Đề thi thử ĐH khoi D L2 - THPT Hàm Rồng

Trờng THPT Hàm Rồng Đề KTCL theo khối thi đại học
Năm học 2008-2009 Môn : Toán - Khối D
Thời gian làm bài : 180 phút
Ngày thi : 14-03- 2009
A. phần chung cho tất cả các thí sinh:
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x

=

(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm m để đờng thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OAB

vuông tại O.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phơng trình:
( )
( )
x
xx
xx
sin12
cossin
1cos.cos
2

+=
+

2. Giải hệ phơng trình:





=+++
=+
411
3
22
22
yx
xyyx
Câu III: (2 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA

mf(ABCD) và SA =
a.
Gọi M, N lần lợt là trung điểm AD, SC.
1. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mf(BMN).
2. Tính góc giữa hai đờng thẳng MN và BD.
Câu IV: (2 điểm)
1. Tính tích phân:
( )

+

2
0
cos
2sin.sin

xdxxe
x
2. Chứng minh rằng:
.
2
2cos
2
Rx
x
xxe
x
++
B. phần tự chọn: (Thí sinh chỉ làm một trong hai câu Va hoặc Vb)
Câu Va: (2 điểm) Theo chơng trình cơ bản.
1. Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đờng tròn (C) có phơng trình
( ) ( )
2512
22
=++
yx
theo một dây cung có độ dài bằng 8.
2. Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hãy tính
xác suất để lập đợc số tự nhiên chia hết cho 5.
Câu Vb: (2 điểm) Theo chơng trình nâng cao.
1. Cho

ABC biết: B(2; -1), đờng cao qua A có phơng trình d
1
: 3x - 4y + 27 = 0, phân
giác trong góc C có phơng trình d
2
: x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ độ điểm A.
2. Tính tổng:
1004
2009
2
2009
1
2009
0
2009
... CCCCS
++++=
Trờng THPT Hàm Rồng Đáp án đề KTCL theo khối thi đại học
Năm học 2008-2009 Môn: toán khối D
Ngày thi : 14-03- 2009
Câu ý Nội dung Điểm
I
2điểm
1.
KS HS
2 1
1
x
y

x

=

1. Tập XĐ : D = R\{1}
2. Khảo sát sự biến thiên :
a/ Các giới hạn và tiệm cận:
+
lim 2
x
y

=
=> y = 2 là tiệm cận ngang.
+
1 1
lim ; lim
x x
y y
+

= = +
=> x = 1 là tiệm cận đứng.
b/ Lập bảng biến thiên:

( )
2
1
' 0 1
1

y x
x
= <

Bảng biến thiên :
x

1
+

y - -
y
2


+

2
HS nghịch biến trên các khoảng
( )
;1
và
( )
1;+
HS không có cực trị.
3. Đồ thị :
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận
giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) làm
tâm đối xứng
0, 25

0,25
0,5
..............Hết.............
2
Toạ độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ:





+=


=
)2(
)1(
1
12
mxy
x
x
y

Phơng trình hoành độ giao điểm:
1,01)3(
2
=++
xmxmx
(*)
.052

2
Rmmm
>+=
, (*) không có nghiệm x= 1.
=> (*) có 2 nghiệm phân biệt là x
A
và x
B

=> A(x
A
; x
A
+ m), B(x
B
; x
B
+ m),
Theo định lí viét:



=
=+
mxx
mxx
BA
BA
1.
3

0,25
0,25
Để
OAB

vuông tại O thì
( )( )
00.
=+++=
mxmxxxOBOA
BABA
( )
202
2
==+++
mmxxmxx
BABA
0,25
0,25
Câu II
2 điểm
1
( )
( )
x
xx
xx
sin12
cossin
1cos.cos

2
+=
+

ĐK:


kx
+
4
Pt
( )( )( ) ( )( )
xxxxxx cossinsin121cossin1sin1
++=+
( )( )




+=
+=




=++
=+

=+++
=+




2
2
2
01cossin1
0sin1
01cossincossin
0sin1
kx
kx
xx
x
xxxx
x
0,25
0,25
0,5
2.





=+++

=+
)2(411
)1(3
22
22
yx
xyyx
(2) <=>
( ) ( )
( )
1142141.12
2
2222
=+++=++++
xyxyxyyxyx
(3)
Đặt xy = p.
( )



=
=




=+

=++

3/35
3
0105263
11
11423
2
2
p
p
pp
p
ppp
(1) <=>
( )
33
2
+=+
xyyx
* p=xy = -35/3 (loại)
* p=xy = 3 =>
32
=+
yx

1/ Với
3
32
3
==

=+
=
yx
yx
xy
2/ Với
3
32
3
==



=+
=
yx
yx
xy
Vậy hệ có hai nghiệm là:
( ) ( )
3;3,3;3

.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III

2 điểm
1. Gắn hệ trục toạ độ nh hình vẽ:
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0),
S(0; 0; a), M(0; a/2; 0), N(a/2; a/2; a/2)
[ ]








=
4
;
2
;
4
,
222
aaa
BN BM
0,25
A
C
S
D
B
N

M
x
y
z
[ ]
24
,
6
1
3
a
BDBMBNV
BMND
==
[ ]
24
3
,
2
1
2
a
BMBNS
BMN
==
MÆt kh¸c,
( )
)(,.
3
1

BMNDdSV
BMNBMND
=
( )
6
6
.
3
)(,
a
S
V
BMNDd
BMN
BMND
==⇒
0,25
0,25
0,25
2.
( ) ( )
0
120,
2
1
.
.
,cos
=⇒−==
BDMN

BDMN
BDMN
BDMN
( )
0
60,
=⇒
BDMN
0,5
0,5
IV
2 ®iÓm
1
( )
∫∫∫
+=+
2
0
2
0
cos
2
0
cos
2sin.sin2sin.2sin.sin
πππ
xdxxxdxexdxxe
xx
*
∫∫

==
2
0
cos
2
0
cos
1
.cos.sin.2.2sin.
ππ
dxxxedxxeI
xx
∫
−=
2
0
cos
)(cos.cos.2
π
xdxe
x
0,25
§Æt cosx = t.
10
0
2
=→=
=→=
tx
tx

π

2
0
1
22
0
1
.2)(.2.2
1
0
1
0
1
0
1
=−=








−===⇒
∫∫∫
ttttt
eedteetedtdtetI
*

( )
=−==
∫∫
2
0
2
0
2
3coscos
2
1
2sin.sin
ππ
dxxxxdxxI
3
2
0
2
3
3sin
sin
2
1
=







−
π
x
x

( )
3
8
3
2
22sin.sin
2
0
cos
=+=+⇒
∫
π
xdxxe
x
0,25
0,5
2
0
2
2cos.
2
2cos
22
≥+−−+⇔−+≥+
x

xxe
x
xxe
xx
XÐt hµm sè:
.,
2
2cos)(
2
Rx
x
xxexf
x
∈+−−+=
xxexf
x
+−−=
1sin)('
Rxxexf
x
∈∀>−+=⇒
0cos1)(''
=> f’(x) lµ hµm sè ®ång biÕn vµ f’(x) = 0 cã tèi ®a mét nghiÖm.
KiÓm tra thÊy x = 0 lµ mét nghiÖm cña f’(x).
=> f’(x) = 0 cã duy nhÊt mét nghiÖm x = 0.
B¶ng biÕn thiªn :
x
−∞
0
+∞

f’(x
)
- 0 +
f(x)


0,25
0,25
0
Rxxf

0)(
.
2
2cos
2
Rx
x
xxe
x
++
0,25
0,25
Va
2 điểm
1 d: a(x - 1)+ b(y -2) = 0 <=> ax + by - a - 2b = 0 ĐK: a
2
+ b
2

> 0
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 8 nên khoảng cách từ tâm
I(2; -1) của (C) đến d bằng 3.
( )
22
22
333
22
, baba
ba
baba
dId
+==
+

=




=
=
=+
ba
a
aba
4
3
0
068

2
a = 0: chọn b = 1 => d: y - 2 = 0
a = -
b
4
3
: chọn a = 3, b = - 4 => d: 3x - 4 y + 5 = 0.
Vậy có hai đờng thẳng thoả mãn bài toán có phơng trình là:
y - 2 = 0 và 3x - 4 y + 5 = 0.
0,25
0,25
0,5
2 Gọi A là biến cố lập đợc số tự nhiên chia hết cho 5, có 5 chữ số khác nhau.
* Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau:
5880
4
7
5
8
=
AA
số
* Lập số tự nhiên chia hết cho 5 có 5 chữ số khác nhau:
gọi số có dạng a
1
a
2
a
3
a

4
a
5
. Có các trờng hợp sau:
+ a
5
= 0: chọn a
1
a
2
a
3
a
4
có
4
7
A
cách.
+ a
5
= 5: chọn a
1
có 6 cách ( vì a
1


0, a
1

a
5
)
chọn a
2
a
3
a
4
có
3
6
A
cách.
=> có
4
7
A
+ 6.
3
6
A
= 1560 số
=> P(A) =
49
13
5880
1560
=

0,25
0,25
0,25
0,25
Vb
2 điểm
1 +Đờng thẳng BC vuông góc AH: 3x - 4y + 27= 0 nên có véc tơ chỉ phơng
là:
( )
4;3
=
U
.
Đờng thẳng BC qua B(2; -1)
=> phơng trình BC:
4
1
3
2

+
=

yx
0534:
=+
yxBC
+ Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
0,25
0,25

I
A
H
C
D
5
5
4
3
H
I
A
B C
B'