bài giảng liên tục của hàm số

3. Liên tục của hàm số
Định nghĩa
Hàm y = f ( x) ñược gọi là liên tục tại x0 , nếu xác ñịnh
tại ñiểm này và lim f ( x) = f ( x0 ).
x → x0

Định nghĩa
Nếu hàm không liên tục tại x0, ta nói hàm gián ñoạn tại
ñiểm này.


thì f(x) tiến
ñến f(a).

Khi x tiến ñến a.
ñồ thị liền nét (không ñứt ñoạn) tại ñiểm (a, f(a)).


Định nghĩa
Cho x0 là ñiểm gián ñoạn của ñồ thị hàm số y = f ( x)
1) Điểm gián ñoạn loại một:
giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn.
x0 là ñiểm khử ñược: f(x0-) = f(x0+)
x0 là ñiểm nhảy: f ( x0 + ) ≠ f ( x0 − )
bước nhảy: h = f ( x0+ ) − f ( x0− )
2) Điểm gián ñoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.


x = 2 là ñiểm gián ñoạn loại một khử ñược.

f ( x) = [ x ]

x = 2 là ñiểm nhảy: gián ñoạn không khử ñược.


x = 0 là ñiểm gián ñoạn loại hai.


Tính chất của hàm số liên tục
Cho y = f ( x), y = g ( x) là hai hàm liên tục tại x0 , khi ñó
1) α f ( x); f ( x) + g ( x); f ( x) ⋅ g ( x) liên tục tại x0.

f ( x)
2) Nếu g ( x0 ) ≠ 0 , thì
liên tục tại x0.
g ( x)

Định lý
Nếu hàm f(x) liên tục tại x0 và f ( x0 ) > 0, thì tồn tại một
lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.


Định lý (Bozano- Côsi)
Nếu y = f ( x) liên tục trên ñoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B
thì ∀C ∈ [ A, B] tồn tại x0 ∈ [ a, b ] sao cho f ( x0 ) = C.

Hệ quả
Nếu hàm f(x) liên tục trên ñoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì

tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.


Định nghĩa
Các hàm sau ñây ñược gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
1/ hàm hằng

α

2/ hàm lũy thừa y = x

x
y
=
a
; a > 0, a ≠ 1
3/ hàm mũ

4/ hàm logarit y = log a x; (a > 0, a ≠ 1)
5/ hàm lượng giác
7/ hàm hyperbolic

6/ hàm lượng giác ngược


Định nghĩa
Hàm sơ cấp là hàm thu ñược từ các hàm sơ cấp cơ bản
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
Định lý

Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác ñịnh của nó.
 1 
y = sin 3 x + ln 

2+ x

là hàm sơ cấp

Vậy nó liên tục trên toàn miền xác ñịnh: x > -2.


Ví dụ

Khảo sát tính liên tục
 sin x
, x≠0

f ( x) =  x
 1,
x=0

sin x
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
∀x ≠ 0, f ( x) =
x

Tại x = 0:

sin x
sin x

lim
= 1 = lim
= f (0)
x →0+ x
x →0 − x

Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.


Ví dụ

Khảo sát tính liên tục
 sin x
 x , x≠0
f ( x) = 
 1,
x=0


sin x
∀x ≠ 0, f ( x) =
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ
x
sin x
sin x
Tại x = 0: lim
=1
lim
= −1
x →0 + x

x →0 − x

x = 0 là ñiểm nhảy.

( )

( )

Bước nhảy: h = f 0+ − f 0− = 1 − (−1) = 2.


Ví dụ

Khảo sát ñiểm gián ñoạn
1
f ( x) = arctan
x

Tập xác ñịnh: D f = R \ {0}
1 π
Tại x = 0: lim arctan =
x →0 +
x 2

1
π
lim arctan = −
x →0 −
x
2

x = 0 là ñiểm nhảy.

π

π

( ) − f ( 0 ) = 2 − (− 2 ) = π .

Bước nhảy: h = f 0

+

−


Ví dụ

Khảo sát ñiểm gián ñoạn
1
f ( x) = x arctan
x

Tập xác ñịnh: D f = R \ {0}
1
Tại x = 0: lim x arctan = 0
x →0 +
x

1

lim x arctan = 0
x →0 −
x

x = 0 là ñiểm gián ñoạn khử ñược.


Ví dụ

Tìm a, b ñể hàm liên tục trên [ −π / 2;3π / 2]
 x cos( x / 2)
 sin x , x ∈ [ −π / 2,3π / 2] , x ≠ 0, x ≠ π

f ( x) = 
a,
x=0

b,
x =π


x cos( x / 2)
=1
x →0
sin x

lim f ( x) = lim
x →0

lim f ( x)

x →π

⇒ a = 1.

x cos( x / 2) π
= lim
=
x →π
sin x
2

⇒b=

π
2

.


Ví dụ

Tìm a, b ñể hàm liên tục trên toàn TXĐ.
x,
| x |≤ 1

f ( x) =  2
 x + ax + b, | x |> 1

(

)

2
=
lim
x
+ ax + b = a + b + 1
lim+ f ( x)
+

x →1

x →1

lim− f ( x) = lim− x = 1 = f (1)

x →1

x →1

lim+ f ( x) = lim+ x = −1 = f (−1)

x →−1

x →−1

(

)

lim− f ( x) = lim− x 2 + ax + b = 1 − a + b

x →−1

⇒ a + b + 1 = 1.

x →1

Vậy a = 1, b = -1.

⇒ − a + b + 1 = −1.


Ví dụ

Khảo sát ñiểm gián ñoạn

Tập xác ñịnh:

x
f ( x) =
sin x

D f = R \ {kπ , k ∈ Z }

Tại x0 = k0π , k0 ≠ 0 :

x
lim
không tồn tại.

x → k0π sin x

Các ñiểm này là các ñiểm gián ñoạn loại hai.
Tại x0 = 0 :

x
lim
=1
x →0 sin x

x0 = 0 là ñiểm gián
ñoạn khử ñược.


Vớ d Kho sỏt ủim giỏn ủon
1, x laứ soỏ hửừ u tyỷ.
f ( x) =
0, x laứ soỏ voõ tyỷ .

Tp xỏc ủnh: R
Hm khụng cú gii hn ti mi ủim. (Vỡ sao??)
Tt c cỏc ủim l nhng ủim giỏn ủon loi hai.


Vớ d Kho sỏt ủim giỏn ủon
x, x laứ soỏ hửừ u tyỷ .
f ( x) =
0, x laứ soỏ voõ tyỷ .

Tp xỏc ủnh: R

Hm khụng cú gii hn ti mi ủim khỏc 0.
Cỏc ủim khỏc khụng l nhng ủim giỏn ủon loi hai.
Ti ủim x = 0:

lim f ( x) = 0 = f (0).
x 0

Hm liờn tc ti x = 0.


Bài tập
I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0
 x + 1, x > 0
1) f ( x) =  2
 x , x≤0

x0 = 0

1
 , x≠0
2) f ( x) =  x
 0, x = 0

x0 = 0

1
 2, x≠0
3) f ( x) =  x
 1, x = 0

x0 = 0

4) f ( x) = sign( x + 1)

x0 = −1


II) Tìm các ñiểm gián ñoạn của ñồ thị, phân loại chúng
x<0
1/( x − 1),

1) f ( x) =  ( x + 1) 2 , 0 ≤ x ≤ 2
 1 − x,
x>2

1
2) f ( x) =
cos x

| x+2|
3) f ( x) =
x+2
| x − 1|
4) f ( x) = 2
x − x3

x = π / 2 + nπ loại hai
x= -2, ñiểm nhảy, h =2

x= 0: loại hai, x= 1:

ñiểm nhảy, h = -2


III) Tìm các ñiểm gián ñoạn của ñồ thị, phân loại chúng
arcsin x
1) f ( x) =
sin 2 x
x
2) f ( x) =
cos x
1
3) f ( x) =
ln | x − 1|

4) f ( x) = 3

x /(1− x 2 )

5) y = e −1/| x|

x= 0, khử ñược

x = π / 2 + nπ loại hai
x= 0, x= 2: loại hai,
x = 1: khử ñược
x= -1, x= 1: loại hai
x= 0, khử ñược


IV) Tìm các ñiểm gián ñoạn của ñồ thị, phân loại chúng

1
1) f ( x) = arctan 2
x

x= 0, khử ñược

2) f ( x) = sin( x − lg( x − 1))

liên tục trên MXĐ

1 1+ x
3) f ( x) = ln
x 1− x

x= 0, khử ñược

| x|
4) f ( x) =
arctan x

x= 0, ñiểm nhảy, h=2

x +1
5) y =
arctan(1/ x)

x= 0, ñiểm nhảy, h= 4 / π


V) Tìm các ñiểm gián ñoạn của ñồ thị, phân loại chúng

1) f ( x) = ln ln(1 + x )
2

2) f ( x) = sign( x − 2 x + 3)
2

31/ x + 21/ x
3) f ( x) = 1/ x 1/ x
3 −2
x −5 / 3 − cos x
4) f ( x) =
tan(arcsin | x |)
1
5) y = (sin x)sin
x

x= 0, loại hai
x= -1, ñiểm nhảy, h = -2
x= 3, ñiểm nhảy, h = 2
x= 0, ñiểm nhảy, h = 2
liên tục trên MXĐ
x= 0, khử ñược


V) Tìm giá trị a ñể hàm liên tục
 (1 + x) n − 1
, x ≠ 0, n ∈ N

1) f ( x) = 
x

trên R

a,
x=0


a=n

a = 1/ 2
 x cot(2 x), x ≠ 0,| x |< π / 2
2) f ( x) = 
trên (−π / 2, π / 2)
a,
x=0


(arcsin x)cot x, x ≠ 0
3) f ( x) = 
a,
x=0

 sinh x
, x≠0

4) y =  x
 a,
x=0

trên R

trên (-1,1)

a =1

a =1