�
�x  y
�
�2
x  y 1
�
�x  1  2 x

�
��
��
VN
�
�y   x  3
�
�
2
�
�x  1  2   x  3 
�
Vậy hệ có nghiệm duy nhất

5.

 1;1 .

2
2
2
2
6 x 2  22 xy  16 y 2  0
�x  3 xy  y  5
�4 x  12 xy  4 y  20
�
�
�
� 2
� 2

�2
2
2 x  2 xy  4 y 2  4
10 x  10 xy  20 y 2  20
�
�
�x  3xy  y  5

�
�
�x  y
�
x  y  �1
�
�2
2
�
x

3
xy

y

5
�
�
 x  y   3x  8 y   0 �
8 29
3 29

�
� �2
��
��
x
;y
8
�
�
2
29
29
�
�x  y
�x  3 xy  y  5
�
�
� 3
8 29
3 29
�
�
�x 2  3xy  y 2  5
x
;y 
�
�
�
29
29

�
�8 29 3 29 �� 8 29 3 29 �
; 
;
 1;1 ;  1; 1 ; �
�
� 29 ; 29 ��
��
29
29 �
�
��
�.
Vậy hệ có 4 nghiệm
2
2
�
�
�x 2  xy  y 2  19
x  y   xy  19
x  y    x  y   20  0
�

�

��
��
�
x  xy  y  1
xy  x  y  1

�
�
�xy  x  y  1
6.

2


x  2, y  3
�
�
x  3; y  2
x  y  5; xy  6
�
��
��
�
x  y  4; xy  3
x  2  7; y  2  7
�
�
�
x  2  7; y  2  7
�
.

�
2 x 2  xy  3 y 2  13
�2
x  4 xy  2 y 2  6

7. �
� 29 � 1041 �
y�
�
�x 
�
25
�
�
Số lẻ, nhầm đề???
�x  y  xy  3
�2
x  4 xy  y 2  6
8. �
x  y  0; xy  3
�
� x  y 1
�
x

y

2;
xy

1
�
Tương tự ý 6. Ta có

�x 3  y 3  xy  3

�2
x  y2  x  y  4
9. �
�
a 3  3ab  b  3
�2
a  2b  a  4
a

x

y
;
b

xy
Đặt
thay vào hệ ta được �

Giải ra được

a  1; b  1
�
�
a  2; b  1
�
�
a  5; b  8
�

Nghiệm của hệ

10.

�
1  5 1  5 ��
1 5 1 5 �
;
;
��
�� 2 ; 2 �
�
2
2
�
��
�.

 1;1 ; �
�

2
2
�x  5 xy  2 y  4
� 2
3x  2 xy  3 y 2  2
�

x y
�

�
5x  4 y  0
Tương tự ý 5 ta tìm được �
 1;1 ;  1; 1
Ta tìm được nghiệm của hệ
11.Dk : x �0, y �1
1
�1
�y  1 TM 
 1 �x  y  1  xy  x
�
�
��
��
�x y  1
3 y  1  xy
�
�
�x  2  TM 
3 y  1  xy
�
Bài 2. Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x  y nhỏ nhất
3


�
 m  1 x  y  m  1
�
�
�x   m  1 y  2

HƯỚNG DẪN GIẢI
�
�
 m  1 x  y  m  1 �
�
�y   m  1 x   m  1
�y   m  1 x   m  1
�
��2
�
�
2
2
m x  m2  1
�
�x   m  1 y  2
�x   m  1 x   m  1  2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì m �0 . Khi đó nghiệm duy nhất của hệ là :
x

m2  1
m 1
;y 2 .
2
m
m
2

m2  m  2

1
2
�1 1 � 7 7
x y 
 1   2  2 �  � �
2
m
m m
�m 4 � 8 8
Ta có
Suy ra Min

 x  y 

7
8 khi m  4.

�2 x  by  4
�
bx  ay  5
Bài 3. Xác định a và b để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: �
HƯỚNG DẪN GIẢI
� 4  by
� 4  by
x
�
2 x  by  4
�
2
�

�x 
2
��
��
�
bx  ay  5
�4  by �
�
�
�
b�
 2a  b2  y  10  4b  *
� ay  5 �
�� 2 �

25
�
a
�
�
b  2a  0
�
8
��
��
5
10  4b  0
�
�
b

*

� 2
Để hệ có vô số nghiệm thì
có vô số nghiệm
2

�
�x  1  y  2  1
�
2
x  y   m  x  y  1  x  y  0

�
Bài 4. Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
HƯỚNG DẪN GIẢI

�
�x  1  y  2  1  1
�
2
 x  y   m  x  y  1  x  y  0  2 
�
Từ

 2  �  x  y  1  x  y  m   0

 1 trở thành x  1  x  3  1
Nếu y  x  1 thì
Ta có

1  x  1  x  3 �x  1  x  3  2

(vô lí)

 1 trở thành x  1  x  m  2  1 (3)
Nếu y  x  m ,
4


Để hệ có nghiệm thì (3) có nghiệm

�
۳
1 �
x 1 x �
m 2 � 1 m

1

0 m

2.

�a 3  2b 2  4b  3  0
�2
2
2
a  a 2b 2  2b  0
a


b
Bài 5. Tính
biết rằng a và b thỏa mãn hệ phương trình: �
HƯỚNG DẪN GIẢI
�
a 3  2b 2  4b  3  0  1
�
�2
a  a 2b2  2b  0  2 
�
2b
b2  1
2
 2  � a  2 � 2  1 � 1 �a �1
b  1 �0 � b 2  1 �2b

b

1
b

1
Từ
(lưu ý:
)
2

Từ

 1 � a 3    2b 2  4b  3  1  2  b  1

2

�1 �  b  1 �0 � b  1 � a  1
2

2
2
Vậy a  b  2.

�
 a  1 x  y  3
�
ax  y  a
Bài 6. Cho hệ phương trình: �
a. Giải hệ phương trình khi a   2
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x  y  0
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Thay a   2 vào hpt ta có









� 3 2

�1  2 x  y  3 �1  2 2 x  3  2
�x 
�
�
��
� � 1 2 2
�
�
�
�
 2x  y   2
 2x  y   2
�
�
 2x  y   2
�
� 1 5 2
� 1 5 2
�
3  2 1 2 2
x

�
�x 
�
�x 
�
�
7
7

� � 1 2 2 1 2 2 � �
��
�
�y  2. 1  5 2  2
�y  6 2  10
�y  2 x  2
�
�
�
7
7
�
�
�
1  5 2 6 2  10 �
.
 x, y   �
�
� 7 ;
�
7
�
�
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất













b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x  y  0
a  1 1
���a۹ 1
1
Để hpt có nghiệm duy nhất thì a

a

a

1
2

5


� a3
x
�
 a  1 x  y  3 �(2a  1) x  a  3 �
� 2a  1
�
�
�

�
�
�ax  y  a
�ax  y  a
�a. a  3  y  a
� 2a  1
Ta có :
� a3
� a3
x
x
�
�
� 2a  1
� 2a  1
��
��
2
2
�y  a  a  3a
�y  a  2a
�
� 2a  1
2a  1

�x y 

a  3 a 2  2a a 2  a  3



2a  1 2a  1
2a  1
2

� 1 � 11
a a3 �
a  �  0
� 2� 4
Để x  y  0 thì 2a  1  0 (vì
)
2

1
�a .
2
Kết hợp điều kiện

a �

1
1
a .
2 ta được
2

1
a .
2
Vậy

Bài 7. Cho hệ phương trình

�x  my  m  1
�
mx  y  2m
�

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
b) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất (x; y) với x, y là số nguyên
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
Nhận xét:
Với m = 0 thì hpt có nghiệm x  1; y  0
Với m �0

1 m
�۹۹� m 2 1 m
1.
Để hpt có nghiệm duy nhất thì m 1
�1 m
m  �1
�

�
�m 2  1
�m 1
�
��2
m  1 � m  1.

�
��
�1  m  1
�m  m  0 ��
m0
��
2m
Để hpt có vô số nghiệm thì �m

6


�1 m
m  �1
�

�
�m 1
�
� ��m �1 � m  1.
�
1
m

1
� �
��m �0
�
�
2m

Để hpt vô nghiệm thì �m
b) Tìm các giá trị m nguyên để hệ có nghiêm duy nhất ( x, y ) với x, y là số nguyên.
Với m ��1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
�x  my  m  1 �x  my  m  1 �x  m(2m  mx )  m  1
��
��
�
�mx  y  2m
�y  2m  mx
�y  2m  mx

�
 1  m2  x  2m2  m  1 � �(1  m)(1  m) x  (1  m)(2m  1)
�
��
�
�y  2m  mx
�y  2m  mx
1
� 2m  1
� 2m  1
�
x
x
x  2
�
�
�
� m 1
� m 1

�
m 1
��
��
��
�y  2m  m. 2m  1
�y  m
�y  1  1
m 1
m 1
�
� m 1
�
m  1 �U (1)   �1 � m  0
Để x, y nguyên thì
hoặc m  2 (tmđk)

Vậy m  0 và m  2.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m.
Ta có:

x y 

2m  1
m
m 1


 1.
m 1 m 1 m 1

Vậy hệ thức giữa x và y không phụ thuộc m là x  y  1.

3 x  y  m
�
�
9 x  m 2 y  3 3
Bài 9. Cho hệ phương trình: �
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng
tổng quát nghiệm của hệ phương trình
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
1
�3

�
�
m�3
�9 m 2
�
��
� m   3.
�
m� 3
�
�3 � m
Để hệ phương trình vô nghiệm thì �9 3 3
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng

quát nghiệm của hệ phương trình.

7


�3

�
�9
�
�3 
Để hệ phương trình vô số nghiệm thì �9

1
�
m�3
m2
�
��
� m  3.
m
m 3
�
3 3

�
�
3x  y   3
3x  y   3
�

�
��
� 3x  y   3
�
9 x  3 y  3 3
3x  y   3
�
�
m

3
Khi
thì hpt trở thành

�x �R
�
�y  3x  3

Nghiệm tổng quát của hệ là
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3
1
�۹۹�
m2 3 m
3.
2
Để hpt có nghiệm duy nhất 9 m
2mx  3 y  m
�
�

Bài 10. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình: �x  y  m  1
Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
HƯỚNG DẪN GIẢI
� 2m  3
2mx  3 y  m
(3  2m) x  2m  3 �x 
�
�
��
� � 3  2m � 3 �
�
m� �
3 x  3 y  3m  3 �
3 x  3 y  3m  3
�
�
�
�x  y  m  1 � 2 �
Ta có:
� 2m  3
6
� 2m  3
�
x
x

x  1 
�
�
�

� 3  2m
� 3  2m
�
2m  3
��
��
��
2
�y  m  1  2m  3
�y  2m  m
�y  m  2  6
�
3  2m
2m  3
�
2m  3
�
6
�Z � 2m  3 �U (6)
Để hệ phương trình có nghiệm nguyên thì 2m  3
mà 2m  3 luôn là số lẻ với mọi m �Z

� 2m  3 � �1; �3 � m � 0; 1; 2; 3 .

� ( x, y )  (1; 0), (5;  3), (7; 10), (3; 7).
Vậy

m � 0; 1; 2; 3

thì phương trình có nghiệm nguyên ( x, y )  (1; 0), (5;  3), ( 7; 10), ( 3; 7).

Bài 11. Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d 1)
và (d2)
HƯỚNG DẪN GIẢI
8


Gọi

A  x; y 

là giao điểm của hai đường thẳng

 d1  ,  d 2 

2x  3y  8
�
�x  5
��
� A  5;  6 
�
A  x; y 
7
x

5
y



5
y


6
�
�
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình:
A  5; 6 
Có đường thẳng y  ax đi qua
nên

6  a.  5  � a 

Bài 12. Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x - 5

6
5.

(d2): y = 1

(d3): y = (2m - 3)x - 1

Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi

A  x; y 

là giao điểm của hai đường thẳng

 d1  ,  d 2 

�y  2 x  5
�x  3
��
� A  3;1
�
A  x; y 
�y  1
Tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình: �y  1

Để ba đường thẳng đồng quy thì A �d3 do đó

1   2m  3 .3  1 � m 

11
6.

�x  ay  2
�
Bài 13. Cho hệ phương trình: �ax  2 y  1
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y <
0
HƯỚNG DẪN GIẢI

Có hệ phương trình
+ Giải

+ Thay

y=

�
 1
�x  ay  2
�x  2  ay
��
�
ax  2 y  1 �
a  2  ay   2 y  1  2 
�

2a- 1
do : a2 + 2 �0" x)
(
2
a +2

y=

2a- 1
a+ 4
x= 2
2
a + 2 vào (1) ta được:
a +2

+ Theo đề bài ta có:

�a  4
a  4
0
�
�
x

0
a40
�
�
1
�a 2  2
�
��
��
� � 1 � 4  a 
�
2a  1  0
2
a
�y  0 �2a  1  0
�
�
� 2
2
�a  2
Bài 14. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(- 5; - 3) và
điểm B (3; 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI

B  3;1
A  5;  3
Vì đồ thị hàm số y  ax  b đi qua điểm
và điểm
nên ta có:

9


� 1
a
�
a
(

5)

b


3
�
� 2
��
�
3a  b  1
1
�
�
b

� 2
Bài 15. Tìm các giá trị của m để
mx  y  5
�
�
2 x  3my  7 có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
a. Hệ phương trình: �
mx  y  3
�
�
4 x  my  6 có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
b. Hệ phương trình: �
HƯỚNG DẪN GIẢI
�y  mx  5
mx  y  5
�
�y  mx  5
�
�
�
(2  3m 2 ) x  15m  7
2 x  3my  7 � �2 x  3m(mx  5)  7 � �
a. �
2
Nhận xét: m �0 (với m )
� 3m 2  2  0
� 3m 2  2 �0 với mọi m
2
Phương trình (2  3m ) x  15m  7 luôn có nghiệm với mọi m.
15m  7

x
3m 2  2
Khi đó

Thay
y  m.

x

15m  7
3m 2  2 vào pt y  mx  5 , ta được:

15m  7
15m 2  7m  15m 2  10 7m  10

5


3m 2  2
3m 2  2
3m 2  2

15m  7 7 m  10 �
�
( x; y )  � 2
; 2
�
�3m  2 3m  2 �
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
15m  7

�
0
�
�x  0
�3m 2  2
��
�
�y  0
�7m  10  0
�3m 2  2
Để
� 7
m
�
7
10
� 15
��
�
m
15m  7  0
�
10
15
7
�
m

�
2

7m  10  0
� 7
Vì 3m  2  0 (với mọi m- cmt) nên �
7
10
m
7 thì hpt đã cho luôn có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y< 0.
Vậy với 15
�y  3  mx
�y  3  mx
mx  y  3
�
�y  3  mx
��
��
��
�
2
4 x  3m  m x  6
(4  m 2 ) x  6  3m(*)
4 x  my  6
�
�
�4 x  m(3  mx)  6
b. �
Để hpt có nghiệm (x; y)  phương trình (*) có nghiệm x
� 4  m 2 �0
10

۹�m

2

Khi đó:

x

6  3m
3(2  m)
3


2
4m
(2  m)(2  m) m  2

3
m  2 vào phương trình y  3  mx , ta được:
Thay
3
3m  6  3m
6
y  3  m.


m2
m2
m2
6 �

�3
( x; y )  �
;
�
�m  2 m  2 �
Vậy hpt có nghiệm
x

�3
1
�3
�1  m
�
1 m  0
1  0
0
�x  1
�
�m  1
�m  2
�
�
��
� �m  2
� �m  2
��
��
� 2  m  1
�
6

m

2

0
m


2
�y  0
�
�
�
�
�
m20
m20
0
�
�
�
m

2
Để
KHĐK: m ��2 , ta được 2  m  1 thì hpt đã cho có nghiệm x  1, y  0 .
mx  y  2m
�
�
Bài 16. Cho hệ phương trình: �x  my  m  1 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương

trình có nghiệm x, y là các số nguyên
HƯỚNG DẪN GIẢI
mx  y  2m
�y  2m  mx
�y  2m  mx
�
�y  2m  mx
��
��
��
�
2
2
(1  m 2 ) x  2m 2  m  1(*)
�x  my  m  1 �x  m(2m  mx)  m  1 �x  2m  m x  m  1 �
Để hpt có nghiệm (x; y) � phương trình (*) có nghiệm x
� 1  m 2 �0
۹�m
1
2m 2  m  1 (1  m)(2 m  1) 2m  1
x


1  m2
(1  m)(1  m)
m 1
Khi đó:
Thay

x

2m  1
m  1 vào phương trình y  2m  mx , ta được:

2m  1 2m 2  2m  2m 2  m
m


m 1
m 1
m 1
�2m  1 m �
( x; y )  �
;
�
�m  1 m  1 �
Vậy hpt có nghiệm
1
�2m  1
�
�Z �
2
�Z
�
�x �Z
1
�m  1
� m 1
��
��

�
�Z
�
1
m

1
�y �Z � m �Z
�
1
�Z
m

1
�
� m 1
Để
(vì 2 �Z;1�Z )
� m  1 �U (1)
y  2m  m.

� m  1 � 1;1
� m � 2;0

m � 2; 0
KHĐK: m ��1 , ta được
thì hpt có nghiệm x, y là các số nguyên.
11

(m  1) x  my  2m  1
�
�
2
Bài 17. Cho hệ phương trình: �mx  y  m  2
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn
nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có:

�
 m 1x  my  2m 1 �
 m 1x  my  2m 1 � m2  m 1x  m3  1 1
�
�
��
�
� 2
2
3
2
 2
�m x  my  m  2m
�mx  y  m  2
�mx  y  m  2
2

� 1� 3
m  m 1  �

m �  0
2� 4
�
Ta có:
với mọi m.
2

� Phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
� Hệ phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

Từ (1)

�x

m3  1
 m 1 m2  m 1

 m 1
m2  m 1
m2  m 1

2
Thay x  m 1 vào (2) ta có: m m 1  y  m  2 � y  2  m

Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x y   m 1 2  m
2

1 � 3� 1
x.y   m 1 2  m   m  3m 2   �
m ��

4
2 � 4 với mọi m.
�
Ta có:
2

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy với
nhất.

m

m

3
3
 0 � m
2
2 (TM)

3
2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thõa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn

(m  1) x  y  m  1
�
�
Bài 18. Cho hệ phương trình: �x  (m  1) y  2
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt
giá trị lớn nhất

HƯỚNG DẪN GIẢI
�
�m2y  m 1
 m 1x  y  m 1 �
�
� m 1x  y  m 1
�
�
�
�
�
x   m 1y  2
 m 1x   m2  1y  2 m 1
x   m 1y  2
�
�
�
Ta có:

1
 2

12


Đề hệ phương trình đã cho có nghiệm  x y thì phương trình (1) có nghiệm y.
+) Nếu m  0 phương trình (1) trở thành 0y  1� Phương trình (1) vô nghiệm � Hệ
phương trình đã cho vô nghiệm.

+) Nếu m �0 phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Thay

y

y

m 1
m2

m 1
m 1
m2  1
x


m

1

.

2
�
x

m2 vào (2) ta có:
m2
m2

�m 1 m2  1�
� 2 
�
m
m2 �
�
m
�
0
Vậy với
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ta có:
2

m2  1 m 1 m2  m 2
1 2 �2
1 � 7 7
S x y 



1




�
� �
�
m m2 �

m2
m2
m2
�m 2 2 � 8 8 với mọi m �0

2
1
2
1

 0�

� m  4
m
m
2
2
2
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
(TM)
Vậy với m  4 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm thõa mãn điều kiện S  x  y đạt giá
trị nhỏ nhất.
�mx  my  m
�
Bài 19. Cho hệ phương trình: �mx  y  2m m, n là các tham số
a. Giải và biện luận hệ phương trình
b. Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của
phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
HƯỚNG DẪN GIẢI

� m2  mx  2m2  m 1
�
mx  my  m �
�mx  my  m
��2
�
�
�
mx  y  2m
m x  my  2m2
mx  y  2m
 2
�
�
a) Ta có: �

Trường hợp 1:

�
m 0
m2  m  0 � m m 1  0 � �
m 1
�

+) Nếu m  0 thì phương trình (1) trở thành: 0x  0

� Phương trình (1) có vô số nghiệm
� Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
13

+) Nếu m  1 thì phương trình (1) trở thành: 0x  1

� Phương trình (1) vô nghiệm
� Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
�
m �0
m2  m �0 � m m 1 �0 � �
m �1
�
Trường hợp 2:

Từ (1)

Thay

�x

x

2m2  m 2m 1

m 1
m2  m

2m 1
2m 1
m
m.

 y  2m � y 
m 1 vào (2) ta có:
m 1
1 m

�2m 1 m �
 x y  �

�
m

1
1 m �
�
m
�
0
m
�
1
Vậy với
và
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Theo câu a, với m �0 và m �1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

�2m 1 m �
 x y  �

�
�m 1 1 m �

�m  1
2m 1
x  0�
 0� � 1
�
m 1
m
� 2 (3)
Ta có:
�
m 1
m
y  0�
 0� �
1 m
m 0
�
(4)
Từ (3) và (4) � m  1 hoặc m  0
Vậy với m  1 hoặc m  0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thõa mãn điều
kiện x  0, y  0.

�x  y  m
�2
2
2
Bài 20. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: �y  x  m  6
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
HƯỚNG DẪN GIẢI
�x 2  y 2  2xy  m 2

� xym
�x  y  m
�
�
�2
�
�
2
2
2
2
y  x 2  m 2  6
�xy  m  3
�x  y  m  6
Ta có: �
2
P  xy  2  x  y 
P  m 2  3  2m  m 2  2m  3   m  1  4 �4
Mà
nên
�x  y  1 �x  2
�x  1
� m  1  0 � m  1 � �
��
�
xy


2
y


1
�
�
Dấu “=” xảy ra
hoặc �y  2
14


Vậy GTNN của P  bằng 4 khi x  2 , y  1 hoặc x  1, y  2 .

�x  y  2a  1
�2
2
2
Bài 21. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: �y  x  a  2a  3 . Xác định giá trị
của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI
�
� x  y  2a  1
�x  y  2a  1                              1
�
�2
�
2
y  x 2  a 2  2a  3 �
x  y   2xy  a 2  2a  3    2 

�
Ta có:

Thay (1) vào (2) ta được:
2
 2a  1  2xy  a 2  2a  3 � 4a 2  4a  1  2xy  a 2  2a  3
�
2xy�
3a 2 �۳
6a 4

2xy 3  a 1

2

1 1

xy

1
2

1
� a 1  0 � a  1
Vậy tích xy đạt GTNN bằng 2

Bài 22. Cho hệ phương trình:

�xy  a 2
�
�1 1 1
�x  y  b
�

Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ
nhật.
HƯỚNG DẪN GIẢI
+ Vì x, y là các cạnh của hình chữ nhật nên x, y dương
1 1 x+y 1
a2
a2
+ =
= � x+y=
� x = -y
x y
xy
b
b
b
2
�a 2 �
2
2 a
xy = a � � - y �y = a � y - y + a 2 = 0
b
�b
�
2

(1)

+ Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (1) có một nghiệm dương

�a 4
2
��
a = 0 (ktm)
�b 2 - 4a = 0
�
�
a 2 = 4b 2
�2
�
Δ=0
a 4 - 4a 2b 2 = 0
��
a = 2b
�
��
�a
�
�
�
��
��
S>0 � � >0
��
b>0
��
b>0
� ��
a = -2b
�P > 0

�b
�
�
�
a¹0
a¹0
b>0
�
�
�
�
�
a2 > 0
�
�
�
�

15


+ Để hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (1) vô nghiệm

a4
- 4a 2 < 0 � a 4 - 4a 2 b 2 < 0 � a 2  a 2 - 4b 2  < 0
2
b
2
2
�  a - 4b  < 0 �  a - 2b   a + 2b  < 0

�Δ<0�

a - 2b > 0
a > 2b
�
�
TH 1: �
��
(loai)
a + 2b < 0
a < -2b
�
�
a - 2b < 0
a < 2b
�
�
TH 2 : �
��
� -2b < a < 2b
a + 2b > 0
a > -2b
�
�
+ Vì phương trình (1) có nhiều nhất 2 nghiệm nên hệ phương trình đã cho cũng có nhiều nhất hai nghiệm chứ không thể
có vô số nghiệm được
+ hệ phương trình 2 nghiệm thì phương trình (1) có hai nghiệm

a4
- 4a 2 > 0 � a 4 - 4a 2 b 2 > 0 � a 2  a 2 - 4b 2  > 0

b2
�  a 2 - 4b 2  > 0 �  a - 2b   a + 2b  > 0
�Δ>0�

a - 2b > 0
a > 2b
�
�
TH 1: �
��
� a > 2b
a + 2b > 0
a > -2b
�
�
a - 2b < 0
a < 2b
�
�
TH 2 : �
��
� a < -2b
a + 2b < 0
a < -2b
�
�
2 x  my  1
�
�
mx 2 y  1

Bài 23. Cho hệ phương trình: �
a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số
nguyên.
HƯỚNG DẪN GIẢI
� 1
x
�
2x  1
�
� 2
��
�
2y 1 � 1
�
y
� 2
a) Với m  0 hệ trở thành

Hệ có nghiệm duy nhất khi m  0
Với m �0
�
�
 m  2   m  2  y  m  2(*)
2mx  m 2 y  m
��
�
2mx  4 y  2
mx  2 y  1
�

�

16


1
�
x
�
� m2
�
�y  1
Với m ��2 thì hệ có nghiệm duy nhất � m  2
Với m  2 thì pt (*) vô số nghiệm nên HPT vô số nghiệm
Với m  2 thì pt (*) vô nghiệm nên HPT vô nghiệm
KL:….
1
�
x
�
� m2
�
�y  1
b) Để hệ có nghiệm nguyên duy nhất � m  2
Để hpt có nghiệm

 x; y 

nguyên thì

� m  2 �U  1  �1

� m � 1;  3
Vậy:…

�x  my  4
�
Bài 24. Cho hệ phương trình: �mx 4 y  10  m (m là tham số).
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên
dương.
HƯỚNG DẪN GIẢI
�x  4
�
m0�� 5
y
�
� 2
a) Với
�
�
mx  m 2 y  4m
 m  2   m  2  y  5  m  2   *
��
��
mx  4 y  10  m
�
�x  my  4
Với m �0
� 8m

x
�
� m2
�
�y  5
Với m ��2 thì hệ có nghiệm duy nhất � m  2
Với m  2 thì pt (*) vô số nghiệm nên HPT vô số nghiệm.
Với m  2 thig pt (*) vô nghiệm nên HPT vô nghiệm.

b) Để hệ có nghiệm dương duy nhất

17


10
� 8m
x
 1 
0
�
� m2
m2
��
� 2  m  8 ; m �2
5
�y 
0
� m2
Để hệ có nghiệm nguyên
� m  2 �U  5    �1, �5

� m � 1;  3;3; 7

Kết hợp với điều kiện

� m � 1;3

(m  1) x  my  3m  1
�
�
2x  y  m  5
Bài 25. Cho hệ phương trình: �
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x 2 + y2
đạt giá trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI

�y  2 x   m  5 
(m  1) x  my  3m  1 �
�
�y  2 x   m  5 
�
��
��
�
2
2x  y  m  5
2 x   m  5 �
 m  1 x  m �
�
 m  1 x   m  1 (*)
�

�
� 3m  1 �
Để hệ có nghiệm duy nhất thì m �1
Khi đó
�x  m  1
�
�y  m  3
x 2  y 2   m  3   m  1  2m 2  4m  10
2

2

 2  m  1  8 �8
2

2
2
Vậy GTNN của x  y  8 . Dấu "  " xảy ra � m  1 (tm)

(m  1) x  my  2m  1
�
�
2
Bài 26. Cho hệ phương trình: �mx  y  m  2.
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá
trị lớn nhất.
HƯỚNG DẪN GIẢI

2
(m  1) x  my  2m  1 �

�
�y  mx   m  2 
��
�
mx  y  m 2  2.
�
�
 m2  m  1 x   m  1  m 2  m  1 (*)
�
2
Hệ có nghiệm duy nhất khi m  m  1 �0 (luôn đúng m )
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất
�x  m  1
�
�y  m  2
Ta có:

18


xy   m  1  m  2    m 2  3m  2
2

1
� 3� 1
 �
m  � �
4
� 2� 4
1

3
m
� xy GTLN là 4 khi
2
mx  2 y  m  1
�
�
2 x  my  3.
Bài 27. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: �
HƯỚNG DẪN GIẢI
�
mx  2 y  m  1
�
�
2 x  my  3
Xét hệ phương trình: �

 1
 2

Từ phương trình (1) biểu diễn y theo x ta được:

mx  2 y  m  1 � y 

mx  m  1
2
.

Thế vào phương trình (2) ta được:
mx  m  1

3
2
� 4 x  m  mx  m  1  6
2x  m

� 4 x  m2 x  m2  m  6  0

�  m2  4 x   m2  m  6  0

�  m  2   m  2  x   m  3  m  2   0  3 

TH1:

m20
m2
�
�
��
m20
m  2
�
�

 m  2  m  2  0 � �

Với m  2 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 x  0  0 ; đúng x � Phương trình (3) có vô

�x ��
�2 x  2 y  3 �
��

�
3
�2 x  2 y  3 �y   x 
�
2
số nghiệm. Thay m  2 vào hệ phương trình ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

 x; y   �
�x;  x 
�

3�
; x ��
�
2�

Với m  2 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 x  4  0 ; Vô lý � Phương trình (3) vô
nghiệm. Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

TH2:

�m �2
�m �2

 m  2   m  2  �0 � �

19

x
Khi đó phương trình (3) có nghiệm là:

 m  3  m  2 
 m  2  m  2



m3
m2

Trả lại ẩn y ta được:
y

mx  m  1 1 � �m  3 �
� 1 � m  m  3   m  1  m  2  �
 �
m �
�
� m  1� �
2
2 � �m  2 �
m2
� 2�
�

1 �m 2  3m  m2  3m  2 � 1 � 2 � 1
 �
� �

�
2�
m2
� 2 �m  2 � m  2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

m3 1 �
;
�
�m  2 m  2 �

 x; y   �
�

Kết luận:
Với m  2 thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm là:

 x; y   �
�x;  x 
�

3�
; x ��
�
2�

Với m  2 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
m �2
�

�m  3 1 �
x; y   �
;

�
�
m �2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
�m  2 m  2 �
Với �
�x  my  2
�
mx  2 y  1.
Bài 28. Cho hệ phương trình: �
a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
HƯỚNG DẪN GIẢI

�x  1
3x  3
�x  2 y  2
�
�x  1
�
��
��
�� 1
�
2 x  2 y  1 �x  2 y  2
2 y  1 �y 

�
�
� 2
a. Với m  2 thì hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

1�
�
� 2�

1;
 x; y   �
�

�
�x  my  2  1
�
mx  2 y  1 2 
b. Xét hệ phương trình: �
Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y ta được: x  my  2 . Thế vào phương trình (2) ta
được:

20


m   my  2   2 y  1
�  m 2 y  2m  2 y  1
�  m 2  2  y  2m  1
� y

2m  1
 Vì m2  2  0; m 
m2  2

m  2m  1  2  m 2  2  2m2  m  2m 2  4 m  4
�2m  1 �
x  m � 2

 2
� 2 
2
2
m

2
m

2
m

2
m 2
�
�
x
Trả lại ẩn ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m là

m  4 2m  1 �

; 2
�
�m  2 m  2 �

 x; y   �
�2

�m  4
m  4
0
�
�
�x  0
�m  4  0
1
�m 2  2
�
��
��
� � 1 � 4  m   Vì m 2  2  0
�
2
m
�y  0
�2m  1  0
�2m  1  0
�
�
2
2

�m  2
Để
Mà



m ��� m � 3; 2; 1;0

Vậy với

m � 3; 2; 1;0

thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x  0 và y  0 .

c. Theo câu b ta có: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m là
m  4 2m  1 �
; 2
 x; y   �
�2
�
�m  2 m  2 �
9
�m  4 � 2m  1
2x  y  2 � 2
 2
� 2
�m  2 � m  2 m  2 cũng phải
Vì các nghiệm x,y là các số nguyên nên suy ra:
là 1 số nguyên.
9

m 2  2 �Ö 9   �1; �3; �9
Để m  2 là 1 số nguyên thì
2

2
m 2  2 � 3;9
Mà m  2 �2; m nên
2
2
Với m  2  3 � m  1 � m  �1

5 1�
�
�3 3 �(Loại vì x,y nguyên)

 x; y   �
�;

Khi m  1 khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
 x; y    1; 1 (Thỏa mãn)
Khi m  1 khi đó hệ phương trình có nghiệm là:
2
2
Với m  2  9 � m  7 � m  � 7 (Loại)

Vậy với m  1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x; y là các số nguyên.

21

�x  my  1
�
Bài 29. Cho hệ phương trình: �mx  3my  2m  3.
a. Giải hệ khi m = - 3.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
a. Với m  3 thì hệ phương trình trở thành:
�x  3 y  1
�x  3 y  1
�x  3 y  1
�x  3 y  1 �x  3 y  1
��
��
��
��
�
3  3 y  1  9 y  3
3 x  9 y  3 �
9 y  3  9 y  3 �
0y  0
�
�
�y ��

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức biểu diễn nghiệm là:
 x; y    3 y  1; y  ; y ��
�
�x  my  1 1
�
mx  3my  2m  3  2 

b. Xét hệ phương trình: �
Từ phương trình (1) biểu diễn x theo y ta được: x  my  1 � x   my  1 .
Thế vào phương trình (2) ta được:
m  my  1  3my  2m  3
�  m2 . y  m  3my  2m  3
�  m 2  3m  y  m  3

�  m  m  3 y  m  3  3
m0
�
m  m  3  0 � �
m  3
�
TH1:
Với m  0 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 y  3 (Vô lý).
Suy ra phương trình (3) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với m  3 khi đó phương trình (3) trở thành: 0 y  0 (Luôn đúng).
Suy ra phương trình (3) có vô số nghiệm. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
 x; y    3 y  1; y  ; y ��
Công thức biểu diễn nghiệm là:
m �0
m3
1
�
y

 m  m  3 �0 � �
 m  m  3
m
m �3 . Khi đó phương trình (3) trở thành:

�
TH2:
�1�
x  m �
 � 1  1  1  2
m�
�
x
Trả lại ẩn ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

2; 
 x; y   �
�
�

1�
�
m�
22


Kết luận:
Với m  0 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với m  3 thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Công thức biểu diễn nghiệm là:

 x; y    3 y  1; y  ; y ��

m �0
�
� 1�
x; y   �
2;  �

�
m �3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
� m�
Với �
mx  2my  m  1
�
�
Bài 30. Cho hệ phương trình: �x  ( m  1) y  2.
a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn
thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
HƯỚNG DẪN GIẢI
�
mx  2my  m  1  1
�
�
x   m  1 y  2  2 
a) Xét hệ �
 2  � x  2   m  1 y

5.

Khi đó thay vào (1) ta có:

m.  2   m  1 y   2my  m  1 � 2m   2m  m 2  m  y  m  1 �  m  m 2  y  1  m
�m �0
� m  m2 �0 � �
�m �1 khi đó
Hệ có nghiệm duy nhất
1 m
1
m 1 m 1
1
y
 � x  2

1
m  1 m m
m
m
m
1
1
x  y  1  1 �
M �   : y  1  x
m
m
Ta nhận thấy
điểm
đây là đường thẳng cố định cần tìm.
�1
0
�
m0

�x  0
�
�m
��
��
��
� m 1
m 1
�y  0
�
�m  1  0
�m
b) Điểm M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất
Kết luận: Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
O  0;0  ; bk R= 5
c) Điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ

1  m  1
x  y  5 � M � C  � 2 
5
m
m2
Chú ý đường tròn này có phương trình
m  1
�
m 2  2m  2
2
�
�
 5 � 4m  2 m  2  0 �

1
�
m2
m
� 2
2

2

2

23


Kết luận: Vậy

m  1; m 

1
2 là các giá trị cần tìm.

mx  4 y  m  2
�
�
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: �x  my  m.
có nghiệm duy
nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
HƯỚNG DẪN GIẢI

�

mx  4 y  m  2  1
�
�
x  my  m  2 
Xét hệ phương trình: �
 2  � x  m  my
Từ
Thay vào (1) ta có:
 1 � m  m  my   4 y  m  2

� m2   4  m2  y  m  2

�  4  m 2  y  m 2  m  2   2  m   m  1
m �2
�
� 4  m 2 �0 � �
m �2
�
Như vậy hệ có nghiệm duy nhất
 2  m   m  1  m  1  1  1
m
2
y
x  m  my  m 
 m 1
2  m  2  m 2  m
2m

m2
m2

Khi đó
nên
m  2 1
m  1
�
�
x �Z ; y �Z � 1M m  2  ; 2M(m+2) � �
��
m  2  1 �
m  3 (thỏa mãn)
�
Các nghiệm
Kết luận: Vậy m  1; m  3 là các giá trị cần tìm.
2 x  my  1
�
�
mx  2 y  1.
Bài 32. Cho hệ phương trình: �
a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy
trên một đường thẳng cố định.
2
d. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2 .
HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Từ hai phương trình, ta suy ra:

2 x  my  mx  2 y  0 �  m  2   x  y   0(*)
Xét m  2 : Phương trình (*) có vô số nghiệm, vậy hệ có vô số nghiệm.

m �2 � x  y ; thay vào phương trình (1) ta được: 2 x  mx  1 �  m  2  x  1
Nếu m  2 : hệ vô nghiệm.
Xét

24


1
�
x

�
� m2
�
�y  1
Nếu m �2 : hệ có nghiệm duy nhất: � m  2
Vậy:
+ m  2 thì HPT vô số nghiệm.
+ m  2 thì HPT vô nghiệm

1
�
x

�
� m2
�
�y  1
+ m �2 thì HPT có nghiệm duy nhất � m  2

1
�
x

�
� m2
�
�y  1
b) Với m �2 : hệ có nghiệm duy nhất: � m  2
m  2 1
m  3
�
�
� m  2 �U (1) � �
��
 TM 
m

2


1
m


1
�
�
Để x, y nguyên
M  x; y  thuộc đường thẳng cố định y  x

c) Khi m �2 , hệ có nghiệm duy nhất và điểm
2

M  x; y  thuộc đường tròn tâm O bán kính 2 khi:
d)
x2  y2 

1
2
2

2

�1 � �1 � 1
��
� �
�
�m  2 � �m  2 � 2
2
1
�

 m  2 2 2
�  m  2  4
2

m22
�
��
m  2  2

�
m0
�
��
 TM 
m  4
�

25