Hệ điều khiển tuyến tính trên thang thời gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (577.13 KB, 96 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TÂM
HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN
THANG THỜI GIAN
Thái Nguyên – 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TÂM
HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN
THANG THỜI GIAN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS. Tạ Duy Phượng
Thái Nguyên – 2014
LƠI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và
các công trình nghiên cứu đã công bố.
Nguyễn Thị Tâm
1
LƠI CAM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS. Tạ Duy Phượng - người đã
hướng dẫn tỉ mỉ, tận tình không chi vê măt khoa hoc ma ca vê cach trinh bay môt văn
bản khoa hoc, để tôi hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suôt quá trình học
tập và nghiên cứu khoa học, giúp tôi hoàn thành khóa cao học một cách thuận lợi.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã luôn ở bên cạnh
động viên, chia sẻ và chăm sóc cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống.
Nguyễn Thị Tâm
2
MỤC LỤC
Mở đầu ..........................................................................................................6
Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN
1.1 Thang thời gian………………………………………………………….8
1.1.1. Định nghĩa thang thời gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………8
1.1.2. Các định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………..8
1.2. Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………………….10
1.2.1. Định nghĩa hàm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………..10
1.2.2. Định nghĩa rd-liên tục . . . . . . . . . . . . . . . …………………………...10
1.2.3. Định nghĩa đạo hàm... . . . . . . . . . . . . . . . …………………………...11
1.2.4. Tính chất của đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . …………………………...13
1.3. Phép toán tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………………..…….. .17
1.3.1. Tồn tại tiền - nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…………....17
1.3.2. Nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……………... . . . .…………....18
1.3.3. Bảng tổng kết và so sánh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .………….......19
Chương 2 MÔT SÔ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN
2.1. Hệ động lực trên thang thời gian.............................................................20
2.2. Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian....................23
2.2.1. Hệ động lực không dừng có điều khiển................................................23
2.2.2. Hệ động lực tuyến tính với hệ hằng......................................................28
2.3. Tính quan sát được…………………………….……………………… .36
2.3.1. Hệ động lực không dừng ..................................................................... 36
2.3.2. Hệ động lực với hệ số hằng ………….……………………………… 38
2.4. Tính ổn định hóa được…………………………….…………………... 41
2.4.1. Tính ổn mũ trong trường hợp hệ không dừng.......................................41
3
2.4.2. Tính ổn định BIBO cho hệ không dừng..............................…………..42
2.3.3. Tính BIBO ổn định trong hệ với hệ số hằng....…………..………….. 45
Kết luận…………………………………………………………………… 53
Tài liệu tham khảo........................................................................................54
4
BẢNG KÍ HIỆU
= Thang thời gian.
k
\{M} nếu có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái; trùng với trong
các trường hợp còn lại.
t : t .
= Tập tất cả các số tự nhiên.
0 = Tập tất cả các số tự nhiên khác 0.
= Tập tất cả các số nguyên.
= Tập tất cả các số hữu tỷ.
= Tập tất cả các số thực.
= Tập tất cả các số thực không âm.
= Tập tất cả các số phức.
C X
Tập các hàm liên tục từ X vào Y.
,Y
Crd ( , X ) Tập tất cả các hàm: X là rd − liên tục.
C1 rd ( , X ) Tập tất cả các hàm: X là khả vi rd − liên tục.
CrdR ( , X ) Tập tất cả các hàm: k X là rd − liên tục và hồi quy.
L X Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X .
A
Tập tất cả các giá trị riêng của A.
5
MƠ ĐÂU
Giải tích trên thang thời gian, lần đầu tiên được trình bày bởi Stefan Hilger trong
luận án tiến sĩ của Ông [6] vào năm 1988 (dươi sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm
thống nhất giải tích liên tục và rời rạc. Nghiên cứu giải tích trên thang thời gian (xem [2],
[3]) đã dẫn đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình mật
độ côn trùng, nghiên cứu về hệ thần kinh, quá trình biến đổi nhiệt, cơ học lượng tử và mô
hình bệnh dịch.
Việc phát triển lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian (xem [2], [3], [4], [5],
[7]) dẫn đến các kết quả tổng quát và do đó có thể áp dụng cho các thang thời gian tổng
quát chưa cac trường hợp liên tục và rời rạc như la cac trương hơp riêng . Ta biết rằng,
có nhiều kết quả của hệ phương trình vi phân được thực hiện khá dễ dàng và tự nhiên
cho phương trình sai phân. Tuy nhiên, có những kết quả dễ dàng trình bày cho phương
trình vi phân lại không hề đơn giản cho phương trinh sai phân và ngược lại. Việc
nghiên cứu phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian cho ta một cái nhìn
tổng quát để khắc phục tính không nhất quán này giữa phương trình vi phân liên tục và
phương trình sai phân rời rạc.
Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu được sẽ trở
về với kết quả trong phương trình vi phân thường. Nếu lấy thang thời gian là tập các số
nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ trở về với kết quả trong phương trình sai phân.
Tuy nhiên, các thang thời gian có cấu trúc phong phú hơn tập số thực và tập số nguyên
nên kết quả thu được là tổng quát hơn nhiều so với các kết quả trên tập các số thực và
trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc trưng cơ bản của các thang thời gian là thống nhất và
mở rộng.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách hệ thống một số tính chất định
tính của hệ động lực trên thang thời gian: tính điều khiển được và quan sát được , tính ổn
định va ôn đinh hoa, chủ yếu dựa trên [4], [5] và [7].
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích trên thang thời gian theo [2], [3].
Chương 2 trình bày các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trên thang thời
gian theo [4], [5] và [7]. Chương này tập trung nghiên cứu về tính điều khiển được, tính
quan sát được, tính ổn định hóa được trong trường hợp hệ đông lưc trên thang thơi gian
là các hệ tuyến tính với hệ số hằng hoăc hê sô thay đôi theo thơi gian . Tính ổn định trên
thang thơi gian đa băt đâu đươc nghiên cưu ơ Viêt Nam do nhom nghiên cưu cua Giáo sư
Nguyên Hưu Dư (xem [1]).
Hi vong luân văn này sẽ được các sinh viên và học viên cao học quan tâm đến một
lĩnh vực mới của toán học là thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian.
Chương 1
GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN
1.1 Thang thời gian
1.1.1 Định nghĩa thang thời gian
Định nghĩa 1.1 Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực được gọi là thang
thời
gian (time scale). Thang thơi gian thương đươc ký hiệu là .
Ví dụ 1.1.1
Các tập ,, , 2;5 , 6;7 = 2k, 2k 1 là các thang thời gian.
k 0,k
,
,
Các tập , \
, 0;1
không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong
nhưng
không phải là tập đóng trong .
Các tập ,
n
không là thang thời gian vì không nằm trong .
Ta giả sử xuyên suốt rằng: Thang thời gian có một tôpô được cảm sinh từ tôpô trên tập
các số thực . Vì vậy từ nay về sau các khái niệm và ngôn từ tập mở, tập đóng, lân
cận,
giới hạn,…được hiểu là các tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…trong tôpô cảm sinh.
1.1.2 Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.2 Cho là thang thời gian.
Ánh xạ : được xác định bởi công thức (t) : inf{s : s t} được gọi là
toán tử nhảy tiến (forward jump) trên thang thời gian .
(t) : sup{s s t} được gọi là
Ánh xạ : được xác định bởi công
thức
:
toán
tử nhảy lui (backward jump) trên thang thời gian .
Quy ước:
inf sup (tức là, nếu t max thì (t) t );
sup inf (tức là, nếu t min thì (t) t ).
Chú ý: Nêu inf min m thì m t,t .
Thí dụ, khi thì inf 0 min . Ta co 0 t,t .
Hàm hạt (grainiess) là hàm : 0; được xác định bởi công thức
(t) : (t)
t.
Định nghĩa 1.3 Cho là một thang thời gian.
Điểm t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu (t) t .
Điểm t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered)
(t) t .
nếu
Điểm t được gọi là điểm cô lập (isolated)
nếu
(t) t (t) .
Điểm t được gọi là trù mật phải (right-dense) nếu (t) t.
Điểm t được gọi là trù mật trái (left-dense) nếu (t) t.
Điểm t được gọi là trù mật (dense)
(t) t (t).
nếu
Ví dụ 1.1.2
1) Nêu thang thời gian = thì (t) (t) t, (t) 0 với mọi t .
Mọi điểm t đều là điểm trù mật.
2) Nêu thang thời gian thì (t) t 1, (t) t
với mọi t . Hàm
hạt
1
(t) (t) t 1 với mọi t . Suy ra mọi điểm t là điểm cô lập.
n: n
3) Nêu thang thời gian =
2
với
là tập các số tự nhiên và số 0.
1
1
1
Ta có (t) t , (t) t và (t) t t .
2
2
2
1
2
Với
t 0 ,
ta
có:
(0) (0) inf s : s 0 = inf
2
1
,
1
1
(t) 0 . Suy ra mọi t đều là điểm cô lập.
0
(không
2
2
4) Cho h 0 là một số cố định. Xác định thang thời gian h như sau:
= h {hn : n } {..., 3h, 2h, h,0, h,
2h,3h,...} .
Ví dụ lấy h
2 , ta có
tồn
tại),
(t) t h t 2,
(t) t h t
(t) t h t h 2 0.
2,
Suy ra (t) t nên mọi t h là điểm cô lập.
(t)
5) Cho thang thơi gian =
2k, 2k 1. Ta có
k 0,k
Nếu t 2k, 2k thì (t) t
(t)
1
nên t là điểm trù mật.
Nếu t 2k 1 thì (t) 2t 2 và (t) nên t là điểm cô lập phải và là điểm trù
t
t
mật trái.
Nếu t 2k thì (t) t 2k và (t) 2k 1 nên t là điểm cô lập trái và là điểm trù
t
mật phải.
6) Cho thang thời gian =
n : n . Nếu t thì tồn tại số n sao cho t
n
hay n t 2 ,
2
n 1 t 1.
2
Ta có (t) t 1 (t)
,
2
2
t 1 , (t) t 1 t .
và
Điểm t 0 là điểm cô lập phải. Mọi điểm t , t đều là điểm cô lập.
0
1.2 Phép tính vi phân
1.2.1 Định nghĩa hàm chính quy
Định nghĩa 1.4 Hàm số f : được gọi là hàm chính quy (regulated) nếu giới
hạn
phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong và giới hạn trái của nó
tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái trong .
1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục
Định nghĩa 1.5 Hàm f : được gọi là rd-liên tục (right dence continuous)
nếu nó
liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại
các điểm trù mật trái trong . Tập hợp các hàm rd-liên tục được kí hiệu là: C
C () hoặc C ( , ).
rd
rd
rd
hoặc
Nhân xet Hàm rd-liên tục khác với hàm liên tục là hàm rd-liên tục chỉ cần tồn tại giới
hạn phải, giới hạn trái nhưng không cần các giới hạn này phải bằng f (x0 ) ).
Ví dụ 1.2.1 Hàm (t) là hàm rd-liên tục. Thât vây,
Nêu t0 là trù mật phải thi (t) t0 ; lim (t) (t0 ) t0 .
t t0
Nêu t0 là trù mật trái thi (t) t0 lim (t) (t0 ) t0 .
t t
0
;
Định lí 1.1.1 (Theorem 1.60, [2]) Giả sử f : .
1) Nếu f là hàm liên tục thì f là rd-liên tục.
2) Nếu f là rd-liên tục thì f là hàm chính qui.
3) Toán tử nhảy tiến là rd-liên tục.
4) Nếu f là hàm chính qui hoặc rd-liên tục thì f cũng có tính chất đó.
5) Nếu f liên tục và g : là chính quy hoặc rd-liên tục thì cũng có tính chất
fg
đó.
1.2.3 Định nghĩa đạo hàm
Cho thang thời gian . Ta kí hiệu tập như sau:
= \ sup } nêu sup < ; = nêu sup .
Định nghĩa 1.6 Giả sử f : và t k . Delta đạo hàm ( đạo hàm, đạo
hàm
k
Hilger) của f tại t
là
k
k
là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu f (t), nếu với mỗi
0
cho trước tồn tại một lân cận U của t trong tôpô cảm sinh trên (nghĩa là
U (t ,t ) với 0 nào đó) sao cho
f ( (t)) f (s) f (t) (t) s với mọi s U.
(t) s
Nhận xét Bất đẳng thức trên có thể viết dưới dạng
f (σ (t))
f (s) f (t) σ
(t) s
σ (t)
s
Δ
ε với mọi s U
Hay
f (σ (t )) f
σ (t) s
( s )
f (t) Δ với mọi s U .
ε
Định nghĩa 1.7 Hàm f : được gọi là khả vi ( khả vi) trên
đạo
k
nếu nó có
hàm tại mọi điểm t k .
Ví dụ 1.2.2 Cho thang thời gian bất kì.
1) Nếu f (t) f (t) chính là đạo hàm thông thường.
thì
2) Nếu thì f (t) f (t 1) f (t) chính là sai phân tiến cấp 1.
3) Nếu f :
,
f (t) c t k , c f (t) 0.
thì
Thật vậy, f (t) c
t
nên
f ( (t))
f (t ) t k . Với mọi 0 , ta có:
c
s U
k
f (s) f (t) (t) s f ( (t)) f (s) 0. (t) s c
c 0 (t) s .
Vậy f (t) 0 mọi điểm t k .
4) Nếu f :
,
f (t) t t
thì
Thật vậy, với mọi 0 , s
U
k
f (t) 1 với mọi t k .
ta có:
f ( (t))
f (s) f (t) (t) s
f ( (t))
f (s) 1. (t) s
(t) s ( (t) s) 0 (t) s .
Vậy
f (t) 1 với mọi t k .
5) Nếu f :
và
f (t) t 2 . Khi ấy f (t) t (t) với mọi t k .
Thật vậy, với mọi 0 , s
U
thì s . Do đó ta có:
t
f ( (t))
f (s) f (t) (t) s (t) s (t (t))( (t) s)
2
2
s 2 t( (t) s) ( (t) s)(s t) (t) s .
(t)s
Vậy với mọi t
có
k
ta
f (t) t (t).
Nếu = thì (t) t. f (t) 2t f (t).
Do đó
Ví dụ này chỉ ra rằng, đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến (t) của thang thời gian
, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian .
1.2.4 Tính chất của đạo hàm
Định lý 1.2.1 Xét hàm số f : là hàm xác định với mọi t k . Khi đó ta có:
1) Nếu f khả vi tại t
2) Nếu f liên tục tại t
k
k
và t là điểm cô lập phải thì f khả vi tại t
f (t)
3) Nếu t
hữu
hạn lim
(s)
k
thì f liên tục tại t.
và khi ấy f (t) lim
t
s
st
4) Nếu f khả vi tại t
thì
s
t
k
và
f ( (t )) f (t )
.
(t)
là điểm trù mật phải thì f khả vi tại t
f (t ) f
k
f ( (t )) f (s)
k
khi và chỉ khi giới hạn
.
(t) s
f ( (t)) f (t) (t) f (t) .
Chứng minh
1) Giả sử f khả vi tại t k . Với (0;1) .
Đặt
1
1
f (t) 2 (t) .
Ta có (0;1) . Theo định nghĩa 2.1 tồn tại lân cận U của t thỏa mãn:
f ( (t)) f (s) f (t) (t) s s U.
(t) s
Vì vậy s U (t ,t ta có:
)
f (t) f (s) {f ( (t)) f (s) f (t). (t) s } {f ( (t))-f (t)-(t)f (t)}
(t s) f (t)
(t) s (t) t (t) t s
s f (t)
(t)
1 2 (t)
f (t)
f (t) .
k
Vậy f liên tục tại t .
2) Giả f liên tục tai t
tại
k
t ta có:
k
và t là điểm cô lập phải. Từ tính liên tục của hàm f
lim
st
f ( (t )) f (s) f ( (t )) f (t ) f ( (t )) f (t )
.
(t)
(t)
(t)
s
t
Với 0 . Trong lân cận U của s ta có:
f ( (t )) f ( s)
)
(t)
s
s U
(t) t
f (s)
f ( (t))
Từ đó ta có f (t)
f ( (t )) f (t
f ( (t )) f (t )
. (t) s
(t) s (t)
f ( (t )) f (t )
.
(t)
3) Giả sử f khả vi tại t
Cho
k
và t là điểm trù phải.
0 . Vì f khả vi nên
trong
lân cận của t ta có:
f ( (t))
f (s) f (t) (t) s
s U .
(t) s
Vì (t) nên ta có:
t
f (t)
f (s) f (t)t s
s U .
t s
Ta có
f (t ) f (s) f (t) ,
s U .
s U , s t .
t s
Suy ra
f (t) lim
st
f (t ) f ( s)
.
t s
4) Nếu (t) ta có (t) 0 và ta có:
t
f ( (t)) f (t) f (t) (t) f (t) f (t).
Nếu (t) thì ta có:
t
f ( (t)) f (t) (t) f ( (t )) f (t ) f (t) (t) f (t).
Nhận xét 1.2.1 Từ định lý 1.2.1 ta có:
(t)
1) Nếu thì mọi điểm t là điểm trù mật phải. Do đó f là khả vi tại
t khi
và
chỉ
khi
tồn
tại
giới
hạn
hữu
hạn
lim
( s)
st
f (t ) f
và
khi
ấy
t s
f (t ) f ( s)
f (t), tức là - đạo hàm trùng với đạo hàm thông thường.
t s
Δ
f (t) lim
st
2) Nếu thì mọi điểm t là điểm cô lập. Do đó f là - khả vi tại mọi
điểm
t
và
f (t) f (t 1) f (t) , tức là - đạo hàm trùng với sai phân của f tại t.
Định lý 1.2.2 Cho các hàm số f : g : là các hàm - khả vi
tại
và
t k . Khi đó ta có:
1) Hàm f g là - khả vi tại t
f
k
và ( g) (t) f (t) g (t).
k
2) Hàm fg là - khả vi tại t và
( fg ) (t) f (t) g(t) f (t) g (t) f (t) g (t) f (t) g (t).
1
là - khả vi tại t
3) Nếu f (t) f ( (t)) thì
f
0
1
f
và
k
và
f (t )
(t)
k
.
f (t) f ( (t))
f
4) Nếu g(t)g( (t)) thì
là - khả vi tại t
g
0
f (t ) g (t ) f (t ) g (t )
f
(t)
.
g(t)g( (t))
g
Chứng minh Giả sử f , g liên tục tại t k .
1) Cho 0 ,
U1 ,
U 2 là lân cận của t ta có:
f ( (t)) f (s) f (t)( (t) s)
Tương tư,
(t) với mọi s U1.
2s
g( (t)) g(s) g (t)( (t) s)
(t)
với mọi s U 2
2s
Lấy U U1 U 2 thì với mọi s U :
( f g )( (t)) g )(s)
(f
f (t) g (t) ( (t) s)
f ( (t)) f (s)
f (t)( (t) s) g ( (t)) g(s) g (t)( (t)
s)
f ( (t)) f (s)
f (t)( (t) s) g ( (t)) g(s) g (t)( (t) s)
(t) s (t) s
2
2
(t) s
Vì vậy f g khả vi tại t và ( f g ) f g với mọi t
2) Cho
ta đặt
1
0,1
f (t) g( (t))
1
g (t) . Khi ây
trong lân cận U1 , U 2 , U3 của t ta co:
f ( (t)) f (s) f (t)( (t) s)
với s U1
(t) s
g( (t)) g(s) g (t)( (t) s)
(t) s
với s U 2
Và theo Phân 1 của Định lí 1.2.1 ta có:
f (t) f (s)
s U 3
với
Đặt U U1 U 2 U 3 thì s
U
thì:
( fg)( (t)) ( fg)(s) f (t) g( (t)) f (t) g
(t)
( (t) s
0,1
vì vậy
