mot so bai toan hay

một số bài toán đại số và số học
Bài1: Cho các số x, y thỏa mãn:
(x +
2
2009x +
)(y +
2
2009y +
) = 2009 (1)
Tính giá trị của biểu thức A =
2009 2009
x y+
Lời giải:
+ Ta có: (1)

2009(y +
2
2009y +
) = 2009(
2
2009x +
- x)


(y +
2
2009y +
) = (
2
2009x +
- x) (2)

+ Tơng tự ta cũng có:
(x +
2
2009x +
) = (
2
2009y +
- y) (3)
Từ (2) và (3) ta có: x + y = 0

x = - y .
Vậy: A =
2009 2009
x y+
= 0
Bài2: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

2 2
2x y+
+ 2xy - 5x- 5y = - 6 (1) để x + y là số nguyên?
Lời giải: (cách1)
(1)

(x + y -
5
2
)
2
+
2

y
-
1
4
= 0. Do
2
y


0 nên: (x + y -
5
2
)
2
-
1
4

0


-
1
2


(x + y -
5
2
)

1
2

2

x + y

3.
Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
Cách2: Đặt x + y = T

y = T x thế vào (1) ta đợc phơng trình bậc hai
đối với ẩn x:
2
x
- 2Tx +2T
2
- 5T + 6 = 0 (2). Giá trị của T nếu có là điều kiện
có nghiệm của phơng trình (2)

,

= - T
2
+ 5T - 6

0

2

T

3


2

x + y

3
Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
Bài3: Cho các số nguyên dơng khác nhau: a
1
; a
2
;...; a
900
. Chứng minh rằng
phơng trình :
1 2 900
1 1 1
... 60
a a a
+ + + =
vô nghiệm
Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức:
1
2( 1)n n

n
<
với n

1. Thật vậy:
Ta có:
1
n
=
2
2 n
<
2
1n n+
=
2
1n n+
=
2( 1)n n
.
Vậy:
1
2( 1)n n
n
<
(*)
Do a
1
; a
2

;...; a
900
là các số nguyên dơng khác nhau nên tacó:
1 2 900
1 1 1
...
a a a
+ + +



1 1 1
...
1 2 900
+ + +
< 2(-
0
+
1 1 2 2 ... 899 899 900 + + + +
) = 60. Suy ra:
1 2 900
1 1 1
...
a a a
+ + +
< 60. Vậy phơng trình
1 2 900
1 1 1
... 60
a a a

+ + + =
vô
nghiệm
Bài4: Tìm GTNN của biểu thức
C =
2
2
20082
x
xx
+
(x

0)
Ta có thể giải câu này bằng nhiều cách nh sau:
Cách1:
Do x

0 nên ta có:
C = 1 -
x
2
+
2
2008
x
. Đặt
x
1
= t, khi đó: Ta đa về đa thức bậc hai nh sau:

C = 2008t
2
2t + 1 = 2008(t
2
2t
2008
1
+
2008
1
)
C= 2008(t
2
2t
2008
1
+
2
2008
1
-
2
2008
1
+
2008
1
)
C = 2008(t -
2008

1
)
2
+
2008
2007


2008
2007
Suy ra: GTNN (C) =
2008
2007


t =
2008
1


x = 2008
Cách2: Ta có thể giải cách khác nh sau:
Do x

0 nên C =
2
2
20082
x
xx

+

(C - 1) x
2
+ 2x 2008 = 0 (2)
+ Nếu C = 1 suy ra x = 1004 (*)
+ Nếu C

1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của phơng
trình (2)

,

= 1 + 2008(C - 1)

0

C


2008
2007
suy ra GTNN(C) =
2008
2007


,

=

0

x = 2008.(**)
Từ (*) và (**) ta tìm đợc GTNN(C) =
2008
2007
Cách3:Với mọi a

R .Ta có: C a =
2
2
20082
x
xx
+
- a =
2
2
20082)1(
x
xxa
+
(3)
Xét f(x) = (1- a)x
2
-2x + 2008. Gọi
,

= 2008a 2007
Do (3) đúng với mọi giá trị của R nên (3) đúng với giá trị của a làm cho

,

= 0

a =
2008
2007
. Với a =
2008
2007
thì: C -
2008
2007
=
2
2
2008
)2008(
x
x


0. Dấu
bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 2008

C =
2008
2007
. Vậy GTNN(C) =

2008
2007
Cách4:
Ta cã: C =
2
22
2008
2008200822008
x
xx
+−
=
2
222
2008
2007200820082
x
xxx
++−
=
2
22
2008
2007)2008(
x
xx
+−
=
2
2

2008
)2008(
x
x
−
+
2008
2007

≥

2008
2007
(Do x
≠
0)
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: x = 2008. VËy GTNN(C) =
2008
2007
Cßn n÷a...