TRỌN BỘ CÔNG THỨC GIẢI TÍCH 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

GIẢI TÍCH 12
@. Bổ túc về đại số:
1. phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1,
x2 là nghiệm thì
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2ac với b’=b/2)
b  
 b' ' 
 x1, 2 

thì x1, 2 


2a
2
a


nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0
thì x1=1; x2= -c/a;
S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)
2. tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c
+ <0 thì f(x) cùng dấu a
+ x1    x2  af ( )  0
a  0
+ f ( x)  0  
  0
a  0
+ f ( x)  0  
  0

  0


+   x1  x 2  af ( )  0
S
   0
2


  0

+ x1  x 2    af ( )  0
S
   0
2
3. phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
nếu a+b+c+d=0 thì x1=1;
nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner
ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = 0
với =a+b; =+c
4. các công thức về lượng giác, cấp số và
lôgarit:
cos x  sin( x 



2

); - sin x  cos(x 



2

);

1
cos x  (1  cos 2 x);
2
1
1
sin 2 x  (1  cos 2 x) ; 1+tg2x=
2
cos2 x
1
1  cotg2 x   2
sin x
cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a
c b
q 
cấp số nhân:
a,b,c,…
b a
2

I. ĐẠO HÀM:
1. Qui Tắc:
1. (u  v)’ = u’  v’
2. (u.v)’ = u’v + v’u
'

 u  u' v  v' u

3.   
v2
v
4. (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(xn)’ = nxn-1
(un)’ = nun-1u’
'

'

 

 

1
1
   2
x
x
'
1
x 
2 x
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = - sinx
1
(tgx)’ =
cos2 x

u'
1
   2
u
 u
'
u'
u 
2 u
(sinu)’ = u’cosu
(cosu)’ = - u’sinu
u'
(tgu)’ =
cos2 u
u'
1
(cotgx)’ = 
(cotgu)’ = 
2
sin x
sin 2 u
(ex)’ = ex
(eu)’ = u’eu
x
x
(a )’ = a .lna
(au)’ = u’au.lna
u'
1
(lnx)’ =

(lnu)’ =
x
u
u'
1
(logax)’ =
(logau)’ =
x ln a
u ln a
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d:
 Miền xác định D=R
 Tính y’= 3ax2+2bx+c
 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
 tính y’’ tìm 1 điểm uốn
 bảng biến thiên
 điểm đặc biệt (2điểm)
 đồ thị (đt)
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3:
a  0
- để hs tăng trên D  y '  0  
 y '  0
a  0
- để hs giảm trên D  y '  0  
 y '  0
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có
nghiệm kép
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và
tiếp tuyến tại đây qua đthị

- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n
là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị
thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n


- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai
giá trị cực trị trái dấu.
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau
 ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành
csc  y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn
thuộc ox.
2. Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c:
 Miền xác định D=R
 Tính y’
 y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị
 bảng biến thiên
 điểm đặc biệt (2điểm)
 đồ thị
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương:
- đt nhận oy làm trục đối xứng.
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D y’=0
có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)
- để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0; P>0;
S>0.
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc
 >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý
Vieet.
ax  b
3. Hàm nhất biến y 

cx  d
 Miền xác định D=R\  d c 
ad  bc
 Tính y ' 
(>0, <0)
cx  d 2
 TCĐ x   d vì limd y  0
c
x  c
 TCN y  a vì lim y  a
c
c
x 
 bảng biến thiên
 điểm đặc biệt (4điểm)
 đồ thị
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
4. Hàm hữu tỷ
ax 2  bx  c

y
 x   
chia bằng
dx  e
dx  e
Hoocner
 Miền xác định D=R\  e d 

 .d

mx 2  nx  p



Tính y’=  



y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có.
e
TCĐ x   vì lime y  0
x  d
d

0
TCX y  x   vì lim
x   dx  e




dx  e 2



dx  e 2

 bảng biến thiên
 điểm đặc biệt (4điểm)

 đồ thị
* Một số kết quả quan trọng:
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm
đối xứng
- có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2
nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là
2axi  b
và đó cũng là đt qua 2 điểm
yi 
d
cực trị.
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0
có 2 nghiệm pb
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x)
tính: y’=
y’(x0)=
pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào
y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là:
y = k(x-x0)+y0
 pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
 pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x)
ptđt d qua M có hệ số góc k là:
y = k(x-x0)+y0
để d là tt thì hệ sau có nghiệm:

 f ( x)  k ( x  x0 )  y 0 (1)
thay (2) vào (1)

 f ' ( x)  k (2)
giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k
thế vào pttt d ở trên.
2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và
y= g(x)
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x)
giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao
điểm.
+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận
nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng
f(x)=g(m)
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox.
Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ
thị.
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:
 f ( x)  g ( x)
từ đó tìm điểm tiếp xúc x

 f ' ( x)  g ' (x)
3/ đơn điệu: cho y=f(x)
đặt g(x)=y’


a/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+) 
b
  ; g()0.
a>0; 

2a
b/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,+) 
b
  ; g()0.
a<0; 
2a
c/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,) 
ag()0; ag()0
{áp dụng cho dạng có m2}
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng
m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị
lớn nhất của h(x) (me/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì
 tăng trên (,+) y’0; x0
 giảm trên (,+) y’0; x0
4. Cực trị:
* y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và
đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)
 y ' x0   0
* y=f(x) có cực đại tại x0  
 y ' ' x0   0
 y ' x0   0
* y=f(x) có cực tiểu tại x0 
 y ' ' x0   0
3
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax + bx2 + cx + d
P.Pháp: Tập xác định D = R
 Tính y/
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb

a  0

  0

2. T.Hợp 2: Hàm số y 
P.Pháp:

ax 2  bx  c
a/ x  b/

b/ 
Tập xác định D  R \ 
 / 

Tính y / 

a

g( x )

/

a 

x  b/ 

2

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0
có hai nghiệm pb thuộc D

 g /  0


b/
 g(  / )  0
a


5. GTLN, GTNN:
a. Trên (a,b)
 Tính y’
 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
 KL: max y  yCD , min y  yCT
 a ;b 

b. Trên [a;b]
 Tính y’

 a ;b 



Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0   a; b 

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M KL: max y  M
 a ;b 

Chọn số nhỏ nhất m , KL: min y  m
 a ;b 

III. Hàm số mũ và logarit:
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, nR ta có:
an
 a nm ;
am

anam =an+m ;
a0=1;

(

1
=am ;
an

1
a

a1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn;
n

an
a
   m ;
b
b

a

m
n

 n am .

2. Công thức logarit:
logab = cac=b ( 0< a1; b>0)
Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R
ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ;
loga

x1
= logax1logax2;
x2

a loga x  x ; logax= logax;
1
log a x  log a x ; (logaax=x);


log b x
1
logax=
; (logab=
)
log b a
log b a

logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.

3. Phương trình mũ- lôgarít
* Dạng ax= b ( a> 0 , a  0 )
b  0 : pt vô nghiệm
b>0 : a x  b  x  log a b
* Đưa về cùng cơ số:
Af(x) = Bg(x)  f(x) = g(x)
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng log a x  b ( a> 0 , a  0 )
Điều kiện : x > 0
log a x  b  x  a b
 logaf(x) = logag(x)  f(x) = g(x)
 Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
4. Bất PT mũ – logarit:
* Dạng ax > b ( a> 0 , a  0 )
b  0 : Bpt có tập nghiệm R
b>0 : a x  b  x  log a b , khi a>1
a x  b  x  log a b , khi 0 < a < 1
* Đặt ẩn phụ; logarit hóa…
* Dạng log a x  b ( a> 0 , a  0 , x>0 )

log a x  b  x  a b , khi a >1


log a x  b  x  a b , khi 0 < x < 1

 Đặt ẩn phụ; mũ hóa…
VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm
số y=f(x) trên khoảng (a;b)
 F / x   f x  , x  a; b

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
1.  1.dx  x  c
2.

x



.dx 

x
 c 1
 1
 1

1
3.  .dx  ln x  c
x
4.  Cosx.dx  Sinx  c
5.

 Sinx.dx  Cosx  c

1
.dx  tgx  c
6. 
Cos 2 x
1
dx  Cotgx  c
7.  .

Sin 2 x
8.  e x .dx  e x  c

ax
c
9.  a x .dx 
ln a
Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
 1
1 ax  b 

c
1.  ax  b  .dx 
a  1
2.
3.
4.
5.
6.

1

1

 ax  b .dx  a . ln ax  b  c

1
 Cosax  b .dx  a .Sinax  b   c
1
 Sinax  b .dx   a .Cosax  b   c

1
1
 Cos 2 ax  b  .dx  a .tgax  b   c
1
1
 Sin 2 ax  b  .dx   a .Cotgax  b   c

1
.dx  .e ax  b  c
a
1 a mx  n
mx  n
.dx  .
c
8.  a
m ln a
7.

e

ax  b

Các phương pháp tính tích phân:Tích phân
của tích, thương phải đưa về tích phân của

một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối
hoặc chia đa thức.
Phương pháp đổi biến số :
b

A   f x . / x .d x 
a

P.Pháp:
Đặt : t = x   dt   / x .d x 

 x  b  t  b 
 x  a  t  a 

Đổi cận: 
Do đó: A 

b 

 f t .dt  F t   
b 
 a

 a

Các dạng đặc biệt cơ bản:

dx
2
0 a  x

a

1.

I 

2

P.Pháp:
Đặt: x  a.tgt



 dx 


  
  t 
 2 2

a
.dt  a1  tg 2 t .dt
2
Cos t

Đổi cận:
a

2.Tính J   a 2  x 2 .dx
0

P.Pháp:



 
t 
2
 2
 dx  a.Cost.dt
Đặt x  a.S int  

 Đổi cận
Phương pháp tính tích phân từng phần
Loại 1: Có dạng:
e x 
b


A=  P( x). Sinx .dx
a
Cosx


Trong đó P(x)là hàm đa thức
Phương pháp:
Đặt u = P(x)
 du = P(x).dx
x
 e



dv =   Sinx  .dx  v = ...



 Cosx


Áp dụng công thức tích phân từng
phần
b

A = u.v   v.du
b
a

a


b

Loại 2: B =

 P( x ).Ln(ax  b).dx
a

Phương pháp:
Đặt u = Ln(ax+b)

du 



 v = ...

dv = P(x).dx

a
.dx
ax  b

Áp dụng: B =

a

---------------------------------------------Dạng :
A   Sin n x.dx Hay B   Cos n x.dx
1. Nếu n chẵn:
Áp dụng công thức

Sin 2 a 

1  Cos2a
;
2

x  a

của phương trình: f(x) = 0  
x  b

b

u.v   v.du
b
a

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y
=f(x) và trục hoành:
P.Pháp:
 HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm

Cos 2 a 

1  Cos2a
2

2. Nếu n lẻ:

b

S   f ( x ) .dx 
a

PP:Đặt tg 2 làm thừa số

1
1
Thay tg 
Cos 2 x
2

IV. Diện tích hình phẳng:

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
(c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b:
P.Pháp:  DTHP cần tìm là:
b

(c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai
đường
x = a; x = b:
P.Pháp
 DTHP
cần
tìm

là:

S   f ( x )  g( x ) .dx
a



HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2)
là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x)
=0
Lập luận giống phần số 1
V. Thể tích vật thể:
1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x =
b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn
a; b . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra
vật thể có thể tích:
2

b

V  .  f ( x ) .dx
a

(a < b)

a

 Hoành độ giao điểm của (c) và tục
ox là nghiệm của phương trình:
f(x) = 0
Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có
nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:
b

2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y =
b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn
a; b . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật
thể có thể tích:
b

2

V  . g( y ) .dy
a

VII. SỐ PHỨC:

 f ( x ).dx
a

Nếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn
a; b . Giả sử x =  , x =  thì




b

a





S   f ( x ) .dx   f ( x ) .dx   f ( x ) .dx

S

a

b

Đặt t  Cosx (Đổi sin n1 x thành Cosx )
----------------------------------------------Dạng :
A   tg m x.dx Hay B   Cotg m x.dx

S

 f ( x ).dx

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
đường

A   Sin n1 x.Sinx.dx

S   f ( x ) .dx

b





b

a





 f ( x ).dx +  f ( x ).dx +  f ( x ).dx

Số phức là một biểu thức có dạng
a  bi , trong đó a,bR; i2 = -1.
Số phức z  a  bi có a là phần thực,
b là phần ảo.

Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi

r

điểm M  a; b  hay bởi u   a; b 
trong mặt phẳng tọa độ Oxy.


Hai số phức bằng nhau :

a  c
.
a  bi  c  di  
b  d
Modun của số phức z  a  bi chính

uuuur
là độ dài của OM . Vậy :
uuuur
z  OM  a 2  b 2 .

a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

 a  bi    c  di    a  c    b  d  i
 a  bi    c  di    a  c    b  d  i
 a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i
Chú ý: i  i, i  1, i  i, i  1 .
Tổng quát :
3

4

i 4 n  1, i 4 n1  i, i 4 n2  1, i 4 n3  i .

1  i 

2

 2i ; 1  i   2i .
2

b. Phép chia hai số phức :

a  bi  a  bi  c  di   a  bi  c  di 


c  di  c  di  c  di 
c2  d 2
z z.z

Như vậy :
z z. z
Chú ý:

z  z  z  z
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai
2
của số phức nếu: z  w .

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :

2

z z
 ;
z
z

a. Căn bậc hai của số phức :

Số phức liên hợp của số phức
z  a  bi là số phức z  a  bi .

1

zz  z z ;

z  z ;

1 i
i.
1 i

c. Các tính chất của số phức liên hợp
và modun :

z  z;
z  z  z  z ;
 z  z

zz  z.z ;    .
z z

Như vậy để tìm Số phức z  x  yi

 x, y  ¡ 

là căn bậc hai của số phức

w  a  bi ta giải hệ phương trình hai
 x2  y 2  a
ẩn x, y thực sau: 
 2 xy  b
Chú ý :
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
Số thực a  0 có đúng hai căn bậc hai là :

 a
Số thực a  0 có hai căn bậc hai là

i a  i a . Đặc biệt , số 1 có hai
căn bậc hai là i .
b. Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai az  bz  c  0
( a, b, c  £ , a  0 ).
2

* Nếu   0 , phương trình có một nghiệm
kép z  

b
.
2a

* Nếu   0 , phương trình có hai nghiệm
phân biệt : z1,2 

b  
,
2a

(  là một căn bậc hai của  )
.


1
Tóm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 />------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN LIÊN
QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng
xác đònh): y/  0 x  R
a  0
Giải tìm m




0


 Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì
phải xét khi a = 0
 Tương tự cho hàm số giảm:
a  0
y/  0 x R  
  0
ax  b
2.Hàm số nhất biến : y 
cx  d
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
đònh : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét
thêm c = 0

Dạng 2: Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trò
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
 Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0

Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại ,
cực tiểu

 Tập xác đònh R
 Đạo hàm y/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai
a  0
nghiệm phân biệt

  0

Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc 4 có cực đại ,
cực tiểu (có 3 cực trị)
 y  ax 4  bx 2  c
 Tập xác đònh R
 Đạo hàm y  4ax3  2bx
x  0
 y/ = 0  4ax3  2bx  0 (1)  
2
 4ax  2b  0 (2)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y/ = 0 có ba nghiệm
phân biệt  pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
 Giải tìm m

Dạng 5 Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x0
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/
 Hàm số đạt cực trò tại x0 :
y/(x0) = 0 giải ra tìm m
Thử lại
Chú ý:
Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0

* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0

Dạng 6: Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y/ = f/ (x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y0 tại x0 khi
 f / ( x0 )  0

 f ( x0 )  y 0
 f // ( x )  0
0


Dạng 7 Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]
 Tìm xi [a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác đònh
 Tính f(a), f(xi) , f(b)
 Kết luận max y  max  f (a); f ( xi ); f (b)
D

min y  min  f (a); f ( xi ); f (b)
D

 Giải tìm m
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


2

Tóm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 />----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A0
Dạng 8: Tiếp tuyến của đường cong ( C)


   ( 2)  0
g ( x )  0
1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
 0
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA):
ĐẠO HÀM
 (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
 f ( x)  g ( x)
u  v /  u /  v /
1.
 Điều kiện tiếp xúc:  /
/
 f ( x)  g ( x)
u.v /  u / .v  u.v /
2.
3.Tiếp tuyến sg sg (d) y  ax  b thì f   x0   a

4.Ttuyến vuông góc (d): y  ax  b thì f   x0   

1
a

Dạng 9; Dùng đồ thò (C) biện luận số
nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0
 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
 Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
 Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương
trình. (2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì

phương trình có bấy nhiêu nhiệm)

Dạng 10; Biện luận số giao điểm của ( C)
và d
 (d): y = k(x – xA) + yA = g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
 Nếu (*) là phương trình bậc 2:
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a  0 : + Lập  = b2 – 4ac
+ Xét dấu  và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
a  0

  0
 Nếu (*) là phương trình bậc 3:
1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0
x  x0

 Ax 2  Bx  C  0  g ( x) (2)

2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính  của (2), xét dấu  và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi
phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0)

3.

C.v /

4.

u / .v  v / .u
u
  
v2
v

 C.v /

/

(v  0)

 C.v /
C 
  
v2
v
0
/

5.

6.C 

/

7. x   1
/

8.x     ..x  1

u 

1
1
9.   2
x
 x

 v/
1
   2
v
v
/
u/
u 
2. u

 /

/

/

/

 

/

10. x

 

1



2. x

a   a . ln a.u
e   e .u

11.a x   a x . ln a

u /

/

12.e x   e x

u

u /

/

13.log a x  

/

  ..x  1 .u /

u

loga u /

1
x. ln a



/

/

u/
u. ln a

u/
u
/
sin u   u / . cosu

14.ln x  

1
x
/

15.sin x   cos x

ln u /

16.cos x    sin x
1
/
17.tan x  
cos2 x
1
/
18.cot x  
sin 2 x

cosu /

/

/



 u / . sin u

u/
cos2 u
 u/
/
cot u   2
sin u

tan u /

19.

y

ax  b
cx  d

20.

y

a1 x 2  b1 x  c1
a2 x 2  b2 x  c2

ta có y / 



ad  bc
(cx  d ) 2
ta có

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


3
Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 />-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1 b1 2

a c1
b c1
x 2 1
x 1
a b2
a2 c2
b2 c 2
y/  2
2
a 2 x 2  b2 x  c 2





------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


4
Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12 />-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LŨY THỪA
0  a 1


 a n  a.a...a

 (a.b) n  a n .b n

( n thừa số)

n

 a 1
0

1
an
 a m .a n

 a n 
 a mn
 a mn

a f ( x)

am
 n
a

an
a
   n
b
b
 ( a m ) n  ( a n ) m  a m. n
m
n

 a  n am
1
n

 a n a

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a 1

 0  a 1
 a g ( x)  

 f ( x)  g ( x)  D f ( x )  D g ( x )

a0

a f ( x)  a g ( x)  
(a  1). f ( x)  g ( x)  0
 a 1
th ì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
 0  a  1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

LOGARIT

 loga N  M  a M  N
( a, N  0 , a  1 )

 loga a N  N

 loga 1  0
 loga a  1

 a loga N  N

 loga N1 .N 2  loga N1  loga N 2
 loga

N1
 loga N1  loga N 2
N2

 loga N 

logb N
logb a

 loga N 

1
log N a

 loga k N 

1
loga N
k

 a 1

 logb a. loga N  logb N

 loga N k  k . loga N

thì loga f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0

 0  a  1 thì loga f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x)


loga f ( x)  loga g ( x)   f ( x)  0 ( g(x)  0 )

f(x)  g(x)


0  a 1

f ( x)  0
loga f ( x)  loga g ( x)  
g(x)  0

(a - 1)[f(x) - g(x)]  0
SỐ PHỨC
* i 2  1
1
z
*
 2
z z
* z  a  b.i  a 2  b 2
* z  a  b.i  z  a  b.i
* z  z  a2  b2

a  c
a  b.i  c  d .i  

b  d
c  d .i (c  d .i )(a  b.i )

*
a  b.i (a  b.i )(a  b.i )
* z1  z 2  z1  z 2
* z1  z 2  z1  z 2

z  z
* z1 .z 2  z1 .z 2 ;  1   1
 z2  z2
1.   a  b.i .Gọi  là căn bậc 2 của  , ta có:

 a  a2  b2
 a  a2  b2
 i.
b ≥ 0 :   
2
2

 a  a2  b2
 a  a2  b2
 i.
b < 0 :   
2
2


r  a 2  b 2


a
2. z  r (cos  i. sin  )
 cos 
r

b
 sin  

r
3. z1 .z 2  r1r2 [cos(1   2 )  i. sin(1   2 )]
z
r
4. 1  1 [cos(1   2 )  i. sin(1   2 )]
z 2 r2
1 1
 [cos( )  i. sin( )]
5.
z r
n
6. r (cos  i. sin )  r n (cosn  i. sin n )










(cos  i.sin )n  (cosn  i.sin n )
TÍCH PHÂN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12

1)  dx  x  C

/>
 kdx  kx  C

b

b b /
a u.v dx  u.v a  a u vdx
 1
 1
x
1 (ax  b)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2)  x  dx 
 C  (ax  b)  dx 
C
 1
a  1
P( x).e ax b dx .

1
dx

1
3)  dx  ln x  C 
 ln ax  b  C
x
ax  b a
u  P( x) ta có u /  P / ( x)
1
1
dx
1 1
Đặt
1
4)  2 dx 
C 

C
2
v /  e ax b chon v  e ax b
x
a (ax  b)
x
(ax  b)
a
1 ( ax b )
x
x
( ax  b )
5)  e dx  e  C
 e dx  a e  C
 P( x).cos(ax  b)dx .

ax
1 a ( cx  d )
6)  a x dx 
 C  a ( cx  d ) dx 
C
u  P( x) ta có u /  P / ( x)
ln a
c ln a
Đặt:
1
1
v /  cos(ax  b) chon v  sin(ax  b)
7)  sin xdx   cos x  sin(ax  b)dx  cos(ax  b)
a
a
1
8)  cos xdx  sin x  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)
 P( x).sin(ax  b)dx .
a
dx
dx
1
u  P( x) ta có u /  P / ( x)
9) 

tan
x

tan(
ax


b
)
 cos2 (ax  b) a
Đặt:
cos2 x
1
v /  sin(ax  b) chon v 
cos(ax  b)
dx
dx
1
a
10)  2   cot x  2
 cot(ax  b)
sin x
sin (ax  b) a
 P( x).ln u( x)dx .
/

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

1.  f (e

u ( x)

).u / ( x)dx
1

 f (ln x). x dx

3.  f ( ax  b ).dx
4.  f (sin x, cos x)dx
2.

n

Đặt

t  u (x)

Đặt

t  ln(x )

Đặt

t  n ax  b

Đặt:

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
1  cos 2 x
1  cos 2 x
, sin 2 x 
thức hạ bậc: cos2 x 
2
2
x

• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t  tan
2

 f(
6.  f (
7.  f (
5.

8.

 f(

a 2  x 2 ).dx

Đặt

x  a sin t

a 2  x 2 ).dx

Đặt

x  a tan t

x  a ).dx
2

2

1

x2  a2

).dx

u  ln x ta có u / 

v /  P( x) chon v   P( x)dx

Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản
hơn còn v/ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích
phân mà nguyên hàm của phần này đã biết

DIEÄN TÍCH , THEÅ TÍCH
 (C1 ) và (C 2 )
( H )
 x  a, x  b (a  b)
b

S   y C1  y C 2 dx
a

VOx    y C2 1  y C2 2 dx

Đặt
Đặt

t  x x a

a
2

 (C1 ) và (C 2 )
( H )
 y  c, y  d (c  d )
d

S   x C1  xC 2 dy
c

b

a
x
cos t

1
x

d

VOy    xC2 1  xC2 2 dy
c

2

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5