Những dạng toán nâng cao số học cho học sinh khá giỏi lớp 6

Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

NHỮNGDẠNGTOÁNCƠBẢNSỐHỌCLỚP6
(Dànhchohọcsinhkhá,giỏi)
§1.SOSÁNHHAILUỸTHỪA
A. Kiếnthứccơbản
1. Đểsosánhhailuỹthừa,tathườngđưavềsosánhhailuỹthừacùng
cơsốhoặccùngsốmũ.
- Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ
lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
Vớia>1vàm>nthìam>an
- Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số
lớn hơn thì sẽ lớn hơn.
Vớin>0vàa>bthìan>bn
2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còndùng tính chất bắc
cầu,tínhchấtđơnđiệucủaphépnhân(a- Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n=am.n
- Luỹ thừa của một tích: (a.b)n=anbn
-

a
Luỹ thừa một thương: an:bn=(a:b)n , hay a n : bn   

n

b

n

n

Luỹ thừa tầng: a m  a  m 
B. Bàitậpápdụng
1. So sánh các số sau:
a. 2711 và 818
b. 6255 và 1257
c. 32n và 23n
d. 536 và 1124
e. 523 và 6.522
f. 339 và 1121
g. 19920 và 200315
h. 7.213 và 216
2. So sánh các hiệu sau: 7245 – 7243 và 7244 – 7243
3. Tìm xN, biết:
a. 16x < 1284
b. 15< 5x <1075
c. 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100..........0 :218
18 chữ số 0
-

The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 1


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

4.

Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + ... + 29. So sánh S với 5.28

§2.CHỮSỐTẬNCÙNGCỦAMỘTTÍCH,MỘTLUỸTHỪA
A. Kiếnthứccơbản
1. Chữsốtậncùngcủamộttích:
- Tích các số lẻ là 1 số lẻ.
- Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng
là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
2. Chữsốtậncùngcủamộtluỹthừa:
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ
(khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n đều
có tận cùng là 1.
...34n = ...1
...74n = ...1
...94n = ...1
- Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n
≠0) đều có tận cùng là 6.
...24n = ...6
...44n = ...6
...84n = ...6
- Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ
thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có
chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1.
- Đối với các số tự nhiên có 2 tận cùng là 25, 76 khi luỹ thừa với số mũ bất
kì thì đều cho một số tự nhiên cũng có 2 chữ số là 25, 76.
B. Bàitậpápdụng
67

1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 3358 ; 2335 ; 2345
2. Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.

A = 405n+ 2405 + 3 (n N ; n ≠ 0)
3. Tích 2.22.23.....210. 52.54.56 … .514. Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
4. Chứng minh rằng tổng S = 1 + 31+ 32 + 33 + ... + 330 không phải là một số
chính phương.

§3.SỐNGUYÊNTỐ.HỢPSỐ.PHÂNTÍCHMỘTSỐRA
THỪASỐNGUYÊNTỐ
A. Kiếnthứccơbản
1. Địnhnghĩa
- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó
The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 2


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có ước khác 1 và chính nó nói cách khác
là có nhiều hơn 2 ước
- Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó
dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố
2. Tínhchất
- Một số tự nhiên A được biểu diễn (phân tích) dưới dạng một tích
A = a1k .a2k .a3k . … .ank thì tổng số ước số của A là
(k1+1)(k2+1)(k3+1)…(kn+1)
- Nếu một tích các số tự nhiên chia hết cho số nguyên tố p thì phải có ít
nhất một thừa số của tích chia hết cho p. Nếu tích đó là tích của các số
nguyên tố thì p trùng với một trong những thừa số của tích
- Nếu tích của hai sốa, b chia hết cho một sốnguyên tốp thì mọt trong hai
sốa, b chia hết cho p

- Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a ⋮ p hoặc b ⋮ p.
- Đặc biệt nếu an ⋮ p thì a ⋮ p và ngược lại
3. Mộtsốđịnhlí
- Định lí Euler
-

1

2

3

n

NÕu m lµ 1 sè nguyªn d­¬ng (m) lµ sè c¸c sè nguyªn d­¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè
cïng nhau víi m, (a, m) = 1
Th× a(m)  1 (mod n)
- Định líFermat
NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1  1 (mod p)
- Định lí Wilson
NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( p - 1)! + 1  0 (mod p)
B. Bàitậpápdụng
1. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7...13 + 20
b = 147.247.347 – 13
2. Cho nN*. Chứng minh rằng số 111....12111...1 là hợp số .
n chữ số1 n chữ số1

3. Cho n>2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1
không thể đồng thời là số nguyên tố.

4. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3
a. Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5.
b. Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là
hợp số
5. Cho p và p + 8 là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p + 100 là số nguyên tố
hay hợp số.
The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 3


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

6. Chứng minh rằng những số sau là hợp số
a. 676767
b. 108 + 107 + 7
c. 175 + 244 + 1321
d. 311141111
e. 10100- 7
f. 1! + 2! + 3! +…+ 100!
7. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n±1
8. Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn
3 thì n chia hết cho 6
9. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1)
chia hết cho 24
10. Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố
lẻ liên tiếp (p>3). Chứng minh rằng một số tự nhiên nằm giữa hai số
nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
11. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3

khi chia cho 12 đều dư 1
12. Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r
13. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên 2n – 1 là số nguyên tố (∀n  N, n>2)
thì số tự nhiên 2n + 1 là hợp số

14.

Tìm số n  N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.

15. Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại 2 số mà
tổng hoặc hiệu chia hết cho 12

§4.ƯỚCCHUNG,ƯỚCCHUNGLỚNNHẤT–BỘICHUNG,BỘI
CHUNGNHỎNHẤT
A. Kiếnthứccơbản
1. Địnhnghĩa
- Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả những số đó. Ước
chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp
ước chung của các số đó.
- Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả những số đó. Bội chung
nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập
hợp bội chung của các số đó.
2. Tínhchất

The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 4


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

-

-

Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi chúng chỉ có duy
nhất một ước chung là 1.
Ba số tự nhiên được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau khi từng cặp 2
trong 3 số đó nguyên tố cùng nhau và chỉ có duy nhất một ước chung
của 3 số là 1
Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng.
ab=BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)
Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng là những
số nguyên tố cùng nhau
Nếu a ⋮ m và a ⋮ n thì a ⋮ BCNN(m,n). Từ đó suy ra:
+ Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho
tích của chúng.

+ Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó
chia hết cho tích của chúng
B. Bàitậpápdụng

1. Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a. Hai số lẻ liên tiếp.
b. 2n + 5 và 3n + 7 (n  N)
2. Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a. (a, a – b) = 1
b. (ab, a + b) = 1
3. Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau
a = 4n + 3; b = 5n + 1

(n  N).
Tìm (a, b).
4. Cho a + 5b ⋮ 7 (a, b  N). Chứng minh rằng 10a + b ⋮ 7. Mệnh đề đảo lại
có đúng không?
5. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là
16.
6. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
7. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng
nhau hoặc có một ước chung là 19
Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15
8. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5,
chia cho 13 thì dư 8
The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 5


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

9. Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 – 1 chia
hết cho 6
10. Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1
11. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A cho 4 hoặc 6 đều dư 1.
Tìm A biết A < 400
12. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10,
chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23

§5.SỐCHÍNHPHƯƠNG
A. Kiếnthứccơbản

1. Địnhnghĩa
Số chính phương là bình phương của 1 số tự nhiên
2. Tínhchất
- Số chính phương chỉ có tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa
số nguyên tố với số mũ chẵn
Hệ quả: a2⋮ p(p∈ ℙ )→a2⋮ p2vàa⋮ p
- Số ước của 1 số chính phương là 1 số lẻ và ngược lại 1 số tự nhiên có số
ước là 1 số lẻ là số chính phương
3. Phươngphápchứngminh
- Phương pháp phản chứng
- Kẹp n2 < A < (n+1)2
- Chữ số tận cùng
- Phân tích thành bình phương
B. Bài tập áp dụng
1. Các số sau có chính phương hay không
A = 3 + 32 + 33 + … + 320
B = 100! + 8
C = 19922 + 19932 + 19942
D = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
E = 12 + 22 + 32 + … + 1002
F = 13 + 23 + 33 + … + 1003
2. Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì các số sau là số chính phương
A = (10n + 10n-1 + 10n-2 +…+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1
B = 111. .1 555. .5 6
The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 6

Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

C = 111. .1 + 444. .4 + 1
D = 999. .9 8 000. .0 1
E = 111. .1 222. .2 5
F = 444. .4
3. Cho A = 11. .1; B = 11. .1; C = 66. .6

4.

5.
6.

7.
8.
9.

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương
Chứng minh rằng
a. Tổng của 2 số chính phương lẻ không là 1 số chính phương
b. Một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là 1 số
lẻ
Một số chính phương có chữ số hàng chục là 5. Tìm chữ số hàng đơn vị
Chứng tỏ các số sau không là số chính phương
a.
b.
c.
d.
+
+

Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính
phương
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số sao cho nếu cộng nó với số gồm hai chữ số ấy
viết theo thứ tự ngược lại thì ta được 1 số chính phương
Tìm n ∈ ℕ* sao cho 1! + 2! + 3! + … + n! là 1 số chính phương

§6.NGUYÊNLÍDIRICHLETVÀỨNGDỤNGTRONGBÀITOÁN
CHIAHẾT
A. Kiếnthứccơbản
Nguyênlícơbản:
Nhốtn+1conthỏvàoncáilồngthìbaogiờcũngcó1cáilồng
nhốtítnhất2conthỏ
B. Bàitậpápdụng

1. Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2.
2. Cho dãy số : 10; 102; 103; ...;1020.
The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 7


Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội

Chứng minh rằng tồn tại một số chia 19 dư 1.
3. Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 19 có tổng các chữ số bằng 19.
4. Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng
hoặc hiệu chia hết cho 12.
5. Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kỳ luôn chọn được hai số có
tổng chia hết cho 4.
6. Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chon được ba số có

tổng chia hết cho 4.
7. Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn được ba số có
tổng chia hết cho 3.
8. Cho 5 số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh rằng ta luôn chọn được bốn số có
tổng chia hết cho 4.
9. Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta
gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng
tìm được một hay nhiều măt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
10.
Chứng minh rằng tồn tại một số là bội của 2013 sao cho số đó chỉ
gồm chữ số 0 và 1

The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone

Page 8