ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Câu 1: [2D3-5-2]
(Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Tìm công thức tính thể tích
của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường
thẳng d : y  2 x quay xung quanh trục Ox .
2

A.    x 2  2 x  dx .
2

0

2

2

0

0

B.   4 x 2 dx    x 4dx .

2

2

0

0

C.   4 x 2 dx    x 4dx .

D.

2

   2 x  x 2  dx .
0

Lời giải
Chọn B

x  0
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2  2 x  0  
.
x

2

2

2

2

0

0

0

Vậy thể tích khối tròn xoay được tính: V    x 4  4 x 2 dx    4 x 2dx    x 4dx .

Câu 2: [2D3-5-2] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình  H  là hình phẳng giới
hạn bởi parabol y  x 2  4 x  4 , đường cong y  x3 và trục hoành (phần tô đậm
trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình  H  .

11
.
2
11
S  .
2

A. S 

B. S 

7
.
12

C. S 

20
.
3

D.

Lời giải
Chọn B
Parabol y  x 2  4 x  4 có đỉnh I  2;0  .

Phương trình hoành độ giao điểm của
x3  x 2  4 x  4  0  x  1 .

y  x2  4x  4

và

y  x3

là


1

2

Câu 3: Ta có S   x dx    x 2  4 x  4  dx 
3

0

1

7
. [2D3-5-2]
12

(THPT Thanh Miện -

Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

f  x   x3  3x  2 ; g  x   x  2 là:
D. S  16 .

C. S  12 .

B. S  4 .

A. S  8 .

Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
x  0
x3  3x  2  x  2  x 3  4 x  0  
 x  2
0

Diện tích cần tìm S 

x

2

3

2

 4 x dx   x  4 x dx 
3

0

0

 x

2

2

3

 4 x  dx    x3  4 x  dx
0

 x4
 0  x4
2
   2 x2     2 x2   8 .
 4
 2  4
0

Câu 4: [2D3-5-2](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  xe x , y  0 ,
x  0 , x  1 xung quanh trục Ox là
1

A. V   x e dx .
2 2x

0

1

B. V    xe dx .
x

0

1

C. V    x 2 e2 x dx .

D.

0

1

V    x 2e x dx .
0

Lời giải
Chọn C
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  f  x  , y  0 , x  a , x  b ( a  b ) xác
b

định bởi: V    f 2  x  dx .
a

1

Vậy, V    x 2 e2 x dx .
0

Câu 5: [2D3-5-2](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Diện tích hình phẳng
x
giới hạn bởi các đường y 
, trục hoành và đường thẳng x  1 là
1  x2
S  a  b . Khi đó a  b bằng:
A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 3 .


Lời giải
Chọn D.
Xét phương trình

x
1  x2

 0  x  0.
1

x

Vậy diện tích cần tính bằng S  

1  x2

0

1

dx  1  x 2  2  1 .
0

Vậy a  2 ; b  1 nên a  b  3 .
Câu 6: [2D3-5-2](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Gọi S là diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi  C  : y  xe x , trục hoành và đường thẳng x  a  a  0  . Ta
có:
A. S  a.e a  e a  1 .
S  a.e a  e a  1 .

B. S  a.e a  e a  1 .

C. S  a.e a  e a  1 .

D.

Lời giải
Chọn D
Xét phương trình xe x  0  x  0 .

a

Diện tích cần tính bằng S   xe x dx .
0

u  x
du  dx

Đặt 

x
x
 dv  e d x
v  e

Vậy S  xe

x a
0

a

  e x dx  aea  e x

a
0

 ae a  e a  1 .

0

Câu 7: [2D3-5-2] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 a; b , có đồ thị

y  f   x  như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?


b

b

A.

 f   x  dx

là diện tích hình thang ABMN .

B.

b

C.



 f   x  dx

là dộ dài đoạn BP .

a

a

b

f   x  dx là dộ dài đoạn MN .

D.

 f   x  dx

là dộ dài đoạn cong

a

a

AB .

Lời giải
Chọn B
b

 f   x  dx  f  x 

b
a

 f  b   f  a   BM  PM  BP .

a

Câu 8: [2D3-5-2] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ
1
và các đường thẳng y  0 , x  1 , x  4 . Thể tích V của khối tròn
x
xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục Ox .

thị hàm số y 

A. 2 ln 2 .

B.

3
.
4

C.

3
1 .
4

D. 2 ln 2 .

Lời giải

Chọn B
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng  H  quay quanh trục
2

4

 1
 1  3
1
.
Ox là V     dx           1 
4
x
x
4






1
1
4

Câu 9: [2D3-5-2] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đường y  x 2 và y  x  2 là
B. S 

A. S  9 .

9
.
4

C. S 

9
.
2

Lời giải
Chọn C

 x  1
Phương trình hoành độ giao điểm là: x 2  x  2  
.
x

2

2

 x3 x 2

9
Ta có S   x  x  2 dx     2 x   .
 3 2
 1 2
1

2

2

D. S 

8
.
9


Câu 10: [2D3-5-2] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình phẳng trong hình
(phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được
tính theo công thức nào?

b

b

A. V    f12  x   f 2 2  x   dx .

B. V     f12  x   f 2 2  x   dx .

a

b

C. V     f 2  x   f
2

2
1

a

b

D. V     f1  x   f 2  x   dx .

 x  dx .

a

2

a

Lời giải
Chọn B
Do f1  x   f 2  x  x   a; b  nên chọn.

B.

.
Câu 11: [2D3-5-2] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Diện tích hình phẳng
x 1
giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
và các trục tọa độ bằng
x2
A. 2 ln

3ln

3
1
2

B. 5 ln

3
1
2

C. 3ln

5
1
2

Lời giải
Chọn C

3
1
2

D.


Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

x 1
và trục hoành:
x2

x 1
 0  x  2   x  1.
x2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
0



1

x 1
dx 
x2

 1  3ln

x 1
và các trục tọa độ bằng:
x2

0
2
x 1
3
1 x  2dx  11  x  2dx   x  3ln x  2  1  1  3ln 3

0

0

3
2
 3ln  1 .
2
3

Câu 12: [2D3-5-2] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Công thức tính thể
tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và
đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh Ox là
2

2

0

0

2
4
A.   4 x dx    x dx

2





2
B.   x  2 x dx
2

0

2

2

0

0

2
4
C.   4 x dx    x dx D.

2

   2 x  x 2  dx
0

Lời giải
Chọn A

x  0
Xét PT hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  2 x  
x  2

2
Vì trên  0; 2  ta có 2x  x nên công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho
hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung
2

2

4
quanh Ox là: V    4 x dx    x dx ..
2

0

0

Câu 13: [2D3-5-2]

(THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Diện tích hình
x 1
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
và các trục tọa độ bằng
x2
A. 2 ln
3ln

3
1
2

B. 5 ln

3
1
2

C. 3ln

5
1
2

Lời giải
Chọn C

3
1
2

D.


Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y 

x 1
và trục hoành:
x2

x 1
 0  x  2   x  1.
x2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 
0



1

x 1
dx 
x2

 1  3ln

x 1
và các trục tọa độ bằng:
x2

0
2
x 1
3
1 x  2dx  11  x  2dx   x  3ln x  2  1  1  3ln 3
0

0

3
2
 3ln  1 .

2
3

Câu 14: [2D3-5-2] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Công thức
tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2
và đường thẳng d : y  2 x quay xung quanh Ox là
2

2

0

0

2
4
A.   4 x dx    x dx

2





2
B.   x  2 x dx
2

0

2

2

0

0

2
4
C.   4 x dx    x dx D.

2

   2 x  x 2  dx
0

Lời giải
Chọn A

x  0
Xét PT hoành độ giao điểm của  P  và d là x 2  2 x  
x  2
2
Vì trên  0; 2  ta có 2x  x nên công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho
hình phẳng giới hạn bởi parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng d : y  2 x quay xung
2

2

4
quanh Ox là: V    4 x dx    x dx ..
2

0

0

Câu 15: [2D3-5-2] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Tính diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x , y  2 , x  0 , x  1 .
A. S  4ln 2  e  5

B. S  4ln 2  e  6

C. S  e2  7

S  e3
Lời giải
Chọn A
1

Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S   e x  2 dx .
0

D.


Xét e x  2  0  x  ln 2 .
Bảng xét dấu e x  2 :

ln 2

1

Ta

S   e  2 dx     e  2  dx 
x

x

có

0

0

  2x  ex 

ln 2
0

 ex  2x 

1

 e

x

 2  dx

ln 2

1
ln 2

 4ln 2  e  5 . Vậy S  4ln 2  e  5 .
Câu 16: [2D3-5-2] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Tính thể tích V của
vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x  0 và x   , biết rằng thiết diện của vật thể bị
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x    là một
tam giác đều cạnh 2 sin x .
B. V  3

A. V  3

C. V  2 3

D.

V 2 3

Lời giải
Chọn D
Diện tích tam giác đều S  x  




0

0



3 2 sin x



2

4

 3 sin x .

Vậy thể tích V   S  x  dx   3 sin xdx  2 3 .
Câu 17: [2D3-5-2] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Cho hình
phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x  1, trục hoành và đường thẳng x  4 .
Khối tròn xoay tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành có thể tích V bằng bao
nhiêu?
A. V 

7
6

B. V 

7π 2
6

C. V 

7π
6

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm

x 1  0  x  1.

D. V 

7π
3


4

Thể

tích

khối

tròn

xoay

tạo

thành

V  π





2

x  1 dx

1

4





 π  x  2 x  1 dx
1

4

 x2 4

7π
.

 π  x x  x 
6
 2 3
1
Câu 18: [2D3-5-2] (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Tính thể tích khối tròn
xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
y  x 2  4 x  6 và y   x 2  2 x  6 .
B.  1

A. 3

D. 2

C. 
Lời giải

Chọn A
2
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm x  4 x  6   x  2 x  6
x  0

 2x2  2 x  0
x  1 .

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới
hạn bởi hai đồ thị là
1

1

V     x 2  4 x  6     x 2  2 x  6  dx    12 x3  36 x 2  24 x dx
2

2

0

0



1

  12 x
0

3

 36 x 2  24 x  dx    3x3  12 x3  12 x 2  1

 3 .

0

Câu 19: [2D3-5-2] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Kí hiệu S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a , x  b
(như hình bên). Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. S 

c

b

a

c

 f  x  dx   f  x  dx .
c

b

a

c

b

a

c

B. S   f  x  dx   f  x  dx .
b

C. S    f  x  dx   f  x  dx .

D. S   f  x  dx .

a

Lời giải
Chọn C

c


Dựa vào hình vẽ ta thấy: x   a; c   f  x   0 và x   c; b   f  x   0 .
b

c

b

c

b

a

a

c

a

c

Do đó, ta có: S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx .

Câu 20: [2D3-5-2] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Cho hình phẳng  H  giới
hạn bởi đồ thị y  2 x  x 2 và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra
khi cho  H  quay quang Ox .
A. V 

4
B. V   .
3

4
.
3

C. V 

16
.
15

D. V 

16
.
15

Lời giải
Chọn C
2

Thể

V     2x  x

tích



2 2

0

2

dx     4 x 2  4 x3  x 4  dx
0

2

16
1 
4
.
   x3  x 4  x5  
5  0 15
3
Câu 21: [2D3-5-2] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018] Một ô tô đang chạy với vận
tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh, thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều

với vận tốc v  t   5t  10  m/s  , trong đó t là khoảng thời gian tính băng giây kể
từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển được

bao nhiêu mét?
A. 0, 2m .

B. 2m .

C. 10m .

D. 20m .

Lời giải
Chọn C
Thời gian ô tô chuyển động từ lúc đạp phanh cho đến khi dừng hẳn: v  t   0  t  2
.
Quảng đường mà ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:
2

 5

S    5t  10  dt    t 2  10t   10  20  10  m  .
 2
0
0
2

Câu 22: [2D3-5-2] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Tính diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  2 x 2 và y  5 x  2 .
A. S 

5
4

B. S 

5
8

C. S 
Lời giải

9
8

D. S 

9
4


Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  2 x 2 và y  5 x  2 :

1

x
2 x2  5x  2  0  
2

x  2
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
2

S   2 x 2  5 x  2 dx 
1
2

2

  2x

2

 5 x  2  dx =  

1
2

9 9
 .
8 8

Câu 23: [2D3-5-2] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Viết công thức
tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox
tại các điểm x  a , x  b  a  b  có diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
a

A. V   S  x  dx .

 a  x  b  là S  x  .

b

b

B. V    S  x  dx .

C. V    S 2  x  dx .

D.

a

a

b

b

V   S  x  dx .
a

Lời giải
Chọn D
b

V   S  x  dx .
a

Câu 24: [2D3-5-2]

(THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho parabol  P 

có đồ thị như hình vẽ:
y

O 1

2

3

x

-1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành.
A. 4 .

B. 2 .

C.

8
.
3

D.

4
.

3


Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị ta có phương trình của parabol là y  x 2  4 x  3 .
Parabol  P  cắt Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x  1 , x  3 .
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P  với trục hoành ta có
3

S
1

3

 x3

4
x  4 x  3 dx    x  4 x  3 dx    2 x 2  3x   .
 3
1 3
1
3

2

2

Câu 25: [2D3-5-2] (Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x  1 , x  3 .

A. 19 .

B.

2186
.
7

D. 18 .

C. 20 .
Lời giải

Chọn C
3

3

S   x dx   x3dx  20 .
3

1

1

Câu 26: [2D3-5-2] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y  1 , x  0 , x  2 .
A. S  2 .

B. S 

2
.
3

C. S  2 .

D. S 

2
3

.
Lời giải
Chọn C
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2

1

2

1

2

0

0

1

0

1

S   x 2  1 dx   x 2  1 dx   x 2  1 dx   1  x 2  dx    x 2  1 dx

1  1 1

2 2 4
  x  x3    x3  x     2 .
3  0 3

1 3 3
Câu 27: [2D3-5-2] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tính
thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  x 2  2 x , y  0 , x  0 , x  1 quay quanh trục Ox .
A.

8
.
7

B.

8
.
15

C.
Lời giải

15
.
8

D.

7
.
8


Chọn B
Ta

có:
1

2
4 
8
1
V     x 2  2 x  dx     x 4  4 x3  4 x 2  dx    x5  x 4  x3  
.
5
3
15



0
0
0
Câu 28: [2D3-5-2] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình phẳng
D giới hạn bới đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng x  0 ,

x  . Khối tròn xoay tạo ra khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng.
2
1

1

A.    1 .

B.  1 .

C.  2  1 .

D.  2  1 .

Lời giải
Chọn A




2

2

Thế tích khối tròn xoay V    2  sin x dx     2  sin x  dx
2

0

0




   2 x  cos x  02      cos    0  cos 0      1 .
2




Câu 29: [2D3-5-2](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Một viên gạch hoa hình
vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần
tô đậm) bằng
y

y=

1

x2
20
y = 20x

20

x
20

20

20

800
cm 2 .
3
2
cm .

A.

B.

400
cm 2 .
3

Lời giải
Chọn B

C. 250 cm 2 .

D.

800


Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng được tính theo công thức sau:
20

400
1 
1 

2
S    20 x  x 2  dx   . 20. x3  x3  
3
20 
60  0
3
0 
20

 cm  .
2

Câu 30: [2D3-5-2](Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018 - BTN) Diện tích của hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 và y  x bằng
A.

11
.
6

B. 3 .

C.

9
.
2

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C
Giao của hai đồ thị 2  x 2  x  x  1; x  2
1

9
.
2

Diện tích cần tính S   2  x 2  x dx 
2

Câu 31: [2D3-5-2] (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Tính diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi  P  : y  x 2  4 , tiếp tuyến của  P  tại M  2;0  và trục Oy là
A. S 

4
.
3

B. S  2 .

C. S 

8
.
3

D. S 

7
.
3

Lời giải
Chọn C
y  2x .

y  2  4 .
Phương trình tiếp tuyến của  P  tại M  2;0 

y  4  x  2  4x  8 .
Diện tích hình phẳng cần tìm là S   x 2  4   4 x  8 dx 
2

0



 x  2
3

3 2

 x
2

0

2

 4 x  4  dx

8
 .
3

0

Câu 32: [2D3-5-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Diện tích của
1
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ln x , trục hoành và đường thẳng x  e
x
bằng

A.

1
.
2

B. 1 .

C.

1
.
4

D. 2 .

Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm:

1
ln x  0  x  1 .
x
e

Diện tích của hình phẳng giới hạn là:


1

e

e

1
ln 2 x
1
ln x dx   ln xd  ln x  
 .
x
2 1 2
1

Câu 33: [2D3-5-2] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Gọi  H  là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành và các đường thẳng
π
x  0 , x  . Quay  H  xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích
4
bằng
A. 1 

π
.
4

C. π 

B. π 2 .

π2

.
4

D.

π2
π.
4

Lời giải
Chọn C
π
4

π
4

π
π2
 1

4  π
Thể tích của  H  là : V  π  tan 2 xdx  π  
.

1
d
x

π

tan
x

x

0

2
cos
x
4


0
0

Câu 34: [2D3-5-2](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Cho hình
phẳng H giới hạn bởi các đường y  x ; y  0 ; x  4 . Diện tích S của hình phẳng
H bằng
A. S 

16
.
3

B. S  3 .

C. S 

15

.
4

D. S 

17
.
3

Lời giải
Chọn A
Xét phương trình
4

Ta có S  
0

x  0  x  0.
4

2
16
xdx  x x  .
3
3
0

Câu 35: [2D3-5-2](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Cho hình
phẳng  H  giới hạn bởi các đường xy  4 , x  0 , y  1 và y  4 . Tính thể tích V
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục tung.

A. V  8π .
V  12π .

B. V  16π .

C. V  10π .

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục tung
là
4

2

4
 16 
4
16
V  π    dy  π  2 dy  π     12π .
y
y
 y 1
1
1
4

Câu 36: [2D3-5-2] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho phần
vật thể   giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 . Cắt phần
vật thể   bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x

 0  x  2  , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng
Tính thể tích V của phần vật thể   .
4
A. V  .
3

B. V 

3
.
3

C. V  4 3.

x 2 x .

D. V  3.

Lời giải
Chọn B
Diện tích thiết diện: S 
2

V  
0

x2  2  x  3
.
4

2
2
x2  2  x  3
3 2
3 2

x
x  2  x  dx
2

x
d
x
dx 


4 0
4 0
4

2

32 3 1 4
3
.


 x  x  
4 3
4 0
3

Câu 37: [2D3-5-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị  P  : y  x 2  4 x  5 và các tiếp tuyến của  P  tại A 1; 2  và

B  4;5 .
A.

9
.
4

B.

4
.
9

C.
Lời giải

Chọn A
Ta có y   2 x  4 .

9
.

8

D.

5
.
2


Tiếp tuyến của  P  tại A và B lần lượt là y  2 x  4 ; y  4 x  11 .

5

Giao điểm của hai tiếp tuyến là M  ; 1 .
2


Khi đó, dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
5
2

4

S    x  4 x  5  2 x  4  dx    x 2  4 x  5  4 x  11 dx 
2

5
2

1

9
.
4

Câu 38: [2D3-5-2] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Tính diện
tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x , y  0 , x  10 , x  10 .
A. S 

2000
. B. S  2008 .
3

C. S 

2008
.
3

D. 2000 .

Lời giải
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  x 2  2 x và y  0 là

x  0
x2  2 x  0  
.
x  2
Trên đoạn  10;10 ta có

x 2  2 x  0 , x   10;0 và  2;10 .
x 2  2 x  0 , x   0; 2 .


0

10

Do đó S 



x  2 x dx 
2

 x

10

10

2

2

10

 2 x  dx    x  2 x  dx    x 2  2 x  dx
2

0

2

2008
( đvdt).
3



Nhận xét:
Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà không chia khoảng thì có
sự sai khác về kết quả giữa máy casio và vinacal. Trong trường hợp này máy
vinacal cho đáp số đúng.

Câu 39: [2D3-5-2] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính diện tích
1
4
hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y   x  và trục hoành.
3
3
A.

11
.
6

B.

61

.
3

C.

343
.
162

D.

39
.
2

Lời giải
Chọn A

1
4
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y  x 2 , y   x  là
3
3

x  1
1
4
2
x   x   3x  x  4  0  
.

x   4
3
3
3

2

1
4
Hoành độ giao điểm của đường thẳng y   x  với trục hoành là x  4 .
3
3

Hoành độ giao điểm của parabol y  x 2 với trục hoành là x  0 .


Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1

4

11
x3
4 
4
 1
 1
   x2  x   .
S   x d x   x  d x 
3 0  6

3 1 6
3
3
0
1
1

4

2

Câu 40: [2D3-5-2] (THPT Lê Quý Đôn - Quảng Trị - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y  x 2  2 x và y   x 2  x ?
A.

9
.
8

B. 6 .

C. 12 .

D.

10
.
3

Lời giải

Chọn A
Ta có x

2

2x

3
2

Nên S

x

2

x

2 x 2 3x dx

0

x 0
3
x
2
3
2

3

2

x3
x2
2
3
3
2

2 x 2 3x dx

0

0

9
.
8

Câu 41: [2D3-5-2] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2  2 , x  1 , x  2 , y  0 .
A. S 

10
.
3

8
B. S  .
3

C. S 

13
.
3

5
D. S  .
3

Lời giải
Chọn C
2





Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S   x 2  2 dx 
1

13
.
3

Câu 42: [2D3-5-2] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Thể tích của vật tròn
xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm y  tan x , trục Ox ,
đường thẳng x  0 , đường thẳng x 
A. V  3 

V  3


3

2
3

.

B. V  3 


3


3

quanh trục Ox là:

.

.
Lời giải

Chọn D
Thể tích của vật tròn xoay là:

C. V   3 

2
3

.

D.






3

2
 
 1


3   tan


3



tan
x

x

.
V    tan 2 xdx    

1
d
x






0
3
3 3
cos2 x 

0
0
3

Câu 43: [2D3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y  2  x 2 và y  x bằng
A.

11
.
6

B. 3 .

C.

9
.
2

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C
Giao của hai đồ thị 2  x 2  x  x  1; x  2
1

Diện tích cần tính S   2  x 2  x dx 
2

9
.
2

Câu 44: [2D3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y   x  2   1 và trục hoành bằng
2

A.

25
.
4

B.

3
.
4

C.

4
.
3

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn C

x  3
2
Xét phương trình  x  2   1  0  
.

x  1
3

Diện

tích

hình

phẳng

S    x  2   1 dx 
2

1

3

x

2

 4 x  3 dx

1

3

 x3


4
   2 x 2  3x   .
 3
1 3
Câu 45: [2D3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y  x 2  x  2 và trục hoành bằng
A. 9 .

B.

13
.
6

C.

9
.
2

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:

x  1
x2  x  2  0  
.
 x  2


y

O
1

-2

1

1

Diện tích hình phẳng S 

x

2

x

2

 x  2 dx     x2  x  2  dx 
2

9
.
2

Câu 46: [2D3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Một vật chuyển động có phương trình
v  t   t 3  3t  1  m/s  . Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến
khi gia tốc bằng 24 m/s 2 là
A.

15
m.
4

B. 20 m .

C. 19 m .

D.

39
m.
4

Lời giải
Chọn D
Gia tốc a  t   v  t   3t 2  3 . Tại thời điểm vật có gia tốc 24 m/s 2 thì 24  3t 2  3

 t  3.
Quãng đường vật đi được kể từ khi bắt đầu chuyển động đến khi gia tốc bằng 24
m/s 2 là quãng đường vật đi từ vị trí t  0 đến vị trí t  3 .

3

S  3    t 3  3t  1 dt 
0

39
.
4

Câu 47: [2D3-5-2](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình phẳng  D  được giới hạn bới
các đường x  0 , x   , y  0 và y   sin x . Thể tích V của khối tròn xoay tạo
thành khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo công thức


A. V    sin x dx .
0



B. V    sin 2 xdx .
0


C. V  





   sin x  dx .

D. V   sin 2 xdx .

0

0

Lời giải
Chọn B


Ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là V    sin 2 xdx .
0

Câu 48: [2D3-5-2] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho miền phẳng
 D  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , hai đường thẳng x  1 , x  2 và trục hoành.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành.
A.

3
.
2

B. 3 .

C.

3
.
2

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn A
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay  D  quanh trục hoành:
2

V 
1

 x  dx  32 .
2

Câu 49: [2D3-5-2] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Gọi S là diện tích
miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là
1

2

1

1

A. S   f  x dx   f  x dx .
2

C. S 

 f  x dx .

1

1

2

B. S   f  x dx   f  x dx .
1

1

2

D. S    f  x dx .
1

Lời giải
Chọn B
Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  1 ở trên trục hoành  mang
dấu dương
1

 S1    f  x dx
1

Miền hình phẳng giới hạn từ x  1 đến x  2 ở dưới trục hoành  mang dấu âm
2

 S2   f  x dx
1


1

2

1

1

 f  x dx   f  x dx .

Vậy S 

Câu 50: [2D3-5-2](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Tính diện tích
hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y  2  x 2 và đường thẳng d đi qua hai





điểm A  2;0 và B 1;1 ( phần tô đậm như hình vẽ)

A.

 2 2
4

. B.

3  2 2
.
4

C.

 2 2
4

.

D.

3  2 2
.
4
Lời giải
Chọn D







Ta có d đi qua B 1;1 có VTCP u  AB  1  2;1 ( VTPT là n  1;1  2
Suy

phương



trình

tổng

quát

của







d : 1 x  1  1  2  y  1  0



 x  1  2 y  2  0
1
2
x
1 2

1 2
Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
1

1
2 
S    2  x 2 
x
 dx 
1 2
1  2 
 2
1
1
 1
2 
2
2

x
d
x

x



  2 1  2  dx  A  B

 2

 2 1
1
 1 x2
 1
2 1
1 2
2 

x
x 
Ta có B   

 dx  
2
2
1 2 
1 2 2 1 2   2
 2 1
y

1

Xét tích phân A 



2  x 2 dx

 2

Đặt x  2 sin t  dx  2 cos tdt ; Đổi cận: x   2  t  


2

. x 1 t 


4

.


Khi đó A 





4

4




 4

1

 2cos tdt   1  cos 2t  dt   t  2 sin 2t 
2





2

2





3 1

4 2



2

3 1 1
2 3  2 2
.
  

4 2 2 2
4

Câu 51: [2D3-5-2](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Tính diện
tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  3 và đường thẳng
y  2 x  1.
Vậy S 

A. S 

9
.
2

B. S 

1
.
6

C. S 

4
.
5

D. S 

2
.
3

Lời giải

Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm :

 x 1
x 2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0  
.
x  2
2

Ta có S   x  3x  2 dx 
2

1

2

x

2

 3x  2  dx 

1

1
.
6

Câu 52: [2D3-5-2](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Tính thể tích
V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số


y  tan x , trục Ox và đường thẳng x  .
4

 
A. V   1   .
 4

B. V   ln 2 .

C. V  ln 2 .

D.

 
V  1   .
 4
Lời giải
Chọn A
Phương trình hoành độ giao điểm : tan x  0  x  k  k 


.




4
2
1  cos2 x

sin x
2
Do đó : V     f  x   dx     tan x  dx   


d
x
 cos2 x dx
cos 2 x
b

4

4

a

0

0


4

 1

 
4   1



tan
x

x
 

1
d
x



.

2
0
cos x 
 4
0

2

0


Câu 53: [2D3-5-2] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi các đường y   x  2  , y  0 , x  1 , x  3 là :
2

A. 30 .

B. 18 .

C.

98
.
3

D. 21 .

Lời giải
Chọn C
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
3

3

1
98
3
Khi đó S    x  2  dx   x  2   .
3
3
1
1
2

Câu 54: [2D3-5-2] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Thể tích khối
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  9  x 2 ; y  0

xung quang trục Ox là :
A.

8
.
3

B.

71
.
82

C.

1296
.
5

D. 3 .

Lời giải
Chọn C.
3


x5  
1296
.
Ta có V     9  x  dx    81x  6 x3    

5
5   3

3
Câu 55: [2D3-5-2] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Diện tích
của hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x 2  2 x ; y  x bằng
3

A.

45
.
2

2 2

B. 1 .

C. 13 .

D.

9
.
2

Lời giải
Chọn D

x  0

Giải phương trình x 2  2 x  x  x 2  3 x  0  
.
x  3
Diện tích của hình phẳng  H  cần tìm là
3

S
0

3

x3
x2
x  3x dx    x  3x  dx 
3
3
2
0
2

3



2

0

9 9
 .

2 2

Câu 56: [2D3-5-2](Đề thi lần 6- Đoàn Trí Dũng - 2017 - 2018)Tính diện tích S của hình
phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 , y  2 x2  2 x.