Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán

Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh

Dương Hữu Tòng

Dạy học chủ đề phân số ở
trường tiểu học thông qua hoạt
động giải các bài toán

Năm 2014


i

MỤC LỤC

MỤC LỤC ..................................................................................................................
i DANH MỤC CÁC BẢNG .....................................................................................
vii

DANH

MỤC

CÁC

.....................................................................................

SƠ
ix

MỞ

ĐỒ
ĐẦU

....................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................1
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở
tiểu học ................................................................................................................
1
1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học
toán ...................................................................................................................... 2
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu
khoa học .............................................................................................................. 4

2. Giới hạn của đề tài ..............................................................................................11
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu.....................................11
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................................13
4.1. Nghiên cứu lí luận ............................................................................................. 13
4.2. Thực nghiệm sư phạm ....................................................................................... 14

5. Giả thuyết nghiên cứu.........................................................................................14
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ..........................................................15
6.1. Về mặt lí luận ..................................................................................................... 15
6.2. Về mặt thực tiễn ................................................................................................. 15

7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ.........................................................................15
8. Cấu trúc của luận án ...........................................................................................16
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN..............................................................................17
1.1. Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán ...............................17
1.1.1. Khái niệm Bài toán ......................................................................................... 17

1.1.2. Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán” ................................... 20


ii

1.1.3. Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ........................... 21
1.1.4. Khái niệm “Nghĩa” của tri thức..................................................................... 26
1.1.5. Quan điểm đầu tên của luận án về dạy học thông qua hoạt động giải các
bài toán ..............................................................................................................
29

1.2. Một số yếu tố lí thuyết của Didactic toán .......................................................31
1.2.1. Nghiên cứu khoa học luận ............................................................................. 31
1.2.2. Nghiên cứu sự chuyển đổi didactc ................................................................ 33
1.2.3. Lí thuyết nhân chủng học............................................................................... 33
1.2.4. Các khái niệm trong lí thuyết tình huống ...................................................... 34

1.3. Một số chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng
của Chính phủ và Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam ..................................36
1.4. Kết luận chương 1 ............................................................................................37
CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM
PHÂN SỐ
.................................................................................................................38
2.1. Giai đoạn 1: từ thời kỳ nguyên thủy đến thời cổ đại ....................................38
2.1.1. Cách tếp cận phân số của người Ai Cập ...................................................... 38
2.1.2. Cách tếp cận phân số của người La Mã cổ đại ............................................ 42
2.1.3. Cách tếp cận phân số của người Babylon .................................................... 42
2.1.4. Cách tếp cận phân số của người Hy Lạp...................................................... 43
2.1.5. Kết luận giai đoạn 1 ........................................................................................ 47

2.2. Giai đoạn 2: Toán học thời Trung cổ .............................................................48
2.2.1. Cách tếp cận phân số của người Ấn Độ ....................................................... 48
2.2.2. Cách tếp cận phân số của Fibonacci ............................................................ 49
2.2.3. Cách tếp cận phân số của người Anh ........................................................... 50
2.2.4. Cách tếp cận phân số của Descartes (1596 -1650) ....................................... 51
2.2.5. Cách tếp cận phân số của người Mexico...................................................... 52
2.2.6. Kết luận giai đoạn 2 ........................................................................................ 53

2.3. Giai đoạn 3: Toán học hiện đại .......................................................................53
2.3.1. Cách tếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết số ....................................... 53
2.3.2. Cách tếp cận số phân số của Laplace (1749-1827) ...................................... 54
2.3.3. Cách tếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết tập hợp .............................. 54


3

2.3.4. Cách tếp cận số phân số của của George Cantor (1845 - 1918).................. 57
2.3.5. Kết luận giai đoạn 3 ........................................................................................ 58

2.4. Kết luận chương 2 ............................................................................................59
2.4.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển.............................................................. 59
2.4.2. Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan ....... 59
2.4.3. Các đối tượng có liên quan............................................................................. 60
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số............................................................. 60
2.4.5. Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số........................................ 65

CHƯƠNG 3. KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO
GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC.....69
3.1. Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học...........................................69
3.1.1. Phân số trong các giáo trình Số học (Lí thuyết số) ....................................... 70

3.1.2. Phân số trong các giáo trình Phương pháp dạy học toán ở tiểu học ........... 73

3.2. Phân số trong thể chế dạy học toán ở tiểu học ..............................................76
3.2.1. Mục têu, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phân số...................................... 76
3.2.2. Cách hình thành khái niệm phân số trong các sách giáo khoa ................... 77
3.2.3. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phân số ..................................... 92

3.3. Kết luận chương 3 ............................................................................................94
3.3.1. Về các cách tiếp cận phân số.......................................................................... 94
3.3.2. Về phạm vi tác động của khái niệm phân số ................................................. 97
3.3.3. Về các đối tượng liên quan khái niệm phân số ............................................. 97
3.3.4. Nhìn từ quan điểm dạy học thông qua hoạt động giải toán ......................... 97

CHƯƠNG 4. DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT
ĐỘNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN........................................99
4.1. Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán...............................99
4.1.1. Đặc trưng của bài toán ................................................................................... 99
4.1.2. Đặc trưng của tình huống dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán .....
....................................................................................................................... 100
4.1.3. Kịch bản dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ........................... 100
4.1.4. Vai trò, nhiệm vụ của giáo viên.................................................................... 101
4.1.5. Vai trò, nhiệm vụ của học sinh .................................................................... 101


4

4.1.6. Một số cách để thiết kế một bài toán ............................................................
102
4.1.7. Tiến trình tổ chức dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán. 102

4.2. Sử dụng hoạt động giải toán vào dạy học chủ đề phân số ở tiểu học ........104
4.2.1. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ” [27,tr.106] ................... 105
4.2.2. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ
NHIÊN” [27,tr.108] ........................................................................................ 106
4.2.3. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ BẰNG NHAU” [27,tr.111]
.......................................................................................................................
107
4.2.4. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “RÚT GỌN PHÂN SỐ” [27,tr.112] 109
4.2.5. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “QUI ĐỒNG MẪU SỐ CÁC PHÂN SỐ”
[27,tr.115] ................................................................................................ 110
4.2.6. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÙNG MẪU
SỐ” [27,tr.119] ...................................................................................... 111
4.2.7. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÁC MẪU
SỐ” [27,tr.121] ...................................................................................... 112
4.2.8. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “ PHÉP CỘNG PHÂN SỐ” ............ 115
4.2.9. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP CỘNG PHÂN SỐ (tiếp theo)”
[27,tr.123] ........................................................................................................
117
4.2.10. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP TRỪ PHÂN SỐ” [27,tr.127] ..
.......................................................................................................................
118
4.2.11. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP TRỪ PHÂN SỐ” (tiếp theo)
[27,tr.130] ........................................................................................................
119
4.2.12. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP NHÂN PHÂN SỐ”
[27,tr.132] ........................................................................................................
120
4.2.13. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ”
[27,tr.135] ........................................................................................................
123

4.2.14. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP CHIA PHÂN SỐ” [27,tr.137]
.......................................................................................................................
124
4.2.15. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TỈ SỐ” [27,tr.146] ........................ 127

4.3. Kết luận chương 4 ..........................................................................................127


5

CHƯƠNG 5. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................129
5.1. Thực nghiệm A – Bài toán 1..........................................................................130


6

5.1.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 1 ................................................................. 130
5.1.2. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................... 133
5.1.3. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................. 134
5.1.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 1........................................................... 138

5.2. Thực nghiệm A – Bài toán 2 và Bài toán 3 ..................................................138
5.2.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 và bài toán 3 ........................................... 138
5.2.2. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................... 142
5.2.3. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................. 143
5.2.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 2 và bài toán 3 .................................... 147

5.3. Thực nghiệm A – Bài toán 4..........................................................................147
5.3.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm ......................................... 147
5.3.2. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................... 150

5.3.3. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................. 151
5.3.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 4........................................................... 155

5.4. Thực nghiệm B ...............................................................................................155
5.4.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm ......................................... 155
5.4.2. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................... 164
5.4.3. Phân tích hậu nghiệm .................................................................................. 165
5.4.4. Kết luận thực nghiệm B................................................................................ 169

5.5. Kết luận chương 5 ..........................................................................................169
KẾT LUẬN ............................................................................................................170
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ..........................................172
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................173


7

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
VIẾT TẮT

VIẾT ĐẦY ĐỦ

DH

Dạy học

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KN

Khái niệm

PPDH

Phương pháp dạy học

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên


vii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng
2.1

Nội dung
So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng

đẳng cấu

Trang
56

3.1

Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học phân số

76

3.2

So sánh “phân số - thương” và “phân số - tỉ số”

89

3.3

Tổng kết các cách tếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ
khác nhau

90

3.4

Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số

92

3.5

Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số

93

3.6

Thống kê các bài tập phân loại theo các cách tiếp cận phân
số

94

5.1

Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 1

134

5.2

Thống kê chiến lược giải các nhóm đối với Bài toán 1

136

5.3

Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 2 và 3

144

5.4

Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 2
và 3

145

5.5

Thống kê chiến lược giải của HS đối với Bài toán 4

152

5.6

Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với Bài toán 4

153

5.7

Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu a của bài toán
5

165


8

5.8
5.9
5.10

Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu b của bài toán
5
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu a của
bài toán 5
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu b của
bài toán 5

166
167
167


9

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ
1

Nội dung
Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động
giải toán

Trang
4

Tiến trình nghiên cứu của luận án

13

3.1

Quan hệ giữa các cách tếp cận phân số

90

3.2

Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK

91

3.3

Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận

91

3.4

Hình thức thể hiện của khái niệm phân số

91

3.5

Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động

91

4.1

Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải
toán

103

2


1


2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán
ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở
tiểu học trừ khối 1. Thậm chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình
toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của mảng kiến thức số học này
trong chương trình toán phổ thông.
Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các kiến
thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là cơ
sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân. Do vậy, DH KN phân số ít nhiều

cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn hiện diện
trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán có lời
văn, yếu tố thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình toán ở
tểu học.
Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục Việt Nam đã biên soạn lại toàn bộ
sách giáo khoa (SGK) chương trình tiểu học và điều đó chính thức hoàn thành vào
năm 2006. Do vậy, các nội dung liên quan KN phân số cũng khác đi so với chương
trình trước đó. Chính sự thay đổi này kéo theo sự điều chỉnh trong đào tạo của các
trường đại học, cao đẳng sư phạm có tham gia đào tạo SV Giáo dục tiểu học.
Bên cạnh đó, sự điều chỉnh này cũng ảnh hưởng phần nào đến quá trình
DH của giáo viên (GV) và cách học tập của học sinh (HS). Việc đổi mới về
chương trình cũng dẫn đến sự đổi thay về nội dung và phương pháp dạy học
(PPDH) là một tất yếu. Điều này buộc GV phải chỉnh sửa lại bài giảng cũng như
phương pháp truyền thụ của mình đối với các nội dung của chủ đề phân số.
Sự thay đổi của bộ đôi này có thật sự tạo điều kiện thuận lợi để cho GV và HS
tiếp cận các nội dung của chủ đề phân số hay chưa?
Ngoài ra, các nhà giáo dục đang có định hướng viết lại SGK vào năm 2015. Vì
vậy, những nghiên cứu về nội dung DH phân số trước khi đổi mới là cần thiết.


Trong đó, những điều hay hiện có của SGK thì giữ lại và tiếp tục phát huy còn
những hạn chế thì thay đổi cho phù hợp với quan điểm DH hiện nay.
1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học
toán
1.2.1. Dạy học thông qua hoạt động giải toán thể hiện được ý nghĩa của việc
dạy học toán
Hoạt động giải toán được sử dụng nhằm chứng minh cho việc giảng dạy toán
học. Để thuyết phục HS thấy được giá trị của toán học, nội dung DH cần liên quan
đến việc giải quyết vấn đề thực tiễn. Hoạt động giải toán cũng được thực hiện
để gợi động cơ cho các em, làm dấy lên mối quan tâm của họ trong một chủ đề

toán học cụ thể thông qua những tình huống thực tế. Nó còn dùng giải trí, xem như
một hoạt động thú vị thường được áp dụng trong giờ giải lao. Hoạt động giải toán
có thể được vận dụng rộng rãi để củng cố các kĩ năng và KN đã được giảng dạy
trước đó.
Ví dụ: GV có thể trình bày KN phân số thông qua hoạt động giải toán “Có 3
quả cam chia đều cho 4 bạn. Hỏi mỗi bạn được bao nhiều phần của quả cam?”
Bằng cách cung cấp bối cảnh hoạt động giải toán như thế, GV có thể đạt nhiều mục
tiêu: tạo ra các cơ hội cho HS khám phá KN phân số (gợi động cơ), làm cho KN phân
số càng cụ thể hơn, cung cấp cho HS thấy được ý nghĩa của việc học phân số.
Trong quyển “Sáng tạo toán học” [49], George Polya giới thiệu rằng hoạt động
giải toán có thể được giảng dạy như là một nghệ thuật thực tế, giống như chơi
piano hay bơi lội. Polya nhận thấy hoạt động giải toán như là một nghệ thuật nhận
thức và khám phá. Ông khuyến khích nên trình bày toán học không phải là tập hợp
các sự kiện và qui tắc, mà như là một khoa học thực nghiệm và qui nạp.
Hoạt động giải toán như là một nghệ thuật có ý nghĩa phát triển khả năng
của HS để trở thành người giải quyết vấn đề khéo léo và nhiệt tình, suy nghĩ độc
lập, những người có khả năng ứng phó với các bài toán có kết thúc mở hay bài toán
khó.
1.2.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư
phạm hiện nay


 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:


- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung
vào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức
của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các
em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán.
- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết

hoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống....Điểm chung của các lí
thuyết này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do vậy, hoạt động giải toán
vẫn đảm bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra
các chiến lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức
mới.
- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH
phát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu cầu
GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sáng tạo,
tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện cho
người học được làm việc với các hoạt động tích hợp. Nếu xét về khía cạnh này, hoạt
động giải toán sẽ hỗ trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán.
- Thêm vào đó, theo PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng lực
hiểu biết toán học cho HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH mô
hình hoá. Mô hình DH này có thể thực hiện theo tến trình:
Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời
cho bài toán thực tế  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định
nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây
dựng nên tri thức. Tri thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của
hoạt động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù hợp với xu hướng DH bằng mô
hình hóa như hiện nay.
 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán
cũng
phù hợp với quan điểm sư phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp. Theo
[101,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này có đặc trưng: nhấn mạnh


trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán,
và

nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức. Nói chung, quốc gia này coi trọng việc
DH toán thông qua hoạt động giải toán.
1.2.3. Dạy học thông qua hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo
quan
điểm khoa học luận
Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của
đối tượng tri thức cần giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này.
Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN toán học chỉ ra rằng nó thường
xuất hiện theo tến trình sau:
Công cụ ngầm ẩn
Giải bài toán

Đối tượng

Công cụ tường minh

Nghiên cứu KN

Giải toán

Sơ đồ 1: Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động giải toán
Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán.
Trong trường hợp này, chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động
giải toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay các khoa học khác (vật lí, hóa
học, địa lí,…). Hơn thế nữa, lịch sử toán học chỉ ra rằng chúng sẽ lấy nghĩa qua
những bài toán mà cho phép nó giải quyết. Hiện nay, GV cung cấp cho HS những
vấn đề rất “sạch sẽ”, các KN hoàn hảo, không cho phép các em thấy được nguồn
gốc hay điều kiện nảy sinh gắn liền với tri thức. Điều này đôi khi không đảm bảo
được qui trình nhận thức của HS.

Tóm lại, nghiên cứu hoạt động giải toán cho phép nối khớp giữa đặc trưng khoa
học luận của KN và qui trình nhận thức toán học của HS. Để minh chứng cho điều
này, chúng tôi sẽ tiếp cận những hoạt động giải toán liên quan đến chủ đề phân số.
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu
khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong
DH phân số ở tiểu học. Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo
trên Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong
chương trình môn toán ở tểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ
[105]).


Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc
Bảo [1]. Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như
là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và
lớp
4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặp
nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan
hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân
số thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác giả chưa có những
nghiên cứu khoa học luận của KN phân số.
Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] nghiên cứu đề tài luận án: “Dạy
học môn Toán ở trường trung học phổ thông thông qua hoạt động giáo khoa”. Mặc
dù, tác giả này không nghiên cứu về chủ đề phân số nhưng có nội dung “gần” với
chủ đề của chúng tôi. Trong luận án đó, tác giả đưa ra quan điểm về hoạt động, DH
thông qua hoạt động giáo khoa. Tuy nhiên, tác giả không đi nghiên cứu sâu KN bài
toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Hơn nữa, các bài toán do tác giả này
đề xuất không được xem xét trên phương diện của một nghiên cứu khoa học luận.
Saenz-Ludlow (1990, 1992, 1994, 1995) xây dựng và phát triển việc DH phân số
trên “case studies” (nhưng Hunting 1986 đã công bố tác phẩm tương tự), tức là

phân tích quá trình DH liên quan đến chủ đề mà tập trung vào các chiến lược
cá nhân để hiểu KN phân số và biểu diễn phép cộng các phân số (trích theo [85]).
Cách hướng dẫn truyền thống trong nhà trường tiểu học thường nhấn mạnh
sự hiểu biết số phần / toàn thể để giúp HS học phân số, trong đó cái toàn thể được
chia thành các phần bằng nhau và HS xác định số phần được tô màu (Carrahar
1996; Gould, 2005) (trích theo [85]).
Trong hơn bốn thập kỉ qua, các nhà nghiên cứu đã phát triển các giải thích về
KN số phần / toàn thể và một số mô hình liên quan đến chương trình giảng dạy. Ba
nhánh được phát triển độc lập: Dự án về số hữu tỉ (Behr, Lesh, Post & Silver, 1983;
Behr, Khoury, Harel, Post, & Lesh 1997) dựa trên nghiên cứu của Kieren (1980),
người mà đầu tiên đưa ra mô hình số phần / toàn thể để nghiên cứu phân số;
nhóm người Hà Lan phát triển một chương trình trong đó hiểu số phần / toàn thể
trong các


tình huống chia đều (Streefland, 1991) và Steffe (2002) đưa ra lời giải thích cho số
phần / toàn thể như là KN phân số đơn vị được chia phần (trích theo [80]).
Bonotto (1991) trình bày một phân tích khá chi tiết cho một số phương
pháp tiếp cận khác nhau đối với số hữu tỉ và các thực nghiệm sư phạm có liên
quan. Tuy nhiên, các cách tiếp cận này không được nghiên cứu dưới ánh sáng của
đặc trưng khoa học luận (trích theo [85]).
Figueras (1991) trình bày bản tóm tắt của việc sử dụng các phân số và số hữu
tỉ trong thực tế. Nghiên cứu của ông cung cấp một số quan điểm DH hữu ích cho
các ví dụ SGK dựa trên những tình huống thực tế mà trong đó có sử dụng phân số.
Nghiên cứu này phù hợp với xu hướng DH toán hiện nay – DH bằng mô hình hóa
(trích theo [85]).
Behr, Lesh, Post, Silver (1992, 1993) tổ chức buổi thảo luận về hoạt động
giảng dạy, trong đó phân biệt các giai đoạn học tập KN phân số và số hữu tỉ, đồng
thời phân tích ngôn ngữ của việc

phân số trong lớp học (trích theo [89]).

Streefand (1990, 1991, 1993) cung cấp các ví dụ học tập và giảng dạy phân số
trong thực tiễn nhằm giải thích nhu cầu học tập phân số xuất phát từ cuộc sống
hàng ngày. Nghiên cứu này tương đồng với nghiên cứu của Figueras (trích theo
[89]).
Graeber, Tanenhaus (1993) đề xuất cách tiếp cận phân số thông qua các tình
huống đo lường và do đó chúng mang lại nghĩa cho HS xây dựng kiến thức theo chủ
đề này. Thế nhưng, nghiên cứu này chưa mang lại đầy đủ các nghĩa khác nhau của
phân số như trong lịch sử (trích theo [86]).
Gray (1993) được nhắc đến như tác giả nghiên cứu những vấn đề thường gặp
trong việc chuyển từ số tự nhiên sang phân số cũng như các khó khăn có liên quan.
Đây là một nghiên cứu khá thú vị, thế nhưng các nguyên nhân của khó khăn, sai
lầm không được giải thích dưới ngôn ngữ của didactic toán (trích theo [93]).
Davis, Hunting, Pearn (1993a, b) đề xuất sử dụng các sơ đồ để biểu diễn mối
quan hệ giữa các số tự nhiên và các phân số. Nghiên cứu của họ gắn liền một thực
nghiệm giảng dạy hơn 2 năm với các em HS từ 8 đến 10 tuổi (trích theo [90]).


Giménez (1994) cho rằng cần phân biệt giữa "chia" theo ngôn ngữ đời
thường và "phân số" trong toán học, bằng cách sử dụng những kinh nghiệm, những
câu chuyện để kích thích nhận thức của HS. Tất cả được thiết kế nhằm tạo ra mối
liên kết giữa các tình huống trong đó có sử dụng phân số (trích theo [92]).
Kamii, Clark (1995) xem xét các câu hỏi về những khó khăn cho việc hiểu biết
mối quan hệ tương đương giữa các phân số (phân số bằng nhau). Nghiên cứu
này cho biết thêm về cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (trích theo
[91]).
Barbero, Carignano, Magnani, Tremoloso (1996) đưa ra các dữ liệu có liên
quan đến sai lầm mà HS gặp phải khi làm việc với phân số, trong đó họ còn phân
tích các tình huống và những nguyên nhân có thể. Nghiên cứu này cũng tương

tự như Gray đã tiến hành trước đó (trích theo [93]).
Singh (2000) trình bày một nghiên cứu về tỉ số và tỉ lệ. Nó được đánh giá là
khá quan trọng trong việc giải thích KN phân số. Ngoài ra, kết luận của ông khẳng
định các hoạt động liên quan đến tỉ lệ đòi hỏi khả năng nắm vững hai tỉ số. Nghiên
cứu của ông đánh dấu cách tiếp cận phân số theo tỉ số. Mặc dù vậy, nó cũng không
được thực hiện dưới sự so sánh với lịch sử của phân số (trích theo [81]).
Wu (2001) nhận xét rằng HS nên được giải quyết các vấn đề đến từ thực
tế cuộc sống có liên quan phân số bởi vì “các KN toán học gắn liền những hoạt động
được bắt nguồn từ một số tình huống và vấn đề”. Nghiên cứu này cũng tương
tự như một số tác giả trước đó như: Figueras và Streefand (trích theo [81]).
Kosbob & Moyer (2004) chỉ ra: trẻ em hiểu biết mối quan hệ số phần / toàn
thể được xem như là nền tảng kiến thức số hữu tỉ; là cơ sở xây dựng KN phân số
như là số phần bằng nhau được lấy ra từ cái toàn thể và là mục tiêu đầu tiên
cho trẻ em hiểu biết phân số. Nghiên cứu này tiếp cận phân số dựa trên số phần /
toàn thể mà chưa giới thiệu các cách tiếp cận khác của phân số (trích theo [80]).
Xenia Vamvakoussi (2004) nghiên cứu sự hiểu biết của HS về cấu trúc đại số
và các tính chất của tập hợp số hữu tỉ. Ông cũng chỉ ra được kiến thức trước đó của
HS về số tự nhiên (tính rời rạc) có thể giúp các em học tập tính trù mật của số
hữu


tỉ. Nghiên cứu của tác giả tập trung vào tính chất trù mật của số hữu tỉ (phân số)
mà không đi sâu các tính chất khác (trích theo [81]).
Douglas Ruby (2004) nhấn mạnh việc hiểu được “độ lớn” của phân số cần phải
biết rút gọn phân số. Ông cũng chỉ ra các kiến thức liên quan đến rút gọn phân số:
chia hết, đưa về tích số, khả năng nhận ra hai số nguyên tố, sự hiểu biết về tính
chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép nhân,…Trong nghiên cứu của mình,
ông cũng tìm hiểu qua về lịch sử của rút gọn phân số. Tuy nhiên, kết quả chỉ mang
tính điểm qua lịch sử mà không phải là một nghiên cứu khoa học luận (trích theo
[88]).

Bernardo Gómez Alfonso (2005) nghiên cứu những khó khăn liên quan đến
nhân và chia các phân số. Ông cố gắng giải thích các khó khăn theo hướng tiếp cận
lịch sử. Cụ thể, các nguyên nhân sai lầm như thế có nguồn gốc từ việc áp dụng các
phép tính đối với số tự nhiên. Tuy vậy, tác giả chưa chỉ ra cách để tạo điều kiện
thuận lợi cho việc thay đổi quan niệm ở trẻ (trích theo [89]).
Trong một nghiên cứu của Brizuela (2006), đối với trẻ “phân số là một phần
thiết yếu của cuộc sống hàng ngày của họ” mặc dù họ không nhất thiết phải hiểu
được ý nghĩa của một phân số (trích ra từ [89]).
Trong bài viết “Mở rộng nghĩa của kí hiệu phân số: một thực nghiệm sư
phạm”, K. Subramanariam (2006) mở rộng nghĩa phân số với quan hệ số phần /
toàn thể sang quan hệ nhân với vai trò là một toán tử. Thực nghiệm giúp HS
hiểu sâu hơn về suy luận của phép nhân. Từ đó, nó tạo điều kiện cho HS trong việc
giải quyết vấn đề và học tập các phép tính đại số ([82]).
Neumer (2007) được nhắc đên vì ông đã chỉ ra KN hỗn số và phân số thực sự
gây nhầm lẫn cho HS, bởi vì họ không hiểu tử số lớn hơn mẫu số, cũng như thực tế
là một số nguyên có thể được viết bên cạnh một phân số (trích theo [89]).
Trong bài báo “The development, and the developing of the concepton of a
fraction”, László Filep trình bày sơ lược về lịch sử KN phân số. Thế nhưng trong
nghiên cứu này ông chỉ làm rõ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia và những
điều cần lưu ý về mặt sư phạm. Rõ ràng, đây cũng không phải là công trình nghiên


cứu khoa học luận. Hơn thế nữa, KN phân số không chỉ hình thành dựa trên phép
chia mà còn nhiều cách tếp cận khác ([83]).
Mathar Isabel Fandino Pinila (2007) đưa ra một nghiên cứu về phân số trong
“Fractions: Conceptual and Didactic Aspects”. Trong đó, ông nhấn mạnh rằng việc
DH phân số thường không thành công do bởi một số nguyên nhân. Tác giả tập hợp
các nguyên nhân dẫn đến việc học phân số không thành công dựa trên những
nghiên cứu giáo dục toán. Các nguyên nhân đó có thể là: hợp đồng didactic,
chướng ngại khoa học luận, khó khăn,…Do vậy, nghiên cứu này được thực hiện

dưới một số công cụ lí thuyết của didactic toán. Tuy nhiên, tác giả cũng chưa
tiến hành công việc dưới một nghiên cứu đặc trưng khoa học luận (trích theo [85]).
Susanne Prediger (2008) viết bài “The relevance of didactic categories for
analyzing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multplicaton of
fractions”. Tác giả chỉ ra cơ sở lí luận của chướng ngại khoa học luận và nghiên cứu
trường hợp cụ thể: nhân hai phân số. “Nhân luôn làm kết quả lớn hơn” được kiểm
chứng là chướng ngại khoa học luận đối với HS trong việc học phép nhân phân số.
Sự chưa hoàn chỉnh của nghiên cứu là chỉ làm rõ được một trong các chướng
ngại có liên quan đến KN phân số (trích dẫn theo [92]).
Mokashi (2009) đưa ra một số ý tưởng về hoạt động để tăng cường sự hiểu
biết của HS về phân số. Bà đề nghị sử dụng origami và nghệ thuật xếp giấy để dạy
HS nhận ra các phân số cơ bản. Bà cũng cho thấy bằng cách sử dụng thanh sô-cô-la
(được chia thành các phần bằng nhau) để cho HS nhận ra mối quan hệ số phần
/ toàn thể. Điều này làm cho các phân số liên quan đến bối cảnh thực tế cuộc
sống, một điều khá quan trọng đối với HS để nhận ra. Tác giả này đưa ra nhiều mô
hình khác nhau để tiếp cận phân số, nhưng tất cả chỉ tiếp cận phân số dựa trên số
phần / toàn thể (trích theo [81]).
Suhrit K. Dey (2010) [90] đưa ra một nghiên cứu về việc DH các phép tính của
phân số bằng cách sử dụng các mô hình hình học trong “Teaching Arithmetic of
fractions using geometry”. Tác giả sử dụng nhiều minh họa khác nhau trong hình
học để dạy phép cộng, trừ, nhân, chia các phân số. Ông cũng nêu ra sự hữu ích
khi


sử dụng hình học bởi vì hầu hết các phép tính đối với phân số thì như những “đám
mây” trong mắt trẻ em và mô hình hình học góp phần làm tan đi các “đám mây”
đó. Tuy vậy, một số mô hình đưa ra khá phức tạp bởi vì chúng đòi hỏi HS phải
xác nhận và so sánh diện tch của các hình chữ nhật.
Blena Castro Rodríguez (2012) nhấn mạnh rằng để HS có hiểu biết sâu về phân
số, trước tiên cần tạo cơ hội cho GV cải thiện nhận thức về KN này. Nghiên cứu của

ông tập trung giới thiệu cho GV tiểu học mối quan hệ số phần / toàn thể (được xem
như là nền tảng DH phân số). Sự hạn chế của nghiên cứu này là chỉ giới thiệu cách
tiếp cận số phần / toàn thể mà không đưa ra nhiều cách tiếp cận khác ([75]).
Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tất cả thể hiện
được ý nghĩa và vai trò của nó trong giảng dạy và khoa học toán. Có rất nhiều công
trình liên quan KN phân số. Thế nhưng, ở Việt Nam chưa có công trình nào nghiên
cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể chế
đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp
chúng sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận án:
- Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như
thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào?
- GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN
phân số và DH phân số?
- GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với
KN phân số? Đặc trưng của những hoạt động đó ra
sao?
- Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và sửa chữa
các sai lầm khi học chủ đề phân số?
Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:
“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài
toán”


2. Giới hạn của đề tài
Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu:
phân số. Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử
toán, nhà trường đào tạo GV tểu học và dạy toán ở tiểu học.
Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân
tích ở cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương

pháp giảng dạy toán ở tiểu học. Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học,
chúng tôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành.
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán,
hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.
Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng để
nghiên cứu tri thức cần giảng dạy:
- Nghiên cứu khoa học luận.
- Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá
nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
- Lí thuyết tình huống,…
Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông qua
hoạt động giải toán mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết
tham chiếu thông qua các câu hỏi:
1. Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng
khoa
học luận cơ bản nào?
2. Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có
những đặc trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình
phát triển của nó trong lịch sử?
3. Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặc
trưng cơ bản nào? Sự tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó
trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo GV tểu học?