Học nnhanh cách giải phương trình lượng giác đh 2017

HỌC NHANH CÁCH GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

MỘT TÀI LIỆU KINH NGHIỆM NGẮN
GỌN - TRỌNG TÂM GIÚP CÁC EM SẼ
CÓ NHỮNG THÓI QUEN BIẾN ĐỔI
GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH – CAO
ĐẲNG ĐẾN HẾT NĂM 2016

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


CÔNG THỨC BẮT BUỘC PHẢI NHỚ
Công thức lượng giác thì nhiều nhưng bắt buộc nhớ
những công thức sau các em sẽ làm ok hết các bài

số 1: Công thức góc nhân đôi:
sin2x = 2sinx.cosx
cos2x = cos2x – sin2x
= 2cos2x – 1
= 1 – 2sin2x

Hạ bậc:
Cos2x = (1 + cos2x)/2
Sin2x = (1 – cos2x)/2
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường

số 2: Công thức tổng(hiệu) thành tích:
 cosx + cosy =
 cosx – cosy =
 sinx + siny =
 sinx – siny =

x+y 
 x-y 
2cos 
cos



2
2





 x+y   x-y 
-2sin 
 sin 

 2   2 
x+y 
 x-y 
2sin 

 cos 

2
2




x+y 
 x-y 
2cos 
cos



 2 
 2 

Nếu trong đề bài có: sinx ; sin3x; sin5x…
thì nên nhóm lại nhé !
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


số 3: Công thức tích thành tổng:
( nhớ 3 tích thôi)
 cosxcosy =

1

cos(x + y) + cos(x - y)
2

 sinxcosy =

1
Sin(x + y) + Sin(x - y)
2

 sinxsiny =

1
- cos(x + y) - cos(x - y)
2

Trong đề bài thường có con số 2 nhân với các tích thì sẽ
biến tích đó thành tổng còn ko đừng dại nhé. Thề đấy…

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


số 4: Công thức cộng đối với sin và cos:






Sin(x + y) =
Sin (x - y) =
Cos(x + y) =
Cos(x - y) =
Cách nhớ:

sinx.cosy + cosx.siny
sinx.cosy - cosx.siny
cosx.cosy - sinx.siny
cosx.cosy + sinx.siny

“ sin thì sin cos, cos sin
cos thì cos cos, sin sin dấu trừ ”

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


CHÚ Ý:
SIN(-X) = - SINX
 COS(-X) = COSX
 CÓ THỂ DÙNG CÔNG THỨC SỐ 4 ĐỂ SUY RA CÁC
CÔNG THỨC KHÁC NẾU QUÊN ( NGẪM XEM NHÉ!)
 CÔNG THỨC NHÂN 3 KHÔNG CẦN NHỚ NHÉ.
 CÁC CÔNG THỨC VỀ TANX HOẶC COTX KHÔNG
NHỚ THÌ CHỈ CẦN ĐƯA VỀ SIN; COS LÀ OKE NHÉ !
 KHÔNG NHỚ BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC THÌ ĐÃ CÓ
CASIO RÙI NHÉ !


Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


CÁCH LẤY NGHIỆM SINX = SINA

*sinx  0  x = kπ, k  Z
π
*sinx  1  x   + k2π, k  Z .
2
 x    k 2
*sinx  sin  x  
k Z
 x      k 2

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


CÁCH LẤY NGHIỆM COSX = COSA

π
* cos x  0  x = + kπ, k  Z
2
*cos x  1  x  k2π, k  Z .
 x    k 2
*cos x  cos  x  

k Z
 x    k 2
*tanx  tan   x    k , k  Z
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


4 DẠNG
PHƯƠNG
TRÌNH SAU
CHỚ QUÊN

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


DẠNG 1 : PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
LƯỢNG GIÁC
 kiểu : f(sinx) = 0. Đặt sinx = t (
 kiểu : f(cosx) = 0. Đặt cosx = t (
 kiểu : f(tanx) = 0. Đặt tanx = t (
 kiểu : f(cotx) = 0. Đặt cotx = t (

)
)
)
)

ĐỀ THPT QG – 2016: GPT: 2sin2x + 7sinx – 4 = 0
Giải: Đặt: sinx = t (
)
Pt trở thành: 2t2 + 7t – 4 = 0 t = ½ hoặc t = - 4(L)


sinx = ½

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

hoặc
facebook: Thầy Cường


DẠNG 2 : PHƯƠNG TRÌNH
‘ASINX + BCOSX = C’
Cách làm: chia cả 2 vế cho
rồi sử dụng
ngược công thức số 4 nhé !
VD: GPT: sinx + 3 cosx = 2
Sau khi chia cả 2 vế cho 2 ta được:

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


DẠNG 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2
‘a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d’
CÁCH LÀM:

 CÁCH 1: XÉT COSX = 0 VÀ CHIA CHO COS2X.
 CÁCH 2: SỬ DỤNG HẠ BẬC SIN2X , COS2X.
VD: GPT: sin2x + 2sinxcosx + 2cos2x = 2
 xét cosx = 0 thì suy ra: sin2x = 2 (vô nghiệm)
 với cosx ≠ 0: chia cả 2 vế cho cos2x ta được:
tan2x + 2tanx + 2 = 2(tan2x + 1)
⇔ tan2x – 2tanx = 0 ⇔ tanx = 0 hoặc tanx = 2
o tanx = 0
o tanx = 2
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


DẠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
a( sinx ± cosx) + b.sinxcosx = c
CÁCH LÀM: ĐẶT: sinx ± cosx = t
VD: GPT: sinx + cosx – 2sinxcosx – 1 = 0
Giải: ĐẶT: sinx + cosx = t (
)

PT khi đó trở thành: t – t2 = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 1
 sinx + cosx = 0 ⇔ tanx = -1 ⇔
 sinx + cosx = 1

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường

SAU KHI NẮM KỸ 4 DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HAY GẶP
TRÊN

CÁC EM NÊN BIẾT CÁC MẸO BIẾN ĐỔI GIÚP GIẢI
NHANH PTLG

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


CÁC MẸO BIỂN ĐỔI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THỨ NHẤT
Đề bài có 3 kiểu gì cũng hay sử dụng phương trình
cơ bản sau: asinx + bcosx = c
Cách làm: chia cả 2 vế cho a2 + b2 rồi sử dụng ngược
chiều công thức cộng sin và cos ( cái số 4 ấy)
 Sin(x ± y) = sinx.cosy ± cosx.siny
 Cos(x ± y) = cosx.cosy ± sinx.siny
kinh nghiệm thực tế trong đề thi đại học toàn chia cho 2
vì ra hàm arcsin; arccos rất ít khả năng@
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


ĐỀ THI MINH HỌA

KHỐI - D 2009: GPT:

Giải:

3cos5x - 2sin3xcos2x - sinx = 0

 3cos5x - (sin5x + sinx) - sinx = 0
 3cos5x - sin5x = 2sinx
3
1

cos5x - sin5x = sinx
2
2
π
π
 sin cos5x - cos sin5x = sinx
3
3
π
 sin( - 5x) = sinx
3
π
π kπ
π


 3 - 5x = x + k2π
 6x =  3 + k2π
 x = 18  3




k Z
 π - 5x = π - x + k2π
-4x = 2π + k2π
 x = - π - kπ
Soạntheo phong cách dạy học củaThầy Cường
facebook:
Thầy Cường

3
6 2
3



3
KHỐI B - 2009: GPT: sinx + cosxsin2x + 3cos3x = 2  cos4x + sin x 

Giải:





 sinx 1 - 2sin 2 x + cosxsin2x + 3cos3x = 2cos4x
 sinxcos2x + cosxsin2x + 3cos3x = 2cos4x
 sin3x + 3cos3x = 2cos4x
1
3
sin3x +

cos3x = cos4x
2
2
π
π
 sin sin3x + cos cos3x = cos4x
6
6
π

4x = 3x - + k2π

π

6
 cos  3x -  = cos4x  
6

4x = -3x + π + k2π

6
π



 x = - 6 + k2π
k Z

 x = π + k2π
Soạn theo phong

dạy học của Thầy Cường
 cách
42
7

facebook: Thầy Cường


BÀI TƯƠNG TỰ NHÉ

KHỐI A – 2009: Giải phương trình:

1 - 2sinx  cosx =
1 + 2sinx 1 - sinx 

-π
2π
(x =
+k )
18
3

3.

KHỐI A – 2012: Giải phương trình:

3sin2x + cos2x = 2cosx -1.
(x =

π

2π
+ k2π;x = k2π;x =
+ k2π)
2
3

KHỐI B – 2008: Giải phương trình:

sin3x - 3cos3x = sinxcos2x - 3sin2xcosx.
π
π
2π
(x =
+ k ;x =
+ kπ)
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường
facebook:
Thầy
Cường
4
2
3


KHỐI B – 2012: Giải phương trình:





2 cosx + 3sinx cosx = cosx - 3sinx +1.
(x =

2π
2π
+ k2π;x = k
)
3
3

KHỐI D – 2007: Giải phương trình:
2

x
 x
 sin + cos  + 3cosx = 2.
2
 2

π
-π
(x = + k2π;x = + k2π)
2
6

CĐ – 2008:
sin3x - 3cos3x = 2sin2x

π
-2π

2π
(x = + k2π;x =
+k )
3
15
5
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


THỨ HAI
NẾU PHƯƠNG TRÌNH CÓ : cos2x ; sin2x ...THÌ NGHĨ TỚI
CÔNG THỨC HẠ BẬC HOẶC NHÂN ĐÔI
ĐỀ THI MINH HỌA
2
KHỐI B – 2013: GPT: sin5x + 2cos x = 1
2
Giải:  sin5x + (2cos x - 1) = 0

 sin5x + co2x = 0
 -sin5x = cos2x
 sin(-5x) = cos2x
π
 cos( + 5x) = cos2x
2
π
 2 + 5x = 2x + k2π

k Z 

 π + 5x = -2x + k2π
Soạn theo phong
 2cách dạy học của Thầy Cường

π
2

x
=
+
k
π

6
3
k Z

x = - π + k 2 π
facebook: Thầy Cường

14
7


KHỐI B – 2002:GPT:
Giải:

sin2 3x - cos2 4x = sin2 5x - cos 2 6x

1- cos6x 1 + cos8x 1- cos10x 1 + cos12x

=
2
2
2
2
 -cos6x - cos8x = -cos10x - cos12x
 (cos12x + cos10x) - (cos8x + cos6x) = 0
 2cos11xcosx - 2cos7xcosx = 0
 cosx(cos11x - cos7x) = 0



π

 x = 2 + kπ 
π
π

x
=
k


x = + kπ
cosx = 0
π
2





 x=k

k Z
2


2
cos11x = cos7x
x = k π
11x
=
±7x
+
k2π



9
x = k π

9
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


BÀI TƯƠNG TỰ NHÉ

KHỐI –B – 2007: GPT:

2

2sin 2x + sin7x -1 = sinx
(x =

KHỐI – A – 2005: GPT
2

π
2π
5π
2π
+ k ;x = + k ), k  Z 
18
3
18
3

2

cos 3xcos2x - cos x = 0.

π
(x = k )
2

KHỐI – D – 2003: GPT:

x π
2

2 x
sin  -  tan x - cos
=0
2
2 4
2

π
(x = π + k2π,x = - + kπ),  k  Z 
4
Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


THỨ BA
NẾU PHƯƠNG TRÌNH CÓ SỐ TỰ DO NHƯ: 1; -1 VÀ COS2X.
THƯỜNG THAY COS2X ĐỂ SAO TRIỆT TIÊU MẤT: 1;-1
ĐỀ THI MINH HỌA

KHỐI – B – 2005: GPT: 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
Giải:
 1 + sinx + cosx + 2sinxcosx + (2cos 2 x - 1) = 0
 (sinx + cosx) + (2sinxcosx + 2cos 2 x) = 0
 (sinx + cosx) + 2cosx(sinx + cosx) = 0
 (sinx + cosx)(1 + 2cosx) = 0
π

tanx
=

-1

x
=
+ kπ
sinx = -cosx

sinx + cosx = 0
4



k Z

1

cosx =  2cosx + 1 = 0
 x = ± 2π + k2π
 của Thầy2Cường 
Soạn theo phong cách dạy học
3 facebook: Thầy Cường



KHỐI – D – 2006 : GPT: cos3x+cos2xcosx1=0
Giải:

 cos3x + (1 - 2sin 2 x) - cosx - 1 = 0
 (cos3x - cosx) - 2sin 2 x = 0
 -2sin2xsinx - 2sin 2 x = 0

 -4sin 2 xcosx - 2sin 2 x = 0
 -2sin 2 x(2cosx + 1) = 0
sinx = 0  x = kπ


k Z
2π
1
cosx = -  x = ±
+ k2π
3
2

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

facebook: Thầy Cường


BÀI TƯƠNG TỰ NHÉ

KHỐI – D – 2008: GPT:
2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
2π
π
(x = ±
+ k2π, x = + kπ),
4
KHỐI – D – 2011: GPT: 3
sin2x + 2cosx - sinx - 1
=0

tanx + 3

Soạn theo phong cách dạy học của Thầy Cường

 k  Z

π
(x = + k2π)  k  Z 
3

facebook: Thầy Cường