Prepa capes mathes 2016

©


PREPA CAPES MATHS 2016
Analyse

Dany-Jack Mercier


Editeur : C S IP P
ISB N -13 ; 978-1519694942
ISB N -10 : 1519694946

(ç) 2015 D an y-Jack M ercier. Tous droits réservés.


Table des matières
Avant-propos

5

Comment utiliser ce volume ?

7

1 Fonctions
1.1
1.2
1.3

Minimum v i t a l ........................................................................................

E n traîn em en t...........................................................................................
Réponses ..................................................................................................

2 Continuité
2.1
2.2
2.3

Minimum v i t a l ........................................................................................
E n traîn em en t...........................................................................................
Réponses ..................................................................................................

3 Dérivabilité
3.1

3.2
3.3

Minimum v i t a l ........................................................................................
E n traîn em en t................................................................ ’ .........................
Réponses ..................................................................................................

4 Intégration
4.1
4.2
4.3

Minimum v i t a l ........................................................................................
E n traîn em en t...........................................................................................
Réponses ..................................................................................................

11
11
12
13

25
25
26
28

41
41
43
45

67
67
69
71

5 Suites

87

5.1
5.2
5.3

87

89
90

Minimum v i t a l ........................................................................................
E n traîn em en t...........................................................................................
Réponses ..................................................................................................

6 Séries
6.1

103

Minimum v i t a l ........................................................................................... 103


TABLE DES MATIERES
6.2
6.3

E n traîn em en t........................................................................................... 104
Réponses .................................................................................................. 106

7 Equations différentielles
7.1
7.2
7.3

8 Compléments sur les fonctions
8.1

8.2
8.3

165

Minimum v i t a l ........................................................................................... 165
E n traîn em en t...............................................................................................167
Réponses ..................................................................................................... 169

10 Extraits de concours
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8

141

Minimum v i t a l ........................................................................................... 141
E n traîn em en t...............................................................................................142
Réponses ..................................................................................................... 145

9 Compléments sur les suites
9.1
9.2
9.3

121

Minimum v i t a l ........................................................................................... 121
E n traîn em en t...............................................................................................123
Réponses ..................................................................................................... 125

191

Fonction, suite et tableur
................................................................ 191
Equation différentielle x'^y' + xy = 1 ..................................................198
Etude de fonction et calculin tég ral........................................................203
Valeurs approchées de
................................................................ 208
Méthode de N e w to n ................................................................................. 220
Etude de suites ré c u rre n te s ................................................................... 225
Equations différentielles, fonctions et s u i t e s ..................................... 231
Equations différentielles linéairesd’ordre 2 .......................................... 241


Avant-propos

AVAN T-PRO PO S

Ce livre a été construit pour répondre à la demande de nombreux préparationnaires du CAPES qui désiraient un ouvrage dédié à l’analyse et à leur
concours. Cette parution leur est dédiée, car sans eux je n’aurais jamais en­
trepris ce travail, ni pensé m’y atteler un jour.
Les thèmes abordés sont des thèmes classiques d’analyse : fonctions, suites,
séries, intégrales, équations différentielles, à un niveau qui ne dépasse pas celui
des classes préparatoires aux grandes écoles, comme le stipule le progranune

officiel du concours, en donnant la part belle à des extraits réellement proposés
aux CAPES, aux CAPESA et aux CAPLP de ces dernières années, donc après
les réformes 2011 et 2014 des épreuves du concours.
Les exercices et problèmes proposés dans ce volume sont centrés sur la prépara­
tion à l’écrit du CAPES mathématiques pour la session 2016. Ils sont extraits
de sept ouvrages différents qui s’adressent à la fois aux candidats aux CAPES
et à ceux de l’agrégation interne, en ne retenant que des énoncés importants
pour le CAPES.
Les ouvrages utilisés pour construire ce recueil sont :
• Les volumes 5, 6 et 7 de la collection Acquisition des fon ­
damentaux pour les concours ([4], [5], [6]), ainsi que le volume 8
actuellement en préparation pour cette même collection [7].
• Les volumes 4 et 5 de la série Exercices & problèmes ([8], [10]),
et le volume 9 en préparation, et qui sera consacré entièrement à
l’analyse [11].
Travailler ces questions permettra de bien préparer les écrits et d’approfondir
des thèmes récurrents d’analyse extrêmement utiles pour les entretiens avec
les jurys des épreuves orales.
Chaque chapitre, sauf le dernier, est divisé en trois parties :
/ un minimum vital à traiter en priorité,
/ un entraînement complémentaire, à traiter ensuite,
/ des réponses détaillées à toutes les questions posées.

“tespelGc vl.OO


6

Avant-propos

Le dernier chapitre permet de réinvestir ses connaissances dans des problèmes
variés choisis en fonction de leur modernité pour le CAPES 2016.
Il ne me reste plus qu’à souhaiter au lecteur d’avancer à grand pas dans son
projet, avec énergie, joie et détermination.
Avanti !
Dany-Jack Mercier
Pointe-à-Pitre, le 7 décembre 2015

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Comment utiliser ce volume ?

Comment utiliser ce volume ?
Cet entraînement s’adresse en priorité aux nouveaux licenciés de mathéma­
tiques qui sont en master M E E F et passeront le CAPES à la fin de l’année
universitaire. Mais il s’adresse aussi à tous ceux qui ont acquis le niveau licence
dans le passé, puis se mettent à préparer le concours des années après.
La préparation à l’écrit du concours peut être envisagée de différentes manières
qui doivent être choisies en fonction de son caractère et de sa nature, mais
quelle que soit la façon de procéder, l’utiUsation de ce recueil permettra de
traiter des questions prioritaires, et les indications qui suivent pourront être
suivies avec profit.

MODE D’EM PLO I
► Balayage
Le lecteur a déjà plus ou moins traité ces thèmes quand il était en licence.
Il peut se confronter directement aux exercices de ce recueil en suivant cet
ordre ;

/ Balayage des exercices des parties Minimum vital (chap. 1 à 9).
/ Balayage des exercices des parties Entraînement (chap. 1 à 9).
/ Balayage des extraits de concours choisis au chap. 10.
Ce balayage est proposé à titre indicatif : il peut être suivi scrupuleusement ou
transgressé si le lecteur le désire. Une préparation réussie est une préparation
où l’on prend plaisir à avancer, en se permettant aussi de suivre son instinct et
ses désirs pour les utiliser comme de puissants leviers. Si au bout de quelques
exercices du chapitre 1 on désire se lancer dans un problème du chapitre 10,
il faut se faire plaisir !
► Recherche & rédaction
Voici l’algorithme que je propose de suivre devant chaque question, que ce soit
à l’occasion d’un exercice court ou d’un problème long :
/ Lire l’énoncé avec un brouillon à côté.
/ Utiliser le brouillon en toute liberté pour débuter la recherche (1).
/ Se donner 5 minutes pour chercher un démarrage possible. Si une piste
est trouvée, il faut la tester ou en essayer une autre sans jamais rester bloqué
plus de 5 minutes. A l’issue de cette étape, soit on a répondu à la question,
soit on a déclaré forfait après 5 minutes de blocage à un moment donné.


8

Comment utiliser ce volume ?

/ Si on a répondu à la question, on peut la rédiger ou non suivant ses
capacités rédactionnelles (2) (3), puis lire la solution pour valider sa réponse
ou découvrir une autre réponse possible.
/ Si on a déclaré forfait, il faut lire complètement la solution et la com­
prendre, ce qui constitue un travail mathématique à part entière et une mé­
thode d’apprentissage particulièrement efficace. Si la lecture de la solution est

malaisée ou impossible, cela indique qu’il faut relire du cours sur le sujet en
utilisant tout ce que l’on peut utiliser : cours manuscrits de licence, livres,
bibliothèques, internet, Wikipedia...
► Revenir plusieurs fois sur ces questions
Les neurosciences le répètent : pour acquérir des connaissances et des savoirfaire, il faut les solliciter régulièrement pour construire de véritables circuits
neuronaux qui s’activeront chaque fois un peu plus rapidement. C ’est la base de
tout apprentissage : retrouver, reformuler, revisiter, recomprendre, revalider,
et réinvestir.
Dans la pratique, il est intéressant d’attendre un peu puis de revenir sur les
questions déjà traitées pour essayer d’y répondre à nouveau. On peut se reposer
des questions une semaine plus tard, puis un mois plus tard, et rien n’interdit
de balayer rapidement toutes les questions courtes des chapitres 1 à 9 une
dernière fois quelques semaines avant les épreuves.
► Compléter avec des annales récentes
A n’importe quel moment, il est intéressant de travailler sur des annales cor­
rigées récentes du CAPES externe, du CAPES agricole et du CAPLP. La
méthode de travail est la même que dans ce recueil : il faut lire les corrections
des questions dès que l’on est bloqué et sans aucune piste à suivre.

NOTES
(1)
Il ne faut pas rédiger au brouillon puis recopier ensuite. Il ne faut pas
trop écrire sur le brouillon, sauf si on a décidé de s ’acharner sur une question
et que c ’est la seule option qui reste.
Dans la majorité des cas, le brouillon doit uniquement servir de support pour
des investigations rapides, comme on le ferait sur un tableau.
On l’utilise librement pour aider sa réflexion de toutes les manières possibles :
rappel des hypothèses, rappel de la conclusion, diagrammes, schémas, repré­
sentations graphiques à main levée, flèches indiquant des connexions, des dé­
ductions... On établit des connexions, on barre des passages qui n’ont rien

donné, on ouvre des portes et on voit jusqu’où on peut aller.


Comment utiliser ce volume ?

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( 2) Si une réponse est trouvée au brouillon, il n’est pas nécessaire de la
rédiger si l’on sait que l’on est capable de rédiger correctement un texte ma­
thématique en étant assuré de récolter au moins 90% des points de la question.
Plusieurs cas se présentent :
- Si on connaît des difficultés en rédaction, il faut s’astreindre à rédiger
toutes les questions trouvées au brouillon, puis porter un jugement critique sur
sa rédaction, soi-même ou en demandant de l’aide à un camarade, et comparer
avec la solution proposée.
- Si on possède déjà un certain niveau de rédaction mathématique, on peut se
plier à l’exercice de la rédaction seulement une fois toutes les trois questions,
puis une fois toutes les cinq questions, et ainsi de suite, jusqu’à la maîtrise
complète.
- Si on est rompu à cet exercice, on peut se contenter de chercher les réponses
au brouillon sans les rédiger, sauf pour se faire plaisir ou vérifier ses acquis.
(3) Quand on parle rédaction de concours, il faut penser P R D : présenta­
tion, rédaction et disposition.
- La présentation doit être impeccable.
- Les numéros des questions doivent être clairement signalés sur les copies.
- On doit sauter au moins deux lignes entre les questions.
- Il faut être lisible donc calligraphier et écrire suffisamment gros.
- Il faut faire des phrases et créer des paragraphes.
- Il ne faut utiliser que les abréviations autorisées (ex. : i.e., ssi, CQFD).
- Il ne faut pas oublier les majuscules, les accents et la ponctuation.

- Il faut bien disposer les égalités et les implications.
- Il faut placer les quantificateurs en avant dans les phrases mathématiques.
- Il faut adopter une disposition qui mette en évidence son raisonnement.


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Comment utiliser ce volume ?
CONSEILS E T M AXIM ES
pour un entrainement efficace
/ On ne cultive pas son brouillon car ce n’est pas lui qui sera noté.
/ On écrit lisiblement sur sa copie car le correcteur ne peut noter
que ce qu’il peut déchiffrer.
/ On écrit son raisonnement en entier sans attendre que le correc­
teur le complète, car il n’a pas le droit de le faire.
/ On ne reste jamais bloqué plus de 10 minutes à l’entraînement
sans trouver une piste à tester. On s’autorise alors à lire la solution.
Sécher pendant des heures est formateur mais déplacé quand on
prépare un concours où chaque minute est comptée.
/ On ne perd pas son temps quand on apprend ou révise au moins
une chose nouvelle toutes les 30 minutes.
/ Il faut cultiver son moral et ne pas attendre d’être découragé
pour lire la solution d’un exercice. Se décourager ne sert à rien.
On s’entraîne pour réaliser des progrès réels, pas pour se fustiger
à chaque question !
/ Si l’on n’a pas envie de commencer à travailler, c ’est simple : il
suffit de lire la question et d’aller directement lire la correction en
essayant de la comprendre. On ne perd pas son temps, on avance !
/ Il faut s’entraîner à la rédaction en utilisant le stylo et le matériel
qu’on utilisera le jour du concours.

/ Il faut apprendre à repérer les erreurs éliminatoires.
/ Pour rédiger, il faut écrire des phrases complètes et créer des
paragraphes. En mathématiques, on peut aussi mettre en exergue
une équation, une implication et toute affirmation écrite en langage
mathématique. Dans tous les cas, la syntaxe est importante.
/ Une copie sans ponctuation, sans accents et sans majuscules
recevra une note éliminatoire : si un candidat au professorat ne
fait pas l’effort de rédiger correctement à l’écrit du concours, le
jury ne prendra pas le risque de recruter un enseignant appelé a
donner l’exemple à des milliers d’élèves pendant 42 ans !


Chapitre 1

Fonctions
1.1 Mînîmum vital
Question 1.1 Soit f : E —* F uniformément continue sur E , où E et F sont
deux espaces métriques. Montrer que si (xn)neN ^st une suite de Cauchy de
points de E , alors {f{xn))n€N ^st une suite de Cauchy de points de F .
Question 1.2 (Théorème de la limite m onotone) Montrer qu’une appli­
cation / : /
M monotone définie sur un intervalle I admet une limite à
droite (resp. à gauche) en tout point a de I tel qtie I D ]a,+oo[ ^ 0 (resp.
ln ]-oo,a[^ 0 ).
Question 1.3 Soient I un intervalle non vide de R, et f : I
une appli­
cation de I dans E . Soit a un réel appartenant à l ’adhérence de I , c ’est-à-dire
un élément de I ou une borne de I.
a) Soit l G M. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) limx-^o/(æ) = l,

(2) Pour toute suite (æ„)n de I tendant vers a, limn_»+oo / (xn) = lb) Montre que f admet une limite en a si et seulement si pour toute suite
{xn)n d ’éléments de I admettant a pour limite, la suite (/ {xn))n esi conver­
gente.
c) [Réservé aux agrégatifs] Généraliser les deux résultats précédents lorsque
f :E
F où E et F sont des espaces plus généraux à préciser.

Question 1.4 (Ecrit du CAPLP 2014 anticipé)
a) Montrer que sinx < æ < ta n x pour tout x G ]0, 7t/2 [.
b) En déduire que :
Vx G ]0, 7t/2 [

cotan^ x < -^ < 1 + cotan^ x.
x^

11


12

CHAPITRE 1. FONCTIONS

Q u estio n 1.5 (Ecrit du CAPLP externe 2011) On considère la fonction f
définie sur M par :
X
/(a:) = x V - ^ - ^

Un grapheur donne pour courbe représentative de la fonction f dans un repère
orthonormal le graphique de la figure ci-dessous. La fonction f est-elle crois­
sante sur Vintervalle [—2 ; 1] ? Justifiez votre réponse complètement.

Q u estion 1.6 (Ecrit du CAPLP 2012) Soient deux nombres réels a et b tels
que ab > 0. On écrit alors ln(a 6) = In a + In 6. Est-ce vrai ou faux ? Justifier.
Q u estion 1 .7 (Ecrit du CAPLP 2012) Soit K un nombre réel. Montrer que
la fonction $ définie sur K* par :
$ : æ 1-^

K e^ -1
X

admet une limite finie en 0 si et seulement si K = 1.
Q u estion 1.8 (Ecrit du CAPLP externe 2018) Si f et g sont deux fonctions
définies sur M, telles que lim / (x) = +oo et lim g (x) = —oo, peut-on en
X —> + o o

aj—» ^ + o o

déduire que lim [/ (x) + g (x)] = 0 ? Justifiez.
X^+OO

1.2

Entraînement

Q u estio n 1.9 (Ecrit du CAPES externe 2013)
Soit n e N. Soit ( x i , ••• ,x „ ) € M" tel que x i < X2 <
sur R la fonction L par :
n

L{x) = ' ^ \ x - x i\ .

i=l

< Xn- On définit


1.3. RÉPONSES

13

a) Représenter graphiquement L lorsque n = 3, æi = —2, X2 = 3, xs = 4.
b) Représenter graphiquement L lorsque n = 4, x i = —2, X2 = 2, X3 = 4 et
X4 = 7.
c) Démontrer que la fonction L admet un minimum m sur M et indiquer
pour quelle(s) valeur (s) de x il est atteint. On distinguera les cas n pair et n
impair. Que représente d ’un point de vue statistique la valeur de x trouvée ?

Question 1.10 (Ecrit du CAPES externe 2013) (Inégalité de Jensen)
Une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle I est dite convexe
sur I si :
V {x, y) G /2, VA G [0, 1], / (Ax + (1 - A) y) < A/ (x) + (1 - A) / ( y ) .
Soient f une fonction convexe sur I, (x i,...,X n ) G
et (A i,...,A „) G K”
avec
A* = 1. Démontrer que :
\
n
( n
^ AfcXfc I < ^ Afc/ (xfc).
fc=i
/

fc=i
On pourra raisonner par récurrence en remarquant que si
1 :
n

n —1

+ (1

^ ^
k=l

^ ^^
k=l ^

X Xk^

Q u estion 1.11 (Ecrit du CAPESA 2018) Soient n un nombre entier naturel
non nul et fn la fonction définie sur [0 , +00 [ par :
n

fn{ x) = l + J ^ x ''.
fe=l
a) Montrer que l ’équation fn (x) = n admet une unique solution notée On.
b) Comparer fn (on) et /n (1), puis en déduire que 0 < an < 1.
c) Montrer que la suite (on) est strictement croissante, puis en déduire
qu’elle converge. On note L sa limite.
d) On suppose L ^ l . Montrer que :
1

—

Vn G

fn{an) = ^ ^ ^
1 On
1
En déduire que lim fn (an) = -----r • Que peut-on conclure
n —>+
1 —L

1.3 Réponses
R ép o n se 1.1 Notons indifféremment d la distance sur E ou sur F . Montrer que (/(xn)) est une suite de Cauchy de F revient à prouver que :

Ve>0

3AT>0 n , m > N

d(/(xn),/(xm)) < £• (*)


14

CHAPITRE 1. FONCTIONS

Soit e un réel strictement positif. L ’uniforme continuité de / assure l’existence
d’un réel strictement positif rj tel que :

d{xn ,Xm) <r ) => d i f i x n ) , f { x m ) ) < e ,

et le fait que (a:n)n€N soit une suite de Cauchy de E nous montre l’existence
d’un entier N tel que :
n, 771 ^ N

d (^nj Xffij ^ Tj.

Il suffit de mettre les deux implications précédentes bout à bout pour obtenir
l’implication (*) et conclure.
R ép o n se 1.2 Supposons par exemple que / soit croissante, et montrons
qu’en tout point a où cela a un sens :
' Д т ^ / (ic) = Inf { f { x ) / x e l n ]o, +oo[}
^Im / (x) = Sup ( f ( x ) ! x Çl I

n ] - oo, o[} .

Si par exemple о € / et l’intersection I П ]a, +oo[ n’est pas vide, l’ensemble :
{/(ж) / ж е 7 n ]a ,+ o o [}
n’est pas vide et minoré par / (o), donc possède une borne inférieure m. Pour
tout réel e > 0, il existe alors, par définition, un ж e 7 П ]o, +oo[ tel que
fn < f {x) < m + e, et la croissance de / montre que a < t < x entraîne
1X1 < f (t) < f {x) < m + e. On a montré l’assertion :
Ve > 0

Зж > O

(a < i et |i —a| < ж —a)

I/ (i) - m| < e

qui signifie que lima;^o+ / (æ) = m.

R é p o n se 1.3 a) Nous avons deux implications à montrer
[(1)
(2)] On démontre facilement que (1) entraîne ( 2) en utilisant le
Théorème de composition des limites. Si lim j^a f (x) = I et si (x„)„ est une
suite de 7 qui converge vers a, alors évidemment lim „_ +00 / (Xn) — l[(2) => ( 1)] Supposons que la propriété ( 2) soit satisfaite, et supposons par
l’absurde que limx^o / {x) ^ l. La négation de l’affirmation :
Ve € R+

Br; G

Va; G 7

\x —a\ < rj

\f{x) —f{a)\ < e

s’écrit :
3e G K+

V?7 G K+

3a: G 7

|x — a| < 77 et \f{x) —/(a)| > e.

(f)


1.3. RÉPONSES

15

Nous disposons ici de l’affirmation (f), et rien ne nous empêche de l’écrire pour
des 7) de la forme r] = 1/n où n &N*. On obtient alors :

3eeR l

3xn€l

V n€N *

|жп - a| < - et |/(xn) - /(o)| > e.
n

Mais alors lim„_»+oo Xn = a et pourtant il existe e € R+ tel que :
V neN *

|/(æn)-/(a)| > £ ,

ce qui prouve que lim„_»+oo / (ж„) Ф l. C ’est absurde.
R em arq u e — Que l’on passe le CAPES ou l’agrégation, il faut absolument
savoir démontrer le Théorème de composition des limites utilisé pour prouver
l’implication ( 1) => ( 2). Cette preuve fait évidenunent intervenir des e et des r)
que l’on retrouve dans la définition d’une limite d’une fonction ou d’une suite.
Ne pas savoir prouver ce théorème de composition des limites est éliminatoire
à l’oral du CAPES comme à celui de l’agrégation, et un candidat averti en
vaut deux !
b) La condition est évidemment nécessaire comme on le voit en utilisant le
Théorème de composition des limites. Montrons qu’elle est suffisante. Suppo­
sons que pour toute suite (xn)n d’éléments de I admettant о pour limite, la

suite (/ {xn))n soit convergente. Considérons deux suites (ж„)п et (уп)п de ce
type. Alors :
lim / (æ„) = l et
lim / (y„) = Z'
n—>+oo

n—>+oo

pour des réels l oil' a priori distincts. Mais la suite mélangée :
(/ (æo), / (yo) , / (æ i), / ( y i) ,...,/ (xn) , / (Уп), •••)
converge puisque la suite {xo,yo,xi,yi,...,Xn,yn, ■■■) tend vers a, ce qui im­
pose d’avoir l = l'. Pour conclure, il suffit d’utiliser l’implication [(2) => ( 1)]
démontrée au a).
R em arq u e — Si F est complet, on peut énoncer :
/ / admet une limite ^ ^
quand x tend vers a J

Pour toute suite (on) tendant vers a, \
\
(/ (a„)) est une suite de Cauchy.
J

sans aucune référence aux limites en question.
c)
La démonstration donnée à la question a) fonctionne parfaitement quand
/ : F —> F est une application d’un espace métrique E vers un espace topo­
logique F , et quand on considère des limites suivant une partie A de E. En


16

CHAPITRE 1. FONCTIONS

effet, dans cette démonstration, la seule chose dont nous ayons eu besoin était
de construire une suite {xn)n qui tendait vers a mais telle que (/ (xn))n ne
converge pas vers l, et pour cela nous avons utilisé des boules de centre a et
de rayons 1/n.
Voici l’énoncé complet du théorème qui généralise le résultat du a) :
T h é o rè m e — Soient (E, d) un espace métrique, F un espace to­
pologique, f : E ^ F une application de E dans F, A une partie
de E et a un élément de l’adhérence A de A dans E. Alors / admet
l Çi F comme limite en a suivant A si et seulement si pour toute
suite {xn)n d’éléments de A de limite a, la suite (/ (xn))n converge
vers L
L ’équivalence obtenue en b) reste encore valide sous ces hypothèses, et consti­
tue une variation très intéressante puisque si F est un espace métrique complet,
devoir démontrer que la suite (/ (xn))n est convergente revient à démontrer
que c ’est une suite de Cauchy, ce que l’on peut parfois savoir sans connaître
précisément la limite de la suite. Le résultat b) nous donne alors le moyen de
démontrer que la limite limj;_,o / (x) existe sans la connaître précisément.
R ép o n se 1.4 a) Pour tout x G ] - 7r/2 , 7r/2 [ posons / (x ) = x - sinx
et g{x) = tau x — x. Les fonctions f et g ainsi définies sont dérivables sur
]—7r/2 , 7r/2 [, de dérivées :
/' (x) = 1 - cos X

et

g' (x) =

cos^x

Comme cosx appartient toujours à [0,1], on a /' (x) > 0 et p' (x) > 0 pour tout
X G ]—7r/2 , 7r/2 [. Les fonctions f et g sont donc croissantes sur ]—7r/2 , 7r/2 [.
Pour tout X G [0, 7t/2 [ on a donc / (0) < / (x) et g{0) < g (x), soit :
Vx G [0, 7t/2 [

sinx <

x

< tan x.

b) Les quantités x, sinx et cosx sont strictement positives quand x G
]0 , 7t/2 [. Si x g ]0 , 7t/2 [, la question précédente donne :

sinx < X <
donc

sinx
cosx

cosx ^ 1 ^

1
sinx ~ X ~ sinx

et en élevant au carré
cotan^ X < ^ <
x^
sin^ X

17

1.3. RÉPONSES
Ainsi :
Vx e [0, 7t/2 [

cotan^ x < ^

< 1 + cotan^ x.

R ép o n se 1.5 La propriété est fausse même si l’allure de la courbe obtenue
avec un grapheur semble indiquer que / est croissante. Le signe de la dérivée
étant difficile à déterminer, le plus rapide est ici d’utiliser une calculatrice pour
faire quelques tests. On trouve :
/ (0 ,1 ) = -9 ,3 4 3 0 3 4 0 2 5 9 4 0 0 9 x 10“^
alors que / (0) = 0 . Ainsi / (0 ,1) > / ( 0 ) et / n’est pas croissante sur l’inter­
valle [—2 , 1].
R em arq u es — a) Comme le suggère le rapport du jury, l’écriture d’un
développement limité de / au voisinage de 0 permet de conclure. En effet :
/ (x )

X‘‘
T

=
/r»2

7 (i + o W ) - y

avec a = ^ — ^ < 0. Par suite / est équivalente à ax^ au voisinage de 0, et
cela entraîne que / possède le même signe que ax^ en tout point x d’un voi­
sinage suffisamment petit de 0. Il faut savoir démontrer ce résultat général en
retournant à la définition des équivalents, comme je l’ai fait en [2], Théorème
147. Une révision rapide de tout ce qui concerne les comparaisons de fonctions
au voisinage d’un point (relations de domination, de prépondérance, d’équi­
valence entre fonctions au voisinage d’un point) peut être facilement menée
en travaillant tout le chapitre 10 de [2]. Un tel travail représente un investis­
sement de fond sur ces thèmes utiles pour l’écrit ou l’oral de n’importe quel
concours de recrutement où l’on trouve des épreuves de mathématiques.
/5) On aurait aussi pu chercher à voir s’il existe des x > 0 tels que / (x) < 0,
ce qui nous amène à résoudre l’inéquation :
X"
/ (x) = x^e^ ^ - y < 0 .

(*)

Sous réserve que x 7^ 0 ,
(*)

¿i

X —1 < —ln2

x < l —ln2.

CHAPITRE 1. FONCTIONS

18

Comme 1 — In 2 ~ 0 ,3 tous les réels x inférieurs strictement à 0,3 sont tels
que / (x) < 0. Cela montre que / n’est pas croissante sur [—2, 1].

Extrait du rapport du jury — La majeure partie des candidats a tenté une
étude sur R , souvent mal conduite, de la fonction /. Le tâtonnement numérique
a généralement abouti quand il a été utilisé. Le développement limité de la
fonction exponentielle au voisinage de 0 , permettait d’obtenir rapidement que
/ est négative à gauche et à droite de zéro, la valeur de / en zéro permettant
de conclure qu’elle n’est pas croissante sur R. Il était aussi possible de montrer
par la simple résolution d’une inéquation que / prend des valeurs négatives
à droite de zéro. Cette proposition permet d’évaluer la culture scientifique
des candidats, notamment à partir de réponses fausses comme « le graphique
fourni montre bien que / est croissante sur R » .
R ép o n se 1.6 C ’est faux. On sait que la fonction logarithme népérien est
un morphisme du groupe multiplicatif (RÜj., x ) sur le groupe additif ( R ,+ ).
C ’est ce qui fait tout son intérêt ! On a donc ln(oi>) = In a + ln 6 quels que
soient a et b appartenant à RÜj.. Malheureusement, l’énoncé suppose seulement
que ab > 0 , ce qui permet de définir ln(a 6), mais pas forcément Ina ni ln 6.
Contre-exemple : si a = —2 et 6 = —5, ln(o 6) = In 10 est bien défini, mais ce
n’est pas le cas de ln(—2) ni de ln(—5). Ici la formule proposée n’a plus de
sens!
R é p o n se 1.7 On peut écrire :
$ (x)

=

K e^ -1
X

K - 1 + K{ë^ - 1)
X

K -l

+ K -------- .
X

On sait que :

.

(*)

e® - 1

lim ^-------= 1
X

(penser à la dérivée de e® en 0). Par conséquent :

a ) S i K = 1,
lim $ (x) =

X—»^0

lim

x^O

e"’ - l
X

= 1.

0)
Si K ^ 1,
tend vers ±oo quand x tend vers 0, et {*) montre que
# (x) tendra aussi vers ±oo quand x tend vers 0 .


1.3. RÉPONSES

19

En conclusion, $ admet une limite finie en 0 si et seulement si K = 1.

R ép o n se 1.8 C ’est faux, puisque si f et g sont définies sur M par / (x) =
et g (æ) = - x , alors limj;_+oo / (x) = +oo et lim^_+oo ff (x) = - o o bien
que / (x) + g (x) vaille
— æ et tende vers +oo quand x tend vers +oo.

R ép o n se 1.9 a) La fonction L est une fonction affine par morceaux. On
regroupe toutes les informations dans le tableau suivant :

|x + 2 | —X — 2
—X + 3

|x-3|
|x-4|
—X + 4
L (x )
-3 x + 5

2

3

X+ 2
1 -X + 3
-æ + 4
-X + 9

1
1
1

4
x+ 2
x -3
-x + 4
2; + 3

1
1
1
1

x+ 2
x -3
X —4
3x — 5

pour conclure à :
—3x + 5
—X + 9
L(x) = <
x+ 3
3x — 5

si
si
si
si

X < —2
—2 < X < 3

34 < X.

On a dessiné la représentation graphique de L sur la FIG. 1.1.

F ig . 1.1 - Graphique de L (n impair)


CHAPITRE 1. FONCTIONS

20
b) Cette fois-ci :

-2
1 ж+ 2
1 —X + 2
1 —ж -H4
1 - ж -H 7
1 -2 ж -1-15

—2
k + 2|
| ж - 2 | —X + 2
—ж -H4
|æ-4|
-ж Ч-7
\ x-7\
L {x )
-4ж -Ь 11
—X

2
1
1
1
1
1

4
ж H- 2

X

—2

—X

-Ь 4

—х + 1

11

1
1
1
1
1

7
ж -Ь 2
ж-2
ж —4
-Ж-Н7
2ж-ЬЗ

1 ж -Ь 2
1 ж —2
1
ж —4
1

ж -7
1 4ж — 11

et l’on obtient la représentation graphique de L sur la FIG. 1.2.

F ig . 1.2 - Graphique de L (n pair)
c) Les deux exemples précédents sont parlants : les graphiques sont faits
de demi-droites et de segments de pentes négatives pour commencer, qui aug­
mentent régulièrement pour ensuite devenir positive et continuer de croître.
Le minimum est atteint au moment où l’on passe d’une pente négative à une
pente positive ou nulle.
- Si n est impair, le minimum est atteint pour x - - X(^n+\)/2 •
®2) •••) ®(n+l)/2> •••) ®n-

- Si n est pair, le minimum est atteint en n’importe quel point de l’intervalle
[æ„/2, ®n/2+i]
fonction L est constante sur celui-ci, sa pente étant nulle
sur cet intervalle :
®b® 2, ...,Æn/2. a?n/2+b -■,Xn.
Les valeurs de x trouvées dans la question précédente représentent la mé­
diane de la suite statistique æi, жг,..., Xn-


21

1.3. REPONSES

R em a rq u e — La médiane d’une suite statistique simple est une valeur Xm
de cette suite qui partage la suite en deux parties de même cardinal, c ’est-àdire de façon à ce qu’il y ait autant d’éléments de la suite inférieurs à Xm que
d’éléments supérieurs à XmR ép o n se 1.10 On raisonne par récurrence sur n. Si n = 2 , l’inégalité à

prouver est celle de la définition d’une fonction convexe car A2 = 1 — Ai, et :
/ (Aixi -f- A2ÎC2) = Al/ (æi) -I- A2/ (x 2)
s’écrit aussi bien / (Ai^i -I- (1 —Ai) X2) < Ai/ (æi) -I- (1 — Ai) / (x^).
Si n > 3, l’une des sommes Ai + \j {i 7^ j) n’est pas nulle^, par exemple
Al -HA2 ^ 0, et la propriété au rang n — 1 permet d’écrire :
/ ^ (A i -I- A2)

^

Al + A2

^ + A3X3 -I-... -I- A „ x „

i—3

En utilisant la propriété au rang 2, on obtient :
/Aixi H-A2X2 A

Al

f/

\,

A2

i/

\

d’où ;
/ (AiXi -l-... -I- AjjXu) ^ Al / (x i)

... -|- \ n f (^n)

(i)

en remplaçant. Cela montre que la propriété est vraie au rang n, et achève le
raisonnement par récurrence.
C om p lém en ts — Donnons deux autres démonstrations de l’inégalité de
Jensen, la première en suivant les indications de l’énoncé et en raisonnant
comme précédemment, la seconde en utilisant l’épigraphe de /, c ’est-à-dire la
partie du plan située au-dessus de la courbe représentative de /.

Encore une récurrence - Pour montrer l’hérédité, on suppose que la formule
est vraie jusqu’au rang n — 1, et l’on doit montrer l’inégalité (t). On peut
supposer An 7^ 1, autrement Ai -H ... + An-i = 0 et tous les A^ étant positifs,
on déduirait que Ai = ... = An-i = 0, un cas où le résultat est trivial. Puisque
An 7^ 1, on peut écrire ;
n

^ ^A/jX/j —

k=l

n—1

“I" (1

An) ^ ^ ^

Afc

-Xk»

k=l

^Si Ai -h Xj = 0 pour tous j distincts, alors Ai + Xj = Ai H- Afc donc Xj = Xk pour tous j ,
k distincts, et finalement 2Ai = 0 pour tout i, d ’où Ai = ... = An = 0 , ce qui est absurde.


CHAPITRE 1. FONCTIONS

22
et la propriété au rang 2 donne :

/n—1
< Xnfixn) + (1 - An)/

f

-Xk

53 Y3

Il suffit de voir que la propriété récurrente donne :

(

n—1

^

\

n—1

X

/ n —1

\

E A « )*g rè :'(S “)

et de remplacer pour obtenir (J).

Avec l ’épigraphe - On sait, d’après le cours, qu’une fonction est convexe si et
seulement si son épigraphe Epi (/) est convexe. Or les points Ni de coordonnées
{xi,f{xi}) appartiennent à E pi(/)). Le point G de coordonnées :
( ¿ A i X i , 5 3 Ai/(a:i) I
\i=i
i=i
/
étant le barycentre des points Ni affectés des coefficients positifs Aj, il appar­
tient à l’enveloppe convexe des Ni, donc a fortiori à l’épigraphe de / (qui est
convexe). Ainsi G G Epi (/), ce qui signifie que :

/ 153
s,2=1

-13

2=1

•

R ép o n se 1.11 a) La fonction /„ est dérivable sur [0, -f-oo[, et pour tout x
strictement positif,

/n(a:) = 53^®^~^
k=l

La fonction fn est donc strictement croissante sur [0, -|-oo[.
De plus lima;->+oo fn {x) = +oo et /„ (0) = 1, et comme /„ est continue, l’image
de l’intervalle [0 , -|-oo[ par /„ sera un intervalle. On peut donc affirmer que /„
est une bijection dérivable strictement croissante de [0, -|-oo[ sur [1, -|-oo[. On
en déduit qu’il existe une unique solution On de l’équation /„ (x) = n.
b) Par hypothèse /„ (o„) = n et /„ (1) = n -b 1. Donc /„ (o„) < /„ (1) et
comme /„ est strictement croissante, On < 1. On en déduit que 0 < o„ < 1
puisque On appartient aussi à l’ensemble de définition [0 , -|-oo[ de /„.
c) On a :


23

1.3. RÉPONSES
n+1

fn+i (an) = 1 + J 2 ^ n = fn (on) +

fc=i

= n + o”+^

Mais On < 1 entraîne f„+ i (o„) = n +
< n + 1 = /n+i (on+i), et la stricte
croissance de /n+i sur [0, +oo[ impose d’avoir
< o,i+i. Pour tout n € N*, on
a donc On < On+u ce qui montre que la suite (on) est strictement croissante.
Comme elle est majorée par 1, elle converge vers une limite L telle que L < 1
d’après le Théorème de convergence des suites réelles croissantes majorées.
d)
On suppose que 0 < L < 1. En utilisant l’expression connue de la somme
des n + 1 premiers termes d’une suite géométrique de raison On, on obtient :
l - o 5'n+_'

(*)

/ „ ( o..) = i + E “! ; = t = 0>n
k=l
Comme limon = L < 1, si l’on fixe un réel
entier naturel N tel que :

n>N

^ tel que L < ^ < 1, il existera un

0 <о„< ^ < 1 ^

0<

Comme limn-»+oo
= 0, l’encadrement 0 <
le Théorème des gendarmes et conclure à lim„^+oo
alors ;

< ^"+4
<

permet d’utiliser
= 0. De (*) on déduit

1

lim fn (an) ~ I _

П -+ + 0 0

Comme fn (an) = n pour tout n, lim„_»+oo fn (an) = +oo en contradiction
avec la limite obtenue dans la question précédente. Notre hypothèse L < 1 est
donc fausse. On en déduit que L = 1 et lim On = 1.


24

CHAPITRE 1. FONCTIONS