TÍNH TOÁN VỀ ĐỘ DÀI (KHOẢNG CÁCH) DIỆN TÍCH

Câu 1: [2H1-4-4] (SGD – HÀ TĨNH ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
SA vuông góc với đáy, mặt bên  SCD  hợp với đáy một góc bằng 60 , M là trung
điểm của BC . Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng
đến mặt phẳng  SCD  bằng:
A.

a 3
.
6

B.

a 3
.
4

C.

a3 3
. Khoảng cách từ M
3

a 3
.
2

Lời giải
Chọn B

CD  AD
 CD   SAD 

Đặt AD  x  x  0  . Ta có 
CD  SA
   SCD  ,  ABCD    SDA  60

Trong SAD , có SA  x tan 60  x 3 .
Theo giả thiết VS . ABCD 



a3 3
.
3

x3 . 3 a3 . 3
 x  a.

3
3

Ta có d  M ;  SCD   

1
1
d  B;  SCD    d  A;  SCD   (1)
2
2

Vẽ AH  SD . Ta có CD  AH ( vì CD   SAD  )
Do đó AH   SCD   AH  d  A;  SCD   .
Từ (1) và (2) suy ra d  M ;  SCD   

1
AH
2

D. a 3 .


Trong SAD có

1
1
1
1
1
4
a 3
 2
 2  2  2  AH 
2
2
AH
SA
AD
3a
a
3a
2

Vậy d  M ;  SCD   

Câu 2:

a 3
.
4

[2H1-4-4][SGD HÀ NỘI-2017] Cho hình chóp S.ABC có ASB  CSB  600 ,

ASC  900 , SA  SB  SC  a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng
 SBC  .
A. d  2a 6 .

d

B. d 

a 6
.
3

C. d  a 6 .

D.

2a 6
.
3
Lời giải

Chọn B

S

B
A
H
C

+ Ta có: SAB , SBC là các đều cạnh a nên AB  BC  a
+ Ta có: SAC vuông cân tại S nên AC  a 2
+ Ta có: AC 2  AB 2  BC 2 nên ABC vuông tại B có S ABC 

a2
2

+ Gọi H là trung điểm của AC . Ta có: HA  HB  HC và SA  SB  SC nên

SH   ABC  và SH 

AC a 2
.

2
2

3V
SH .S ABC
+ Vậy d  A;  SBC    S . ABC 
S SBC
SSBC

a 2 a2
.
2
2 a 6

2
3
a 3
4


Câu 3: [2H1-4-4][CHUYÊN HÙNG VƯƠNG-GL-2017] Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a 3 , góc BAD bằng 1200. Hai mặt phẳng  SAB 

và  SAD  cùng vuông góc với đáy. Góc gữa mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng
450. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng  SBC  .
A. h  2a 2.

B. h 

2a 2
.
3

C. h 

3a 2
.
2

D.

h  a 3.
Lời giải

Chọn C
S

I

D

A
B

C

H

Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Xét tam giác ABH : sin B 
cos B 

AH
 AH  2a 3.sin 600  3a.
AB

BH
 BH  2a 3.cos 600  a 3.
AB

Xét tam giác SAH vuông tại A : tan SHA 

SA
 SA  3a tan 450  3a.
AH

Trong tam giác SAH vuông tại A , kẻ AI  SH tại I . Ta có AI   SBC  nên AI
là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
Xét tam giác SAH , ta có:

 d  A,  SBC    AI 

1
1
1
1
1
2
 2


 2.
2
2
2
2
AI
SA
AH

 3a   3a  9a

3a 2
.
2


Câu 4: [2H1-4-4][CHUYÊN THÁI BÌNH-2017]Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

a 17
, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt  ABCD  là trung điểm
2
của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H .SBD theo a .
cạnh a , SD 

A.

3a
.
5

B.

a 3
.
7

C.

a 21

.
5

D.

3a
.
5

Lời giải
Chọn A
S

B

C

H

A

D

Ta có SHD vuông tại H
B

C

2

 a 17   2  a 2 
H
 SH  SD  HD  
   a      a 3 .
2 
 2  
2

2

I

A

Cách 1. Ta có d  H , BD  

1
a 2
.
d  A, BD  
2
4

Chiều cao của chóp H .SBD là

a 2
2
4  a 6.2 2  a 3 .
d  H ,  SBD   


2
4.5a
5
a2
SH 2   d  H , BD  
3a 2 
8
SH .d  H , BD 

a 3.

1
3 3
Cách 2. S . ABCD  SH .S ABCD 
a 
3
3
1
1
1
3 3
VH .SBD  VA.SBD  VS . ABC  VS . ABCD 
a .
2
2
4
12

D

Tam giác SHB vuông tại H  SB  SH 2  HB 2  3a 2 
Tam giác SBD có SB 

 d  H ,  SBD   

5a 2
a 13
a 17
.
 S SBD 
; BD  a 2; SD 
4
2
2

3VS .HBD a 3

.
SSBD
5

Cách 3
z
S

y
B

C

I

x

O H

A

D

Gọi I là trung điểm BD . Chọn hệ trục Oxyz với
O  H ; Ox  HI ; Oy  HB; Oz  HS .





a

 a 
Ta có H  0;0;0  ; B  0; ;0  ; S 0;0; a 3 ; I  ;0;0 
2

 2 
Vì  SBD    SBI 

  SBD  :

2x 2 y
z

3


 1  2x  2 y 
z a  0.
a
a a 3
3

Suy ra d  H ,  SBD   

a 2 a 13
.

4
2

2.0  2.0 

3
.0  a
3

44

1
3



a 3
.
5