ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN - BT - Muc do 3 (2)

Câu 33.[DS12.C3.5.BT.c]

(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hình phẳng

đường cong
, các trục tọa độ và phần đường thẳng
xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành.
A.

.

B.

.

với

giới hạn bởi

. Tính thể tích khối tròn

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong
.
Đường thẳng
cắt trục hoành tại
.

Câu 44. [DS12.C3.5.BT.c]
trên miền
,

(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Xét hàm số

có đồ thị là một đường cong

quả trên, độ dài đường cong

A.

. Gọi

là phần giới hạn bởi

. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong

,

là phần đồ thị của hàm số

là

với

.

B.

,

thì giá trị của

.

C. .
Lời giải

. Khi đó, độ dài đường cong

là:
.

Đặt
Đổi cận:
Suy ra:

. Suy ra:

.
;

.

Suy ra:

:

liên tục

và các đường thẳng

bằng

. Theo kết

bị giới hạn bởi các đường thẳng

Chọn B
Ta có:

và đường thẳng

là bao nhiêu?
D. .


.
Mà

nên suy ra

Vậy

.

.

Câu 50.

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình phẳng

được giới hạn bởi các đường
A.

,

,

.

,

B.

có diện tích là

.

C.

. Chọn kết quả đúng:

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

y
3
2
1
-3 -2

-1

O1

2

3 x

Các phương trình hoành độ giao điểm:
*
*
*

.
.

Diện tích cần tính là:
.
Đặt

. Đổi cận:

;

.

Ta có

.
Vậy

.

Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra

,

. Do đó mệnh đề đúng là

.

----------HẾT---------Câu 40: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong hệ trục
tọa độ

cho elip

có phương trình

nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình
xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó:

. Hình phẳng
xung quanh trục

giới hạn bởi nửa elip
ta được khối tròn


A.

.

B.

.

C.

. D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có

với

Gọi
Câu 12:

.

là thể tích cần tìm, ta có:

.

[DS12.C3.5.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

và

quay quanh trục tung tạo

nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có đồ thị hai hàm số

.

và

giới hạn bởi hai đồ thị

đều đối xứng qua

và

nên hình phẳng

quay quanh trục tung tạo nên một vật

thể tròn xoay có thể tích bằng thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình
phẳng giới hạn bởi hai đường

và

quay xung quanh trục

.

Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là:
.
Câu 29:

[DS12.C3.5.BT.c] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường tròn
A.

.

và nửa trên của

bằng?
B.

.

C.

.

D.

.


Lời giải
Chọn A
.
do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy
.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và nửa trên của đường tròn

là phần tô màu vàng như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng trên là:

.
Tính

.

Đặt

,

;

Đổi cận

.

;

.

.
Vậy

.

Câu 1. [DS12.C3.5.BT.c]
tiếp tuyến của
tuyến đó bằng

(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho parabol

tại các điểm

và

:

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và hai
và hai tiếp


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Phương trình tiếp tuyến tại

là

Phương trình tiếp tuyến tại

.

là

Phương trình hoành độ giao điểm của

.

và

:

Vậy
Câu 3.

.
.

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hàm số

có đồ thị hàm số

cắt trục

tại ba điểm có hoành độ

như hình vẽ

:

.

:

.

:

.

:
.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. .
B. .
C. .
Lời giải

D.

.

Chọn C
Gọi

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và trục hoành nằm bên dưới và bên trên

. Khi đó
Tương tự

. Quan sát đồ thị
do đó

Vậy

và

ta có
.

đúng.

Câu 29. [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
hình phẳng

giới hạn bởi đường cong

. Khối tròn xoay tạo thành khi quay

, trục hoành và các đường thẳng
quanh trục hoành có thể tích

bằng bao nhiêu?

,


A.

. B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Thể tích khối tròn xoay khi quay

quanh trục hoành có thể tích là:
.

Câu 37:

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Thể tích khối tròn xoay
do hình phẳng giới hạn bởi các đường
A.

;

B.

;

quay quanh trục

C.

bằng

D.

Lời giải
Chọn D
Hình phẳng đã cho được chia làm phần sau:
Phần : Hình phẳng giới hạn bởi các đường
Khi quay trục

phần

;

;

;

.

ta được khối tròn xoay có thể tích

Phần : Hình phẳng giới hạn bởi các đường
;
;
Khi quay trục
phần ta được khối tròn xoay có thể tích

.
;

.

.
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là

.

Câu 31: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
của

,

(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích

bằng

A.

B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B
Diện tích của

là

.
Câu 42: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Thể tích vật thể tròn
xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường
trục

,

và

quay quanh

có giá trị là kết quả nào sau đây?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Gọi

là hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Phương trình hoành độ giao điểm:
Thể tích vật tròn xoay sinh ra khi hình

quay quanh trục

là:
(đvtt)

Câu 12: [DS12.C3.5.BT.c] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Gọi tam giác cong
hạn bởi đồ thị các hàm số

,

,

là hình phẳng giới

(tham khảo hình vẽ bên). Diện tích của

bằng

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn A

.

D.

.


Gọi parabol

và đường thẳng

.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của

và

Suy ra tọa độ điểm

.

và

Khi đó

là:

.

Câu 25: [DS12.C3.5.BT.c] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi parabol
A.

và các tiếp tuyến tại các điểm
.

B.

.

Chọn B
Ta có
.
Gọi tiếp tuyến tại điểm
Suy ra

.

.

D.

.

Lời giải

là

:

Gọi tiếp tuyến tại điểm
Suy ra

C.

và

.
là

:

.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa
Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa
Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa

và parabol là:
.

và parabol là:
.
và
là:
.

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
.
Câu 39:
[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Chướng
ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có
chiều cao từ mặt đất lên là
. Giao của mặt tường cong và mặt đất là
đoạn thẳng
. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với
tại
là một hình tam giác vuông cong
với
,
và cạnh cong
nằm trên một đường parabol có trục đối xứng
vuông góc với mặt đất. Tại vị trí
là trung điểm của
thì tường cong có


độ cao
(xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để
tạo nên khối tường cong đó.

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C

Chọn hệ trục
cạnh cong

như hình vẽ sao cho
nằm trên parabol

đi qua các điểm

và

nên
Khi đó diện tích tam giác cong

có diện tích

.

Vậy thể tích khối bê tông cần sử dụng là
Câu 22:

[DS12.C3.5.BT.c] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-

BTN] Nếu
A.

thì

.

B.

Chọn D
Đặt

bằng

.

C. .
Lời giải

. Đổi cận:

D.

.

,

Khi đó:
Câu 36:

.

.

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cổng trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng
, chiều cao
. Diện tích
của cổng là:
A.

.

B.

.

C.

Lời giải

Chọn D

.

D.

.


Cách 1:

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành
trùng với đường tiếp đất của cổng.
Khi đó Parabol có phương trình dạng
.
Vì

đi qua đỉnh

nên ta có

cắt trục hoành tại hai điểm
Do đó

.
và

nên ta có

.

.

Diện tích của cổng là:

.

Cách 2:

Ta có parabol đã cho có chiều cao là
Do đó diện tích parabol đã cho là:

và bán kính đáy
.

.


Câu 45: [DS12.C3.5.BT.c] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

của miền

, các đường thẳng

,

và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.

A.

B.

.

C.

.

D.

.

.

Lời giải
Chọn A.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, các đường thẳng

,

và trục hoành được chia thành hai phần:
 Miền

là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là

 Miền

gồm:

Dễ thấy

và

.

.

đi qua

điểm

,

,

nên đồ thị

có phương trình

.
.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

.

Câu 46: [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
.
A.

B.

.

C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Ta có
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 44:

.

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 -

BTN)Trong hệ trục tọa độ
,

, cho parabol

(hình vẽ). Gọi

và hai đường thẳng

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi


parabol

và đường thẳng

phẳng giới hạn bởi parabol
điều kiện nào sau đây của

A.

.

B.

(phần tô đen);
và đường thẳng

và

thì

.

là diện tích hình
(phần gạch chéo). Với

?

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol

với đường thẳng

là
.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol

với đường thẳng

là
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng

là

.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng

(phần tô màu đen) là

.

Do đó

.

Câu 11: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-2]
Cho parabol

và hai điểm

,

của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
A.

.

B.

.

thuộc

sao cho

và đường thẳng
C.

.

Lời giải
Chọn B

. Tìm giá trị lớn nhất
.
D.

.


Gọi
và
là hai điểm thuộc
Không mất tính tổng quát giả sử
.
Theo giả thiết ta có

sao cho

.

nên

.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Gọi

và

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

là

.
và đường thẳng

ta có

.
Mặt khác

nên

Vậy

. Vậy

do

.

.

Câu 26: [DS12.C3.5.BT.c] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1D3-3]
Tính diện tích

của hình phẳng

và các đường

;

được giới hạn bởi các đường

, trục hoành

?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.
Lời giải

Chọn B
Diện tích hình phẳng cần tìm là

.

Câu 47:

[DS12.C3.5.BT.c] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Một hoa văn trang
trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng
cm bằng cách khoét đi bốn
phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết
cm,
cm. Tính diện


tích bề mặt hoa văn đó.

A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục

ta tìm được phương trình là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,

, trục hoành và các đường thẳng

là:

.

Tổng diện tích phần bị khoét đi:
Diện tích của hình vuông là:
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:

.

.
.
.