Dãy các phân số viết theo qui luật

Ngày soạn: 15/3/2009
Ngày giảng: 17/3/2009
Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật
I/ Nhận xét mở đầu:
Khi giải các bài toán về phân số, ta thờng gặp các bài toán tính tổng các phân số
mà tử và mẫu của chúng đợc viết theo quy luật. VD:
3 + 3 + 3 + .... + 3
4.7 7.10 10. 13 73.76
Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở d-
ới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trớc bằng thừa số đầu ở mẫu sau.
Phơng pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức:
m = 1 _ 1
b. ( b+m) b b+m
Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm tr-
ớc bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên
và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện đợc dễ dàng.
Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m
b. ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện đợc ngay quy luật mà phải
qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số nh nhân cả tử và
mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dới
mẫu...
II/ Các ví dụ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ..........
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176..........

Gi i
Trớc hết ta có nhận xét sau:
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101
Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dới mẫu
nên ta dùng công thức biến đổi:
m/ b. ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m
Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101 = 1 1/ 101 = 100/ 101
b/ Trớc hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật:
6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16......
số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n 4 ) ( 5n + 1 )
=> số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5. 100 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 . 501
lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 1/11 = 5/ 6.11
Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + .... + 1/ 496. 501
= 1/5 .( 1 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .......+ 1/ 496 - 1/ 501 )
= 1/5 . ( 1 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501
VD2: Tính tổng
B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + .... + 1/ 48.49.50
NX: Mỗi số hạng của tổng có dạng
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Mà ta có : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3
1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4
Từ đó => B = 1/2 . ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + ... + 2/ 48. 49. 50 )
= 1/2 .( 1/ 1.2 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .....- 1/ 49.50)
= 1/2. ( 1/ 1.2 1/ 49.50 ) = 1/ 2 . 1224/ 2450 = 306/ 1225.
VD3: Tính tổng
C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + ... + 1/ 120
Ta nhận xét thấy mẫu của các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì
không có quy luật nào cả nên không áp dụng đợc công thức. Tuy nhiên nếu nhân

cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của
phân số) thì sẽ dễ dàng viết đợc các mẫu theo quy luật.
Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 +... + 2/ 240
= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 +... + 2/ 15.16
= 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + ... + 1/ 15.16)
= 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 - ... 1/ 16)
= 2. ( 1/4 - 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8.
VD4 Tính giá trị của biểu thức
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + ... + 1/97 + 1/99
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Trớc hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện
mẫu chung giống với mẫu của các phân số tơng ứng ở số chia nh sau:
P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + ... + ( 1/ 49 + 1/ 50)
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5. 95 + ... + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100. ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
2 . ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
= 100/ 2 = 50
Vậy giá trị của biểu thức P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
99/1 + 98/2 + 97/3 +... + 1/99
NX: Trong VD này chúng ta lại phải biến đổi số chia để làm xuát hiện các biểu
thức có thể rút gọn đợc với các biểu thức trên tử. Ta có:
Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100-1 + 100-2 + 100- 3 +... + 100- 99
1 2 3 99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
(100/1 + 100/ 2 + 100/3 +... + 100/ 99) ( 1/1 + 2/2 + 3/3 +... + 99/99)

= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100 + 100. ( 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/99) 99
= 1/ 100
Vậy giá trị của biểu thức Q = 1/ 100
VD 5: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy

3
1
1
; 1
8
1
; 1
15
1
; 1
24
1
; 1
35
1
....
NX: Ta viết lại các só hạng của dãy :

3
4
;
8
9
;

15
16
;
24
25
;
35
36
...
<=>
3.1
2
2
;
4.2
3
2
;
5.3
4
2
;
6.4
5
2
;
7.5
6
2
...

Số thứ 98 có dạng :
100.98
99
2
Gọi tích của 98 số trong dãy là A, ta có :
A=
100.98
99
....
7.5
6
.
6.4
5
.
5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2
222222
=
)100....6.5.4.3).(98....4.3.2.1(
)99....5.4.3.2).(99....5.4.3.2(
TS thứ nhất của A TS thứ 2 của A
=
100

2
.
1
99
=
50
99
III/ áp dụng:
Bài 1: Tính tổng:
a, A=
18.15
6
+
21.18
6
+
24.21
6
+ ... +
90.87
6
b, B=
11.8
3
2
+
14.11
3
2
+

17.14
3
2
+ ... +
200.197
3
2
c, C=
27.25
1
+
29.27
1
+
31.29
1
+ ...+
75.73
1
d, D=
94.90
15
+
98.94
15
+
102.98
15
+ ... +
150.146

15
*/Giải
a, A=
18.15
6
+
21.18
6
+
24.21
6
+ ... +
90.87
6
= 2.






++++
90.87
3
...
24.21
3
21.18
3
18.15

3
= 2.






+++
90
1
87
1
...
21
1
18
1
18
1
15
1
= 2.

90
1
15
1
=2.






90
5
=
9
1
b, B=
11.8
3
2
+
14.11
3
2
+
17.14
3
2
+ ... +
200.197

3
2
=3.






++++
200.197
3
...
17.14
3
14.11
3
11.8
3
=3.






+++
200
1
197

1
...
14
1
11
1
11
1
8
1
= 3.







200
1
8
1
=
25
9
c, C=
27.25
1
+
29.27

1
+
31.29
1
+ ...+
75.73
1
=






++++
75.73
2
...
31.29
2
29.27
2
27.25
2
.
2
1
=

++++
75
1
73
1
...
31
1
_
29
1
29
1
27
1
27
1
25
1
.
2
1
=

75
1
25
1
.
2
1
=
75
1
d, D=
94.90
15
+
98.94
15
+
102.98
15
+ ... +
150.146
15
=







++++
150.146
4
...
102.98
4
98.94
4
94.90
4
.
4
15
=






−++−+−+−
150
1
146
1
...
102

1
98
1
98
1
94
1
94
1
90
1
.
4
15
=






−
150
1
90
1
.
4
15
=

60
1
Bµi 2: CMR: Víi mäi n
∈
N th× ta lu«n cã:
)65)(15(
1
...
176
1
66
1
6
1
++
++++
nn
=
65
1
+
+
n
n
*/Gi¶i
BiÕn ®æi VT ta cã:
)65)(15(
1
...
176

1
66
1
6
1
++
++++
nn
=








++
++++
)65)(15(
5
...
16.11
5
11.6
5
6.1
5
.
5

1
nn
=






++
++++−

65
1
-
15
1
...
16
1
-
11
1
11
1
-
6
1
6
1

1.
5
1
nn
=






+
−
65
1
1.
5
1
n
=






+
+
65
)1(5

.
5
1
n
n
=
65
1
+
+
n
n
=VP => ®pcm
Bµi 3: T×m x
∈
N biÕt:
a, x -
55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
−−−−
=
11
3

b,
)1(
2
...
36
1
28
1
21
1
+
++++
xx
=
9
2
*/Gi¶i:
a, x -
55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
−−−−
=
11

3
<=> x =
55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
11
3
+++++
<=> x =






+++++
55.53
2
...
17.15
2
15.13
2
13.11

2
10
11
3
<=> x =






−+−+−+
55
1
53
1
...
13
1
13
1
11
1
10
11
3
<=> x =







−+
55
1
11
1
10
11
3
=
11
8
11
3
+
=1
b,
)1(
2
...
36
1
28
1
21
1
+
++++

xx
=
9
2
<=>
9
2
)1(
2
...
72
2
56
2
42
2
=
+
++++
xx
<=> 2.
9
2
1
11
...
9
1
8
1

8
1
7
1
7
1
6
1
=






+
−++−+−+−
xx
<=> 2.
9
2
1
1
6
1
=







+
−
x
<=>
18
1
9
1
6
1
1
1
=−=
+
x
<=> x+1 = 18
<=> x = 17
Bµi 4: CMR:
a, A=
20.19.18
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1

++++
<
4
1
b, B=
29.27.25
36
...
9.7.5
36
7.5.3
36
5.3.1
36
++++
< 3
*/Gi¶i:
a, A=
20.19.18
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
<
4

1
Ta cã:
A =






++++
20.19.18
2
...
5.4.3
2
4.3.2
2
3.2.1
2
.
2
1
=






−++−+−

20.19
1
19.18
1
...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
.
2
1
=
380
189
.
2
1
20.19
1
2.1
1
.
2
1
=







−
=
760
189
Mµ
4
1
756
189
760
189
=<
=> A <
4
1
b, B=
29.27.25
36
...
9.7.5
36
7.5.3
36
5.3.1

36
++++
< 3
Ta cã:
B = 9.






++++
29.27.25
4
...
9.7.5
4
7.5.3
4
5.3.1
4
= 9.






−++−+−+−
29.27

1
27.25
1
...
9.7
1
7.5
1
7.5
1
5.3
1
5.3
1
3.1
1
= 9.
87
260
783
260
.9
783
1
3
1
==







−
Mµ
3
87
261
87
260
=<
=>B < 3
Bµi 5: CMR:
a, M =
1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
(n
∈
N; n
≥

2)
b, N =
4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
(n
∈
N; n
≥
2)
c, P =
1
!
!2
...
!5
!2
!4
!2
!3

!2
<++++
n
(n
∈
N; n
≥
3)
*/Gi¶i:
a, M =
1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
. ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi
Ta cã: M =
nn.
1
...
4.4
1
3.3

1
2.2
1
++++
<
nn ).1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
−
++++
<=> M <
nnn
1
1
1
1
1
...
4
1
3
1
3
1

2
1
2
1
1
−=−
−
++−+−+−
Mµ
1
1
1
<−
n
=>M <1
b, N =
4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
Ta cã: N =







++++
22222
1
...
4
1
3
1
2
1
.
2
1
n
Mµ
2222
1
...
4
1
3
1
2
1

n
++++
<1 (theo phÇn a)
=> N <
2
2
1
.1=
4
1