PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho hàm số f  x  liên tục

Câu 1: [2D3-4-3]
trên

thỏa mãn f  tan x   cos4 x , x 

1

. Tính I   f  x  dx .
0

A.

 2
8

.

B. 1 .

C.

2
.
4

D.


.

4

Lời giải
Chọn A
Đặt t  tan x . Ta có
1

1

0

0

I   f  x  dx  

1
1
1
 1  tan 2 x  1  t 2  cos 4 x 
 f t  
2
2
2
2
cos x
1  t 
1  t 2 

1

1  x2 

2

dx .

Đặt x  tan u  dx  1  tan u  du ; đổi cận: x  0  u  0 ; x  1  u 

4


4


4

.





4
1
1
1
 4 2 
2
I 
d

tan
u

.
d
u

cos
u
d
u

u

sin
2
u



 
2
0  1 2 cos2 u
0
2
4
8
2
0
0 1  tan u 



2
 cos u 
.

1

1

Câu 2: [2D3-4-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x  liên
tục trên

và f  2   16 ,

A. I  13 .
I 7.

2

1

0

0

 f  x  dx  4 . Tính tích phân I   x. f   2 x  dx .
C. I  20 .

B. I  12 .

D.

Lời giải
Chọn D

du  dx
u  x


Đặt 
.
1
dv  f   2 x  dx v  f  2 x 

2
1

1

1

1

1
1
1
1
1
Khi đó, I  x. f  2 x    f  2 x  dx  f  2    f  2 x  dx  8   f  2 x  dx .

2
20
2
20
20
0
Đặt t  2x  dt  2dx .
Với x  0  t  0 ; x  1  t  2 .


2

1
Suy ra I  8   f  t  dt  8  1  7 .
40
Câu 3: [2D3-4-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho y  f  x  là hàm số
chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết rằng

2



f  x  dx  8 và

1

3

 f  2 x  dx  3 .
1

6

Tính

 f  x  dx .

1

B. I  5 .

A. I  11 .

D. I  14 .

C. I  2 .
Lời giải

Chọn D
Ta có

3

3

1

1

 f  2 x  dx  3   f  2x  dx  3

Khi đó đặt t  2 x  dt  2dx  dx 
3

Ta có



f  2 x  dx  3 

1

1
dt ; Với x  1  t  2 , x  3  t  6 .
2
6

6

6

1
f  t  dt  3   f  t  dt  6   f  x  dx  6 .
2 2
2
2

6

2

6

1

1

2

Vậy I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 .
(THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho biết
1
7
tích phân I    x  2  ln  x  1 dx  a ln 2 
trong đó a , b là các số nguyên
b
0

Câu 4: [2D3-4-3]

dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. a  b .
a  b  3.

B. a  b .

C. a  b .

D.

Lời giải.
Chọn A

1

d
u

dx
u  ln  x  1

x 1
Đặt 
.

2
x
d
v

x

2
d
x



v   2 x


2
1

1
1
 x 2


5
1 
3 
1 x2  4x
I    2 x  ln  x  1   
dx  ln 2    x  3 
 dx
2
2 0
x 1 

 2
 0 2 0 x 1


1


7
5
1  x2
.

 ln 2    3x  3ln  x  1   4 ln 2 
4
2
2 2
0
Suy ra a  4 , b  4 .
Vậy a  b .
Câu 5: [2D3-4-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Giá trị của tích phân
100

 x  x  1 ... x  100  dx bằng
0

A. 0 .

B. 1 .

C. 100 .

D.một giá

trị khác.
Lời giải
Chọn A
100

Tính I 

 x  x  1 ... x  100  dx .
0

Đặt t  100  x  dx  dt .
Đổi cận: Khi x  0 thì t  100 ; khi x  100 thì t  0 .
x  x  1 ...  x  100   100  t  99  t  ... 1  t  t 
Do

 t  t  1 ...  t  99  t  100  nên
100

I


0

 I 0.
Câu 6: [2D3-4-3]

100

x  x  1 ...  x  100  dx    t  t  1 ...  t  100  dt   I  2I  0
0

(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Cho y  f  x  , y  g  x  là

các hàm số có đạo hàm liên tục trên
2

2

0

0

0; 2

2

và

0 g  x  . f   x  dx  2 ,



 g  x  . f  x  dx  3 . Tính tích phân I    f  x  .g  x  dx .
A. I  1 .

B. I  6 .

C. I  5 .

.
Lời giải
Chọn C
2

2

0

0

Xét tích phân I    f  x  .g  x   dx    f   x  .g  x   f  x  .g   x   dx
2

2

0

0

  g   x  . f  x  dx   g  x  . f   x  dx  5 .

D. I  1


Câu 7: [2D3-4-3](THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
5



1

2

f  x  dx  4 . Tính I   f  2 x  1 dx .
1

B. I 

A. I  2 .

5
.
2

D. I 

C. I  4 .

3
.
2

Lời giải
Chọn A
1
Đặt t  2x 1  dt  2dx  dx  dt .
2

Với x  1  t  1 , với x  2  t  5 .
2

5

5

5

1
1

1
Khi đó ta có I   f  2 x  1 dx  I   f  t  . dt   f  t  dt   f  x  dx
2 1
2 1
2
1
1
1
 .4  2 .
2
a.e 2  b
Câu 8: [2D3-4-3] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho I   x ln xdx 
với a ,
c
1
e

b , c  . Tính T  a  b  c .
A. 5 .
B. 3 .

C. 4 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D

1


du  dx

u  ln x

x
Ta có: 
nên 
.
2
x
dv  xdx
v 

2
e

e2  1
x2
1
I   x ln xdx  ln x   xdx 
.
4
2
21
1
1
e

e

a  1

 b  1 .
c  4

Vậy T  a  b  c  6 .
Câu 9:

[2D3-4-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho tích phân
4
dx
2
I 
 a  b ln với a, b  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
0 3  2x 1


B. a  b  5 .

A. a  b  3 .
a  b  3.

C. a  b  5 .

D.

Lời giải
Chọn C
Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  dx  tdt .

Đổi cận: x  0  t  1
x  4t  3

tdt
3 
dx

  1 

dt
3t 1  t 3
0 3  2x 1
1
3

3

4

Khi đó I  

  t  3ln t  3   2  3ln
3

1

2
3

Do đó a  b  5 .

5

Câu 10: [2D3-4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Tính tích phân

x
1

dx
được
3x  1

kết quả I  a ln3  b ln5 . Giá trị a  ab  3b là
2

A. 4 .

2

B. 5 .

C. 1 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  3x  1  t 2  3x  1  x 

t 2 1
2tdt

 dx 
.
3
3

Đổi cận: x  1  t  2; x  5  t  4.
Khi đó
4

t 1
2
1 
 1
I   2 dt   

 dt  ln t  1  2ln 3  ln 5 . Suy ra
t 1
t 1 t  1 
2
2
2
4

4

a  2
.

b   1

Do đó a 2  ab  3b 2  5 .
Câu 11: [2D3-4-3]

(THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hàm số f  x 
2

liên tục trên

và thỏa mãn: f  x   f  2  x   2 x, x  . Tính I   f  x dx.
0

A. I  2

1
2

B. I 

C. I  4

D. I 

Lời giải
Chọn A
2

2

2

0

0

0

Ta có f  x   f  2  x   2 x   f  x  dx   f  2  x  dx   2 xdx  x 2  4.
2

0

4
3


2

Xét J   f  2  x  dx
0

Đặt t  2  x  dt  dx . Khi x  0  t  2, x  2  t  0.
0

2

2

2

0

0

Suy ra J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx.
2

2

0

0

Vậy 2 f  x  dx  4   f  x  dx  2.
Câu 12: [2D3-4-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số
f  x  liên tục trên
và thỏa mãn: f  x   f  2  x   2 x, x  . Tính
2

I   f  x dx.
0

A. I  2

1
2

B. I 

C. I  4

D. I 

4
3

Lời giải
Chọn A
2

2

2

0

0

0

Ta có f  x   f  2  x   2 x   f  x  dx   f  2  x  dx   2 xdx  x 2  4.
2

0

2

Xét J   f  2  x  dx
0

Đặt t  2  x  dt  dx . Khi x  0  t  2, x  2  t  0.

0

2

2

2

0

0

Suy ra J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx.
2

2

0

0

Vậy 2 f  x  dx  4   f  x  dx  2.
Câu 13: [2D3-4-3]

(THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho

m

I    2 x  1 e2 x dx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I  m là khoảng
0

 a; b  . Tính P  a  3b .
A. P  3

B. P  2

C. P  4
Lời giải

Chọn A

D. P  1


m

I    2 x  1 e2 x dx
0

du  2dx
u  2 x  1

Đặt 

e2 x .
2x
dv  e dx v 

2
m

I    2 x  1 e

2x

2 x  1 e 2 x

dx 
2

0



 2m  1 e2m  1  1 e2 x
2

2

2

m m 2x
 e dx
0 0

m
 mem  e2 m  1
0

I  m  me2m  e2m  1  m   m  1  e2m  1  0  0  m  1 .

Suy ra a  0, b  1  a  3b  3 .
Câu 14: [2D3-4-3]

I

9
3
4

x

2

(THPT

sin  x3  e

Chuyên

Hùng

Vương-Gia

Lai-2018)

Giá

trị

 dx gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:

cos  x3

1
6

3

A. 0, 046

B. 0, 036

C. 0, 037

D. 0, 038

Lời giải
Chọn C

u  cos  x3 

Đặt
 x 2 sin  x 3  d x  

Khi x 
Khi x 

Ta

1


3

 d u  3 x 2 sin  x3  d x

1
du .
3

1
3
thì u 
.
2
6

3

9
2
thì u 
.
2
4

3

có

1

I 
3

2
2

3
2

1
 e d u  3
3

1 u
 e d u  3 e
2

2

2

u

u

3
2
2
2

2 
 3
2
2
 e  e   0, 037 .



2

Câu 15: [2D3-4-3] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Tính tích phân I 

x 2018
 ex  1 dx
2


A. I  0 .
I

B. I 

22020
.
2019

C. I 

22019
.

2019

D.

22018
.
2018

Lời giải
Chọn C
2

Tính tích phân I 

x 2018
2 ex  1 dx .

Đặt x  t  dx  dt . Khi x  2 thì t  2 ; khi x  2 thì t  2 .
Ta có
2
2 2018 t
2
t 

t 2019
x 2018
t .e
2018
I   x dx   t
dt   t

dt  2 I   t dt 
2019 2
e 1
e 1
e 1
2
2
2
2
2

2018

2

2.22019
22019
I
.
2019
2019
Câu 16: [2D3-4-3] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Số điểm cực trị của hàm số


f  x 

x 2 1


1



t 2  12  4

A. 1 .



2017

dt là:

B. 3 .

C. 2 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
Gọi F  t   
Ta



t 2  12  4

có:


f   x   F   x  1 .2 x  

2



2017

dt . Suy ra F   t  

f  x   F  x 2  1  F 1 .

 x  1  12  4 
2

2

2017

x  0

f  x  0  
.
2
  x 2  1  12  4  0


x

2

 1  12  4  0  x 2  1  2  x  1 .

BXD:

2



t 2  12  4

.2 x .



2017

.
Suy

ra


Vậy chọn B.
Câu 17: [2D3-4-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 và
thỏa mãn f 1  0 ,

1

2

0

A.

1

x
  f   x  dx    x  1 e f  x  dx 
0

e
2

B. 2  e

C.

e2  1
. Tính
4

e2
4

1

 f  x  dx .

0

D. e  2

Lời giải
Chọn D
1

Ta có

x
  x  1 e f  x  dx 
0

e2  1
.
4


du  f   x  dx
u  f  x 

Đặt 

x
x
v  xe

dv   x  1 e dx
1

e2  1
e2  1
.
  xe x f  x     xe x f   x  dx   xe x f   x  dx  
0
4
4
0
0

1

1



1

Suy ra

  f   x   xe

x

 dx  0  f   x    xe x hay f  x    xe x  e x  C .
2

0

Vì f 1  0 nên C  0 . Do đó, f  x    xe x  e x .

1

Vậy


0

1

f  x  dx     xe x  e x  dx    xe x  2e x   e  2 .
1

0

0

Câu 18: [2D3-4-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên  1;1 và
1

f   x   2018 f  x   e x   1;1 . Tính  f  x  dx .
x

1

A.

e2  1
2018e

B.

e2  1
e

C.

e2  1
2019e

D. 0


Lời giải
Chọn C
Cách 1.

f   x   2018 f  x   e x  2018 f  x   e x  f   x 
1

1

1

1

1

1

 2018  f  x  dx   e x dx   f   x  dx 

e2  1
  f   x  dx
e
1
1

1

1

1

1

1

1

Đặt t   x   f   x  dx   f  t  d  t    f  t  dt
1

Do đó 2018  f  x  dx 
1

e2  1
e2  1
  f  x  dx  2019  f  x  dx 
e

e
1
1
1

1

e2  1
.
  f  x  dx 
2019e
1
1

Cách 2.
Từ giả thiết f   x   2018 f  x   e x x   1;1 1

 f  x   2018 f   x   e x x   1;1  2  .
Từ 1 và  2    20182  1 f  x   2018e x  e x x   1;1

 f  x 

2018e x  e x
x   1;1 .
 20182  1

1

1

1
1
2018e x  e x 
  f  x  dx 
2018e x  e x  dx 



2
2
 2018  1
 2018 1 1
1


1
1

e2  1
.
2019e

(CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU
2
a
a
2017
LONG-LẦN 2-2018) Cho  x ln  x  1 dx  ln 3 ( là phân số tối giản, b  0
b
b

0

Câu 19: [2D3-4-3]

). Tính S  a  b .
A. 6049

B. 6053

C. 1
Lời giải

Chọn A

D. 5


Đặt u  ln  x  1

2017

2017
x 2 1  x  1 x  1
 du 
dx ; dv  xdx chọn v   
.
x 1
2 2
2
2

2

Ta có

 x ln  x  1

2017

0

2
 x2  1 
2017
2017
dx  

 x  1 dx
 ln  x  1
2 0
 2 
0

2017  x  1
3
 ln 32017 
2
4

2 2


0

6051
ln 3 .
2

Vậy a  6051 , b  2  S  a  b  6049 .
Câu 20: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Biết
2
x 1
1 x2  x ln x dx  ln  ln a  b  với a , b là các số nguyên dương. Tính
P  a 2  b 2  ab .

A. 10

B. 8

C. 12

D. 6

Lời giải
Chọn B

x 1
x 1
1 x2  x ln x dx  1 x  x  ln x  dx .
2

2

Ta có

x 1
 1
dx .
Đặt t  x  ln x  dt  1   dx 
x
 x
Khi x  1  t  1; x  2  t  2  ln 2 .
2 ln 2



Khi đó I 

1

dt
 ln t
t

2 ln 2
1

a  2
 ln  ln 2  2  . Suy ra 
.

b  2

Vậy P  8 .
Câu 21: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Tích phân


  3x  2 cos

2

x dx bằng:

0

A.

3 2
  .
4

1 2
  .
4

D.

B.

3 2
  .

4

1 2
  .
4

Lời giải
Chọn B


Đặt I    3x  2  cos 2 x dx . Ta có:
0

C.




1
I    3x  2 1  cos 2 x  dx
20


 1
1
    3x  2  dx    3x  2  cos 2 x dx    I1  I 2  .
2 0
0
 2





3
3

I1    3x  2  dx   x 2  2 x    2  2 .
2
0 2
0


I 2    3x  2  cos 2 x dx . Dùng tích phân từng phần
0

du  3dx
u  3x  2


Đặt 
. Khi đó
1
dv  cos 2 x dx v  sin 2 x

2





3
1
3
I 2   3x  2  sin 2 x   sin 2 x dx  0   cos 2 x   0 .
4
2
20
0
0

13
 3
Vậy I    2  2    2   .
22
 4
(THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Biết

Câu 22: [2D3-4-3]
2
x

 3x 

dx  a  b 2  c 35 với a , b , c là các số hữu tỷ, tính
9 x2 1
P  a  2b  c  7 .
1

1

A.  .
9

B.

86
.
27

C. 2 .

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có
2

2

x





2





2
2
2
1 3x  9 x2 1dx  1 x 3x  9x 1 dx  1 3x  x 9x 1 dx
2

2

  3x dx   x 9 x  1dx  x
2

1

2

3 2

1

1

2

2

  x 9 x  1dx  7   x 9 x 2  1dx .
2

1

1

2

Tính

x

9 x 2  1dx .

1

Đặt

9 x 2  1  t  9 x 2  1  t 2  xdx 

t dt
.
9

Khi x  1 thì t  2 2 ; khi x  2 thì t  35 .
2

35

tdt t 3
Khi đó  x 9 x  1dx   t


9
27 2
1
2 2

35



2

2

35
16
35 
2.
27
27

67
.
27


2

16
35
35

16
, c .
dx  7 
35 
2  a  7, b 
27
27
27
27
9x 1
1
32 35
1

7   .
Vậy P  a  2b  c  7  7 
27 27
9
Câu 23: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hàm số

Vậy

 3x 

x

2

1

f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  1 ,   f   x   dx  9 và
2

0

1

1

1
 x f  x  dx  2 . Tích phân  f  x  dx bằng:
3

0

A.

0

2
.
3

B.

5
.
2

C.

7
.
4

Lời giải
Chọn B
1

Ta có:

  f   x 

2

dx  9 1

0

1

- Tính

1
 x f  x  dx  2 .
3

0

du  f   x  dx

u  f  x 

Đặt 

x4
3
v

dv  x .dx


4
1

1
1
1
 x4

1 1
1
1
   x3 f  x  dx   . f  x     x 4 . f   x  dx    x 4 . f   x  dx
4 40
2 0
 4
0 4 0
1

1

0

0

  x 4 . f   x  dx  1  18 x 4 . f   x  dx  18  2 
1

1

1

x9
1
  81 x8dx  9  3
- Lại có:  x dx 
9 0 9
0
0
8

- Cộng vế với vế các đẳng thức 1 ,  2  và  3 ta được:
1

1

2
4
4
8

0   f   x   18x . f   x   81x  dx  0  0  f   x   9 x  dx  0

1

  .  f   x   9 x 4  dx  0
0

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

D.

6
.
5


y  f   x   9 x 4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x  0 , x  1 khi quay quanh Ox
bằng 0
9
 f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  .dx   x 4  C .
5

Lại do f 1  1  C 

9
14
14
 f  x    x5 
5
5

5
1

14 
14 
5
 9
 3
  f  x  dx     x5   dx    x6  x   .
5
5
5 0 2
 10
0
0
1

1

 3x  1

ln b 

dx  ln  a 
 với a
 x ln x
c 

1
, b , c là các số nguyên dương và c  4 . Tổng a  b  c bằng

2

(SGD Hà Nam - Năm 2018) Biết

Câu 24: [2D3-4-3]

A. 6 .

 3x

B. 9 .

2

C. 7 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn C
1
x dx . Đặt t  3x  ln x , dt   3  1  dx
dx  
Ta có  2


3 x  x ln x
3x  ln x
x


1
1
2

 3x  1

2

3

Đổi cận x  1  t  3 , x  2  t  6  ln 2 .

1
6  ln 2
dt
ln 2 
6 ln 2

x dx 
1 3x  ln x
3 t  ln t 3  ln  6  ln 2  ln 3  ln  2  3 
2

3

 a  2 , b  2 , c  3 . Vậy tổng a  b  c  7 .
Câu 25: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Biết




0

0

 f  sin x  dx  1 . Tính  xf  sin x  dx .
A.

1
.
2

B.


.
2

C.  .
Lời giải

Chọn B


Tính I   xf  sin x  dx .
0

Đặt t    x  dt  dx

D. 0 .

Đổi cận: x  0  t   , x    t  0 .
0

 I      t  f  sin   t   dt








0

0

0

    t  f  sin t  dt    f  sin t  dt   tf  sin t  dt




 I     t. f  sin t  dt   t. f  sin t  dt 
0

0



Vậy


2

.



 x. f  sin x  dx  2 .
0

(Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Cho hàm số f  x  liên tục trên

Câu 26: [2D3-4-3]

và 3 f   x   2 f  x   tan 2 x . Tính

π
4

 f  x  dx


A. 1 

π
.

2

π
4

π
1.
2

B.

C. 1 

π
.
4

D. 2 

π
.
2

Lời giải
Chọn D
π
4

Ta có




 2



tan 2 xdx 

π
4

π

2

π
π
π 
π
 1

4

1
d
x
  1    2 

tan

x

x


π  1
  cos2 x 

2
4 
4
4

4

4

π
4

 3 f   x   2 f  x  dx .


π
4

Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x  
π
4

π
4

π
π
π
π
t  , x t  .
4
4
4
4
π
4

 3 f   x   2 f  x  dx   3 f  t   2 f  t  dt   3 f  x   2 f   x  dx


π
4



π
4



π
4

π
4

Suy



π

2

π
4

π
 f  x  dx   f   x  dx  2  2   3 f  x   2 f  x  dx

ra,

 2

π
4

π
4



π
4



π
4

π
4

 f  x  dx


π
4

π
4

Vậy

π
 f  x  dx  2  2



π
4

(Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Có bao nhiêu giá trị của tham
m
sin x
1
m
số
trong khoảng  0;6  thỏa mãn 
dx  ?
5  4cos x
2
0

Câu 27: [2D3-4-3]

A. 6 .

B. 12 .

C. 8 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn A
m

Ta có

m

1
sin x
1

dx   
d  cos x 
2 0 5  4cos x
5  4cos x
0
m



1
1
1
d  5  4 cos x    ln 5  4 cos x

4 0 5  4 cos x
4

Mà 5  4 cos x  5  4  0 
 ln

1
1
  ln  5  4 cos x 
2
4

m

.
0
m

0

1 5  4 cos m
  ln
4
9

5  4 cos m
5  4 cos m
9e 2  5
 2 
 e2  cos m 
9
9
4

9e2  5
 m   arccos
 k 2  k 
4

.


k  0
9e 2  5


arccos 4  k 2   0;6    k  1

 k  2
Theo đề bài m   0;6   
.
k

1


2
  arccos 9e  5  k 2  0;6   k  2

 

4
 k  3

Với mỗi giá trị k trong hai trường hợp trên ta được một giá trị m thỏa
mãn.
Vậy có 6 giá trị của m thỏa mãn bài toán.


Câu 28: [2D3-4-3](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Cho hàm số f  x  có đạo
1

hàm liên tục trên đoạn  0;1 và thỏa mãn f  0   6 ,

  2 x  2 . f   x  dx  6 . Tích
0

phân

 f  x  dx .
1

0

B. 9 .

A. 3 .

C. 3 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn B
1

1

Ta có 6    2 x  2  . f   x  dx    2 x  2  d  f  x  
0

0

1

1

0

0

  2 x  2  f  x    2 f  x  dx  6  2 f  0   2 f  x  dx 
0
1

2 f  0   6
 9 .
2

1

 f  x  dx 
0

Câu 29: [2D3-4-3] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Biết rằng
1
 2 a 
dx

2
ln


 với a , b là các số nguyên dương. Giá trị của a  b
0 x2  4 x  3
 1 b 
bằng
B. 5 .

A. 3 .

D. 7 .

C. 9 .
Lời giải

Chọn B
1

Ta có


0

1

dx
x2  4 x  3


0

dx

 x  1 x  3

Đặt t  x  3  x  1

1 1
1 
1  x 1  x  3 


 dt  

d
x

d
t


2   x  1 x  3 
2 x3
x 1 


1
 dt  
2



2dt
 dx 

t
 x  1 x  3 

dx

t

 x  1 x  3

.

Khi x  0 thì t  1  3 ; khi x  1 thì t  2  2 .
1


0

dx
x2  4 x  3

2 2

2



1

dt
 2 ln t
t
3

2 2
1 3

 2ln

a  2
2 2

1 3
b  3

 a b  5.
Câu 30: [2D3-4-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
e
1
f ( x)
Cho F ( x )  2 là một nguyên hàm của hàm số
. Tính  f ( x) ln xdx bằng:
2x
x
1

A. I 
I

e2  3
2  e2
I

.
B.
.
2e 2
e2

C. I 

e2  2
.
e2

D.

3  e2
.
2e 2

Lời giải
Chọn A
Do F ( x ) 

f ( x)

1
là một nguyên hàm của hàm số
nên
2
x
2x

1
f ( x)  1 
  2   f  x   2 .
x
x
 2x 

1

ln x  u
 dx  du
Tính I   f ( x) ln xdx . Đặt 
.
 x

 f   x  dx  dv  f  x   v
1

e

e

Khi đó I  f  x  .ln  x  1  

e

1

f  x
1
1
e2  3
.
dx   2 .ln  x   2 
2e2
x
2x 1
x
1
e

e

Câu 31: [2D3-4-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
4
 x  1 e x dx  ae4  b
Biết rằng tích phân 
. Tính T  a 2  b 2
2x 1
0
A. T  1 .

C. T 

B. T  2 .

3
.
2

D. T 

Lời giải
Chọn B
4
4
4

1
ex
x 1 x
1 2x  2 x
x
dx  .
e dx  
e dx    2 x  1.e dx  
20
2 0 2x 1
2x 1 
2x 1
0

4

Ta có I  
0

4

ex
dx .
2x 1

Xét I1  
0

du  e x dx
u  e

1


2
2
x

1


dx
1
Đặt 

dx

v 
 .
 2x 1
dv




1
2x 1 2
2x 1



2
x

4

4

Do đó I1  e . 2 x  1   e x . 2 x  1dx .
x

0

Suy ra I 

0

3
1
9 1
3e 4  1
T    2.
. Khi đó a  , b 
2
2
4 4
2

5
.
2


Câu 32: [2D3-4-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm
2
f  x
1
dx
số f  x  liên tục trên
và f  x   2 f    3x. Tính tích phân I  
x
 x
1
2

A. I 

1
.
2

B. I 

5
.
2

C. I 

3
.
2

D. I 

7
.
2

Lời giải
Chọn C
1
1
 1  1
Đặt t  . Suy ra dt  d    2 dx  dx   2 dt .
t
x

 x x
Đổi cận x 

1
1
 t  2. x  2  t  .
2
2

1
2

 1  1 
Ta có I   tf   2  dt  
 t  t 
1
2
2

 1  1 
f    dt  
 t  t 
1
2

2
2

Suy

ra

3I  
1
2

 1  1 
f     dx .
 x  x 

2

f  x
dx  2
x
1
2

1
 1 
 1  1 
f    dx    f  x   2 f    dx   3dx
 x 
 x  x 
1 x
1

2

2

2

2

2

9
.
2
2
3
Vậy I  .
2
Câu 33: [2D3-4-3] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Biết rằng
1
1
0 x cos 2 xdx  4  a sin 2  b cos 2  c  , với a, b, c  . Khẳng định nào sau đây
 3x 1 
2

đúng ?
B. a  b  c  0.

A. a  b  c  1 .
a  2b  c  1 .

C. 2a  b  c  1 .

D.

Lời giải
Chọn B

du  dx
u  x

Đặt I   x cos 2 xdx Đặt 
.

1
dv  cos 2 xdx v  sin 2 x
0
2

1

1

1

1
1
1
1
1
1
1
1
 I  x sin 2 x   sin 2 xdx  sin 2  cos 2 x  sin 2  cos 2  .

2
4
2
4
4
2
20
0
0



1
 2sin 2  cos 2  1  a  b  c  0 .
4


Câu 34:

[2D3-4-3] [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018] Biết

6

  3  4sin x  dx 
2

0

a
a c 3

, trong đó a , b nguyên dương và
tối giản. Tính

b
b
6

a bc .
A. 8 .

B. 16 .

C. 12 .

D. 14 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có:



6





6

6

0

0

3  4sin 2 x dx   3  2 1  cos 2 x  dx    5  2cos 2 x  dx

0





5 3 3
.

6
6

Suy ra a  5 , b  6 , c  3 .
Vậy a  b  c  14 .
Câu 35: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho hàm số f  x  liên tục và nhận giá trị dương trên  0;1 . Biết f  x  . f 1  x   1
1

dx
1 f  x
0

với x   0;1 . Tính giá trí I  
A.

3
.
2

B.

1
.
2

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: f  x  . f 1  x   f  x   1  f  x  

f  x
1

f 1  x   1 1  f  x 

1

dx
1 f  x

0

Xét I  

Đặt t  1  x  x  1  t  dx  dt . Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  0 .
1
1
1
f  x  dx
dt
dt
dx



Khi đó I   
1  f 1  t  0 1  f 1  t  0 1  f 1  x  0 1  f  x 
1
0

1
1
f  x  dx 1 1  f  x 
1
dx


d
x


0 1  f  x  0 1  f  x  0 1  f (t )
0 dx  1 hay 2I  1 . Vậy I  2 .
1

Mặt khác


Câu 36: [2D3-4-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
2018

Cho hàm số f  x  liên tục trên

thỏa

 f  x  dx  2 .

Khi đó tích phân

0

e

2018



1



0



x
f ln  x 2  1 dx bằng
x 1
2

A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn C
e2018 1



Đặt I 



0



x
f ln  x 2  1 dx .
x 1
2

Đặt t  ln  x 2  1  dt 

2x
dx .
x 1
2

Đổi cận: x  0  t  0 ; x  e2018  1  t  2018 .
2018

Vậy I 



f  t  dt 

2018

 f  x  dx  2 .
0

0

Câu 37: [2D3-4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Với mỗi số nguyên dương n

1
n
I
ta kí hiệu I n   x 2 1  x 2  dx . Tính lim n 1 .
n  I
n
0
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn A

1

Xét I n   x 2 1  x



du  dx
u  x

n 1

dx . Đặt 

 1  x 2  .
n

2
dv  x 1  x  dx v 
2  n  1




1
1
2 n 1
2 n 1
1

x
d
x

1

x



 dx
2  n  1 0
2  n  1 0

2 n

0

In 

 x 1  x 2 

n 1 1

n 1

1

0

1

n 1
1
 I n1 
1  x 2 1  x 2  dx


2  n  2 0
1
1

1
2 n 1

2
2 n 1
 I n 1 
  1  x  dx   x 1  x  dx 
2  n  2  0
0


1


 I n 1 

1
I
I
2n  1
 2  n  1 I n  I n 1   n1 
 lim n1  1 .
2  n  2
In
2n  5 n I n

Câu 38: [2D3-4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các giá trị dương
3
m
 10 
của m để  x  3  x  dx   f    , với f  x   ln x15 .
9
0

A. m  20 .

B. m  4 .

D. m  3 .

C. m  5 .
Lời giải

Chọn D
+ Từ f  x   ln x15  f   x  

15
15 x14 15
 10  243
 f   x   2 do đó f    

15
x
20
x
x
9

.
3

+ Tính tích phân I   x  3  x  dx :
m

0

 Đặt t  3  x  x  3  t , dx  dt ,

x 0
t 3

3
0
3

3
3t m 1 t m  2
3m 2
m





 Do đó I   3  t t dt    3t m  t m1  dt 

m  1 m  2 0  m  1 m  2 
0
3
0

3m 2
243
m

 10 



+ Ta có  x 3  x dx   f   

 m  1 m  2  20
9
0
3



3m2
35

 m  1 m  2  4.5

Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m  3 .

3m2
35
(Ghi chú: để giải PT 
rất khó và nhiều thời gian, nên chọn

 m  1 m  2  4.5
PP này để làm trắc nghiệm cho nhanh và chọn đúng đáp án)
Câu 39: [2D3-4-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hàm số
y  f  x  liên tục trên
và có đồ thị  C  là đường cong như hình bên. Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  , trục hoành và hai đường thẳng x  0 , x  2
(phần tô đen) là


A.



2

0

B.   f  x  dx   f  x  dx .

f  x  dx .

C.

1

0

 f  x  dx   f  x  dx .
1

2

0

1

D.

2

1

 f  x  dx .
2

0

Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x   0;1 thì f  x   0 , khi x  1; 2 
thì f  x   0 .
Vậy S 



1

0

f  x  dx   f  x  dx .
2

1

Câu 40: [2D3-4-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Biết rằng

3

 x ln x dx  m ln 3  n ln 2  p , trong đó m , n ,

p

. Khi đó số m là

2

A.

9
.
2

B. 18 . C. 9 .

D.

27
.
4

Lời giải
Chọn A

du  dx
u  ln x


Đặt 

x2
d
v

x
d
x

v 

2
3

3

3

3

9
19
x2
x2
9
x3
 ln 3  2 ln 2 
  x ln x dx  ln x   dx  ln 3  2 ln 2 
6

2
2
2
6 2 2
2
2
2

9

m  2

 n  2

19
p  
6



Vậy m 

9
.
2

Câu 41: [2D3-4-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tích

2

phân I  
0

x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x
c
với a, b, c là các số
dx  a 2  b  ln

x  cos x

hữu tỉ. Tính giá trị của biểu thức P  ac 3  b.
B. P 

A. P  3 .

5
.
4

C. P 

3
.
2

D. P  2 .

Lời giải
Chọn D




2
x 2   2 x  cos x  cos x  1  sin x
 x  cos x   1  sin xdx
Ta có I  
dx  
x  cos x
x  cos x
0
0
2

2





 x2
 2 2

1  sin x 

   x  cos x 
dx


sin

x

ln
x

cos
x

  8  1  ln 2

x  cos x 
 2
0
0
2



2

 1  ln

8

2



1
1

 a  , b  1, c  2 . P  ac 3  b  .8  1  2 .
8
8

Câu 42: [2D3-4-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-3] Cho hàm
số f  x  thỏa mãn

1

  x  1 f   x  dx  10

và 2 f 1  f  0   2 . Tính

0

I   f  x  dx .
1

0

A. I  1 .

B. I  8 .

C. I  12 .

D. I  8 .

Lời giải
Chọn D

* Cách 1 (Tích phân hàm ẩn – PP tích phân từng phần):
u  x  1
du  dx

+ Đặt 
dv  f   x  dx v  f  x 
1

+ Do đó giả thiết   x  1 f  x  0   f  x  dx  10  2 f 1  f  0   I  10
1

0

 2  I  10  I  8 .


* Cách 2 (PP chọn hàm):
Gọi f  x   ax  b ,  a  0   f   x   a .
Theo giả thiết ta có:
+)


1

1

0

0

  x  1 f   x  dx  10  a   x  1 dx  10

1

   x  1 dx 
0

10
a

3 10
20
 a
.
2 a
3

34
 20

+) 2 f 1  f  0   2  2.   b   b  2  b   .
3
 3


Do đó, f  x  

20
34
x

.
3
3

1
1  20
34 
Vậy I   f  x  dx    x   dx  8 .
0
0
3
 3

(THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số

Câu 43: [2D3-4-3]


4

f ( x ) liên tục trên

và các tích phân


0

1

x 2 f ( x)

dx  2 , tính tích
f (tan x)dx  4 và  2
x 1
0

1

phân I   f ( x)dx .
0

A. 2

B. 6

C. 3
Lời giải

Chọn B




4

f (tan x)
1  tan 2 x  dx .

2
1  tan x
0

4

Xét I   f (tan x)dx  
0

Đặt u  tan x  du  1  tan 2 x  dx
Khi x  0 thì u  0 ; khi x 
1

1


4

thì u  1 .
1

f ( x)
f (u )
f ( x)
du  
dx  4 .
dx . Suy ra 
Nên I  
2
2
1  x2
1 u
1 x
0

0
0
1  x 2  1  1 f ( x)
1
1
  
x 2 f ( x)
f ( x)
dx
dx   

f
x
dx

dx .
Mặt khác  2
 
2
2


x

1
x

1
1


x
0
0
0
0
1

D. 1