PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1: [2H3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường

 x  1  2t 
x  1 t


thẳng d :  y  2  t và d  :  y  1  2t  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 z  2  2t 
z  3  t


A. Hai đường thẳng d và d  chéo nhau.
B. Hai đường thẳng d và d  song song với nhau.
C. Hai đường thẳng d và d  cắt nhau.
D. Hai đường thẳng d và d  trùng nhau.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng d có VTCP u1  1;1; 1 .
Đường thẳng d  có VTCP u2   2;2; 2  .
Ta có u2  2.u1 nên đường thẳng d và d  song song hoặc trùng nhau.
Chọn điểm M 1; 2;3 thuộc đường thẳng d , thay tọa độ điểm M vào

1  1  2t 

phương trình đường thẳng d  , ta có d  : 2  1  2t  vô nghiệm, vậy M không
3  2  2t 

thuộc đường thẳng d  nên 2 đường thẳng song song nhau.
Câu 2: [2H3-5-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Trong không gian Oxyz , đường vuông góc

x  1 t

x  0


chung của hai đường thẳng d :  y  0
và d  :  y  4  2t  có phương trình là
 z  5  t
 z  5  3t 


A.

x4 y z2
 
.
1
3
1

B.

x4
y z2


.
2
3
2

C.

x4 y z2
 
.
2
3
2

D.

x4 y z2
 
.
2
3
2

Lời giải
Chọn D
Giả sử AB là đường vuông góc chung của d và d  với A  d , B  d  .


Ta có ud  1;0;1 , ud    0; 2;3 ,


 A  a  1;0; a  5 
 BA   a  1; 2b  4; a  3b  10  .

B
0;

4

2
b
;3
b

5






d  AB
a  3
ud .BA  0
 a  1   a  3b  10   0
Khi đó 



d   AB
b  1


2  2b  4   3  a  3b  10   0
ud  .BA  0

 A  4;0; 2 


 BA   4; 6; 4   u   2;3; 2  là một VTCP của AB .
B
0;6;
2




Kết hợp với AB qua A  4;0; 2   AB :

x4 y z2
 
.
2
3
2

Câu 3: [2H3-5-2] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Trong
không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 và mặt phẳng  P  : x – y  2 z – 3  0 . Đường
thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  P  có phương trình là
A. d :

x 1 y  2 z 1


.
1
1
2

B. d :

x 1 y  2 z 1


.
1
1
2

C. d :

x 1 2  y z 1


.
1
1
2

D. d :

x 1 y  2 z 1


.
1
1
2

Lời giải
Chọn C
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

 P

nên có vectơ chỉ phương

u  1; 1; 2  .
Đường thẳng d đi qua A 1; 2; 1 nên phương trình chính tắc có dạng:
x 1 y  2 z 1
x 1 2  y z 1





.
1
1
2
1
1
2

(CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Trong không
gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A  3; 2;1 và mặt phẳng

Câu 4: [2H3-5-2]

 P  : x  y  2 z  5  0 . Đường thẳng nào sau đây đi qua
phẳng  P  ?
x 3

1
x3

C.
1
A.

y2

1
y2

1

A và song song với mặt

x 3

4
x 3

D.
4

z 1

.
2
z 1
.
2

B.

Lời giải

y  2 z 1

.
2
1
y  2 z 1

.
2
1


Chọn D
Vì d đi qua điểm A  3;  2;1 nên loại B, C.

d   P   n P  . ud  0 nên loại A vì n P  ud .
Câu 5: [2H3-5-2] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 , B  2;3;1 đường thẳng
đi qua A 1; 2; 3 và song song với OB có phương trình là

 x  1  2t

A.  y  2  3t .
 z  3  t


 x  2  t

B.  y  3  2t .
 z  1  3t


 x  1  2t

C.  y  2  3t .
 z  3  t


D.

 x  1  4t

 y  2  6t .
 z  3  2t

Lời giải
Chọn C
Chọn OB   2;3;1 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

 x  1  2t


Phương trình đường thẳng qua A 1; 2; 3 và song song với OB là  y  2  3t .
 z  3  t

Câu 6: [2H3-5-2] (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - HKII -2016 - 2017 - BTN) Cho hai

 x  2t
x 1 y z  3

 
đường thẳng d1 :  y  1  4t và d 2 :
. Khẳng định nào sau là đúng ?
1
2
3
 z  2  6t

A. d1 // d 2 .

B. d1  d 2 .

C. d1 , d 2 chéo nhau. D. d1 cắt

d2 .

Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương a1   2; 4;6  .
Đường thẳng d 2 có vectơ chỉ phương a2  1; 2;3  , lấy điểm M 1;0;3  d 2 .
Vì a1  2a2 và điểm M  d1 nên hai đường thẳng d1 và d 2 song song.

Câu 7: [2H3-5-2] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Trong không gian với hệ trục

x 1 y 1 z

 . Tìm tọa
2
1 2
độ điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng  .

toạ độ Oxyz , cho điểm M  2;  1;1 và đường thẳng  :


 17 13 8 
A. K  ;  ;  .
3 3
 3
 17 13 8 
K  ; ; .
6 6
 6

 17 13 8 
B. K  ;  ;  .
9 9
9

 17 13 2 
C. K  ;  ;  1 . D.
 12 12 5 

Lời giải
Chọn B
Đường thẳng  có VTCP u   2;  1; 2  . K    K 1  2t;  1  t; 2t  nên

KM  1  2t; t;1  2t  .
Vì KM   nên u. AM  0  2 1  2t   t  2 1  2t   0  9t  4  0  t 

4
.
9

 17 13 8 
K ;
; .
 9 9 9
Câu 8: [2H3-5-2] (Lớp Toán - Đoàn Trí Dũng -2017 - 2018) Trong không gian với hệ trục

x  1 t
x 1 y  2 z  3



toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
và d 2 :  y  2  2t . Kết
2
3
4
 z  3  2t

luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
nhau.

B. Không vuông góc và không cắt

C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc.
nhau.

D. Vuông góc nhưng không cắt
Lời giải

Chọn C
Chọn M 1; 2;3 , N  0;0;5 là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d 2
Ta có u d1   2;3; 4  và u d2  1; 2; 2 nên u d1 .u d2  0 nên d1  d 2
Mặt khác, ta có u d1 ; u d1  MN  0 nên d1 cắt d 2 . Vậy hai đường thẳng vừa vuông


góc, vừa cắt nhau.

Câu 9: [2H3-5-2] (THPT SỐ 1 AN NHƠN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

A 1;0;1 và B 1;1;0  . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  OAB  tại O có
phương trình là


x
y

z.
1 1

y
z
x

.
1 1

A.

B. x  y 

z
.
1

C. x 

y
 z.
1

D.

Câu 10: [2H3-5-2] (THPT Số 3 An Nhơn) Cho đường thẳng  đi qua điểm M  2;0; 1 và

có véctơ chỉ phương a  (4; 6;2) . Phương trình tham số của đường thẳng  là
 x  2  4t

A.  y  6t
.

 z  1  2t


 x  2  2t

B.  y  3t
.
z  1 t


 x  2  2t

C.  y  3t .
 z  1  t


D.

 x  4  2t

 y  3t .
z  2  t


Lời giải
Chọn C
Câu 11: [2H3-5-2] (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

A  1; 2; 3 , B 1; 0; 2  . Phương trình đường thẳng AB là
 x  1  2t


A.  y  2t .
z  2  t


 x  1  2t

B.  y  1  2t .
z  2  t


 x  1  2t

C.  y  2t .
z  2  t


D.

 x  1  2t

 y  1  2t .
z  2  t


Lời giải
Chọn A
Đường thẳng AB đi qua B 1; 0; 2  . và nhận AB   2, 2, 1 làm VTCP nên
 x  1  2t


AB :  y  2t
z  2  t

Câu 12: [2H3-5-2] (CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC TÂN HỒNG PHONG) Trong không gian

với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng qua A 1; 2; 2  và
vuông góc với mặt phẳng  P  : x  2 y  3  0 .


 x  1  t

A.  y  2  2t .
 z  2  3t


x  1 t

B.  y  2  2t .
 z  2  3t


 x  1  t

C.  y  2  2t .
z  2


D.

x  1 t


 y  2  2t .
 z  2


Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng  P  : x  2 y  3  0 có VTPT n P   1; 2;0  .
Đường thẳng qua A 1; 2; 2  và vuông góc với  P  có VTCP u  n P  1; 2;0  .
x  1 t

Vậy đường thẳng này có phương trình tham số là  y  2  2t t
 z  2


.

Câu 13: [2H3-5-2] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho

mặt phẳng  P  :2 x  y  z  3  0 và điểm A 1;  2;1 . Phương trình đường thẳng đi
qua A và vuông góc với  P  là:
 x  1  2t

A.  :  y  2  4t .
 z  1  3t


 x  1  2t

B.  :  y  2  2t .

 z  1  2t


x  2  t

C.  :  y  1  2t .
z  1 t


D.

 x  1  2t

 :  y  2  t .
z  1 t


Hướng dẫn giải:
Chọn D

 x  1  2t
qua A 1; 2;1

Đường thẳng  : 
  :  y  2  t .
VTCP n P    2;  1;1
z  1 t

Câu 14: [2H3-5-2] (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 1; 2;3 và song

song với giao tuyến của hai mặt phẳng  P  : 3x  y  3  0 ,  Q  : 2 x  y  z  3  0


x  1 t

A.  y  2  3t .
z  3  t


x  1 t

B.  y  2  3t .
z  3  t


x  1 t

C.  y  2  3t .
z  3  t


D.

x  1 t

 y  2  3t .
z  3  t


Lời giải
Chọn D
Gọi  là đường thẳng cần tìm.  có vecto chỉ phương u  nP ; nQ   1; 3;1

x  1 t

Suy ra phương trình tham số của  là  y  2  3t .
z  3  t

Câu 15: [2H3-5-2] (THPT SỐ 2 AN NHƠN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

x3 y 3 z

 và mặt phẳng   có
1
3
2
phương trình x  y  z  3  0 . Đường thẳng  đi qua điểm A, cắt d và song song

A 1, 2, 1 , đường thẳng d có phương trình

với mặt phẳng   có phương trình là?
A.

x 1 y  2 z 1


.
1
2

1

B.

x 1 y  2 z 1


.
1
2
1

C.

x 1 y  2 z 1


.
1
2
1

D.

x 1 y  2 z 1


1
2
1 .

Câu 16: [2H3-5-2] ( THPT Lạc Hồng-Tp HCM )Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc

x 1 y z  2
 
.
2
1
3
Phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời cắt và vuông góc
Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z – 4  0 và đường thẳng d :

với đường thẳng d là:
A.

x 1 y 1 z 1


.
5
1
3

B.

x 1 y 1 z 1


.
5

2
3

C.

x 1 y 1 z 1


.
5
1
2

D.

x 1 y  3 z 1


.
5
1
3


Câu 17:

x3 y 3 z

 ,
1

3
2
mp ( ) : x  y  z  3  0 và điểm A 1; 2; 1 . Đường thẳng  qua A cắt d và song

[2H3-5-2](THPT QUANG TRUNG) Cho đường thẳng d :

song với mp ( ) có phương trình là:
A.

x 1 y  2 z 1


1
2
1

B.

x 1 y  2 z 1


1
2
1

C.

x 1 y  2 z 1



1
2
1

D.

x 1 y  2 z 1


1
2
1

Câu 18: [2H3-5-2] (THPT CHU VĂN AN) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các

điểm A  2;0;0  ; B  0;3;0  ; C  0;0; 4  . Gọi H là trực tâm tam giác ABC . Tìm
phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

 x  6t

A.  y  4t .
 z  3t


 x  6t

B.  y  2  4t .
 z  3t


 x  6t

C.  y  4t .
 z  3t


D.

 x  6t

 y  4t .
 z  1  3t

Lời giải
Chọn C

Do A  Ox, B  Oy, C  Oz

nên OA,OB, OC vuông góc từng đôi một.

 AC  OB
 AC  OH
Ta có 
 AC  BH
Tương tự AB  OH  OH   ABC  . Như vậy đường thẳng OH có một véctơ chỉ
phương là
u   AB, BC    12; 8;6  u   6;4; 3 với AB   2;3;0  ; BC   0; 3; 4 


 AB  (2;3;0), BC  (0; 3; 4)

 x  6t

Phương trình tham số của OH :  y  4t .
 z  3t

Câu 19: [2H3-5-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai
điểm A 1;0;1 và B  3;2; 1 .

x  3  t

A.  y  2  t , t  R .
 z  1  t


x  2  t
x  1 t


B.  y  2  t , t  R . C.  y  t , t  R .
 z  2  t
z  1 t



D.

x  1 t


 y  1 t ,t  R .
 z  1  t

Lời giải
Chọn C
Ta có AB   2; 2; 2   u   1; 1;1 là một VTCP của đường thẳng đi qua hai
điểm A 1;0;1 và B  3; 2; 1


đi qua A 1;0;1
Vậy đường thẳng AB : 
có phương trình là
VTC
P
u


1;

1
;1





x  1 t

 y  t , t  R
z  1 t



Câu 20: [2H3-5-2] (THPT NGUYỄN DU) Phương trình đường vuông góc chung của hai đường

thẳng (1 ) :

x 7 y 3 z 3
x  3 y 1 z 1




và ( 2 ) :
là:
7
1
2
2
1
3

A. 3 x – 2 y – z – 12  0 .

B. 5 x  34 y – 11z  38  0 .

2 x  2 y  z  12  0
C. 
.
5x  34 y  11z  38  0

3x  2 y  z  12  0
D. 
.
5x  34 y  11z  38  0

Câu 21: [2H3-5-2] (CỤM 2 TP.HCM) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường
x y
z
x 1 y z 1
 
thẳng a :   ; b :
và mặt phẳng  P  : x  y  z  0. Viết
1 1 2
2
1
1
phương trình của đường thẳng d song song với  P  , cắt a và b lần lượt tại M và
N mà MN  2.

A. d :

7x  4 7 y  4 7z  8


.
3
8
5

B. d :

7x  4 7 y  4 7z  8


.
3
8
5


C. d :

7 x 1 7 y  4 7 z  8


.
3
8
5

D. d :

7x  4 7 y  4 7z  8


.
3
8
5

Lời giải.
Chọn B
Gọi M  t ; t ; 2t  và N  1  2t ', t ', 1  t '  . Suy ra
MN   1  2t ' t ; t ' t ; 1  t ' 2t  .

Do đường thẳng d song song với  P  nên

1  2t ' t  t ' t 1 t ' 2t  0  t  t ' .
Khi đó MN   1  t; 2t ; 1  3t   MN  14t 2  8t  2 .
Ta có MN  2  14t 2  8t  2  2  t  0  t 

4
.
7

Với t  0 thì MN   1;0; 1 ( loại do không có đáp án thỏa mãn ).
Với t 

4
1
4 4 8
 3 8 5
thì MN    ;  ;     3;8; 5 và M  ; ;   .
7
7
7 7 7
 7 7 7

4
4

8
y
z
7
7
7  7x  4  7 y  4  7z  8 .
3
8
5
3
8
5

x

Vậy

Câu 22: [2H3-5-2] Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y z  2
 
. Phương trình đường
 P  : x  2 y  z – 4  0 và đường thẳng d :
2
1
3
thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d
là:
A.

x 1 y 1 z 1



.
5
1
3

B.

x 1 y  3 z 1


.
5
1
3

C.

x 1 y 1 z 1


.
5
1
2

D.

x 1 y 1 z 1



.
5
2
3

Câu 23: [2H3-5-2] Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 và

 Q  : x  y  z  1  0 . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt
phẳng  P  và  Q  là:
A.

x y  2 z 1


.
2
3
1

B.

x 1 y  2 z 1


.
2
3
1

C.

x y  2 z 1


.
2
3
1

D.

x 1 y  2 z 1


.
2
3
1

Câu 24: [2H3-5-2] (THPT CHUYÊN KHTN) Cho hai điểm A 3;3;1 , B 0; 2;1 , mặt phẳng
( P) : x

y

z

7

0 . Đường thẳng d nằm trên ( P ) sao cho mọi điểm của d cách

đều hai điểm A, B có phương trình là

x  t

A.  y  7  3t .
 z  2t


x  t

B.  y  7  3t .
 z  2t


 x  t

C.  y  7  3t .
 z  2t


D.

 x  2t

 y  7  3t .
 z  2t


Câu 25: [2H3-5-2] (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN) Trong không gian Oxyz ,

x 1 y 1 z  2


. Hình chiếu vuông góc của d trên mặt
2
1
1
phẳng  Oxy  là đường thẳng

cho đường thẳng d :


x  0
A.  y  1  t .

z  0


 x  1  2t
B.  y  1  t .

z  0


 x  1  2t
C.  y  1  t .

z  0

D.


 x  1  2t
 y  1  t .

z  0

Lời giải
Chọn B
Phương trình  Oxy  : z  0 nên hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng  Oxy 

 x  1  2t
là đường thẳng có phương trình tham số  y  1  t .

z  0
Câu 26: [2H3-5-2] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Trong không gian
với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường
x 1 y  2 z  3


thẳng
trên mặt phẳng  Oxy  ?
2
3
1


x  1 t


A.  y  2  3t .
z  0


x  1 t

B.  y  2  3t .
z  0


 x  1  2t

C.  y  2  3t .
z  0


D.

x  1 t

 y  2  3t .
z  0


Lời giải
Chọn C
Đường thẳng

x 1 y  2 z  3



qua M 1; 2;3 và N  3;1; 4  .
2
3
1

Gọi M  và N  lần lượt là hình chiếu của M và N trên  Oxy  ta có M  1; 2;0  ,

N   3;1;0 
 x  1  2t

Phương trình hình chiếu cần tìm là: M N  :  y  2  3t .
 z0

x 1 y 1
2
1
Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng Oxy là đường thẳng

Câu 27: [2H3-5-2] (THPT CHUYÊN KHTN) Cho đường thẳng d :

x
A. y
z
x
y
z

0

1 t.
0

x
B. y
z

1 2t
1 t.
0

x
C. y
z

1 2t
1 t .
0

z

2
1

.

D.

1 2t
1 t .

0

Câu 28: [2H3-5-2] (THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , viết phương trình hình chiếu vuông
x 1 x  2 z  3
d:


trên mặt phẳng toạ độ Oxy
2
3
1
 x  3  6t

A.  y  11  9t .
z  0


 x  5  6t

B.  y  11  9t .
z  0


 x  5  6t

 y  11  9t .
z  0


Lời giải

góc

của

 x  5  6t

C.  y  11  9t .
z  0


đường

D.

thẳng


Chọn D
Lấy N  1; 2; 3  d và gọi H là hình chiếu của điểm N trên  Oxy  thì

H  1; 2;0  .
Thay tọa độ điểm H vào các phương án ta thấy chỉ có phương án D thỏa.
Câu 29: [2H3-5-2] (THPT Chuyên Lào Cai) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
x 1 y z  2
 
mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  0 , d :
. Tọa độ điểm A thuộc Ox sao

1
2
2
cho A cách đều d và  P  là
A. A  3;0;3 .

B. A  3;3;0  .

C. A  3;0;0  .

D.

A  3;0;3 .
Lời giải
Chọn C
Vì A  Ox  A(a; 0; 0)
Đường thẳng d qua M (1; 0; 2) và có VTCP u  (1;2;2); AM  (1  a;0; 2)
d ( A, d ) 

 AM , u 
8a 2  24a  36



3
u

d ( A, ( P)) 

2a

3

Ta có:

d ( A, d )  d ( A, ( P)) 

8a 2  24a  36 2a

 8a 2  24a  36  2a
3
3

 8a 2  24a  36  4a  a 2  6a  9  0  a  3  A(3;0;0)
Câu 30: [2H3-5-2] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

x 1 y 1 z

 .
2
2
1
Gọi I là giao điểm của d và  P  , M là điểm trên đường thẳng d sao cho

Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  1  0 và đường thẳng d :

IM  9 , tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  .
A. d  M ,  P    2 2 .

B. d  M ,  P    8 .

d  M ,  P   4 .
Lời giải

C. d  M ,  P    3 2 . D.


Chọn B
Cách 1.
Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  P  .
Vectơ chỉ phương của d là u   2; 2;1 , vectơ pháp tuyến của  P  là n  1; 2; 2  .
Khi đó, ta có: sin   cos  u , n  

u.n
8
 .
u.n 9

8
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  là: d  M ,  P    IM .sin   9.  8 .
9

Vậy d  M ,  P    8 .
Cách 2.

 x  1  2t

Phương trình tham số của đường thẳng d là  y  1  2t
z  t

Tọa độ giao điểm I của d và  P  là nghiệm của hệ phương trình:

1

t   2
 x  1  2t

 y  1  2t
1
x  0



 I  0; 0;   .

2

y  0
z  t

 x  2 y  2z  1  0
1
z  

2
Giả sử điểm M có tọa độ là M 1  2t; 1  2t; t  .

 5
5

t  2  M 1  6; 6; 2 



Ta có IM  9  

7
7

t    M 2  6;  6;  
2
2


Suy ra d  M1 ,  P    d  M 2 ,  P    8 .
Vậy d  M ,  P    8 .
Câu 31: [2H3-5-2] (SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng d :

x 1 y z  3
 
. Gọi  là đường
2
1
2


thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục hoành. Tìm một
vectơ chỉ phương u của đường thẳng  .
B. u  1;  2; 0  .

A. u   0; 2; 1 .

C. u  1; 0; 1 .

D.

u   2; 2; 3 .

Lời giải
Chọn D
 là đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d nên  nằm trong

mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với d .
Phương trình mặt phẳng  P  : 2  x  1   y  2   2  z  3  0 hay
2x  y  2z  2  0 .

Giao điểm B của trục hoành và  P  có tọa độ là B  1; 0; 0  .
Khi đó BA   2; 2; 3 .
Vậy một vectơ chỉ phương của  là u   2; 2; 3 .
Câu 32: [2H3-5-2] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Viết

phương trình đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng
  : x  2 y  z  1  0 và    : x  y  z  2  0

 x  1  3t

A.  y  1  2t .
z  t


x  2  t

B.  y  2t
.
 z  1  3t


 x  1  t

C.  y  1  2t .
 z  3t


 x  1  t

 y  1  2t .
 z  3t

Lời giải
Chọn D

  : x  2 y  z  1  0 có vectơ pháp tuyến là:
  : x  y  z  2  0

n  1; 2;1 .

có vectơ pháp tuyến là: n  1; 1; 1 .

Khi đó: n , n    1;2; 3 .

D.


Vì đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   : x  2 y  z  1  0 và

  : x  y  z  2  0

nên vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u cùng phương

với n , n  . Do đó chọn u  1; 2;3 .

x  2 y  z 1  0
Tọa độ M  x; y; z    thỏa hệ phương trình: 
.
x  y  z  2  0
2 y  z  2  y  1
Cho x  1 ta được: 

 M  1;1;0  .
y  z 1
z  0
Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  1;1;0  và có vectơ chỉ phương

u  1; 2;3 là:
 x  1  t

 :  y  1  2t .
 z  3t

Câu 33: [2H3-5-2] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2; 3;1 và mặt phẳng   :

x  3 y  z  2  0 . Đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng  

có phương trình là

 x  1  2t

A. d :  y  3  3t .
 z  1  t


x  2  t

B. d :  y  3  3t .
z  1 t


x  2  t

C. d :  y  3  3t .
z  1 t


D. d :

x  2  t

 y  3  3t .

z  1 t

Lời giải
Chọn C

x  2  t

d qua điểm M  2; 3;1 nhận n  1;3; 1 là vtcp nên d có dạng d :  y  3  3t .
z  1 t

Câu 34: [2H3-5-2] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong không gian với hệ tọa độ
 x  2  3t

Oxyz , cho đường thẳng d :  y  5  4t ,  t  R  và điểm A 1; 2;3 . Đường thẳng đi
 z  6  7t

qua A và song song với đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:


B. u   3; 4; 7  .

A. u   3; 4; 7  .

C. u   3; 4; 7  .

D.

u   3; 4;7  .

Hướng dẫn giải

Chọn A
Gọi    là đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng  d 
Do đó VTCP của    là VTCP của  d  . Vậy    có VTCP là u   3; 4; 7  .
Câu 35: [2H3-5-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 và đường thẳng d :
x 1 y z  2
 
. Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời cắt và
2
1
3
vuông góc với đường thẳng d có phương trình là?

x 1

5
x 1

C.  :
5
A.  :

y 1

1
y 1

1

x 1

5
x 1

D.  :
5

z 1
3
z 1
3

B.  :

y 1 z 1

1
3
y 1 z 1

1
2

Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 có một vectơ pháp tuyến: nP  1; 2; 1 .
Đường thẳng d :

x 1 y z  2

 
có một vectơ chỉ phương: ud   2; 1; 3 .
2
1
3

Gọi  P   d  H  H 1; 1; 1 .
Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P  , đồng thời cắt và vuông góc với đường
thẳng d nhận u  nP , ud    5;  1;  3 làm một vectơ chỉ phương và đi qua

H 1; 1; 1 .

Phương trình đường thẳng  :

x 1 y 1 z 1


.
5
1
3

Câu 36: [2H3-5-2] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH –
x  t

5/2018] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :  y  1  4t
 z  6  6t


x y 1 z  2


. Viết phương trình đường thẳng đi qua
2
1
5
A 1;  1; 2  , đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d 2 .

và đường thẳng d 2 :
x 1

14
x 1

C.
3

A.

x 1

2
x 1

D.
1

y 1 z  2


.
17
9
y 1 z  2

.
2
4

B.

y 1 z  2

.
1
4
y 1 z  2

.
2
3

Lời giải
Chọn A

ud  1;  4;6 
Ta có  1
. Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với d1 , d 2 .
u


2;1;

5


 d2
x 1 y 1 z  2


Suy ra ud  ud1 , ud2   14;17;9  . Vậy phương trình d :
.
14
17
9

Câu 37: [2H3-5-2] (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 và điểm A 1; 2;1 . Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và vuông góc với  P  .

 x  1  2t

A. d :  y  2  t .
z  1 t


 x  1  2t

B. d :  y  2  4t .
 z  1  3t


x  2  t

C. d :  y  1  2t .
z  1 t


D.

 x  1  2t

d :  y  2  t .
 z  1  3t

Lời giải
Chọn A

Đường thẳng d vuông góc với  P  nên nhận n P    2; 1;1 là một VTCP.

 x  1  2t

Kết hợp với d qua A 1; 2;1  d :  y  2  t  t 
z  1 t


.

Câu 38: [2H3-5-2] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm A  2;  1; 3 , B  4; 2;  2  có
phương trình:

x4 y2 z2


A. AB:
.
2
3
5
x  2 y 1 z  3


C. AB:
.
2
3
5

x2

2
x2

D. AB:
2

B. AB:

Lời giải

y 1 z  3


.
3
5
y 1 z  3

.
1
3


Chọn A
AB  2; 3;  5  . Vậy phương trình đường thẳng AB:

x  2 y 1 z  3
.


2
1
3

Câu 39: [2H3-5-2] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian Oxyz , cho điểm A  3;1; 5 , hai mặt phẳng  P  : x  y  z  4  0 và

Q  :

2 x  y  z  4  0 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A đồng thời 

song song với hai mặt phẳng  P  và  Q  .

A.  :

x  3 y 1 z  5
.


2
1
3

B.  :

x  3 y 1 z  5
.


2
1
3

C.  :

x  3 y 1 z  5
.


2
1
3

D.  :

x  3 y 1 z  5
.


2
1
3

Lời giải
Chọn C
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là n1  1; 1;1 .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q  là n1   2;1;1 .



1 1 1

  n1 và n2 không cùng phương.
2 1 1

  P  và  Q  cắt nhau.
Mặt khác: A   P  , A   Q  .
Ta có:  n1 , n2    2;1;3 .
Đường thẳng  đi qua A  3;1; 5 và nhận vectơ n   2; 1; 3 làm vectơ chỉ
phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:

x  3 y 1 z  5



.
2
1
3

Câu 40: [2H3-5-2] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2;1;0  và đường thẳng d có phương trình

x 1 y 1 z


. Phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M , cắt và
2
1
1
vuông góc với đường thẳng d là:
d:

A.

x  2 y 1 z


.
1
4
2

B.

x  2 y 1 z

 .
1
4
2


C.

x  2 y 1 z

 .
1
3
2

D.

x  2  y 1 z


.
3
4
2

Lời giải
Chọn A

d có VTCP u   2;1; 1 .
Gọi A    d . Suy ra A 1  2a; 1  a; a  và MA   2a  1; a  2;  a  .
Ta có   d nên MA  u  MAu
.  0  2  2a  1  a  2  a  0  a 

2
.
3

1 4 2
Do đó,  qua M  2;1;0  có VTCP MA   ;  ;   , chọn u   1; 4; 2  là
3 3 3
x  2 y 1 z


VTCP của  nên phương trình của đường thẳng  là:
.
1
4
2

Câu 41: [2H3-5-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1;1 ; B  1;1;0  ; C 1;3;2  . Đường trung tuyến
xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ a nào dưới đây là một vectơ chỉ
phương?
A. a  1;1;0  .
B. a   2; 2; 2  .

C. a   1; 2;1 .
D.
a   1;1;0  .

Lời giải
Chọn D
Trung điểm BC có tọa độ I  0; 2;1 nên trung tuyến từ A có một vectơ chỉ
phương là AI   1;1;0  .
Câu 42: [2H3-5-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz . Cho mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  10  0,

điểm A 1;3;2  và đường thẳng

 x  2  2t

d :  y  1  t . Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  và d lần lượt tại hai
z  1 t

điểm M và N sao cho A là trung điểm cạnh MN .
x  6 y 1 z  3
x  6 y 1




A.
.

B.
7
4
1
7
4
x  6 y 1 z  3
x  6 y 1




C.
.
D.
7
4
1
7
4
Lời giải

z 3
.
1
z 3
.
1

Chọn D
Ta có M   d       M   d  . Giả sử M  2  2t ,1  t ,1  t  , t 
Do A là trung điểm MN nên N  4  2t; 5  t; t  3 .
Mà N   P  nên ta có phương trình 2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t  2 .
Do đó, M  6;  1;3 .
AM   7;  4;1 là vectơ chỉ phương của đường thẳng  .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

x  6 y 1 z  3


.
7
4
1

Câu 43: [2H3-5-2] (SGD Bình Dương - HK 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz , phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;  5  và vuông
góc với mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  4 z  5  0 là

x  2  t

A. d :  y  3  2t .
 z  4  5t


 x  1  2t


B. d :  y  2  3t .
 z  5  4t


 x  1  2t

C. d :  y  2  3t .
 z  5  4t


D.

x  2  t

d :  y  3  2t .
 z  4  5t

Lời giải
Chọn C
Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;  5  và vuông góc với mặt phẳng

 P  : 2x  3 y  4z  5  0

nên nhận u   2; 3;  4  là véctơ chỉ phương

 x  1  2t

Phương trình đường thẳng d là d :  y  2  3t .
 z  5  4t


Câu 44: [2H3-5-2] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong

không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3;0;1 ,

B 1; 1;3 . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với  P  , đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
A.

x  3 y z 1
 
.
26 11 2

B.

x3
y
z 1


.
26
11 2

C.

x  3 y z 1
 
.
26 11 2

D.

x  2 y 1 z  3


.
26
11
2


Lời giải
Chọn A
Đường thẳng trong đáp án C, D không đi qua A, nên ta loại C, D.
Ta có: n P  .u A  26  22  4  0 , n P  .uB  26  22  4  44 .
Do đó, đường thẳng trong đáp án B không song song với  P  . Loại B.
(SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
 x  4  3t

Oxyz , cho điểm M  0; 2; 0  và đường thẳng d :  y  2  t . Đường thẳng đi qua M
 z  1  t

, cắt và vuông góc với d có phương trình là
x 1 y 1 z
x 1 y
x
y2 z
z







A.
B.
C.
D.
1
1
1
1 2
1
1
2
2
x
y z 1
 
1 1
2
Lời giải
Chọn A

Câu 45: [2H3-5-2]

qua N  4; 2; 1
Ta có : d : 
vtcp ud   3;1;1

 MH .ud  0
MH  d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d  
 H  d
H  d
 x  4  3t
y  2t

 H 1;1;  2  .

 z  1  t
3 x  y  2  z  0

Đường thẳng  đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là
MH  1;  1;  2  .

Phương trình  :

x
y2 z

 .
1
1
2

Câu 46: [2H3-5-2] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Trong không gian
x 1 y 1 z


 và mặt phẳng  P  : x  3 y  z  0 .
Oxyz , cho đường thẳng  d  :
1
1 3
Đường thẳng    đi qua M 1;1; 2  , song song với mặt phẳng  P  đồng thời cắt
đường thẳng  d  có phương trình là


A.

x  3 y 1 z  9


1
1
2

B.

x  2 y 1 z  6


1
1
2

C.

x 1 y 1 z  2



1
2
1

D.

x 1 y 1 z  2


1
1
2

Lời giải
Chọn D

x  1 t

Phương trình tham số của  d  :  y  1  t , t 
 z  3t


.

Mặt phẳng  P  có véc tơ pháp tuyến n  1;3;1 .
Giả sử   d  A 1  t;1  t;3t  .
 MA   t ; t ;3t  2  là véc tơ chỉ phương của 

 MA.n  0  t  3t  3t  2  0  t  2 .

 MA   2; 2; 4   2 1; 1; 2  . Vậy phương trình đường thẳng

:

x 1 y 1 z  2


.
1
1
2

Câu 47: [2H3-5-2] (THPT Vũng Tàu - BRVT - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong không
gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm B  2; 1;3 và mặt phẳng

 P  : 2 x  3 y  3z  4  0 . Đường thẳng

 đi qua điểm B và vuông góc mp  P  có

phương trình là
x  2 y 1 z  3


A.
.
2
3
1
C.

x  2 y 1 z  3


.
2
3
1

B.

x  2 y 1 z  3


.
2
3
1

D.

x  2 y 1 z  3


.
2
3
1

Lời giải
Chọn B

Do  vuông góc với mp  P  nên véc tơ chỉ phương của  : u   2; 3;1
Vậy phương trình đường thẳng  :

x  2 y 1 z  3


.
2
3
1

Câu 48: [2H3-5-2] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Trong không gian với
hệ tọa độ Descartes Oxyz , cho điểm M  0;  1; 2  và hai đường thẳng


x 1 y  2 z  3
x 1 y  4 z  2




, d2 :
. Phương trình đường thẳng đi qua
1
2
1
1
2
4
M , cắt cả d1 và d 2 là

d1 :

x
y 1 z  3
x y 1 z  2



. B. 
.
9
9
3
3
4
8

2
2
x
y 1 z  2


.
9
9
16

A.

C.

x y 1 z  2


.
9
9
16

D.

Lời giải
Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm.
  d1  A  t1  1;  t1  2; 2t1  3 ;   d2  B  2t2  1;  t2  4; 4t2  2  .
MA   t1  1;  t1  1; 2t1  1 ; MB   2t2  1;  t2  5; 4t2  .

Ta

có:

M , A, B

thẳng

hàng

7


t1  2
t1  1  k  2t2  1
7



1 t1 

 MA  k MB  t1  1  k  t2  5  k    
2 .
2
2t  1  4kt

t2  4
2
 1
kt2  2


 MB   9; 9;  16  .

Đường thẳng  đi qua M  0; 1; 2  , một VTCP là u   9;  9; 16  có phương trình
là:
:

x y 1 z  2


.

9
9
16

Câu 49: [2H3-5-2] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Trong không gian với
x  3 y 1 z 1


hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :
. Hình chiếu vuông góc của
2
1
3
d trên mặt phẳng  Oyz  là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
A. u   0;1;3 .

B. u   0;1; 3 .

u   2; 0; 0  .

Lời giải
Chọn B

C. u   2;1; 3 .

D.


 5 7
Ta có d cắt mặt phẳng  Oyz  tại M  M  0; ;   , chọn A  3;1;1  d và gọi

 2 2
B là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  Oyz   B  0;1;1 .

 3 9
Lại có BM   0; ;   . Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng
 2 2
phương với vectơ BM nên chọn đáp án B.
Câu 50: [2H3-5-2](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Cho điểm A  2;1;0  và

 x  1  2t

đường thẳng d1 :  y  1  t . Đường thẳng d 2 qua A vuông góc với d1 và cắt d1
 z  t

tại M . Khi đó M có tọa độ là
5 2 1
A.  ;  ;   .
 3 3 3

7 1 2
C.  ;  ;   .
3 3 3

B. 1; 1;0  .

3;0; 1 .

D.

Lời giải

Chọn C
M  d1  M 1  2t; 1  t; t   AM   1  2t ; 2  t ; t  .

d1 có VTCP u   2;1; 1 .

Vì d1  d 2  u1.u2  0  6t  4  0  t 

2
7 1 2
 M  ; ;  .
3
3 3 3

----------HẾT----------

Câu 51: [2H3-5-2] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

 P  : 4 x  z  3  0 . Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng
d?
A. u   4; 1;  1 .

B. u   4;  1; 3 .

u   4; 1; 3 .

Lời giải
Chọn C

C. u   4; 0;  1 .

D.