CÔNG THỨC góc GIỮA HAI mặt PHẲNG (2)

CHUYấN MC MI TUN MT CH - 20/8/2018

BI TON TNH GểC GIA HAI MT PHNG
Tp chớ v t liu toỏn hc
Bi toỏn tốnh gờc gia hai mt phng l nhng bi toỏn tng i khờ v nm mc vn
dng v vn dng cao, bổn cnh nhng phng phỏp truyn thng nh dng hỗnh to gờc
thỡ trong ch ca tun ny ta s cớng tỗm hiu ti 3 phng phỏp gii quyt cỏc bi
toỏn trc nghim cờ th nời gn nh mi bi toỏn tốnh gờc gia 2 mt phng m ta hay
gp. Bn pdf c ng trổn blog Chinh phc Olympic toỏn cỏc bn chợ ù ờn c nhồ!

I. CC PHNG PHP X Lí.
1. S DNG CễNG THC HèNH CHIU.
õy l mt tốnh cht khỏ l c bn trong chng trỗnh hỗnh hc 11 m ta cn nm rỡ, cởng
thc ca nờ rt n gin nh sau.
Ni dung. Cho hỡnh S thuc mt phng P , hỡnh S ' l hỗnh chiu ca S lổn mt phng

Q ,

khi ờ ta cờ cosin gờc gia hai mt phng P v Q c tốnh theo cởng thc

cos

S'
. Sau õy l vố d minh ha cho cởng thc ny.
S

Bi toỏn : Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ AB a;AD 2a AA ' 4a . Gi
M,N,P ln lt thuc cỏc cnh AA, DD, BB sao cho MA MA ' , ND 3ND ' , PB' 3PB ,
mt phng MNP ct cnh CC; ti Q. Tốnh cosin gờc gia MNQP ; ABCD
Hng dn
u tiổn ta cn phi chợ ù ti cỏch dng c

A'

im Q. K ng ni tõm 2 ỏy , ta thy PN
thuc mt phng B'D'DB nờn s ct PN,
ng thi P, M, N cớng thuc mt phng nổn ni
M vs giao im va tỗm c ta s ra c im
C'Q
Q. Vn õy l ta cn tốnh c t s
, ta
CQ
s s dng ti tốnh cht sau.
A'M
B'P
C'Q
D'N
t x
, khi ờ ta
,y
,z
,t
AA'
B'B
C'C
D'D

D'
C'

B'

M

P

B

N

Q
D

A
C

cờ 2 cởng thc cn nh sau:
VA'B'C'D'.MPQN x y z t


VA'B'C'D'.ABCD
4


xz yt

p dng vo bi toỏn ta suy ra

C'Q 1
. ù ta thy rng MN PQ, MP QN nờn
CC' 2

MNQP l hỗnh bỗnh hnh. D dng tốnh c cỏc on thng

Fanpage: Tp chớ v t liu toỏn hc

Chinh phc olympic toỏn | 1


BI TON TNH GểC GIA HAI MT PHNG
2



1 1
2 10
MN PQ 4 2 2
3
2 3



1 1
13
MP QN 4 12
3
2 3

2

Mt khỏc do MQ l ng trung bỗnh ca A'C'CA MQ
T õy dớng cởng thc Herong d dng tốnh c S MNQP

1
1 2
5
AC
1 22
2
2
2

599
48

Mt khỏc hỗnh ch nht ABCD chốnh l hỗnh chiu ca hỗnh bỗnh hnh MNQP lổn mt
phng ABCD nổn ỏp dng cởng thc cn ta cờ cos MNQP ; ABCD

S ABCD
599

S MNQP
96

2. S DNG CễNG THC GểC NH DIN.
õy l mt cởng c rt mnh gii quyt cỏc bi toỏn tốnh gờc gia 2 mt phng, hu ht
cỏc bi toỏn n gin hay n phc tp u cờ th gii bng phng phỏp ny, sau õy ta
s cớng tỗm hiu nờ. Trong phn ny mỗnh s ch hng dn cỏc bc lm cho cỏc bn!
Cỏc bc thc hin.
Bc 1: a gờc gia hai mt phng v gờc gia hai mt phng k nhau ca mt t din.
Chợ ù iu ny luởn thc hin c.
Bc 2: S dng cởng thc: V

2S 1 S 2 sin
. Trong ờ S 1 , S 2 ln lt l din tốch hai tam
3a

giỏc k nhau ca t din, a l di giao tuyn, cộn l gờc gia hai mt phng cn tỗm.
Bi toỏn 1: Cho t din S.ABC, SA a; SB 2a; SC 3a;ASB 60 o ; BSC 90 o ; CSA 120 o .
Tớnh cosin

SAB ; SBC .
Hng dn

Yổu cu ca bi l tốnh gờc gia hai mt phng thỗ

S

theo nh bc 1 ta phi a v mt t din vi bi ny
thỗ khi nh bi nờ ó thuc 1 t din sn ri . Gi ta
phi tốnh th tốch ca khi t din ờ. u tiổn thỗ phi
chợ ù n gi thit, vi nhng bi m cho di cỏc

C'

cnh bổn vi li gờc ù thỗ ta phi dng mt chờp tam
giỏc u khỏc bng cỏch ly trổn SB,SB cỏc im B, C
sao cho SB ' a, SC ' a thỗ ta c S.ABC l chờp tam

A

C

B'

giỏc u v ta s tốnh c th tốch ca nờ, xong sau
ờtỡm dựng cụng thc t s th tốch s tốnh c VS.ABC .

2 | Chinh phc olympic toỏn

B

Fanpage: Tp chớ v t liu toỏn hc


CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018
Đê là cách làm truyền thống, cén đối với thi trắc nghiệm thç cê thể nhớ cëng thức tènh thể
tèch như sau:
Tứ diện S.ABC cê SA  a, SB  b, SC  c,ASB   , BSC  , CSA   thç thể tèch của nê là:

1
2
2
2
V  abc 1  2 cos  cos  cos    cos     cos     cos  
6
Áp dụng vào bài ta tènh được thể tèch là VS.ABC 

a 2
.
2

Đồng thời cê giả thiết gêc thç suy ra tất cả các cạnh của nê ta sẽ tènh được diện tèch của hai

tam giác là: S SAB 

a2 3
; S SBC  3a 2 ; SB  2 .
2





Tương vào cëng thức ta cê sin  SAB  ;  SBC  





2
3
.
 cos  SAB  ;  SBC  
3
3

Xong bài nhé!  đơn giản khëng nào.
Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD, BC  3, CD  4,ABC  BCD  ADC  90o ,  AD, BC   60 o .
Tính cos   ABC  ;  ACD   .
Hướng dẫn
Một bài toán tương đối khê phải khëng nào?
Ở bài toán này ta các bạn cê nhớ đến định lï ba đường

A

vuông góc không??? Theo giả thiết thç cê phải là tam
giác BCD vuëng tại C đîng khëng? Tiếp theo hai gêc
ABC, ADC cũng vuëng điều này chứng tỏ là hçnh chiếu
AB lên  BDC  sẽ vuëng gêc BC, hçnh chiếu AD læn

 BDC 

E

cũng vuëng với CD, nhỉ? Đến đây thç cần tçm

điểm E sao cho E là hçnh chiếu của A læn  BDC  có
phải là từ B kẻ vuëng gêc với BC, D kẻ vuëng gêc với

B

D

CD thç ta sẽ được điểm E cần tçm ko? Oh khëng những

C

thế AE cén vuëng gêc với cả mặt phẳng BCD nữa.

Đến đây quy về bài toán quá bçnh thường, chuyển gêc giữa hai mặt phẳng cần tènh về một
tứ diện nhå các bạn  Phần cén lại nhường nhå!
Bài toán 3: Cho lăng trụ tam giác đều. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
A’B’, A’C’, BC. AB  2 3 ;AA '  2 . Tính cosin góc

  AB'C ' ;  MNP   .

Hướng dẫn
Câu này đề cê vẻ rất ngắn gọn, và là câu 47 trong đề minh họa 2018 vào tháng 1 của bộ tức
là câu điểm 9,4 nhå :V Nêi chung khëng hề đơn giản tẹo nào cả. Tuy nhiæn ta vẫn bám sát
vào phương pháp để làm!

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 3


BI TON TNH GểC GIA HAI MT PHNG
u tiổn phi a v mt t din nh? iu ờ lm ta

E

phi tỗm mt mt phng song song vi mt phng ABC
thởi, bng cỏch ly trung im AA ta s chuyn v tốnh
gờc gia

D

MNQ ; MNP . Cởng vic gi thỗ mỗnh s

C'

hng dn cho cỏc bn nhồ, mu cht l tốnh c th

N

tốch ca khi MNPQ ợng khởng, vy thỗ nhỗn hỗnh v
nhộ, mỡnh s a v tốnh th tốch ca khi Q.PDE, khi

A'

B'

M

ny i vi cỏc bn tốnh n gin thởi bi khong cỏch
t Q ti mp DECB bng bi khong cỏch t A ti mp
DECB, t A k vuởng gờc vi BC l okie! Tờm li l

Q

th tốch ờ tốnh c, xong sau ờ si cởng thc t s

C

th tốch ta s tốnh c V ca MNPQ cộn li ch l vic
tớnh cnh thởi, phn cỏc bn nhồ, ch l k nng tốnh

P

toỏn thụi nha . Nu nh cờ nng khiu hỗnh hc thỗ

B

A

cõu ny tng i d lm, cờ th tham kho cỏch ca
lm trổn mng nha bi ny gii rt nhiu ri!
3. S DNG PHNG PHP TA HểA.
Nời chung õy cng l mt phng phỏp rt mnh, tuy nhiổn nhc im ca nờ l phi
nh cởng thc tốnh hi cng knh v ch ỏp dng cho nhng trng hp ta dng c
hoc trong bi toỏn cờ yu t 3 ng vuởng gờc!
u tiổn ta cn nh ti cởng thc cn thit ca chng hỗnh hc Oxyz sau
Gi l gờc gia 2 mt phng P : ax by cz d 0, Q : a'x b'y c'z d' 0





cos cos n P , n Q

n P .n Q
nP . nQ



AA ' BB' CC '
A B C
2

2

2

0 90
o

A ' B' C '
2

2

2

Cỏch thc hin
Bc 1: Xỏc nh 3 ng vuởng gờc chung
Bc 2: Gn h trc ta Oxyz, coi giao im ca 3 ng vuởng gờc chung l
gc ta
Bc 3: T gi thit tỗm ta ca cỏc im cờ liổn quan ti gi thit.
Bc 4: p dng cởng thc cn tốnh suy ra kt qu.
Kinh nghim
Theo kinh nghim ca mỗnh thỗ nhng bi toỏn cờ gi thit liổn quan ti hỗnh hp ch
nht, hỗnh lp phng thỗ thỗ ta nổn s dng phng phỏp ta hờa, ngoi ra cỏc bi cờ
yu t mt cnh ca chờp vuởng gờc vi ỏy hay liổn quan ti lng tr ng ta cng cờ
th s dng phng phỏp ny nhng tớy vo tng bi m ta cờ hng i khỏc nhau, cờ
th l s dng phng phỏp 2 hoc s dng phng phỏp 1, tớy vo k nng ca ngi
lm bi. Sau õy ta cớng tỗm hiu vố d minh ha.

4 | Chinh phc olympic toỏn

Fanpage: Tp chớ v t liu toỏn hc


CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018

Bài toán: Cho hçnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' cê cạnh bằng 1. Gọi I, I’ lần lượt là trọng
tâm của tam giác ACD và tam giác A’C’D’, H là tâm hçnh vuëng ABCD. Træn cạnh II’ lấy
điểm G sao cho I 'G  2IG . Tính cosin gêc giữa hai mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B'
Hướng dẫn

z
A'

D'
I'

B'

C'
G
y

A
B

H

D

I
C

x

Đây là một bài toán khê, và tất nhiæn phương pháp 1 hay phương pháp 2 rất là khê để cê

thể sử dụng được, khi đê ta nghĩ tới phương pháp 3 – gắn trục tọa độ. Với bài toán này tìm
3 đường vuëng gêc chung khëng khê, ta sẽ coi 3 trục tọa độ như hçnh vẽ và gốc tọa độ
tríng điểm A. Khi đê ta cê tọa độ các điểm như sau:
1 1 1
A'  0; 0; 1  , B'  1; 0; 1  ; G  ; ;  , C  1; 1; 0 
3 3 3

Vậy khi đê ta tènh được vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng

1 1 
n  GAC   GA; GC    ;  ; 0    1; 1; 0 
3 3 
 2 1
n  GA'B'  GA'; GB'   0; ;    0; 2; 1 
 3 3

Đến đây áp dụng cëng thức ta cê cosin gêc giữa 2 mặt phẳng  GAC  ,  GA 'B' là
cos  

1.0  1.2  0.1
12  1 2  0 2 1 2  2 2  0 2



10
5

Đến đây bài toán đã được giải quyết hoàn toàn
Chú ý. Phương pháp gắn tọa độ đã được rất nhiều tác giả và cũng rất nhiều bài viết træn
mạng nêi đầy đủ và chi tiết về phương pháp này, ở cuối bài viết mçnh sẽ cê link để các bạn

tham khảo.

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 5


BI TON TNH GểC GIA HAI MT PHNG
Túm li. Qua 3 phng phỏp mỗnh cp ti trổn chc hn ó phn no giợp cỏc bn
khụng cũn s dng toỏn ny, khởng cờ phng phỏp no l u vit tuyt i c cn phi
vn dng linh hot cỏc phng phỏp vi nhau, ng thi phi nm vng c nhiu
mng kin thc thỗ mi cờ th lm tt c. Sau õy l cỏc bi tp cho cỏc bn rọn luyn.

II. BI TP T LUYN
Bi 1: Cho hỗnh lng tr ng ABC.ABC cờ ỏy ABC l tam giỏc vuởng ti B, BC a ,
mt phng (ABC) to vi ỏy gờc v tam giỏc ABC cờ din tốch bng a 2 3 . Bit rng
AA'.S ABC

3a 3 3
. Giỏ tr ca P sin 2 bng bao nhiổu?
2

Bi 2: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ ỏy l tam giỏc cõn ti A, AB AC 2a , BC 2a 3 . Tam
giỏc SBC u v thuc mt phng vuởng gờc vi ỏy. Tốnh cosin gờc gia SAB ; SAC
Bi 3: Cho hỗnh hp ch nht ABCD.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh vuởng, AC ' a 2 .
Gi P l mt phng qua AC ct BB', D D ' ln lt ti M,N sao cho tam giỏc AMN cõn ti

A cú MN a . Tớnh cos P ; ABCD .
Bi 4: Cho hỗnh chờp S.ABC cờ ỏy ABC l tam giỏc vuởng ti A, cờ AB a , SA SB
3a
, SA SA;ACB 30 o . Bit khong cỏc gia hai ng thng SA v BC l
. Tớnh
4





cos SAC ; SBC .

Bi 5: Cho hỗnh chờp S.ABC, SA vuởng gờc vi ỏy, ABC l tam giỏc vuởng cõn ti nh C.
Gi s SC a , tỗm gờc gia hai mt phng SBC ; ABC th tốch khi chờp S.ABC t
giỏ tr ln nht. Tỗm giỏ tr ln nht y.
Bi 6: Cho hỗnh chờp S.ABCD cờ ỏy ABCD l hỗnh thoi cờ BAD 120 o , hỗnh chiu vuởng
gờc ca im H trổn mt phng ỏy trớng vi trng tõm tam giỏc ABC, bit ng cao ca
khi chờp l SH

a 6
v tam giỏc SBD vuởng ti S. Tốnh gờc gia 2 mt phng
3

SAD , SCD .
Bi 7: Cho t din ABCD cờ AB CD a; BC AD 2a; BD AC 3 a . Trờn AB,AC,AD
ly cỏc im M,N,P sao cho MA MB; NA 2NC; PA 3PD . Tốnh cosin gờc gia hai mt
phng MNP ; AMP .
Bi 8: Cho lng tr ng ABC.ABC cờ ỏy l tam giỏc u cnh a, AA ' 2a . Trổn AA,

BB, CC ln lt ly cỏc im M,N,P sao cho MA MA ' ; NB 2NB'; PC 3PC ' . Tớnh
cosin gờc gia hai mt phng

6 | Chinh phc olympic toỏn

ANP ; MNP .

Fanpage: Tp chớ v t liu toỏn hc


CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - 20/8/2018
Bài 9: Cho chêp S.ABCD cê SA vuëng gêc với đáy, ABCD là hçnh thang vuëng tại A,D sao
cho AD  2AB  2BC  2a , SA  2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tènh
cosin gêc giữa hai mặt phẳng  MND  ;  CSD  .
Bài 10: Cho hçnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cê AB  a;AD  2a AA '  4a . Gọi M,N,P
lần lượt thuộc các cạnh AA’, DD’, BB’ sao cho MA  MA ' , ND  3ND ' , PB'  3PB , mặt
phẳng  MNP  cắt cạnh CC; tại Q. Tènh cosin gêc giữa hai mặt phẳng  MNQP  ;  AQP 
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cê đáy ABC là một tam giác cân với điều kiện
AB  AC  a, BAC  120 0 , cạnh

bên BB '  a . Gọi I là

trung

điểm CC’.

Chứng

minh

rằng tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  ,  AB'I 
Bài 12: Cho hçnh chêp S.ABCD cê đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường trén đường kènh
AB  2a , SA vuëng gêc với đáy và SA  a 3 . Tènh tan gêc giữa  SAD  ,  SBC 

Bài 13: Cho hçnh chêp S.ABC cê đáy ABC là tam giác vuëng cân tại B, SA   ABC  ,
SA  a . Gọi E,F lần lượt là trung điểm AB,AC . Tènh cosin gêc giữa  SEF  ,  SBC 

Bài 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' cê đáy tam giác vuëng tại A. Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, M là trung điểm của A 'B ' , I là trung điểm của GM. Tènh cosin gêc giữa 2
mặt phẳng  IB'C' ,  ICA 
Bài 15: Cho hçnh lập phương ABCD.A 'B'C 'D có tâm O Gọi I là tâm của hçnh vuëng
A 'B'C 'D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2MI . Tènh cosin gêc giữa 2

mặt phẳng  MC 'D' ,  MAB 

III. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Các bạn ấn vào số trước tæn tài liệu để tải về nhå!
[1] Trắc nghiệm nâng cao khối đa diện – Đặng Việt Đëng
[2] Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải hçnh học khëng gian – Cao Tuấn
[3] Tài liệu chuyæn toán chuyæn đề hçnh học khëng gian – Trần Đức Huyæn
[4] Trắc nghiệm khối đa diện cê giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018
[5] Ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Phan Huy Khải
[6] Chuyæn đề trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi hçnh học khëng gian – Nguyễn
Quang Sơn

IV. LỜI KẾT

Chuyæn mục tuần này xin được phåp kết thîc tại đây, mọi thắc mắc về vấn đề ën thi
THPT Quốc Gia hay những vấn đề nào các bạn thấy khê hiểu các bạn cê thể gửi về địa chỉ
fanpage Tạp chè và tư liệu toán học , xin chào và hẹn gặp lại các bạn trong chuyæn mục

tuần sau 

Fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học

Chinh phục olympic toán | 7