Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng – dương phước sang

Nguyên hàm. Tích phân & Ứng dụng
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Chương 3

Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên K (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) chứa đoạn [a; b].

1. Công thức định nghĩa của nguyên hàm, tích phân
F ( x) là 1 nguyên hàm của f ( x) trên K ⇔ F ( x) = f ( x), ∀ x ∈ K
f ( x) d x = F ( x) + C ⇔ F ( x) = f ( x), ∀ x ∈ K (với C là một hằng số thực bất kỳ).
b
a

b

b

f ( x) d x = F ( x)

a

= F ( b) − F (a). Từ đây ta có F ( b) = F (a) +

f ( x) d x.
a

2. Tích chất của nguyên hàm

Mỗi hàm số f ( x) liên tục trên K có vô số nguyên hàm trên K . Các nguyên hàm đó chỉ

sai khác nhau một hằng số C , nghĩa là nếu F ( x) và G ( x) đều là nguyên hàm của f ( x)
trên K thì F ( x) − G ( x) = C, ∀ x ∈ K .
[ f ( x) ± g( x)] d x =

f ( x) d x ±

f ( x) d x = f ( x) + C ;

g ( x) d x;

f ( x) d x, ∀ k ∈ R, k = 0.

k f ( x) d x = k

f ( x) d x = f ( x);

(giả sử f ( x), g( x) là các hàm số liên tục trên K )

3. Tích chất của tích phân

Cho các hàm số f ( x), g( x) liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứa a, b, c. Khi đó
b
a
b

a

= f ( b) − f (a).

b

f ( x) d x =

a

a

b

f ( x)d x = f ( x)

b

f ( t) d t =

a

b

b

b

k f ( x) d x = k

a
b
a

f ( u) d u.

a

a

a

b

f ( x) d x.
a
b

b

f ( x) d x ±

g ( x) d x.

f ( x)

0, ∀ x ∈ [ a ; b ] ⇒

a

f ( x) d x
a
b

f ( x) d x, ∀ k ∈ R

c

f ( x) d x =

f ( x ) d x = 0.
f ( x) d x = −

b

a

b

[ f ( x) ± g( x)] d x =

a

a
a

f ( x)

c

f ( x) d x
a

x

b

f ( x) d x +

0, ∀ x ∈ [ a ; b ] ⇒

f ( x) d x, ∀a, b, c ∈ K .

1

a

f ( t) d t = f ( x), ∀a ∈ K .

0.
0.


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

4. Bảng nguyên hàm của các hàm số thông dụng
Lưu ý: nếu

f ( x) d x = F ( x) + C thì

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Nguyên hàm

•

dx = x + C

•

xα d x =

•

1
1
d
x
=
−
+C
x
x2

•
•

1

xα+1
+ C, α = −1
α+1

1

· F (ax + b) + C (a = 0).
a

Nguyên hàm mở rộng (đổi x thành ax + b, a = 0)
•

a d x = ax + C

•

(ax + b)α d x =

•

1
1
1
d
x
=
−
·
+C
a ax + b
(ax + b)2

dx = 2 x + C

•

2
x dx = x x + C
3

•

x

f (ax + b) d x =

1

ax + b

dx =

ax + b d x =

2
· ax + b + C
a
2
· (ax + b) ax + b + C
3a

1 ax+b
·e
+C
a

•

ex d x = ex + C

•

ax
a dx =
+C
ln a

•

a

•

1
d x = ln | x| + C
x

•

1
1
d x = · ln ax + b + C
ax + b
a

•

sin xd x = − cos x + C

•

1
sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C
a

•

cos xd x = sin x + C

•

cos(ax + b)d x =

•

1
d x = tan x + C
cos2 x

•

•

•

x

1
2

sin x

d x = − cot x + C

•

•

eax+b d x =

1 (ax + b)α+1
·
+ C, α = −1
a
α+1

mx+ n

1 a mx+n
dx = ·
+C
m ln a

1
cos2 (ax + b)

1
sin(ax + b) + C
a

dx =

1
· tan(ax + b) + C
a

1

1
d x = − · cot(ax + b) + C
a
sin (ax + b)
2

Một số công thức bổ sung để làm bài trắc nghiệm
1

x2 − a2

dx =

1
x−a
+C
ln
2a

x+a

•

ax + b
1
1
dx =
+C
ln
ad − cb
cx + d
(ax + b) ( cx + d )

•

tan2 x d x = tan x − x + C

•

cot2 x d x = − cot x − x + C

•

tan x d x = − ln |cos x| + C

•

cot x d x = ln |sin x| + C

•
•
•

•

1
x
d x = ln tan + C
sin x
2
1
1
1
+C
d
x
=
−
·
xn
n − 1 x n−1
x
1
d x = arcsin
+C
| a|
a2 − x2
dx
= ln x + x2 + a + C

x2 + a

Ƅ Dương Phước Sang

•
•
•
•

1
x π
+C
d x = ln tan +
cos x
2 4
n
n
x dx =
·x n x+C
n+1
1
1
x
d
x
=
arctan
+C
a
a

x2 + a2
x
a
x2 + a d x =
x2 + a + ln x +
2
2

2

x2 + a + C

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

5. Công thức nguyên hàm từng phần, tích phân từng phần
Với u = u( x), v = v( x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K ta có
b

v du
a

b
a−

u dv = uv

b

v du
a

Dưới đây là bảng các dạng nguyên hàm (tích phân) từng phần thường gặp:
P ( x).eax+b d x

P ( x). sin ax d x

P ( x). cos ax d x

eax cos x d x

P ( x). ln x d x

u

P ( x)

P ( x)

P ( x)

cos x

ln x

dv

eax+b d x

sin ax d x

cos ax d x

eax d x

P ( x) d x

(P ( x) là ký hiệu cho một đa thức ẩn x có dạng a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 )

6. Phương pháp đổi biến số trong bài toán nguyên hàm, tích phân
Nếu

f ( x)d x = F ( x) + C thì

f t( x) .t ( x)d x = F t( x) + C

Dạng tích phân

Đặc điểm nhận dạng

Cách đặt

a.t( x) + b.t ( x)
dx
t( x)

Đặt biểu thức dưới mẫu

t = t( x)

f e t(x) .t ( x) d x

Đặt biểu thức ở phần số mũ

t = t( x)

f t( x) .t ( x) d x

Đặt biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc

t = t( x)

f

n

t( x) .t ( x) d x

Đặt căn thức có trong tích phân

dx
x

t=

n

t( x)

Đặt biểu thức chứa lnx

t = ln x

f (sin x). cos2n−1 x d x

Gặp cos(mũ lẻ) x.dx đi kèm biểu thức theo sinx

t = sin x

f (cos x). sin2n−1 x d x

Gặp sin(mũ lẻ) x.dx đi kèm biểu thức theo cosx

t = cos x

f (ln x) .

f (tan x).
f (cot x).

dx
cos2 x
dx
sin2 x

dx

đi kèm biểu thức theo tan x
cos2 x
dx
Gặp
đi kèm biểu thức theo cot x
sin2 x

Gặp

t = tan x
t = cot x

f (eax+b ).eax+b d x

Gặp eax+b d x đi kèm biểu thức theo eax+b

t = eax+b

f xα+1 .xα d x

Gặp xα d x đi kèm biểu thức theo xα+1

t = xα+1

f xα .

dx
x

Gặp

dx
đi kèm biểu thức theo xα
x

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

u dv = uv −

t = xα

Đôi khi thay cách đặt t = t( x) bởi t = m.t( x) + n ta sẽ gặp thuận lợi hơn trong tính toán

Ƅ Dương Phước Sang

3

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

7. Phép lượng giác hoá trong phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1)

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Dấu hiệu

Vi phân kèm theo

Cách đặt (giả sử a > 0)
π

a2 − x2

x2n d x

x = a sin t, với −

2ax − x2

x2n d x

x − a = a sin t, với −

a2 + x2

x2n d x

a+x
hoặc
a−x

2
π

2
π

t

2
2
π
π
x = a tan t, với − < t <
2
2
π
π
a
, với −
t
, t=0
x=
sin t
2
2
π
x = a cos 2 t, với 0 t
2
π
x − a = ( b − a) sin2 t, với 0 t
2

x2n d x

x2 − a2

π

t

a−x
a+x

( x − a)( b − x)

8. Một số dạng tích phân đặc biệt (hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn,...)
a

Nếu f ( x) là hàm số lẻ, liên tục trên khoảng K chứa [−a; a] thì

−a

f ( x) d x = 0.

Nếu f ( x) là hàm số chẵn, liên tục trên khoảng K chứa [−a; a] thì
a
−a

a

f ( x) d x = 2

a

a

1
f ( x)
dx =
x
2
−a 1 + b

f ( x) d x.
0

f ( x) d x.
−a

Nếu f ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì
π
2

0

f (sin x) d x =

π
2

0

0

f (cos x) d x.

π
2

π

f (sin x) d x = 2

π

x f (sin x) d x =

0
b

f (sin x) d x.

2

f (sin x) d x.
0

b

f ( x) d x =

a

0

π

π

Nếu hàm số f ( x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì

a

f ( a + b − x) d x.
a+ T
a

T

f ( x) d x =

f ( x) d x.
0

Hai công thức tính tích phân đặc biệt:
b
a

u( x) + u ( x) e x d x = u( x)e x

b

b
a

a

m.u( x) + u ( x) emx d x = u( x)emx

b
a

9. Ứng dụng tích phân giải bài toán về tốc độ thay đổi của một đại lượng
Kiến thức chung: f ( x) đặc trưng cho tốc độ thay đổi của đại lượng f ( x) theo biến số x.
b

Khi đó f (b) = f (a) +
t2

Bài toán chuyển động: s( t2 ) = s( t1 ) +

v( t) d t
t1

f ( x) d x
a

lưu ý: s( t) =

v( t) d t, v( t) =

a( t) d t

s( t), v( t), a( t) lần lượt là quãng đường, vận tốc, gia tốc của chuyển động tại thời điểm t.
t2

Bài toán sinh học: N ( t2 ) = N ( t1 ) +

N ( t) d t, trong đó
t1

N ( t), N ( t) lần lượt là số lượng cá thể và tốc độ sinh sôi của chúng tại thời điểm t.

Ƅ Dương Phước Sang

4

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

10. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
b

y = f ( x ), y = g ( x )

Hình phẳng (H ) giới hạn bởi

có diện tích S =

x = a, x = b

f ( x) − g ( x) d x.

a

c

f ( x)

d

a

O

c

S=

a

x

O

f ( x)d x

S=

b
d

f ( x)d x −

c

a
g(

b

f ( x)d x +

x)

c

b

c

d

a

x

b

f ( x) − g ( x) d x +

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

y=

f(

x)

y

y

g ( x) − f ( x) d x

c

Một số lưu ý về cách xử lý dấu | · | trong dấu tích phân khi tính diện tích hình phẳng:

Phương trình của trục hoành là y = 0, phương trình của trục tung là x = 0.
Nếu có đồ thị của các hàm số (như hai hình minh hoạ trên đây), ta xác định hình
phẳng cần tính diện tích rồi lập công thức tính diện tích dựa trên hình đã vẽ đó.
b

Nếu s( x)

0, ∀ x ∈ [a; b] thì

b

s( x) d x =

a

s( x) d x.
a

b

Nếu s( x)

0, ∀ x ∈ [a; b] thì

a

b

s( x) d x = −

s( x) d x.
a

Chỉ khi phương trình s( x) = 0 không có nghiệm nào ở giữa a và b ta mới được sử
b

dụng công thức
a

b

s( x) d x .

s( x) d x =

a

Nếu phương trình s( x) = 0 có nghiệm ở giữa a và b (giả sử chỉ có một nghiệm
x0 ∈ (a; b)) ta cần dùng nghiệm x0 đó chia đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ hơn và
x0

b

biến đổi tích phân theo kiểu như sau
a

s( x) d x =

a

b

s( x) d x .

s( x) d x +

x0

11. Ứng dụng tích phân tính thể tích của một vật thể
Công thức tính thể tích của một vật thể dựa vào diện tích mặt cắt
y

b

Q

P

V=

S ( x) d x
a

S ( x)
a

O

x

b

x

Trong đó S ( x) là diện tích của
thiết diện được tạo ra bởi vật
thể và mặt phẳng vuông góc
với Ox, cắt Ox tại x.

Các công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay (khi quay hình (H ) quanh Ox)
y

y

f ( x)

O

a

b

b

V =π

Cho hình phẳng (H ) giới hạn
bởi y = f ( x), y = g( x) và hai
đường x = a, x = b (a < b). Khi
g ( x)
quay hình (H ) quanh Ox, phải
x
b
có điều kiện f ( x).g( x) 0 với
mọi x ∈ [a; b] ta mới được sử
dụng công thức ghi bên đây để
tính thể tích vật thể tròn xoay
f 2 ( x) − g2 ( x) d x được tạo thành.

f ( x)

f 2 ( x)d x

a

Ƅ Dương Phước Sang

x

O

a

b

V =π

a

5

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

II. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN ĐIỂN HÌNH

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 1. Gọi F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1 trên khoảng − 12 ; +∞
thoả mãn F (0) = 1. Tính F (4).
Lời giải
1
1
2 x + 1 d x = (2 x + 1) 2 x + 1 + C ⇒ F ( x) = (2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3
1
2
Do F (0) = 1 nên + C = 1 ⇔ C = .
3
3
1
29
2
Vậy F ( x) = (2 x + 1) 2 x + 1 + , suy ra F (4) = .
3
3
3

Xét

f ( x) d x =

Cách 2
4

Ta có F (4) = F (0) +

0

4

f ( x) d x = 1 +

0

2x + 1 dx = 1 +

1
(2 x + 1) 2 x + 1
3

4
0

=

29
.
3

Ví dụ 2. Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là nguyên hàm của
hàm số f ( x) =

A. F ( x) =

x2
.

x+1

B. G ( x) =

x2 + x + 1
.
x+1

x( x + 2)
?
( x + 1)2

C. H ( x) =

x2 + x − 1
.
x+1

D. K ( x) =

x2 − x − 1
x+1

Lời giải
Hướng 1 (giải tìm họ nguyên hàm của f ( x))
Ta có

f ( x) d x =

x( x + 2)

dx =
( x + 1)2

1−

x2 + (C + 1) x + (C + 1)
1
1
+
C
=
.
d
x
=
x
+
x+1
x+1
( x + 1)2

Như vậy H ( x) không phải là nguyên hàm của f ( x) do không có dạng đã tìm được.
Hướng 2 (dùng định nghĩa của nguyên hàm)
Theo hướng này ta cần tìm ra hàm số có đạo hàm không đồng nhất với f ( x).
ax2 + bx + c
amx2 + 2anx + bn − cm
Nếu dùng công thức tính nhanh
=
ta tìm được
mx + n

( mx + n)2
x2 + 2 x + 2
≡ f ( x) nên H ( x) không phải là một nguyên hàm của f ( x).
H ( x) =
( x + 1)2

Hướng 3 (dùng mối liên hệ giữa các nguyên hàm của cùng 1 hàm số)
Theo phát biểu của đề bài, trong 4 hàm số F ( x), G ( x), H ( x), K ( x) chắc chắn có 3 hàm số
là nguyên hàm của f ( x) và 1 hàm số không phải là nguyên hàm của f ( x).
Như vậy khi ta tìm hiệu của hai trong 4 hàm số đó có mà kết quả thu gọn là một hằng
số thì cả hai hàm số được xét đều là nguyên hàm của f ( x).
G ( x) − F ( x) =

x2 + x + 1
x2
−
= 1, ∀ x do đó F ( x), G ( x) đều là nguyên hàm của f ( x).
x+1
x+1

H ( x) − F ( x) =

x2 + x − 1
x2
x−1
−
=
= C ⇒ H ( x) không là nguyên hàm của f ( x).
x+1
x+1 x+1

Ƅ Dương Phước Sang

6

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

x5
d x = mx4 + nx2 + p ln( x2 + 1) + C , trong đó C là hằng số thực;
1 + x2
m, n, p là các hệ số hữu tỷ. Hãy tính T = m + n + p.

Lời giải
Cách 1: dùng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =

x5
.
1 + x2

1
x4
x5
2
d
x

=
·
x
d
x
.
+o
Đặt
t
=
x
thì
d
t
=
2
x
d
x
⇒
d t = x d x.
2
1 + x2
1 + x2
1
t2
1
1
1 t2
Từ đó I =

dt =
t−1+
dt =
− t + ln 1 + t + C
2 1+ t
2
1+ t
2 2
1
1
1
1
1
1
= t2 − t + ln 1 + t + C = x4 − x2 + ln(1 + x2 ) + C.
4
2
2
4
2
2
1
1
1
1
Như vậy, m = , n = − , p = ⇒ T = m + n + p = .
4
2
2
4

Xét I =

Cách 2: dùng định nghĩa nguyên hàm

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Ví dụ 3. Biết

x5
x5
4
2
2
d
x
=
mx
+
nx
+
p
ln(
x
+
1)
+
C
⇒
= mx4 + nx2 + p ln( x2 + 1) , ∀ x ∈ R

1 + x2
1 + x2
2 px
x5
3
=
4
mx
+
2
nx
+
, ∀ x ∈ R ⇒ x5 = 4 mx5 + (4 m + 2 n) x3 + (2 n + 2 p) x, ∀ x ∈ R
⇒
2
2
1+ x
1+
x


m = 14


4 m = 1

1
⇒ 4 m + 2 n = 0 ⇒ n = − 21 ⇒ T = m + n + p = .



4


p = 1
2n + 2 p = 0
2

Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = (2 x − 1)e3x .
Lời giải
Xét

f ( x) d x =

(2 x − 1)e3x d x. Đặt

nên

f ( x) d x =

u = 2x − 1
dv = e3x

(2 x − 1)e3x
−
3


d u = 2 d x
ta có
v = 1 e3x

3
2 3x
(2 x − 1)e3x 2e3x
e dx =
−
+ C.
3
3
9

1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng (0; +∞).
3
x
3x
Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x). ln x.

Ví dụ 5. Cho F ( x) = −

Lời giải
1
f ( x)
f ( x)
là nguyên hàm của hàm số
trên R+ nên F ( x) =
, ∀x > 0
3
x

x
3x
1
f ( x)
1
f ( x)
1
⇔ 4=
. Suy ra f ( x) = 3 .
hay − 3 =
x x
x
3x
x
1

u = ln x
du = d x
x
f ( x) ln x d x. Đặt
ta có
do đó

d v = f ( x) d x
v = f ( x)
f ( x)
ln x
1
ln x
1

f ( x) ln x d x = f ( x) ln x −
dx = 3 −
d
x
=
+
+ C.
x
x
x4
x3
3 x3

Do F ( x) = −

Xét

Ƅ Dương Phước Sang

7

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
2

Ví dụ 6. Tính tích phân I =

0

2 x2 − 5 x
d x.
2x + 1

Lời giải
2

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

2x − 5x
2 x2 + x

2x + 1
x−3

Thực hiện phép chia đa thức 2 x2 − 5 x cho 2 x + 1 ta được
thương là x − 3 và phần dư là 3.

−6 x
−6 x − 3

2

I=

3

0

x−3+

3

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

1

3
x2
3
dx =
− 3 x + ln 2 x + 1
2x + 1
2
2

2
0

=

3
ln 5 − 4.
2

11 − x
d x.

(2 x − 1)(3 x + 2)

Lời giải
Ngoài nháp ta viết
3

I=

1

11 − x
A
B
=
+
và tìm được A = 3, B = −5.
(2 x − 1)(3 x + 2) 2 x − 1 3 x + 2

3
11 − x
3
5
3
5
dx =
−
dx =
ln 2 x − 1 − ln 3 x + 2
(2 x − 1)(3 x + 2)
3x + 2

2
3
1 2x − 1
5
3
5
19
5
3
ln 5 − ln 11 − ln 1 − ln 5 =
ln 5 − ln 11.
=
2
3
2
3
6
3

3

Ví dụ 8. Tính tích phân I =

1

3
1

x2 + 5 x − 5
d x.

x3 + 1

Lời giải
2

Ngoài nháp ta viết

2

x + 5x + 5
x + 5x + 5
A
Bx + C
=
=
+
x3 + 1
( x + 1)( x2 − x + 1) x + 1 x2 − x + 1

và tìm được A = −3, B = 4, C = −2.
3

3 4x − 2
3
3
4x − 2
−
d
x
=

d
x
−
ln
|
x
+
1
|
= A − 3 ln 2.
(3
)
2
x2 − x + 1 x + 1
1
1
1 x − x+1
3 2(2 x − 1)
d x. Đặt t = x2 − x + 1 thì d t = (2 x − 1) d x.
Với A =
2 − x+1
x
1
72
7
x=1⇒t=1
Đổi cận
. Suy ra A =
d t = (2 ln | t|) = 2 ln 7. Như vậy I = 2 ln 7 − 3 ln 2.
x=3⇒t=7

1
1 t

Như vậy I =

2

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

1

2 x2 + 3 x + 3
dx
( x + 1)(2 x + 1)2

Lời giải
2 x2 + 3 x + 3
A
B
C
=
+
+
ta tìm được A = 2, B = −3, C = 4.
2
x + 1 2 x + 1 (2 x + 1)2
( x + 1)(2 x + 1)

Viết nháp:
2

Ghi: I =

1

2
2
3
4
3
2
−
+
d x = 2 ln x + 1 − ln 2 x + 1 −
2
x + 1 2 x + 1 (2 x + 1)
2
2x + 1 1
3
2
3
2
7
3
4
= 2 ln 3 − ln 5 − − 2 ln 2 − ln 3 −
= ln 3 − ln 5 − 2 ln 2 + .
2
5
2

3
2
2
15

Ƅ Dương Phước Sang

8

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 10. Tính các tích phân sau đây
2

2 sin x
dx
1 + 3 cos x

0

b) B =

x3

0

2

x 2 + 1. d x

c) C =

1

x( x3 + 2)2

1

dx

Lời giải
π
3

1
2 sin x
d x. Đặt t = 1 + 3 cos x ⇒ d t = −3 sin x d x ⇒ − d t = sin x d x.
3
0 1 + 3 cos x
5
5
1 22
2
2 8
2

Đổi cận và thay vào tích phân A ta được A = −
d t = − ln t
= ln .
3 4 t
3
3 5
4

Câu a. A =

2

Câu b. B =

x3

0

2

x2 + 1. d x =

x2

0

x2 + 1.x d x

Đặt t = x2 + 1 ⇒ t2 = x2 + 1 ⇒ 2 t d t = 2 x d x hay t d t = x d x.
Đổi cận và thày vào tích phân B ta được

5

B=
2

Câu c. C =

1

1

5

( t2 − 1).t.t d t =
2

1
1
dx =
3
2
3
x( x + 2)
3

1

1

( t4 − t2 ) d t =

1 5 1 3
t − t
5
3

5
1

=

10 5 2
+ .
3
15

3 x2
d x.
x3 ( x3 + 2)2

2

Đặt t = x + 2 ⇒ d t = 3 x d x. Đổi cận và thay vào tích phân C ta được
C=

1
3

10
3

1
1 10 1
1 2
1
2 10
d
t
=
−
−
d
t
=
ln
|
t
−
2
|
−
ln
|
t
|
+
12 3
t − 2 t t2
12
t 3

( t − 2) t2
1
12
7
1
1
2
1
=
ln
−
.
ln 8 − ln 10 + −
ln 1 − ln 3 +
=
12
5
12
3
12
5 180

Ví dụ 11. Tính các tích phân sau đây:
1

a) A =

0

2

(2 x + 1)e x d x

b) B =

0

x ln( x2 + 3) d x

π

c) C =

e x cos x d x

0

Lời giải
1

Câu a. A =

0

(2 x + 1)e x d x. Đặt

u = 2x + 1
x

dv = e d x

du = 2 d x

ta có
1

v = ex
1

ta được
1

2e x d x = 3e − 1 − 2e x = e + 1.
0
0

0
2x


dx
d u = 2
2
u = ln( x2 + 3)
x +3
2
ta được
Câu b. B =
x ln( x + 3) d x. Đặt
ta có


x2
dv = x d x
0

v =
2
2 x3
2 x2
x2 ln( x2 + 3) 2
B=
−
d
x
⇒
B
=
2
ln
7
−
· x dx
2
2
2
0
0 x +3
0 x +3
1
Đặt t = x2 + 3 ⇒ d t = 2 x d x ⇒ d t = x d x. Đổi cận và thay vào B và được

2
1 7 t−3
1 7
3
7
3
B = 2 ln 7 −
d t = 2 ln 7 −
1−
d t = ln 7 − ln 3 − 2.
2 3 t
2 3
t
2
2

A = (2 x + 1)e x −

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

a) A =

π
3

Nhận xét: cách giải trên đây quá dài lại phải dùng phương pháp đổi biến số. Thực
ra khi đặt dv = x d x thì v =
Ƅ Dương Phước Sang

x2

3
+ C . Nếu chọn C = thay vì C = 0 bài giải sẽ hay hơn.
2
2

9

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
2

2

Giải lại: B =

u = ln( x + 3)

2

x ln( x + 3) d x. Đặt

ta có

2x





d u =

x2 + 3

dx

và được

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN


x2 + 3

v =
2
2
( x2 + 3) ln( x2 + 3) 2
3
x2 2 7
3
7
B=
−
= ln 7 − ln 3 − 2.
x d x = ln 7 − ln 3 −
2
2
2

2 0 2
2
0
0
π
u
=
cos
x
d
u
=
−
sin
x
d
x
Câu c. C =
e x cos x d x. Đặt
ta có
và được
dv = e x d x
v = ex
0
0

dv = x d x

π

π

C = e x cos x +
0

π

Trong đó C1 =

0

e x sin x d x = −eπ − 1 + C 1 (1)

u 1 = sin x

e x sin x d x. Lại đặt

x

d v1 = e d x

0

π

π

C 1 = e x sin x −
0

0

ta có

d u 1 = cos x

v1 = e x d x

e x cos x d x = 0 − C

(2)

Kết hợp (1) và (2) ta được C = −eπ − 1 − C ⇒ 2C = −eπ − 1 ⇒ C =

eπ + 1
.
2

Ví dụ 12. Cho f ( x) là một hàm số chẵn, liên tục trên R thoả mãn
1

−3

6

f (2 x) d x = 10. Tính I =

và được

1

−2

f ( x) d x = 2 và

f ( x) d x.
1

Lời giải
1

1
f (2 x) d x = 10. Đặt t = −2 x thì d t = −2 d x ⇒ − d t = d x.
2
−3
1 −2
1 6
Đổi cận và thay vào A ta được A = −
f (− t) d t =
f (− t) d t.
2 6
2 −2
1 6
f ( t) d t.
Do f ( x) là hàm số chẵn nên f (− t) = f ( t) và do đó A =
2 −2

Xét A =

6

Suy ra
−2

6

f ( x) d x =

6

Vậy
1

−2

f ( t) d t = 2 A = 20.

−2

f ( x) d x =

1

6

f ( x) d x +

−2

f ( x) d x = −2 + 20 = 18.

Ví dụ 13. Cho f ( x) là hàm số có đạo hàm f ( x) liên tục trên đoạn [−1; 2] thoả mãn
2

f (2) + f (−1) = 1 và

−1

2

(2 x − 1) f ( x) d x = 2. Tính

f ( x) d x.
−1

Lời giải
Cách 1: Áp dụng phương pháp tích phân
từng phần cho I và làm xuất hiện giả thiết.

d u = f ( x ) d x
và như thế thì
v = x − 1 = 1 (2 x − 1)
dv = d x
−1
2 2
2
1
1 2
1
1
1

1
I = (2 x − 1) f ( x) −
(2 x − 1) f ( x) d x = 3 f (2) + 3 f (−1) − · 2 = · 3 − 1 = .
2
2 −1
2
2
2
2
−1
2

Xét I =

u = f ( x)

f ( x) d x. Đặt

ta có

Cách 2: Áp dụng tích phân từng phần cho tích phân của giả thiết.
2

Xét A =

−1

(2 x − 1) f ( x) d x = 2. Đặt

Ƅ Dương Phước Sang

−1

d v = f ( x) d x

ta có

du = 2 d x

v = f ( x)

và như thế thì

2

2

A = (2 x − 1) f ( x)

u = 2x − 1

−2

−1

f ( x) d x = 3 f (2) + 3 f (−1) − 2 I ⇒ A = 3 − 2 I ⇒ I =

10

3− A 1

= .
2
2

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 14. Tính tích phân I =

π
2

sin x
d x.
sin x + cos x

0

Cách 1: Phương pháp liên hợp tích phân
π
2

Xét hai tích phân I =
π
2

I+J=

0π
2

1 dx = x

0
π
2

=

0

π
2

sin x
d x và J =
sin x + cos x
π

2

0

cos x
d x. Khi đó
sin x + cos x

.
π

sin x − cos x
2 − d(sin x + cos x)
I−J=
dx =
= − ln sin x + cos x
sin x + cos x
0 sin x + cos x
0
π
π
Như vậy 2 I = ( I + J ) + ( I − J ) = ⇒ I = .
2
4
b

Cách 2: Dùng công thức biến đổi
Ta có I =

π
2

0

sin x
dx =
sin x + cos x

Như vậy 2 I =

π
2

0

π
2

0

π
2

sin
sin

sin x
dx +
sin x + cos x

π
2

0

π
2

= 0.

0

b

f ( x) d x =

a

π
2

a

f (a + b − x) d x (*).

−x
π
2

− x + cos

−x

cos x
dx =
sin x + cos x

dx =
π
2

0

π
2

0

1 dx =

cos x
d x.
sin x + cos x
π

⇒I=

2

π

4

.

b

Chú ý: Xuất phát từ

f ( x) d x, dùng phương pháp đổi biến số với phép đặt t = a + b − x

a

ta sẽ chứng minh được (*) là công thức đúng.
Ví dụ 15. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y = x3 − 3 x, trục hoành, x = −1 và x = 3
Lời giải
3

Diện tích cần tìm được tính theo công thức: S =
Cho x3 − 3 x = 0 ⇔

x=0

−1

x3 − 3 x d x

trong kết quả giải được có x = 0 nằm giữa − 1 và

x=± 3

3

Xử lý dấu | · | bằng cách xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối
x

−∞

0

−1

x3 − 3 x
3

S=

−1

+
0

| x 3 − 3 x |d x =

−1

( x3 − 3 x)d x −

3
0

0

+∞

3

−

( x3 − 3 x)d x =

0

5
9
7
− − = .
4
4
2

Xử lý dấu | · | bằng cách lấy giá trị tuyệt đối của kết quả tính tích phân
3

S=

−1

x3 − 3 x d x =
3

Chú ý: ghi S =
Ƅ Dương Phước Sang

−1

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Lời giải

0
−1

( x3 − 3 x)d x +

3
0

( x3 − 3 x)d x =

5
9
7
+ − = .
4
4
2

( x3 − 3 x)d x là SAI vì x3 − 3 x có nghiệm x = 0 ở giữa −1 và

11

3

0942.080383

GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 16. Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x + 1, y = x − 1
và trục hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H ).
y
2

Trước tiên ta vẽ đồ thị các hàm số y = x + 1, y = x − 1
trên cùng 1 hệ trục toạ độ và xác định hình phẳng (H ).

x+1

y=

x−

1

1

Sau đó ta xây dựng công thức tính diện tích của (H ):

y=

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Lời giải

Cách 1: chia nhỏ hình (H ) bởi đường thẳng x = 1
1

S = S1 + S2 =

−1

−1 O
−1

3

x + 1 dx +

3

x

x + 1 − ( x − 1) d x

1
1

2
= ( x + 1) x + 1
3

1

+

−1

2
x2
( x + 1) x + 1 − + x
3
2

3
1

=

4
10 4
10
−
2+
2 =
3
3 3
3

Cách 2: dùng phương pháp phần bù
3

S = S lớn − S dư =

−1

3

x + 1 dx −

1

2
( x − 1)d x = ( x + 1) x + 1
3

3
−1

−

x2
−x
2

3
1

=

10
.
3

Chú ý: với một hình phẳng có từ 3 đường biên dạng y = f ( x), y = g( x), y = h( x) trở lên

như ví dụ này thì phương pháp giải cơ bản là phương pháp vẽ đồ thị, phác thảo hình
phẳng và xây dựng công thức tính diện tích như bài giải trên đây. Riêng với hình
phẳng trong ví dụ này ta còn có thể giải bằng một phương pháp khác (không cần vẽ
đồ thị của các hàm số). Dưới đây là cách giải đó (xem x là hàm số theo biến y).
y=

x + 1 ⇔ x = y2 − 1

Đổi vai trò của x và y: y = x − 1 ⇔ x = y + 1
trục hoành: y = 0

.

Phương trình tung độ giao điểm của x = y2 − 1 ( y
2

y − 1 = y + 1 (y
2

Diện tích cần tìm: S =

0

0) và x = y + 1

0) ⇔ y = 2

( y2 − 1) − ( y + 1) d y =

10

3

Ví dụ 17. Cho hai mặt cầu (S1 ), (S2 ) có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm
của (S1 ) thuộc (S2 ) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi
(S 1 ) và (S 2 ).
Lời giải

(C ) : x2 + y2 = R 2
( R 2 − x 2 ) d x = 2π R 2 x −

V = 2·π
R
2

Ƅ Dương Phước Sang

x3
3

R
R
2

2

R
y2
=

O

Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
R

y

x2
+

Gắn hệ trục Ox y như hình vẽ và gọi (H ) là hình
phẳng được đánh dấu (tô nền) như trên hình.
Khi đó thể tích cần tính gấp đôi thể tích của vật
thể tròn xoay được tạo ra khi quay (H ) quanh
Ox. Khối cầu S (O, R ) chứa một đường tròn lớn là

=

R
2

R

x

5π R 3
.
12

12

0942.080383


Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 18.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2, đường cao bằng 3. Một
mặt phẳng qua tâm của mặt đáy hình trụ, hợp với mặt đáy
một góc 30◦ chia hình trụ thành hai khối vật thể có thể tích
khác nhau. Gọi ( N ) là vật thể có thể tích nhỏ hơn trong hai
vật thể đó. Tính thể tích của ( N ).

3

O

2

Lời giải
Chú ý:
B

Để tính thể tích của vật thể này, ta cần gắn hệ trục toạ
độ vào hình vẽ để sử dụng công thức tính thể tích vật
thể dựa vào diện tích mặt cắt.

−2

Điều quan trọng nhất khi chọn hệ trục toạ độ là phải
làm sao đảm bảo các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

đều cắt vật thể tạo ra thiết diện là một miền dễ tính
được diện tích.

x
A
O

H

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

GIẢI TÍCH 12

y

2
2

x

Gắn hệ trục toạ độ Ox y như hình vẽ. Một mặt phẳng (P ) thay đổi vuông góc với Ox cắt
Ox tại x, cắt vật thể theo thiết diện là tam giác ABH vuông tại H .
1
4 − x2
⇒ S ABH = AB.BH =
Ta có AH =
và BAH = 30 nên BH =
2
3
2 3

2
2 4 − x2
2x
x3 2
16 3
Thể tích vật thể cần tìm là V =
S ABH d x =
.
dx =
−
=
9
−2
−2 2 3
3 6 3 −2
4 − x2

◦

4 − x2

Ví dụ 19.
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình vẽ. Trong khoảng
thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một
phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) với trục đối xứng song
song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn
thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s mà vật
chuyển động trong 4 giờ đó.

y
9

I

O

2 3 4

Lời giải


9
v
(0)
=
0







a = − 4
9
Trên đoạn [0; 3], v( t) = at2 + bt + c, trong đó v(2) = 9 ⇔ b = 9 ⇒ v( t) = − t + 9 t.


4



b

−

=2 
c
=
0
2a

Trên đoạn [3; 4] thì v( t) = v(3) =
4

Như vậy s(4) =

0

27
(vì v( t) là hằng số khi xét trên đoạn [3; 4]).
4

3

v( t) d t =

0

4

v( t) d t +

3

3

v( t) d t =

0

9
− t2 + 9 t d t +
4

Chú ý: parabol (P ) : y = ax2 + bx + c (a = 0) có toạ độ đỉnh là I −
Ƅ Dương Phước Sang

13

4
3

x

27
d t = 27 (km).
4

b

∆
;−
.
2a 4a

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

1

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

0

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ 20. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0,
1

2

f ( x) d x = 7 và

0

1
x2 f ( x) d x = . Tính tích phân
3

1

f ( x) d x.
0

Lời giải
1

Cách 1: xét tích phân



d u = f ( x ) d x
u = f ( x)
ta có
x3

d v = x2 d x
v =
3

x2 f ( x) d x. Đặt

0

1
Do đó =
3

1
0

1

Mặt khác, do

2

f ( x)

1

1

x3
x f ( x) d x =
f ( x)
3
2

−
0

0
1

d x = 7 và

0

x3
f ( x) d x. Suy ra
3

x6 d x =

0

1
0

x3 f ( x) d x = −1.

(1)

1
nên
7
1

1

2

f ( x)
0

3

6

f ( x) + 7 x3

+ 14 x f ( x) + 49 x d x = 0 hay
0

3

3

7
4

2

d x = 0 (2).

Suy ra f ( x) + 7 x = 0, ∀ x ∈ [0; 1] ⇒ f ( x) = −7 x ⇒ f ( x) = − x4 + C .
7
4

7
4

Mà f (1) = 0 nên C = , suy ra f ( x) = (1 − x4 ). Như vậy

1

0

7
f ( x) d x = .
5

Lưu ý:
1

Có thể giải thích vì sao từ
0

f ( x) + 7 x3

2

d x = 0 ta suy ra được f ( x) + 7 x3 = 0, ∀ x ∈ [0; 1]
2

như sau: theo giả thiết, hàm số y = f ( x) + 7 x3 liên tục và không âm trên đoạn [0; 1]
do đó, đồ thị của hàm số này là một đường nét liền trên đoạn [0; 1] và không có điểm
nào nằm bên dưới trục Ox).
Tích phân ở (2) có giá trị bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
y = f ( x) + 7 x3 , trục hoành, đường thẳng x = 0, đường thẳng x = 1.
Mà theo (2) thì hình phẳng này có diện tích bằng 0 nên f ( x) + 7 x3 = 0, ∀ x ∈ [0; 1].
Cách 2: (tiếp nối từ (1))
Dưới đây là bất đẳng thức Bunyakovski đối với tích phân:
Nếu hai hàm số f ( x), g( x) liên tục trên đoạn [a; b] thì ta luôn có
2

b

b

f ( x).g( x) d x

b

2

f ( x) d x .
a

a

2

g( x) d x.
a

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi g( x) = k f ( x), ∀ x ∈ [a; b].
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trở lại bài toán: từ (1), ta có
1

1=

2

1

x3 f ( x) d x

0

0

x6 d x ·

1

f ( x)
0

2

dx =

1
· 7 = 1.
7

Như vậy dấu “=” xảy ra, tức là f ( x) = kx3 .
1

k
= −1 ⇒ k = −7.
7
0
do f (1)=0

7
7
7
Vậy f ( x) = −7 x3 ⇒ f ( x) = − x4 + C ⇒ f ( x) = − x4 + .
4
4
4
1
7
Do đó
f ( x) d x = .
5
0

Thay trở lại vào (1), ta được k

Ƅ Dương Phước Sang

x6 d x = −1 ⇒

14

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
MỘT SỐ CÂU HỎI ĐIỀN KHUYẾT

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sin 3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số y = 102x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 5. Tính nguyên hàm

cos 3 x d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + 3 x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
Câu 10. Tính F ( x) =

1
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x+1

π2 d x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Câu 11. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(2 x + 1) là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 12. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2019x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e−x + 2 x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + 1 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
− 2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2
1
Câu 16. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

. ..............................
cos2 2 x
1
x

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 7 x6 + +

Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 − 2 x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 102x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 19.

dx
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 − 3x

Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 1212x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + 3 x2 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 22. Tìm nguyên hàm

2 x + 1 d x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x−1
Câu 23. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 − 2 + 2x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x

Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x − sin x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e3x+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e−2018x là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Câu 2. Tìm

Câu 28. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = x3 + x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 x3 + 2018 là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 x3
Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4 −
là . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
x

Ƅ Dương Phước Sang

15

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM

Bài 1. Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
(2 x − 1)( x2 + 1) d x.

b)

t2 ( t3 − 1)2 d t.

c)

d)

(2 cos x + sin 3 x) d x.

e)

cos 3 x. cos x d x.

f)

1
x2 1
−1
+
d x.
x
2 x3
sin 4 x. sin x d x.

g)

(e2x − 2 x ) d x.

h)

(e x − 2)2 d x.

i)

e x − 2 x .3 x d x .

k)

2x − 1 +

l)

4
1
+ 2 d x.
1 − 3x x

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

a)

2
1
+
d x.
x 3x − 1

j)

5
d x.

x+1

Bài 2. Tìm các họ nguyên hàm sau đây:
a)

d)

3x + 1
d x.
x−2
9 x + 13
d x.
(2 x − 1)(3 x + 2)

b)
e)

2 x2 − x + 2
d x.
x+1
7x − 1
d x.
( x − 1)(2 x + 1)

4 x3 − 5 x + 1
d x.
2x − 1
x
d x.
2

2x + 5x − 3

c)
f)

Bài 3. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp đổi biến số:
a)

2 sin x
dx
1 + 3 cos x

c)

(2 x3 − 1)7 .x2 d x (HD: đặt t = 2 x3 − 1).

d)

e)

3 ln2 x − 1
dx
x

f)

(HD: đặt t = 1 + 3 cos x).

(HD: đặt t = ln x).

b)

x

e

x
3

(HD: đặt t = x).

dx

x2 + 1.x d x (HD: đặt t =

3

x2 + 1).

1
d x (HD: đặt t = x4 ).
x(2 x4 + 1)

Bài 4. Tìm các họ nguyên hàm sau đây bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
a)

(2 x + 1)e x d x.

Bài 5. Biết

b)

x cos 2 x d x.

c)

( x + 1) sin x d x.

f ( x) d x = 2 x ln(3 x − 1) + C . Tìm họ nguyên hàm

d)

x ln x d x.

f (3 x) d x.

Bài 6. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = 3 sin x − 1 biết rằng F (π) = 1.
x3 + 3 x2 + 3 x − 2
113
, biết rằng F (1) =
.
2
2
π
Bài 8. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos2 x và F (π) = 1. Tính F
.
4
1
Bài 9. Biết F ( x) là nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin(1 − 2 x) thoả mãn F
= 1. Tìm F ( x).

2

Bài 7. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

f ( x) d x = (ax + b)e x + C với a, b, C là

Bài 10. Cho hàm số f ( x) thoả mãn f ( x) = ( x + 1)e x và
các hằng số. Tính a + b.

Bài 11. Cho hàm số f ( x) có f ( x) = 1 − 4 sin 2 x và f (0) = 0. Tính f
Bài 12. Gọi F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =

π

4

.

ln x
. Tính F (e) − F (1).
x

Bài 13. Biết F ( x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x2 e x . Tính a + 2b + 3 c.
Bài 14. Với phép đặt t = 2 x + 1, họ nguyên hàm
P ( t) −

4x − 1
2x + 1 + 2

d x được đổi biến trở thành

10
d t, trong đó P ( t) là một đa thức theo biến t. Tính P (1).
t+2

Ƅ Dương Phước Sang

16

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Bài 15. Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =

4 x3 + 1
biết F (0) = 2.
x4 + x + 1

3

1
m n
p q
có dạng F ( x) = 4 + 3 + 2 + + C , trong
2
x

x
x
x
x
đó C là hằng số thực; m, n, p, q là các hệ số hữu tỷ. Tính S = m + n + p + q.
1
x

·

Bài 17. Cho hàm số f ( x) = 3 2 + sin x. Tìm họ nguyên hàm

f (2 x + 1) d x.

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Bài 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 −

Bài 18. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (0; +∞) sao cho f (1) = e, f ( x) > 0, ∀ x ∈ R+ và
f ( x) = f ( x) · 3 x + 1. Tính f (0).
Bài 19. Cho F ( x) = x2 là một nguyên hàm của f ( x)e2x . Tìm nguyên hàm của g( x) = f ( x)e2x .
Bài 20. Cho F ( x) =

1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm họ nguyên hàm của hàm
2
x
2x

số f ( x) ln x.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. 2 ln | x| + x2 + C.

B. ln | x| + 2 x2 + C.

1
+ 2 x là
x

C. ln | x| + x2 + C.

D. ln | x2 | + 2 x + C.

Câu 2. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x ?
A. F ( x) = x · 2 x−1 .

B. F ( x) =

2x + 1
.
ln 2

C. F ( x) = 2x + 1.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3x +
1
x

A. 3 x + + C .

B.

3x
1
+ + C.
ln 3 x

1
là
x2

1
x

C. 3x − + C .

D. F ( x) = 2x ln 2.

D.

3x
1
− + C.
ln 3 x

D.

x3 x2
+
+ C.
3
2

Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = x( x + 1).
A. x( x + 1) + C .

C. x3 + x2 + C .

B. 2 x + 1 + C .

Câu 5. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x) = e1−4x .
1
4

A. y = e1−4x .

B. y = −4e1−4x .

C. y = e1−4x .

1
4

D. y = − e1−4x .

Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − 1)3 .

1
( x − 1)3 + C .
4
1
?
Câu 7. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) =
2x + 1
1
A. F ( x) = ln |2 x + 1| + 1.
B. F ( x) = ln |2 x + 1| + 2.
2
1
1
C. F ( x) = ln |4 x + 2| + 3.
D. F ( x) = ln(4 x2 + 4 x + 1) + 3.
2
4

A. 3( x − 1) + C .

B.

1
( x − 1)4 + C .
4

C. 4( x − 1)4 + C .

D.

Câu 8. Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây là sai?
1
+ C, ( x > 0).
x

A.

ln x d x =

C.

1
d x = ln x + C, ( x > 0).
x

B.

cos x d x = sin x + C .

D.

ex d x = ex + C .

B.

2x d x =

Câu 9. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

2 x d x = 2 x · ln 2 + C .

C.

2x d x =

2 x+1
+ C.
x+1

Ƅ Dương Phước Sang

D.
17

2x
+ C.
ln 2
2x
2x d x = −
+ C.
ln 2

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A.

ex d x =

xe+1
+ C . B.
e+1

x2 d x =

x3
+ C.
3

C.

ex d x =

e x+1
+C . D.
x+1

x7 d x =

Câu 11. Hàm số y = sin 2 x là một nguyên hàm của hàm số nào?

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

A. y = −

cos 2 x
.
2

B. y = −2 cos 2 x.

C. y = 2 cos 2 x.

D. y =

x8
+ C.
8

cos 2 x
.
2

1
là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
x
1
1
1
1
1 1
B. y = ln2 x − 2 .
C. y = ln2 x − .
D. y = − 2 .

2
2
x
x x
x

Câu 12. Hàm số F ( x) = ln x +
A. y = ln x + 1.

Câu 13. Cho biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x). Khi đó
x2
+ C.
2

A. 3F ( x) +

B. 3 xF ( x) +

x2
+ C.
2

C.

1
x2
F ( x) + + C .
3
2

3 f ( x) + x d x bằng

D.

1
x2
F (3 x) + + C .
3
2

Câu 14. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số y = x3 ?
A. y =

x4
+ 3.
4

B. y =

x4
+ 1.
4

C. y =

x4
+ 2.
4

D. y = 3 x2 .

2

Câu 15. Hàm số F ( x) = ex là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
2

2 x2

A. f ( x) = x e − 1.

ex
B. f ( x) =
.
2x

2

C. f ( x) = 2 xex .

D. f ( x) = e2x .

Câu 16. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x) = ( x − 2)5 ?
( x − 2)6
+ 2.
6
( x − 2)6
D. F ( x) =
− 2018.
6

( x − 2)6
+ 2 x.
6
( x − 2)6
C. F ( x) =
+ 2017.
6

B. F ( x) =

A. F ( x) =

Câu 17. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x − 1 trên (0; +∞)?
A. F ( x) =

C. F ( x) =

2
3

3

2 3
x − x + 2.
3
1
D. F ( x) =
− x.
2 x

x 2 − x + 1.

1

2 x

B. F ( x) =

.

Câu 18. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x , biết F (0) = 4. Tìm F ( x).
A. F ( x) = e x + 2.
B. F ( x) = e x + 3.
C. F ( x) = ex + 4.
D. F ( x) = e x + 1.
Câu 19. Cho F ( x) = cos 2 x − sin x + C là nguyên hàm của hàm số f ( x). Tính f (π).
A. f (π) = −3.
B. f (π) = 1.
C. f (π) = −1.
D. f (π) = 0.
Câu 20. Tìm hàm số f ( x), biết rằng f ( x) = 4 x − x và f (4) = 0.
8 x x x2 40
−
− .
3
2
3
2
x2
C. f ( x) =

−
+ 1.
x 2

8 x x x2 88
+
− .
3
2
3
2
− 1.
D. f ( x) =
x

B. f ( x) =

A. f ( x) =

Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A.

3x
e3 ln 3e

+ C.

B.

3x

+ C.
−2 ln 3 · e2

3x
.
e3

C.

3 x ln 3
+ C.
e3

D.

3x
+ C.
e3 ln 3

Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos(2 x + 3).
A.

f ( x) d x = − sin(2 x + 3) + C .

B.

C.

f ( x) d x = sin(2 x + 3) + C .

D.

Ƅ Dương Phước Sang

18

1
f ( x) d x = − sin(2 x + 3) + C .
2
1
f ( x) d x = sin(2 x + 3) + C .
2

0942.080383


Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 23. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin3 x·cos x và F (0) = π. Tìm F
A. F

π

2

= −π.

Câu 24. Biết

B. F

π

1
= − + π.
2
4

π

C. F

2

=

f (2 x) d x = sin2 x + ln x + C , tìm nguyên hàm
x
+ ln x + C .
2

A.

f ( x) d x = sin2

C.

f ( x) d x = 2 sin2 x + 2 ln x − ln 2 + C .

1

+ π.
4

D. F

π

π

2

= π.

2

f ( x) d x.
x
+ 2 ln x + C .
2

B.

f ( x) d x = 2 sin2

D.

f ( x) d x = 2 sin2 2 x + 2 ln x − ln 2 + C .

Câu 25. Mệnh đề nào trong bốn mệnh đề sau sai?
A.

1
d x = ln x + C .
x

B.

0 dx = C.

C.

ex d x = ex + C .

D.

cos x d x = sin x + C .

Câu 26. Cho F ( x) là nguyên hàm của f ( x) = 1 + 2 x + 3 x2 thỏa F (1) = 2. Tính F (0) + F (−1).
A. −3.
B. −4.
C. 3.
D. 4.
Câu 27. Tìm họ nguyên F ( x) của hàm số y = f ( x) = sin 2 x + 2 x.
cos 2 x
+ x2 + C .
2
C. F ( x) = cos 2 x + 2 + C .

cos 2 x
+ x2 + C .

2
D. F ( x) = − cos 2 x + x2 + C .

A. F ( x) =

B. F ( x) = −

Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = e2x −
A.

1 2x 1
e − + C.
2
x

B.

1 2x 1
e + + C.
2
x

1
là
x2

1
x

C. e2x + + C .

1
x

D. e2x − + C .

Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) = 4x + sin2 x là

sin3 x
+ C.
3
4x
x 1
D.
+ − sin 2 x + C .
ln 4 2 4

1
4x
− sin 2 x + C .
ln 4 4
sin3 x
x
C. 4 ln x −
+ C.
3

B. 4x ln x +

A.

Câu 30. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K . Chọn mệnh đề sai.
A. x
C.

f ( x ) d x = f ( x ).
f ( x) d x = F ( x).

B.

f ( x) d x = f ( x).

D.

f ( x) d x = F ( x) + C .

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 32x+1 .
A. (2 x + 1)32x + C .

B.

32x+1
+ C.
ln 3

.

C. 32x+1 ln 3 + C .

D.

32x+1
+ C.
ln 9

Câu 32. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

f (2 x) d x = 2F (2 x) + C .

B.

C.

1
f (2 x) d x = F ( x) + C .
2

1
f (2 x) d x = F (2 x) + C .
2

D.

f (2 x) d x = F ( x) + C .

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

GIẢI TÍCH 12

( x + 1)3
Câu 33. Tìm họ nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) =
, ( x = 0).
x3
3
1
3
1
A. F ( x) = x − 3 ln | x| − + 2 + C .
B. F ( x) = x − 3 ln | x| + + 2 + C .
x 2x
x 2x
3
3
1
1
C. F ( x) = x + 3 ln | x| − − 2 + C .
D. F ( x) = x − 3 ln | x| + − 2 + C .
x 2x
x 2x

Ƅ Dương Phước Sang

19

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 34. Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ {kπ, k ∈ Z} thỏa mãn f ( x) = cot x, f
π
7π
5π
= 1. Giá trị của biểu thức f
−f −
bằng
3
6
4
3
3
3
1
A. 1 + ln
.
B. 3 + ln − ln
.
C. 1 − ln
.
2
2
2
2

π

4

= 2 và

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

f −

1
2

D. ln − ln

Câu 35. Cho hàm số f ( x) xác định trên R \ {−2; 1} thỏa mãn f ( x) =
1
3

1

x2 + x − 2

2
.
2

, f (−3) − f (3) = 0

và f (0) = . Giá trị của biểu thức f (−4) + f (−1) − f (4) bằng
A.

1

1
ln 2 + .
3
3

B. ln 80 + 1.

C.

1 4
ln + ln 2 + 1.
3 5

D.

1 8
ln + 1.
3 5

Câu 36. Cho hàm số f ( x) xác định trên đoạn [−1; 2] thỏa mãn f 2 ( x) · f ( x) = 3 x2 + 2 x − 2 và
f (0) = 1. Số nghiệm của phương trình f ( x) = 1 trên đoạn [−1; 2] là
A. 1.
B. 3.
C. 0.
D. 2.
Câu 37. Biết F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) =
thực x ∈ (0; 2018π) để F ( x) = 1.
A. 2018.
B. 1009.

1 − sin3 x
2

sin x

và F

π

4

=

2
. Có bao nhiêu số
2

C. 2017.
D. 2016.
a
a
là
Câu 38. Biết (sin 2 x − cos 2 x)2 d x = x + cos 4 x + C , với a, b là các số nguyên dương,
b
b
phân số tối giản và C ∈ R. Giá trị của a + b bằng
A. 5.
B. 4.
C. 2.
D. 3.

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] thỏa mãn f ( x) = x f ( x) − 2 x3 − 3 x2
và f (1) = 4. Tính f (2).
A. 5.
B. 20.
C. 10.
D. 15.
Câu 40. Biết
A. −

11
.
2

2x + 2

1
+ p ln |2 x + 1| + C với m, n, p ∈ Q. Tổng m + n + p bằng
mx + n
(2 x + 1)
11
13
13
B.
.
C.
.
D. − .
2
2
2

2

dx =

Câu 41. Cho hai hàm số F ( x) = ( x2 + ax + b)e−x và f ( x) = (− x2 + 3 x + 6)e−x . Tìm a và b để F ( x)
là một nguyên hàm của hàm số f ( x).
A. a = 1, b = −7.
B. a = 1, b = 7.
C. a = −1, b = 7.
D. a = −1, b = −7.
x

Câu 42. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =

là

x2 + 1
B. F ( x) =

A. F ( x) = 2 x2 + 1 + C .

C. F ( x) = ln x2 + 1 + C .

D. F ( x) =

x2 + 1 + C .

1 2
x + 1 + C.
2

Câu 43. Cho nguyên hàm
dx

x + 2018 + x + 2017
4
A.
.
3

= m( x + 2018) x + 2018 + n( x + 2017) x + 2017 + C . Khi đó 4 m − n bằng

B.

8
.
3

C.

2
.
3

D.

Câu 44. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn
Nguyên hàm của hàm số f (2 x) trên tập R+ là
A.

x+3

2

x2 + 4

+ C.

Ƅ Dương Phước Sang

B.

x+3
+ C.
x2 + 4

C.

20

2x + 3
4

x2 + 1

f

x+1
x+1

+ C.

dx =

D.

10
.
3
2

x+1+3
x+5

2x + 3
8 x2 + 1

+ C.

+ C.

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN

Bài 1. Tính các tích phân sau đây:

0

d)

1

(2 x − x2 + 1) d x.

π
2

−π
1

e)

(e x − 2)2 d x.

g)
0

c)

sin 3 x. sin x d x.

f)

−1
0

cos 4 x. cos x d x.

π
2

π

t2 ( t3 − 1) d t.

b)

(2 cos x + sin 3 x) d x.

0
1

h)
1

0

(e2x − 3 x ) d x.

2

1
3
+
d x.
x 2x − 1

4
1
+ 2 d x.
1 − 3x x

i)
1

Bài 2. Tính các tích phân sau đây:
1

a)

1

3x − 1
d x.
−2 x − 2

b)
0

2

7 x + 12
dx
2 x2 + 5 x + 3

c)

1

x3 − x − 4
d x.
x2 + 4 x

Bài 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số:
2 x2
a)
d x.
3
−1 2 + x

π
4

1

3

d)

x2 + 3
x

1

b)
0

e

d x.

e)
2

etan x
d x.
cos2 x

−1

c)
−3

2

3 ln x − 1
d x.
x ln x

f)
1

( x + 2)2019 x d x.

x3 − 1
d x.
x4 + x

Bài 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần:
1

a)

x

(2 x − 1) e d x.

0

π
3

b)

π

x sin 2 x d x.

c)

0

2

( x − 1) cos x d x.

π

d)
−1

x ln(9 − x2 ) d x.

2

Bài 5. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x và F (0) = π. Tính F
Bài 6. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên [1; 2] và f (1) = 3, f (2) = −1. Tính
b

b

Bài 7. Biết

f ( x) d x = 10 và

a
3

Bài 8. Cho

f ( x) d x = 9 và

0

a
1
0

b

g( x) d x = 5. Tính tích phân I =

f ( x) d x = 3. Tính các tích phân

a
3

2

a)
1

6

1
dx
x
3
dx

b)

2 f ( x) −

Bài 10. Biết
1

1

f (3 x) d x

4

.
2

f ( x) d x.
−1

1

f ( x) d x và

f (3 x) d x.
0

2

Bài 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [1; 6] và

π

[3 f ( x) − 5 g( x)] d x.

1
6

f ( x) d x = 3,

f ( x) d x = 5. Tính

1

3

c)

3

f (2 x) d x.
1

= a 3 + b 2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính P = a + b + c.

x+1− x
1

a+b 3
với a, b ∈ Z. Tính tổng T = a + b.
9
0
3x + 1 + 2x + 1
e ( x + 1) ln x + 2
a
e+1
trong đó a, b ∈ Z. Tính tỉ số .
Bài 12. Biết

d x = ae + b ln
1 + x ln x
e
b
1
x

Bài 11. Biết tích phân

dx =

1

Bài 13. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn
0

1

và f (0) = 6. Tính tích phân
4

Bài 14. Cho
3

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

1

a)

f ( x) d x.
0

1
d x = a ln 2 + b ln 3 với a, b ∈ Z. Tính a + 3 b.
x2 − 3 x + 2

(2 x − 2) f ( x) d x = 6

Bài 15. Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương
π
trình i = I 0 sin ω t + . Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn
2

của mạch trong thời gian
Ƅ Dương Phước Sang

π

2ω

là bao nhiêu?
21

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1

Câu 45. Tích phân

e− x d x bằng

0

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

A. e − 1.

1
− 1.
e

B.

C.

1
.
e

D.

e−1
.
e

1

Câu 46. Tích phân

d x có giá trị bằng
0

A. −1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

1

x+4
d x bằng
0 x+3
4
B. 1 + ln .
3

Câu 47. Giá trị tích phân
5
3

A. ln .

ln 2

Câu 48. Tích phân

3
.
2

B.
1

Câu 49. Tính tích phân

B. I =
2018

Câu 50. Tích phân

A. I = e2018 − 1.

2

1
A.
52019 + 1 .
2019

−1

7

.
3 ln 2

D. I = 7.

C.

22018
.
ln 2

D. 22018 .

C. I = e2019 .

D. I = e2018 .

(2 x + 1)2018 d x.

B.
π
2

Câu 53. Tính tích phân
2

C. I =

B. I = e2019 − 1.

Câu 52. Tính tích phân

π

1 2
(e − 1).
2

e x d x.

0

A. I = .

8
.
3 ln 2

22018 − 1
.
ln 2

B.
2018

Câu 51. Tính I =

D.

2 x d x bằng

0

A. 22018 − 1.

C. 3.

8 x d x.

0

A. I = 8.

3
5

D. 1 − ln .

e2x d x bằng

0

A. 4.

3
5

C. ln .

1

52019 − 1 .
2019

C.

1
2019
55 −1 .
4038

D.

1
52019 + 1 .
4038

x cos x d x.

0

B. I =

π

π

1
− .
3 2

π

C. I = .

D. I =

C. I = −2.

D. I = 1.

3

2

− 1.

2017π

Câu 54. Tính tích phân I =
A. I = 2.

6π

B. I = −1.
2

Câu 55. Tính tích phân I =
22016
A. I =
.

2016

sin x d x.

x2017 d x.

0

B. I = 2017.22016 .

C. I =

22018
.
2018

D. I = 2017.22018 .

C. I =

1 1
−1 .
22 522

D. I =

5

1
d x.

21
1 x
1
1
B. I =
1 − 20 .
20
5

Câu 56. Tính tích phân I =
A. I =

1 1
−1 .
20 520

1
1
1 − 22 .
22
5

35

1
d x. Hãy chọn khẳng định đúng.
x
0 e
B. 1 I < 2.
C. −1 I < 0.

Câu 57. Cho tích phân I =
A. 0

I < 1.

Ƅ Dương Phước Sang

22

D. I > 2.
0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

0

625e3125 − 1
B.
.
4

125e3125
.
A.
4
2

Câu 59. Biết
1

1
A. .
3

4

x3 e x d x.

A. I = −13.

b

f ( x) d x = −2 và

a

125e625
.
4

D.

e625 − 1
.
4

dx
= a ln 7 + b ln 2 (a, b ∈ Q). Khi đó tổng a + b bằng
3x + 1
1
B. 1.
C. − .
D. −1.
3

b

Câu 60. Cho

C.

a

b

g( x) d x = 3. Tính I =

B. I = 13.

a

[2 f ( x) − 3 g( x)] d x.

C. I = −5.

D. I = 5.

4

Câu 61. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên [1; 4], f (1) = 15, f (4) = 8. Tính
4

4

A.

f ( x ) d x = 7.

1

4

B.
1

f ( x) d x.
1

4

C.

f ( x) d x = 3.

D.

f ( x) d x = 23.

1

f ( x) d x = −7.

1

2

Câu 62. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [0; 2] và f (0) = −1,
A. f (2) = 2.

B. f (2) = 6.

0

C. f (2) = 4.

f ( x) d x = 5. Tính f (2).

Câu 63. Biết F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 2 x và F
π

5
= .
6
4

A. F

π

B. F

6

C. F

= 0.

D. f (2) = 5.
π

π

3
= .
6
4

D. F

3

Câu 64. Cho hàm số f liên tục trên [0; 3] với
5
2

1
2

B. I = .

A. I = .

Câu 65. Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và
A. I = −

0

59
.
6

B. I =

59
.
6

2
1

4
f ( x2 ) d x = − .
3

2

B.

1

4
f ( x2 ) d x = .
3

B. I = −2.

Câu 68. Cho
A. 7.

−1

−1

0

[ x − 2 f ( x)] d x.

2
1
f ( x) d x = x2 − x + C . Tính
f ( x2 ) d x.
2
1
2
2
2
2
2

C.
f ( x ) d x = − . D.
f ( x2 ) d x = .
3
3
1
1

C. I = 0.

7

f ( x ) d x = 2,

.

4
1
1
f ( x) d x = x3 − x2 + x + C . Tính I =
f ( x) d x.
3
2
3
137
137
C. I =
.
D. I = −
.

6
6

Câu 67. Cho hàm số f ( x) = 3 sin x − 1. Tính tích phân I =
2

1
= .
6
2

6

D. I = 7.

π
2

3

A. I = 6.

π

π

3

f ( x) d x = 2. Tính I =

C. I = 5.

Câu 66. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R và
A.

= 1. Tính F

4

f ( x) d x.

0

D. I = 3.

7

f ( t) d t = 9. Giá trị của

B. 3.

f ( z) d z là
2

C. 11.

D. 5.

3

Câu 69. Cho I =
A. 15.

2x − 3
d x = a + b ln 6 với a, b ∈ Z. Tính a − b.
−2 x − 4
B. 17.
C. 7.

D. 10.

4

Câu 70. Nếu f (1) = 12, f ( x) liên tục trên [1; 4] và
A. 19.

B. 5.
π

Câu 71. Biết
A. −3.

0

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

5

Câu 58. Tính tích phân I =

1

f ( x) d x = 17. Giá trị của f (4) bằng

C. 29.

D. 9.

a 2
a
π trong đó a, b là các số thực và (tối giản). Tính a + b.
b
b
B. 5.
C. 3.
D. 2.

( x − sin 2 x) d x =

Ƅ Dương Phước Sang

23

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1

2x + 3
d x = a · ln 2 + b (với a, b là các số nguyên). Khi đó giá trị của a là
2− x
B. 7.
C. 5.
D. −5.

Câu 72. Cho
0

A. −7.

π
2

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

Câu 73. Cho tích phân
0

1
A. .
2

(4 x − 1 + cos x) d x = π

B. 1.
2

Câu 74. Cho
A. b < 0.

Câu 75. Biết
A. S = −4.

1
π
2

a
.
b
B. S = 4.
C. S = 5.
D. S = −5.
1
1
1 1
+
d x = a ln 2 + b ln 3, với a, b ∈ Q. Hãy tính tổng S = + .
x 2x + 1
a b
3
B. S = 3.
C. S = 1.
D. S = .
2

sin 2 x sin x d x = a + b 2, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S =

π
4

4
1

π
2

Câu 77. Cho
A. S = 7.

1
+ c, (a, b, c ∈ Q). Tính a − b + c.
a b
1
C. −2.
D. .
3
−

x3 − 3 x2 + 2 x
d x = a + b ln 2 + c ln 3 với a, b, c ∈ Q. Chọn khẳng định đúng.
x+1
B. c > 0.
C. a < 0.
D. a + b + c > 0.

Câu 76. Cho

5
A. S = .
2

π

(2 x − 1 − sin x) d x =

0

π2

a

−

π

b

+ c, với a, b, c ∈ Z. Tính S = a + b + c.

B. S = 5.

C. S = 3.

D. S = 1.

2

a
x−3
d x = a ln 2 + b ln 5, với a, b ∈ Q. Tính S = .
b
−1 ( x + 2)( x − 4)
A. S = −12.
B. S = 12.
C. S = 11.
D. S = −11.

Câu 78. Cho

Câu 79. Cho
1
3

π
4

tan2 x d x = a + b 3 + c.π, với a, b, c ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = a + b + c.

π
6

5
7
2
.
C. S = .
D. S = .

12
12
3
1
a
e x − x d x = e2 + 2 + b, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức ab.
e
e
B. ab = 0.
C. ab = 1.
D. ab = −1.

B. S =

A. S = .
2

Câu 80. Biết
A. ab = −2.

0
π
4

Câu 81. Biết
3
A. S = .
4

cos2 x d x = aπ + b, với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S = a − b.

0

1
4

5
4

B. S = .
2

Câu 82. Biết tích phân
1

A. 5.

C. S = .

(4 x − 1) ln x d x = a ln 2 + b với a, b ∈ Z. Tính 2a + b.

B. 8.
1

Câu 83. Biết

1
4

D. S = − .

C. 10.

D. 13.

1
(a sin 2 + b cos 2 + c), với a, b, c ∈ Z. Khẳng định nào đúng?
4
B. a − b + c = 0.
C. 2a + b + c = −1.
D. a + 2 b + c = 1.

x cos 2 x d x =

0

A. a + b + c = 1.

Câu 84. Dùng công thức tích phân từng phần với u = ln x, dv = x2 d x ta được kết quả nào?
A.
C.

x3 ln x
x ln x d x =
3
1
3
3
x ln x
x2 ln x d x =

3
1
3

2

2

Câu 85. Biết
A. T = 12.

1

3

1
−
3
1
3
1
+
3
1

3

x d x.
1
3

3

x2 ln x
1 3 2
B.
x ln x d x =
−
x d x.
2
3 1
1
1
3
3
x3 ln x
1 3 2
2
D.
x ln x d x = −
−
x d x.
3
3 1
1
1
3

2

x2 d x.

1

2

a
b
ln 5 + ln 3 + c, với a, b, c ∈ Z. Tính T = a + 2 b + c.
2
2
B. T = 2.
C. T = 10.
D. T = −2.

ln(2 x + 1) d x =

Ƅ Dương Phước Sang

24

0942.080383


GIẢI TÍCH 12

Chương 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Câu 86. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
a

b

C.
a

xe x d x = xe x
xe x d x = xe x
1

Câu 87. Cho
0

b

b
a
b
a

b

B.

x d x.

−

a

a

b

b

D.

x d x.

+

a

a

B. S = 10.

C. S = 5.

4

Câu 88. Cho

a
b
a

−

b

+

e x d x.

a

e x d x.

a

A. I = 9.

0

f (3 x + 1) d x.

B. I = 3.
ln 2

Câu 89. Cho
0

A. 3.

C. I = 1.

2
0

52019 − 1

.
A.
2019

2 x ( x2 + 1)2018 d x bằng

B.

52019 − 1
.
4038

4

Câu 91. Cho tích phân
0

A. a − b = 3.

dx
3 + 2x + 1

C.
= a + b · ln

B. a − b = 5.
4
0

2x + 1

1 + 2x + 1
4

x

2
với a, b ∈ Z. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
C. a + b = 5.
D. a + b = 3.

C. a2 − 4b + 1 = 0.

d x. Thực hiện phép đổi biến, đặt t =
4

e t d t.

B. I = 2

1
7

Câu 94. Tích phân
2

3
A. .
2

D. 1.

D. a2 − 4 b = 0.

x

e

1

52018 − 1
.
4036

d x = a + b ln 2, (a, b ∈ Q). Đẳng thức nào sau đây đúng?

B. a2 − 4b − 1 = 0.

A. a − b = 0.
Câu 93. Cho I =

D. I = 27.

ex d x
= a ln 2 + b ln 5 với a, b ∈ Z. Giá trị của a + b bằng
ex + 3
B. −1.
C. 0.
D. 1.

Câu 90. Tích phân

Câu 92. Biết

D. S = 0.

1

f ( x) d x = 9, tính I =

1

4

xe x d x = xe x

b

b

( x + 2) e x d x = ae + b (a, b ∈ Q). Tính S = a2 + b2 .

A. S = −1.

A. I =

xe x d x = xe x

2

e t d t.

C. I = 2

1

x, ta được

e t d t.

1

2

D. I =

e t d t.

1

x dx
= a ln 2 − b ln 5 với a, b ∈ Q. Giá trị của 2a + b bằng
x2 + 1
1
B. .
C. 1.
D. 2.
2
4

Câu 95. Khi đặt u = x2 + 9 tích phân I =
5

A. I =

5

u2 d u.

B. I =

3
4

Câu 96. Biết I =
A. A = 1.

3

0

Câu 98. Cho
0

1
A. S = .
2

4

C. I =

u d u.
3

0

u2 d u.

5

D. I =

u d u.
3

a 2+b
a2
, với a, b ∈ Q thì tổng S = + ab2 bằng bao nhiêu ?
3
b
7
50
B. S = 0.
C. S = .
D. S = .
2
3

x 1 + x2 d x =

A. S = −2.
1

x2 + 9 d x trở thành tích phân nào?

2x − 1
d x = a ln 3 + b ln 2, với a, b ∈ Z. Giá trị của biểu thức A = a2 + b2 là
x2 − x
B. A = 5.
C. A = 10.
D. A = 2.

1

Câu 97. Nếu

x
0

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN

b

A.

6a b2
d x = a + b ln 2 với a, b ∈ Q. Tính giá trị biểu thức S =
− .
b

a
1+ x
9
B. S = −8.
C. S = −1.
D. S = .
2
1

Ƅ Dương Phước Sang

25

0942.080383