Phan 6 BDT va GTLN GTNN HDG

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

Nhóm: N2

Chuyên đề: Căn thức
Phần 6: BĐT và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải Bài tập tự luyện
Giáo viên: Hồng Trí Quang

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 1.
a)

x2  4  1

b) x  2 x  1

Giải:
x 2  4  1  4  1  3, x . Dấu “=” xảy ra khi x  0

a)

Vậy GTNN của biểu thức bằng 3 khi x  0
b) x  2 x  1 





2

x  1  1, x  0

Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vây GTNN của biểu thức bằng 1 khi x  0
Bài 2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) 1  x

b)  x  2 x  1

Giải:
a) 1  x  1  0  1, x  0
Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x  0
b)  x  2 x  1  
Dấu “=” xảy ra khi





2

x 1  0, x  0
x 1  0  x  1

Vậy GTLN của biểu thức bằng 0 khi x  1
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

a) 4x  x

b)

1

c)

x2 x 2

Nhóm: N2

1





2

x 1 1

d)

x 2
x 1

Bài giải:
a) Điều kiện x  0
2

1 
1 1 1 
1
1
4x  x    4 x  2.2 x .      2 x   
16 
4 16  16 
4  16
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 x 

1
1
0 x
4
64

Vậy giá trị lớn nhất của 4x  x bằng

1
1
 x
16
64

b) Điều kiện x  0; x  1
Ta có x  2 x  2 







2

x 1  1  1

1

1
 1
x2 x 2 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của

x 1  0  x  1

1
x2 x 2

bằng 1  x  1

c) Điều kiện x  0





2

2

x  1  1   0  1  1  2

Vậy

1





2



x 1 1

1
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  0
Vậy giá trị lớn nhất của

1
x2 x 2

bằng 1  x  0

d) Điều kiện x  0

1
1
x 2
 1
 1
2
0 1
x 1
x 1

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

Nhóm: N2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  0
x 2
bằng 2  x  0
x 1

Vậy giá trị lớn nhất của

Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của 1  x
Điều kiện 1  x  0
Ta có

x  0  1 x  1  1 x  1

Dấu bằng xảy ra  x  0
Mặt khác, ta luôn có 1  x  0
Dấu bằng xảy ra  x  1
Vậy giá trị lớn nhất của 1  x bằng 1  x  0
Giá trị nhỏ nhất của 1  x bằng 0  x  1
Bài 5.
a)

Tìm GTNN của biểu thức

t 2  2t  5

b)

2 x2  4 x  5  1

c)

x( x  1)( x  2)( x  3)  5

Giải:
a)

t 2  2t  5  (t  1)2  4  4  2

Dấu “=” xảy ra khi t  1  0  t  1
Vậy GTNN của biểu thức bằng 2 khi t  1
b)

2x2  4x  5  1  2( x 1)2  3  1  3 1

Dấu “=” xảy ra khi x  1
Vậy GTNN của biểu thức bằng
c)

3  1 khi x  1

x( x  1)( x  2)( x  3)  5  ( x2  3x)( x2  3x  2)  5

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

2
  x 2  3x  1  1  5 



x

2

2

 3x  1  4  4  2

Dấu “=” xảy ra khi x 2  3x  1  0  x 

3  5
2

Vậy GTNN của biểu thức bằng 2 khi x 

Bài 6.

Nhóm: N2

3  5
2
1

Tìm GTNN, GTLN của : a) A 

5 2 6 x

b) B   x 2  2 x  4 .

2

HD a) +) Ta thấy: x 2  0  6  x 2  6
Nên 5  2 6  x 2  5  2 6  A 

1
 52 6
5 2 6

Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vậy GTNN của A bằng 5  2 6 khi x  0
+) Ta có: 5  2 6  x 2  5, x    6; 6 
Suy ra: A 

1
Dấu “=” xảy ra khi 6  x 2  0  x   6

5

Vậy GTLN của A 

1
khi x   6
5

b) +) B   x 2  2 x  4  0 với x thuộc tập xác định.
Dấu “=” xảy ra khi  x 2  2 x  4  0  x  1  5
Vậy GTNN của B  0 khi x  1  5
2

+) B   x 2  2 x  4  5   x  1  5
Dấu “=” xảy ra khi x  1
Vậy GTLN của B  5 khi x  1
Bài 7. Tìm GTNN của

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

a) x 2 

1
x2

b)

x 1
x

c)

Nhóm: N2

x 2  2017 x  1
với x  0
x

d)

x
x 1

a) Điều kiện x  0
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương x 2 ;

x2 

1
ta có
x2

1
1
 2 x2 . 2  2
2
x
x
1
 x  1; x  1
x2

Dấu bằng xảy ra  x 2 

Vậy giá trị nhỏ nhất của x 2 

1
bằng 2  x  1; x  1
x2

b) Điều kiện x  0
Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương

x 1

x

x

1
2
x

x.

x;

1
ta có
x

1
2
x

Dấu bằng xảy ra  x  1
Vậy giá trị nhỏ nhất của

x 1
bằng 2  x  1.
x

1
c) Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương x; ta có
x

x 2  2017 x  1
1
1
 x  2017   2 x.  2017  2015
x
x

x
Dấu bằng xảy ra  x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của

1
 x  1 (Do x  0 )
x

x 2  2017 x  1
bằng 2015  x  1
x

d) Điều kiện x  1

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

x
x 1  1


x 1

x 1

x 1 

Dấu bằng xảy ra  x  1 

Vậy giá trị nhỏ nhất của
Bài 8.

1
2
x 1

Nhóm: N2

x  1.

1
2
x 1

1
 x  1  1; x  2
x 1

x
bằng 2  x  2.
x 1

Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức sau:

A  2010  2x  x2  8 ;
2010

D

1  16  x

2

B

x 3
;
x 1

E

x 5
x2  3

C

x2 x 4
x

H  x2  x7
Giải:
2
2

a) A  2010  2 x  x  8  2010  9  ( x 1)  2010  9  2007

Dấu “=” xảy ra khi x  1
Vậy GTNN của A  2007 khi x  1
b) B 

x 3

x 1

x 1 4
4
4
 1
 1
 3, x  0
0 1
x 1
x 1

Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vậy GTNN của B  3 khi x  0
x2 x 4
4
 x
2 2
x
x

x.

4
 2  2, x  0
x

(Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số dương

x;

4
)
x

c) C 

Dấu “=” xảy ra khi

x

4
x4
x

Vậy GTNN của C  2 khi x  4

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

d) D 

Nhóm: N2

2010
1  16  x 2

Ta thấy: 1  1  16  x 2  1  16  5, x thuộc tập xác định.
Do đó:

2010
2010
2010
D

2
5
1
1  16  x

Hay:

402  D  2010

Vậy GTNN của D  402  x  0

GTLN của D  2010  x  4

e) E 





( x  5) x  2  3
x5

 x  2  3  3, x  2, x  5
x5
x2  3

Dấu “=” xảy ra khi x  2
Vậy GTNN của E  3  x  2
h) ĐKXĐ: x  7

H  x  2  x 7 

9
x2  x7

x  2  x  7  7  2  7  7  3, x  7
9
9
  3, x  7
x 2  x 7 3



Dấu “=” xảy ra khi x  7
Vậy GTLN của H  3  x  7
Bài 9.

Tìm giá trị lớn nhất của

a) A  x 1  x 2 .b) B  x  1  x 2

c) C  x  2  x

Giải:
a) +) Nếu x  0 thì A  0, x   1;1
2
+) Nếu x  0 thì A  x 1  x 

x2  (1  x2 ) 1
 (Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số không âm
2
2

x; 1  x 2 )

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 7 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

1
2
 x  1 x2  x 
(Do x  0 )
2
2

Vậy GTLN của A 



b) B 2  x  1  x 2

Nhóm: N2



2

 1  2 x 1  x2  1  2 x 1  x 2  1   x2  1  x2   2

B 2
2
2
2
 x  1  x

Dấu “=” xảy ra khi 
x
2
 x  x

Vậy GTLN của B  2  x 

2
2

c) ĐKXĐ: x  2
Đặt y  2  x  x  2  y 2
2

Khi đó: C  2  y 2  y 

Dấu “=” xảy ra khi y 

Vậy GTLN của C 

9 
1
9
 y   
4 
2
4

1
hay

2

2 x 

1
7
x
2
4

9
7
x
4
4

Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của
b) B  x 2  x  1  x 2  x  1 .

a) A  x  2  4  x
Bài làm:
a) Ta thấy A  0

A2  2  2 ( x  2)(4  x)  2
Do đó: A  2 Dấu “=” xảy ra khi

x  2
( x  2)(4  x)  0  
x  4

Vậy GTNN của A  2  x  2; x  4
b) B  x 2  x  1  x 2  x  1  0

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

Nhóm: N2

 





 B 2  2 x 2  1  x 4  x 2  1  2. 0  1  0  0  1  4  B  2
Dấu “=” xảy ra khi x  0
Vậy GTNN của B  2  x  0
Bài 11. *Tìm giá trị lớn nhất của S  x  1  y  2 , biết x + y = 4.
HD Trước hết ta chứng minh : a  b  2( a 2  b 2 )

(với a  b  0 )

(*)

Áp dụng (*) ta có : S  x  1  y  2  2( x  1  y  2)  2
3

x

 x 1  y  2

2
max S  2  

x  y  4
y  5

2

* Có thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Bài 12. Cho a, b, c, d  0 . Cm:

 a  c  b  d 

ab  cd 

Giải:
Biến đổi tương đương ta được:

ab  cd 

 a  c  b  d   

ab  cd



2

  a  c  b  d 

 ab  cd  2 abcd  ab  cd  bc  ad  2 (bc)(ad )  bc  ad (Luôn đúng với a, b, c, d  0 )
Vậy ta có đpcm.
Bài 13. Chứng minh rằng với mọi a  2 ta có:
a)

a 1
 1
4 a

b) a 

1 5

a 2

a) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương

c)

2a  1 5

2a 2

a 1
; ta được:
4 a

a 1
a 1
  2 .  1 Dấu “=” xảy ra khi a  2
4 a
4 a
b) Theo câu a) ta có:

a

1 a 1 3
3
5
     a  1  .2  , a  2
a 4 a 4
4
2

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học HM 10 Ôn luyện Toán (Thầy Hồng Trí Quang)

c)

Nhóm: N2

 2a
2a  1
1
1  3
3
5
 2a 
 

  . 2 a  1  . 2.2  , a  2
4
2
2a
2a  4
2a  4

Bài 14. Cho a, b  1 . Chứng minh a b  1  b a  1  ab
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a = b, Thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:

2a a  1  a 2  a  2
Vậy điểm rơi tại a = b = 2. Từ đó ta có lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức AM GM ta có
a

 b  1 .1  a.

b
;b
2

 a  1 .1  b.

a
2

Cộng vế với vế lại ta có Đpcm
Bài 15. TPHN năm 2014
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Q  2a  bc  2b  ca  2c  ab
Hướng dẫn
Cách 1.
Với a  b  c  2 ta có
2a  bc  ( a  b  c) a  bc  ( a  b)( a  c) 

(a  b)  (a  c)
2

Tương tự và cộng lại ta có Q  2(a  b  c)  4
Vậy GTLN của Q bằng 4 khi a  b  c 

2
3

Cách 2. Dự đoán dấu bằng tại a  b  c 

2
. Khi đó
3

2

16
Q
9

 2a  bc 

  2a  bc  

16

9

 2b  ca 

16

9

 2c  ab 

2a  bc 

16
9

16
9

16
16
16
  2b  ca     2c  ab  
9
9
9

Giáo viên: Hồng Trí Quang
Nguồn

– Hoc trực tuyến – Hệ thống giáo dục HOCMAI

Tổng đài tư vấn: 1900 6933

:

Hocmai

- Trang | 10 -