Hàm số luyện thi ĐH - 2009

Mathsvn.violet.vn
A/ Đặt vấn đề.
Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thờng lúng túng trong
quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phơng trình lợng giác việc biện luận để phơng
trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phơng trình không phải lúc nào cũng dễ
dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phơng pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra
hay tìm thấy đều rất khó khăn.
Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phơng trình lợng
giác tôi đã tổng kết đợc một vài dạng bài cơ bản về phơng trình lợng giác có tham số
với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phơng pháp giải đối với dạng
toán này.
Trớc hết để làm đợc yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các ph-
ơng trình lợng giác không có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phơng trình
đa về dạng đã biết. Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý:
* Định lý: Nếu f
(x)
liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m . . .
Từ đó thì phơng trình f
(x)
= a sẽ có nghiệm
m a M
Định lý Lagrăng: Nếu y = f
(x)
liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên
khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c (a ; b) sao cho
f

(c) =
B/ Nội dung:
Dạy phơng trình lợng giác có tham số
I- Dạng 1: Biện luận để phơng trình có nghiệm

Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phơng trình sau có nghiệm
Sin
6
x + cos
6
x = m
Ta có Sin
6
x + cos
6
x = 1 - sin
2
2x = 1 - ( 1 - cos
2
2x)
Ta có: Sin
6
x + cos
6
x = 1 - sin
2
2x = 1 - ( 1 - cos
2
2x )
1
ab
afbf


)()(

4
3
4
3
4
3
4
3
Mathsvn.violet.vn
Sin
6
x + cos
6
x + cos
2
2x
Hãy đánh giá vế trái: 0 cos
2
2x 1 sin
6
x + cosx 1
Hàm số f(x) = sin
6
x + cos
6
x có max f = 1, min f =
f(x) liên tục nên phơng trình f(x) = m có nghiệm m 1
Vậy với m { ; 1 thì phơng trình f(x) = m có nghiệm
Bài toán 2: Tìm m để phơng trình sau đây có nghiệm.
Cos2x + cosx = m

<=> 2cos
2
x - 1 + cosx = m
Đặt cosx = t, điều kiện | t | 1
Xét hàm số f(x) = 2 t
2
+ t - 1 với 1 1 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - )
Bảng biến thiên
t - -1 - 1 +
f(t) + 0
-
Dựa vào bảng biến thiên: max f(t) = 2 khi t = 1
min f(x) = - khi t =
Phơng trình có nghiệm khi - m 2
Làm tơng tự: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
Sin2x + sinx cosx = m
2 sin2x + cosx - sinx = m
Đặt t = sinx + cosx, đk | t |
2
4
1
4
3
4
1
4
1
4
1
4

1
4
1
8
9
4
1
8
9
8
9
4
1
8
9
2
Mathsvn.violet.vn
* Tổng quát. Nếu f(x)

là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phơng
trình f(x)

= a có nghiệm m a M
Bài toán 3: Cho phơng trình.
Tìm a để phơng trình có nghiệm.
Bài làm:
Ta không nên biến đổi trực tiếp phơng trình.
Hãy xét f(x) = với x
Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0
Và lim cosx = 1 lim sinx = 0

-
x 0
-
x 0
-
Lim cos x = 0
+
lim sin x = -1
x


+
x

+
Do đó
+

Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên
+
Với a phơng trình f(x) = a luôn có nghiệm
Bài toán 4: Chứng minh rằng a,b,c phơng trình.
a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ( 0; 2)
Xét f
(x)
=
f
(x)
= acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x
f

(x)
liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2)
f
(0)
= - cos 0 = -1
3
xx sin
1
cos
1
+







0;
2
2
+

+
xx sin
1
cos
1
lim
+






+
xx sin
1
cos
1
lim


0x
+

x

0;
2
+==
)()(
lim;lim
xx
ff

0x
2
+


x


xxcx
b
x
a
cossin2sin
2
3sin
3
++
12cos
)2(
==

f
a
xx
=+
sin
1
cos
1
2
+

Mathsvn.violet.vn
Theo định lý Lagrăng
Phơng trình f

(x)
= 0 có nghiệm ( 0; 2 )
Phơng trình đã cho luôn có nghiệm ( 0; 2) với a,b,c
Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 có nghiệm.
ở đây ta không trực tiếp xét phơng trình.
Xét
Vì f
(x)
là hàm tuần hoàn với chu kỳ . Kết f
(x)
trên ( 0; )
f
(x)
liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; )

Theo định lý Lagrăng x
0
( 0; )

f

(x)
= 0 PT f

(x)
= 0 có nghiệm (0;
)
Vậy với a,b phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 6: Tìm a để hệ phơng trình
có nghiệm
Nếu là nghiệm của (I) thì
đúng
Phơng trình có nghiệm (1)
Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm thì là đúng
đờng tròn
Đơn vị x
0
(x
0,
y
0
) là 1 nghiệm của hệ
4
02
)0()2(

;)2;0(
)(
'
0
0


=
ff
fx
x

x
b
x
ax
f
x
2cos
2
2sin
24
4sin
)(
+=
xbxaxf 2sin2cos4cos
)0(
'
++=
2

;
2
)()0(
b
f
b
f

=

=







=
=
0
3
0
3
sinsin
coscos
yax
yax
I

=
=
0
0
yy
xx





=
=
0
3
0
3
0
sinsin
coscos
yx
yax





=

=
0
62
0
2
0
62
0
2
sinsin
coscos
yax
yax
1sincos
0
62
0
62
=+
yaya
1sincos
6262
=+
yaya
1sincos
0
62
0
62
0

=+=
yayayy
( ) ( )
1sincos
2
0
3
2
0
3
=+
yaya
0
3
0
3
sin,cos yaya





=
=
0
3
0
0
3
0

sinsin
coscos
yax
yax
Mathsvn.violet.vn
Vậy hệ có nghiệm PT (1) có nghiệm.
Đến đây bài toán trở thành tìm a để phơng trình.
có nghiệm.
Nếu a = 0 phơng trình có dạng 0 =1, phơng trình vô nghiệm.
Nếu a 0 (1)


(1) có nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm.
Bài tập tự luyện:
1. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm.
2. Cho phơng trình
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm a để phơng trình có nghiệm
B/ Dạng 2. Biện luận số nghiệm.
Bài toán 1: Cho phơng trình.
Tìm m để phơng trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng
Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phơng trình có đúng 7 nghiệm
quả là khó khăn.
5
1sincos
0
62
0
62

=+
yaya
2
0
62
0
6
1
sincos
a
yay
=+
2
2
1
2sin
4
3
1
a
y
=







21

2141
4
31
10
1
12sin
4
3
2
2
2
2


=
a
aa
a
a
y
( )
( )
mxxc
mxb
mxa
=+=+
=+
=+
3cos
3

1
2cos
2
1
cos1,
cos2cos,
sin1sin,
4
4
4
4
( )
01cot3
sin
3
2
2
=+++ gtgxmxtg
x
a
xx
=
3sin
1
3cos
1
01cos2cos3cos
=+
xmxx

2;
2








2;
2