Huong dan on tap Toán kỹ thuật

TS. Nguyễn Văn Ý

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP
TOÁN KỸ THUẬT


Câu 1.  5 12i  ?
a. (2  3i )

b. (2  3i )

c. (3  2i )

d. đáp án khác.

Câu 2. Độ dài của số phức 3  2i là:
a. 13

c. 3  2i

b. 5

d. 0




Câu 3. Số phức z  4 cos  i sin  được viết dưới dạng mũ là:


i

3

3



i

a. z  4e 3

1

b. z  4e 2

c. z  e

Câu 4. Thực hiện phép tính i 

2001

b. i

a. i

i

4
3

d. z  e4 

được kết quả là

c. 2i

d. 1

Câu 5. Thực hiện phép tính 1  i 3  được kết quả là
3

a. 8

b. i

c. 8

d. i3 3

Câu 6. Acgument chính của số phức icos  sin  , với

a.  


2


2



3
là :
 
2
2

c.   

b.  

d. 

1  i 
Câu 7. Thực hiện phép tính 
 được kết quả là
3

1  i 

a. i

b.

i
2

c. 1  i

d. 1

Câu 8. Phần thực và phần ảo của hàm phức w  z 2 , với z  x  iy là
a. u  x 2  y 2 , v  2 xy

b. u  x 2  y 2 , v  2 xy


c. u  x 2  y 2 , v  2 xy

d. u  x 2  y 2 , v  2 xy

1
Câu 9. Phần thực và phần ảo của hàm phức w  Re   , với z  x  iy là
z

a. u 

x
,v  0
x  y2

b. u 

x
y
,v  2
2
x y
x  y2

c. u 

x
y
,v  2
2
x y
x  y2

d. u 

x
,v  0
x  y2

2

2

2

2

Câu 10. Cho hàm phức f  z   2 z z . Chọn phát biểu đúng về hàm f  z  .
a. f  z  không có đạo hàm tại bất kì điểm nào của mặt phẳng phức
b. f  z  có đạo hàm tại những điểm nằm trên trục thực
c. f  z  chỉ có đạo hàm tại điểm z  0
d. Ba đáp án đã cho đều sai.

 i 
Câu 11. Cho hàm phức f (z )  e 2z . Tính f    .

 3 
a. 1  i 3 .
b. 1  i 3 .
c. 1  i 3 .
d. 1  i 3 .
Câu 12. Tích phân

 xdz , với

C là đoạn thẳng nối từ z  0 tới z  2  i có giá trị là

C

a. 2  i

b. 2  i

c. 0

d. Đáp án khác


 xdz , với C

Câu 13. Tích phân

là đường tròn z  2  R  R  0 và theo chiều dương có

C

giá trị là
a. iR 2

b. iR

Câu 14. Tích phân

a. 0

c. 0

cos z
dz có giá trị là:
z 2
z 1



c. 

b. 1

Câu 15. Tích phân

d.  2iR

 z Re zdz , với

d.  1
C là đoạn thẳng nối từ z  1 tới z  2i có giá trị là

C

1
a. 1  i
3
1
b. 1  i
3
1
c. 1  i
3
1
d. 1  i .
3
Câu 16. Kết quả nào sau đây sai:
a. e z  1 

z
z2
zn
  ... 
 ..., z  
1! 2 !
n!

2n 1
z z3
n z
b. sin z    ...  (1)

 ..., z  
1! 3!
(2n  1)!

c.

1
 1  z  z 2  ...  (1)n z n  ..., | z | 1
1z


d.

1
 1  z  z 2  ...., z  1 .
1z

Câu 17. Khai triển thành chuỗi Mac Laurin của hàm phức f (z )  z 2e 3z là:


3n n 2
a.  z
,| z | 
n 0 n !


3n n 2
b.  z
,| z | 1
n 0 n !



c.

3n n 2
 n !z ,| z | 1
n 0

d. Đáp số khác.
Câu 18. Khai triển Mac Laurin của hàm phức f (z )  c hz là:


z 2n
, z 
(2
n
)!
n 0

a. 



z 2n
b. 
, z 1
n 0 (2n )!


z 2n

c. 
, z 1
n 0 (2n )!
d. Đáp số khác.
Câu 19. Khai triển Laurent của hàm phức f (z ) 

1 | z | 3 là:
a.

1   z n
1 
(

)

2 n 0 3n 1 z n 1 

1
trong hình vành khăn
(z  1)(z  3)


b.

1   z n
1 
(

)


2 n 0 3n 1 z n 1 

c.

1   z n
1 
(

)

2 n 0 3n 1 z n 1 

d. Đáp số khác.
Câu 20. Khai triển Taylor của hàm số f (z ) 

3
3z  z

2

quanh điểm z  1 là:

 1

3 3
9
a.  (z  1)  (z  1)2  ...  
 (1)n  (z  1)n  ...
 2n 1
2 4

8


 1

3
9
b.  (z  1)  (z  1)2  ...  
 (1)n  (z  1)n  ...
 2n 1
4
8

c.

 1

3 3
9
 (z  1)  (z  1)2  ...  
 (1)n  (z  1)n  ...
 2n 1
2 4
8


d. Đáp số khác.
Câu 21. Điểm bất thường z  2 của hàm số f (z ) 

z 2  2z  3

là :
z 2

a. Cực điểm đơn
b. Điểm bất thường cốt yếu
c. Cực điểm cấp 2
d. Điểm bất thường bỏ được.
Câu 22. Điểm bất thường z  1 của hàm số f (z ) 
a. Cực điểm đơn
b. Điểm bất thường cốt yếu

1
là :
(z  1)(z  2)


c. Cực điểm cấp 2
d. Điểm bất thường bỏ được.
Câu 23. Thặng dư của hàm số

1
z
f (z )  e

tại điểm z  0 là:

a. 1
b. -1
c. 2
d. Đáp số khác.

Câu 24. Thặng dư của hàm số f (z ) 

1  cos z
z

2

tại điểm z  0 là:

a. 0
b. 1
c. 2
d. Đáp số khác.
z2
Câu 25. Thặng dư của hàm số f (z ) 
tại điểm z  2 là:
z 2

a. 4
b. 1
c. 2
d. Đáp số khác.
Câu 26. Thặng dư của hàm số f (z )  cot z tại điểm z  0 là:
a. 4
b. 1
c. 2


d. Đáp số khác.
Câu 27. Tích phân

z 2dz

 (z 2  1)(z  3) , với C

là đường tròn | z | 2 là:

C

a.

i
5

b.

i
5

c. i
d. Đáp số khác.
Câu 28.Tích phân

3z  4

 z (z  1)(z  2)dz , với C

là đường tròn đơn vị | z |

C

a. 0
b. 1
c. 2 i
d. Đáp số khác.
2n , n  0
là
0, n  0


Câu 29: Biến đổi  của dãy số x n  

a. X (z ) 

z
, với z  2
z 2

b. X (z ) 

z
, với z  2
z 2

c. X (z ) 

z
, với z  2
z 2

d. X (z ) 

z
, với z  2
z 2

3
là:
2


1, n  0
. Chọn phương án đúng
0, n  0


Câu 30. Cho n  
a.  n   1, z  
b.  n   2, z  

c.  n   1,  z  
d.  n   1, z  
 n  n
 1 
1
     , n  0

Câu 31. Biến đổi  của dãy x n   4   2 
là


0, n  0


a. X (z ) 

2z
4z
1

, với z 
2z  1 4z  1
2

b. X (z ) 

2z
4z
1

, với z 
2z  1 4z  1
2

c. X (z ) 

2z
4z
1

, với z 

2z  1 4z  1
4

d. X (z ) 

2z
4z
1

, với z 
2z  1 4z  1
4
n

 3
Câu 32. Biến đổi  phía trái của dãy số x n    là
 4 

a. X (z ) 
b. X (z ) 
c. X (z ) 

3z
4
, với z 
4  3z
3
3z
4
, với z 

4  3z
3
3z
4
, với z 
4  3z
3


d. X (z ) 

3z
4
, với z 
4  3z
3

Câu 33. Biến đổi 1 của hàm phức X (z ) 

1
1
trong miền z  là dãy
1  2z
2

2n , n  0
0, n  0


a. x n  

2n , n  0
0, n  0


b. x n  

2n , n  0
c. x n  
0, n  0

2n , n  0
d. x n  
0, n  0


Câu 34. Biến đổi 1 của hàm phức X (z ) 

1
1
trong miền z  là dãy
1  2z
2

(1)n 2n , n  0
0, n  0


a. x n  

2n , n  0
b. x n  
0, n  0

(1)n 2n , n  0
c. x n  
0, n  0

2n , n  0
0, n  0


d. x n  

Câu 35. Biến đổi 1 của hàm phức X (z ) 

z 2
1
trong miền  z  3 là dãy
2
2z  7z  3
2


3n 1, n  0
a. x n   n
2 , n  0

3n1, n  0
b. x n   n

2 , n  0

3n 1, n  0
c. x n   n
2 , n  0

3n1, n  0
d. x n   n
2 , n  0



HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Giả sử

p

5

12i = x + yi; x; y 2 R: Khi đó
5

12i

=

(x + yi)2

y 2 ) + i:2xy
8

>
< x2 36 = 5
2
2
x
y = 5
x2
,
,
6
2xy = 12
>
:
y=
x
8
2
( 4
>
< x 2 = 9 (loại)
x + 5x2 36 = 0
x = 4 (nhận)
,
,
6
6
>
y=
:
y=

x
x
x=2
x= 2
,
_
y= 3
y=3
,

5

12i = (x2

ĐS: (2 3i): p
Chọn A.
p
Câu 2. j2 3ij = 22 + ( 3)2 = 13: Chọn A.
Câu 3. Nhắc lại z = x + yi; x; y 2 R: Khi đó
Dạng lượng giác: z = r(cos ' + i sin '); r = jzj ; ' = arg z;
Dạng mũ:
z = rei' = rei('+k2 ) ; k 2 Z; r = jzj ; ' = arg z:
Chọn A.
Câu 4. Ta có i2001 = (i2 )1000 :i = ( 1)1000 :i = i: Chọn A.
Câu 5. Ta có
p
p
p
p
(1 + i 3)3 = 1 + 3i 3 + 3(i 3)2 + (i 3)3

p
p
= 1 + 3i 3 9 3i 3 = 8:
Chọn A.
Câu 6. Ta có
8
< z = i cos ' + sin ' = cos
' + i sin
2
2
3
:
'<
)
<
'
2
2
2
=) arg z =
': Chọn B.
2
Câu 7. Ta có
1+i
1 i

3

=

(1 + i)2
2

3

= i3 =

i:

Chọn A.
Câu 8. Ta có
w = z 2 = (x + yi)2 = x2
2

u = Re w = x

y 2 + i:2xy

u + iv;

2

y ; v = Im w = 2xy:

Chọn A.
Câu 9.Ta có
1
z

1

x yi
x
y
= 2
= 2
+ i: 2
2
2
x + yi
x +y
x +y
x + y2
1
x
w = Re
= 2
u + iv;
z
x + y2
x
u = Re w = 2
; v = Im w = 0:
x + y2
=

1

' ;

Chọn A.
Câu 10.Ta có
f (z) = 2z:z = 2(x2 + y 2 )
2

u + iv;
2

với u = Re f (z) = 2x + 2y ; v = Im f (z) = 0;
@u
@u
@v
@v
= 4x;
= 4y;
= 0;
= 0:
@x
@y
@x
@y
Điều kiện Cauchy-Riemann thỏa mãn khi và chỉ khi
(
@u
@v
4x = 0
@x = @y
,
@u
@v ,

4y = 0
=
@y
@x

x=0
y=0

Vậy f (z) chỉ có đạo hàm (khả vi) tại z = 0: Chọn C.
Câu 11.Ta có
f 0 (z)

=

2e2z

) f0

i
3

i

= 2e2 3 = 2ei:

2
3

= 2(cos

2
2
+ i sin ) =
3
3

p
1 + i 3:

Chọn A.
Câu 12.Ta có
C

OA : z = x + iy = 2t + i:t; t : 0 ! 1; ở đây O(0; 0); A(2; 1):

x = 2t; y = t; dz = (2 + i)dt
Z 1
I=
2t(2 + i)dt = (2 + i) t2
0

1
0

= 2 + i:

Chọn A.
Câu 13.Ta có
C : z = 2 + Reit = 2 + R(cos t + i sin t) = 2 + R cos t + iR sin t; t : 0 ! 2 :
x = 2 + R cos t; y = R sin t; dz = ( R sin t + iR cos t)dt

Vậy
I =

Z

2

0

=

Z

2

0

(2 + R cos t) ( R sin t + iR cos t)dt
Z 2
2
2R sin t R sin t cos t dt + i
0

Chọn A.
cos z
Câu 14.Ta có f (z) =
có một điểm cực đơn là z =
z+2
Chọn A.
Câu 15.Ta có

C

AB : z = x + iy = (1

x=1

2R cos t + R2 cos2 t dt = 0 + i R2

22
= D : jzj < 1; nên f (z) giải tích trong D:

t) + i:2t; t : 0 ! 1; ở đây A(1; 0); B(0; 2):

t; y = 2t

f (z) = z Re z = (x + yi)x = x2 + ixy = (1
với u = (1

t)2 ; v

= 2t(1

t) = 2t

t)2 + i:(1

2t2 :

2

t)2t

u + iv;


Vậy
Z

I =

udx

C
Z 1

=

Z
vdy + i udy + vdx
C

Z 1
(1 t)2 :2 + (2t
2t2 ):2 dt + i
0
Z 1
i
2 6t + 4t2 dt = 1 + :
dt + i
3

0

t)2 ( 1)

(1

(2t

0

Z

=

1

2t + 3t2

1

0

Chọn A.
Câu 16. Đáp án D.
Câu 17. Ta có
2 3z

1
X
(3z)n

2

f (z) = z e

=z :

n=0

Chọn A.
Câu 18. Ta có
ez + e
2

f (z) = chz =
1
X
zn

ez =

n!

n=0
1
X

1
2

f (z) =

z

;e

n=0

=

n=0

n!

z n+2 ; jzj < 1:

z

;

=

1
1
X
( z)n X ( 1)n n
=
z ;
n!
n!

n=0
1)n n

1+(
n!

n!

1
X
3n

2t2 ):( 1) dt

n=0

z =

1
1X

2

k=0

1

2 2k X z 2n
z =

; jzj < 1:
(2k)!
(2n)!
n=0

Chọn A.
Câu 19. Ta có
8
>
< 1 <1
z
1 < jzj < 3 )
:
>
: z <1
3

f (z) =
1
z

3
1

z

1

1
1)(z

(z

1
:
z

1

=

1
z

1

1

f (z) =

3
3z

1
=
z
1
1
3

z

1
(1
=

z2

=

z)

1
2 + (1

z

1
3

z
n

=

n=0

1

1X

z

n

1
z

1
1
X
zn
3n+1

n=0

=

1
X

n=0

zn
1
+ n+1
n+1
3
z

n=0

Câu 20. Ta có

1

1

n=0

1X
2

Vậy f (z) =

1
2

1X z
3
3

1 1
:
=
3 1 z
3

=

=

3)

=

1
z n+1

: Chọn A.

1
1
+
z 3 z

=

1
X

(1

n=0

1
= :
z)
2

z)n ; j1

1+

1
1

z
2

zj < 1

=

1

1X
( 1)n
2
n=0

3

1

z
2

n

=

1
X
( 1)n
(1
2n+1

n=0

z)n ;

1

z
2

<1


Vậy f (z) =

1
X

1+

n=0

( 1)n
(1

2n+1

Câu 21. Đáp án A. Vì

(

z)n ; j1

zj < 1: Chọn C.

lim f (z) = 1

z!2

2)f (z) = lim (z 2

lim (z

z!2

2z + 3) = 3 6= 0:

z!2

Nhắc lại
limz!a f (z) = 1
limz!a (z a)m f (z) 6= 0:

z = a là điểm cực cấp m của f (z) ,
Câu 22. Đáp án A.

Câu 23. Ta có
f (z)

=

1
z

e =

1
X

n=0

=

1 n
z

n!

1
X
1
1
1
1
=1+ +
+ ::: +

+ :::
n
2
n!z
z 2!z
n!z n

n=0

) Re s[f (z); 0] = C

1

= 1:

1
X

1

Chọn A.
Câu 24. Ta có
cos z

=

n=0

f (z)

1

=

X
z 2n
z 2n
( 1)
=1+
( 1)n
(2n)!
(2n)!
n

cos z
=
z2
z2

1
X

n=1
2n 2
nz

( 1)

n=1

(2n)!

=

1
X

( 1)n+1

n=1

z 2n 2
(2n)!

1
z 2n 2
=
+ ::: + ( 1)n+1
+ :::
2!
4!
(2n)!
) Re s[f (z); 0] = C 1 = 0:
Chọn A.
Câu 25. Ta có
z

=

2 là điểm cực đơn của hàm f (z) =

) Re s[f (z); 2] = lim (z
z!2

z2

z 2
2)f (z) = lim z 2 = 4:
z!2

Chọn A.
Câu 26. Ta có
(

lim cot z = 1

z!0

lim z cot z = limz!0

z!0

z
sin z

cos z = 1 6= 0

cos z
) z = 0 là điểm cực đơn của hàm f (z) = cot z =
sin z

z
) Re s[f (z); 0] = lim zf (z) = lim
cos z = 1:
z!0
z!0 sin z
Chọn B.
Câu 27. Ta có f (z) =

z2
=
(z 2 + 1)(z + 3)
(z

z2
có 3 điểm cực đơn là z1 = i; z2 =
i)(z + i)(z + 3)

4

i và


z3 =

3: Ta có

i 2 D : jzj < 3 và
I

32

= D:
I
f (z)dz = 2 i (Re s[f (z); i] + Re s[f (z); i]) :
=
C

z2
z!i
z!i (z + i)(z + 3)
i2
i( i + 3)
1 + 3i
=
=
=
2i(i + 3)
2:10
20
z2
Re s[f (z); i] = lim (z + i) f (z) = lim
z! i
z! i (z
i)(z + 3)
2
i
i(i + 3)
1 3i
=
=
=

2i( i + 3)
2:10
20
1 + 3i 1 3i
i
) I=2 i
= :
+
20
20
5
Re s[f (z); i]

Chọn A.
Câu 28. Ta có f (z) =

z(z

=

lim (z

i) f (z) = lim

3z + 4
có 3 điểm cực đơn là z1 = 0; z2 = 1 và z3 = 2: Ta có 0; 1 2 D :
1)(z 2)

jzj < 3=2 và 2 2
= D:

I

=

I

f (z)dz = 2 i (Re s[f (z); 0] + Re s[f (z); 0]) :

C

3z + 4
=2
1)(z 2)
3z + 4
Re s[f (z); 1] = lim (z 1) f (z) = lim
= 1
z!1
z!1 z(z
2)
) I = 2 i (2 1) = 2 i:
Re s[f (z); 0]

=

lim zf (z) = lim

z!0

(z

z!0

Chọn C.
Nhắc lại về biến đổi Z
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

fx(n)g
xn = n
1; n 0
u(n) =
0; n < 0
an ; n 0
x(n) =
0; n < 0
n; n 0
x(n) =
0; n < 0
nan 1 ; n 0
x(n) =

0;
n<0
cos ! 0 n; n 0
xn =
0;
n<0
sin ! 0 n; n 0
xn =
0;
n<0
an u(n)
an u( n 1)
nan u(n)
nan u( n

Z fx(n)g
1
z
z 1

=

1
1 z

z
z a

=

1
1 az

1

jzj > 1
jzj > jaj
jzj > 1

z
(z a)2

jzj > jaj

z(z cos ! 0 )
z 2 2z cos ! 0 +1

jzj > 1

sin ! 0
z 2 2z cos ! 0 +1

jzj > 1

=
=

1
1 az
1

1 az

az
(1 az
az
(1 az

1)

Câu 29. Ta có

5

1

z
(z 1)2

z
z a
z
z a

X(z) = Zfxn g =

Miền hội tụ
C = C [ f1g

z
z

2

1
1

1
1 )2
1
1 )2

; jzj > 2:

jzj > jaj
jzj < jaj
jzj > jaj

jzj < jaj


Chọn A.
Câu 30. Chọn A.
Câu 31. Ta có
1 n
;n
4

xn = un + vn ; với un =
Zfun g =

z
1
4

z

) X(z) = Zfxn g =
Chọn A.
Câu 32. Ta có
3
4

xn =
1
X

jzj <

với xn

=

Z

1

1
1

2z

=

+1
X

với xn

=

Z

1

0
X

k= n

n=0

jzj <

) X(z) =

=

+1
X

3z
4

2

k

( 1)
0; n > 0

3z=4
3z
;
<1
1 3z=4 4

0
X

=

2

n

n

z

=

n= 1

k

2

+1
X

xn z

n

;

n= 1

0

1
2z
z
3

k

z

k

=

0
X

( 1)

n= 1

k= 1

1
< jzj < 3 )
2

với A =

=

1
) j2zj < 1
2

Chọn A.
Câu 35. Ta có

X(z) =

n

k= 1

n=0

fX(z)g =

k

z

+1
0
X
X
1
k= n
=
( 1)n (2z)n =
( 1)
1 + 2z
n2 n; n

0
<0

1
) j2zj < 1
2

(2z)n =

Chọn A.
Câu 34. Ta có

1
2

3z
4
; jzj < :
4 3z
3

2 n; n 0
0; n > 0

fX(z)g =

n

n=1

Chọn A.
Câu 33. Ta có

; jzj >

3 n
;n

4
n
3
;n
4

=

z

X(z) =

) X(z) =

1
2

0

0; n < 0

4z
2z
1
+
; jzj > :
4z 1 2z 1
2

n

3
4

n= 1

hay

jnj

1 n
;n
2

và vn =

0; n < 0

1
z
và Zfvn g =
4
z

; jzj >

) X(z) = Z fxn g =

0

<1
<1

z+2
z+2
A
B
=
=
+
;
2z 2 7z + 3
(2z 1)(z 3)
2z 1 z 3
z+2
z+2
= 1; B =
= 1:
z 3 z= 1
2z 1 z=3
2

) X(z) =

1
2z
6

1

+

1
z

3

n

2

n

z

n

=

+1
X

n= 1

xn z

n

;

1
2z

1

=

+1
X

=

n=0

1
z

3

+1
1 X
2z

1
1
:
1 =
2z 1 2z

1 1
:
3 1

=

z
3

=

với xn

=

Z

1

=

z

k

2

+1
X

=

n

z

3k

1

0
X

n= 1

3n 1 ; n 0
2 n; n > 0

Chọn A.

7

n

z

n

n

0
X

n

2

n=1

z

k

0
X

=

3n

z

n

xn z

n

1

n= 1

k= 1

n=1

fX(z)g =

z
3

n=0

k= n

+1
X

k

2

k=1

+1
X

n=0

) X(z) =

+1
X

k=n+1

1
3

=

+1
X
zn
3n+1

=

n=0

1
n+1
2
z n+1

n

1
2z

3n

1

z

n

=

+1
X

n= 1