20 bài toán về đường tiệm cận mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

20 BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  C  : y  mx  x 2  2 x  2 có
tiệm cận ngang?
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

x 1

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 

2

m  x  1  4

có hai

tiệm cận đứng:
A. m < 0.

B. m = 0.

m  0
C. 
.

m  1

D. m < 1.

x 2  3 x  2  sinx

Câu 3: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
là
x3  4 x

A. 3.
Câu 4: Cho hàm số y 

B. 4.

C. 1.

D. 2.

ax 2  x  1

có đồ thị (C), trong đó a, b là các hằng số dương thỏa mãn
4 x 2  bx  9
ab = 4. Biết rằng (C) có đường tiệm cận ngang y = c và có đúng một đường tiệm cận đứng. Tính
tổng T  3a  b  24c.
A. T = 11.
Câu 5: Cho hàm số y 

B. T = 4.

C. T = -11.

D. T = 7.

12  4 x  x 2

có đồ thị (Cm). Tìm tập S tất cả các giá trị của tham số
4 x 2  bx  9
thực m để (Cm) có đúng hai tiệm cận đứng.
A. S = [8;9).

 9
B. S   4;  .
 2

 9
C. S   4;  .
 2

Câu 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y 

D. S   0;9 .

1 x 1
2

x  mx  3m

có đúng hai

tiệm cận đứng.
A.

 ; 12    0;   .

B.  0;   .

1 1
C.  ;  .
4 2

 1
D.  0;  .
 2
1


Câu 7: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 4.

B. 3.

x 2  5x  2
x2  4 x  3

là:

C. 5.

D. 1.

x 1
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 đường
1  x
tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.

Câu 8: Cho hàm số y 

A. 2.
Câu 9: Đồ thị hàm số y 
A. 3.

B. 1.

5x  1  x  1
x2  2x

C. 4.

D. 8.

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 0.

C. 1.

D. 2.

mx 2  1  x 2

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 
có hai
x  x  1
đường tiệm cận ngang.
A. Không tồn tại m.

B. m < 0.

C. m  0.

D. m > 0.

Câu 11: Đồ thị hàm số y  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
A. 2.

B. 0.

C. 1.

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

D. 3.

x 1
2

2x  2x  m 1  x 1

có

đúng bốn đường tiệm cận.
A. m   4;5 \ 3 .

B. m   4;5 .

C. m   4;5 \ 3 . D.  4;5 \ 3 .
3 x  mx 2 1

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  e
2 tiệm cận ngang?
A. 2016.

B. 2019.

C. 2017.

x

 2018 m  x 2 1 có

D. 2018.

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 

1 x 1
x 2  1  m  x  2 m

có hai tiệm cận đứng?
A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.
2


4x  3
có đồ thị C. Biết đồ thị (C) có hai điểm phân biệt M, N và
x 3
khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN có giá trị bằng:

Câu 15: Cho hàm số y 

A. MN  6.

B. MN  4 2

C. MN  6 2

D. MN  4 3.

Câu 16: Cho đồ thị hàm bậc ba y  f  x  như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
x 2  4 x  3

y

x2  x

x  f 2  x   2 f  x 



có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 6.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 17: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

x
y'
y



-2
0

+

1
+

+
+

2
0
3

+
-

2
-
1
Đồ thị hàm số y 
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f x  5
A. 0.

B. 4.

C. 2.

Câu 18: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 

-

D. 1.
xm
x 2  3x  2

có đúng hai

tiệm cận là:
A. m = 1.

B. m = -1.

C. m = 1,m =2.

D. mọi m.

1  3x
có đồ thị (C). Điểm M nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M
3 x
đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M
đến tâm đối xứng của (C) bằng:

Câu 19: Cho hàm số y 

A. 3 2.

B. 2 5.

C. 4.

D. 5.

x 2
có đồ thị (C). Tiếp tuyến d của đồ thị (C) tạo với hai tiệm cận
x 1

một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ I(-1;1) đến d bằng

Câu 20: Cho hàm số y 

A.

3.

B.

6.

C. 2 3.

D. 2 6.
3


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.A
2.C
11.A
12.A
Câu 1: Chọn A.

3.C
13.B

4.A
14.C

5.B
15.C

6.B
16.D

7.C
17.B

8.C
18.C

9.D
19.B

10.A
20.B

Phương pháp:
Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm
số y  f  x  nếu lim f  x   y0 hoặc lim f  x   y0
x 

x 

Cách giải:
2

y  mx  x  2 x  2 

m2 x 2  x 2  2 x  2
mx  x 2  2 x  2

m 2  1 x 2  2 x  2


mx  x 2  2 x  2

Để hàm phân thức có tiệm cận ngang thì bậc tử phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu
m  1
 m2  1  0  
 m  1
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa của tiệm cận đứng để giải.
Cụ thể đối với hàm số y  f  x  thì x =a là tiệm cận đứng khi lim y, lim y nhận một trong
x  a

các giá trị , .

x  a

Cách giải:
Để hàm số y 

x 1
2

m  x  1  4

có hai tiệm cận đứng thì ta cần tìm sao cho tồn tại x0, x1 sao cho

lim y, lim y, lim y, lim y nhận một trong hai giá trị , .

x  x0

x  x0

x  x1

x  x1

Trường hợp 1.
Nếu m = 0. Khi đó y 

a 1
x 1
  nên không có tiệm cận đứng nào.
. Ta có   lim y 
2
2
x a

Trường hợp 2.
4


x 1

m > 0. Khi đó   lim y  lim
x a

2

m  x  1  4

x a

a 1



2

m  a  1  4

  do đó trường hợp

cũng không có tiệm cận đứng nào.
Trường hợp 3.
Khi
y

m
x 1
2

m  x  1  4

<

0.

x 1




2 4
m  x  1  
m




Ta

viết

x 1

2 
2 
m  x  1 
  x 1

m  
m  



Nhìn vào biểu thức cuối ta dự đóan điểm x0, x1 sẽ tương ứng là 1 

2
m

lại

.

,1 

2
m

.

Hơn nữa ta chú ý rằng biểu thức trong dấu căn cần dương nên ta phải có

2 
2 
2
2

 x  1
.
 x 1
  x 1
  0  1

m  
m 
m
m

Xét giới hạn

lim
2 

x  1


m


Nếu 1 

2
m

1



y

2 

x  1



m


2
m

Thì giới hạn trên có dạng

x 1

lim




2 
2 
m  x  1 
  x 1

m  
m  


.

 2  m  1  m  1.

lim

x 1

x 1
  x  1 x  1

 lim

x 1

x 1
1 x

 0 do đó x = -1 không là tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Nếu 1 

2
m

 1  m  1.

Khi

đó

lim
2 


x  1

m 




y

Do đó x  1 

ta

lim
2 

x  1

m 


2
m

chứng

x 1



2 
2 
m  x  1 
 x  1 

m 
m  


minh

được

 .

là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho.

5


Trường hợp

lim
2 

x  1


m



2

Ta có 1 

m

Và

lim

Do đó
2
m

Vậy 1 



m

nữa

lim
2 

x  1

m 



x  1

2




2 
2 
m  x  1 
  x 1

m  
m  


.

 1, x  0.

y

2

 1

x 1

lim
2 

x  1


m


hơn

2 

x  1

m 


1



y

m
,1 

2



ta
x 1

chứng


2 
2 
m  x  1 
 x  1 

m 
m  


minh

được

 .

là một tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Ta lại có

m

, m  0.
2
m

 m  0, m  1 là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 3: Chọn C.
Phương pháp:
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

f x

g x

:

+ Tìm tất cả các nghiệm x1, x2, …, xn của phương trình g  x   0
+ Xét các giới hạn lim y, lim y,..., lim y
x  x1

x  x2

x  xn

+ Số giới hạn vô cực trong n giới hạn chính là số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Có x 3  4 x  0  x  0 hoặc x  2.
lim y  lim

x 2

x 2

y x2  3x  2  sinx  

x3  4 x

 x  1 sinx  sin 2 .
8
x 2 x  x  2 

lim y  lim

x 2

6


sinx
x 2  3x  2
1
. lim

2
x 0 x x 0 x 2  4

lim y  lim

x 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x = -2.
Câu 4: Chọn A.
Cách giải:

ax 2  x  1

a
 .
x  4 x 2  bx  9 4

Ta có: lim

Hàm số có tiệm cận ngang y  c  c 

a
 a  4c.
4

Hàm số có 1 đường tiệm cận đứng
2

2

 4 x 2  bx  9  0

có nghiệm duy nhất

2

 b  4.4.9  0  b  12 .
b  0  b  12.

ab  4  a 
c

4 1

12 3

a 1 1 1
 .  .
4 3 4 12

1
1
 T  3a  b  24c  3.  12  24.  11.
3
12

Câu 5: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số có hai tiệm cận đứng  phương trình MS = 0 có hai nghiệm phân biệt không trùng với
nghiệm của tử số và thỏa mãn ĐKXĐ.
Cách giải:

0  x  4
ĐKXĐ:  2
.
 x  6 x  2 m  0
Ta có 12  4 x  x 2  0x

nên để (Cm) có hai tiệm cận đứng thì phương trình

x 2  6 x  2 m  0  x 2  6 x  2 m  0(*) có hai điểm phân biệt thuộc [0;4].

9
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì  '  9  2 m  0  m  .
2
7


Gọi 2 nghiệm phân biệt của (*) là x1 < x2 ta có 0  x1  x2  4.

x  x  6
Theo định lí Vi-et ta có  1 2
 x1 x2  2 m
Khi
đó
 x1 x2  0
 x1 x2  0
2 m  0



m  0
 x1  x2  0
 x1  x2  0
6  0



 m  4.

2 m  8  0
 x1  4  x2  4   0

 x1 x2  4  x1  x2   16  0
2 m  24  16  0
 x  4    x  4   0
 x  x   8  0
6  8  0
2
 1
 1 2
9
Kết hợp nghiệm ta có 4  m  .
2

Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
Nếu

lim y    x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số. Hàm số có TCĐ x  x0 khi x  x0 là

x  x0

nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử. Lưu ý điều kiện xác định của hàm số.
Cách giải:
Chọn m = 2, khi đó hàm số trở thành y 

1 x 1
x2  2x  6

Rõ ràng 1  x  1  0x  1.
Khi đó để hàm số y 

1 x 1

có hai tiệm cận đứng thì phương trình x 2  mx  3m  0

x 2  mx  3m
cần có hai nghiệm phân biệt thuộc  1;   .
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1, x2.
Khi đó ta phải có

 m 2  4  3m   0 m 2  12m  0
m   ; 12    0;  
  0




 x1, x2  1  x1  1 x2  1  0
 x1 x2  x2  x1  1  0 3m  m  1  0

8


m   ; 12    0;  


 m   0;   .
1
m  

4

Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
Xét hàm số y = f(x).
Nếu lim y  a hoặc lim y  a thì ta nói y = a là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 

x 

y  f  x .

Nếu lim y  0 hoặc lim y  0 thì ta nói x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x  x0

x  x0

y  f  x .

Cách giải:

 x  3  x  3
Xét phương trình  x 2  4 x  3  0  

 x  1
 x  1
Cả 4 giá trị trên của x đều không là nghiệm của phương trình tử nên đồ thị hàm số có 4 đường
tiệm cận đứng x  3, x  1.
lim y  lim

x 

x 2  5x  2

x   x 2

 4 x 3

 1  y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy hàm số có tất cả 5 đường tiệm cận.
Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
+) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1(d1) và tiệm cận đứng x = 1(d2)


x 1 
+) Gọi M  x0 ; 0
   C  , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M:
1  x0 

y  f '  x0  x  x0  

x0  1
d 
1  x0

+) Gọi A  d1  d2 , B  d  d2 , C  d  d1  ABC vuông tại A  S ABC 

1
AB. AC

2
9


Cách giải:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=1(d1) và tiệm cận đứng x = 1(d2).
Gọi A  d1  d2  A 1;1 y ' 

1.(1)  1.1

 1  x 


x 1 
M  x0 ; 0
   C  , ta có

1

x

0
x 1
2
y
 x  x0   0  d 
2
x0  1
 x0  1

Gọi

Cho x = 1  y  

2

 x0  1

1  x0  
2

2



tiếp

2

 x  12
tuyến

tại

M

của

x0  1
x 1

2
y
 0

x0  1
 x0  1 x0  1

đồ

thị

hàm

số

là

x0  3
x0  1

 x 3
Gọi B  d  d2  B  1; 0

 x0  1 
Cho y = 1  1  

1 





2x

 x0  12

2x

 x0  1

2

2x

 x0  1

2





2

 x0  1


 x  x0  
2

x0  1
x0  1

x 1
 0
 x0  12 x0  1

2 x0

2 x0

 x0  1

2

x 1
 0
1
x0  1

2 x0  x02  1  x02  2 x 0 1

 x0  1

2



4 x0  2

 x0  12

 x  2 x0  1
Gọi C  d  d1  C  2 x0  1;1
Tam giác ABC là tam giác vuông tại A có
2

 x 3 
4
AB   0
 1 
, AC 
x0  1
 x0  1 

 2 x0  1  12

 2 x0  2  2 x0  1

10


 SABC 

1
1 4
AB. AC 
.2 x0  1  4.
2
2 x0  1

Câu 9: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tiệm cận:
Đường thẳng y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  khi một trong hai điều kiện
sau được thỏa mãn lim f  x   a hoặc lim f  x   a.
x 

x 

Đường thẳng x = b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  khi một trong các điều kiện sau
được thỏa mãn lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   .
x  b

x  b

x  b

x  b

Cách giải:
Hàm số có dạng y 

f x

g x

với f  x   5 x  1  x  1; g  x   x 2  2 x

*) Do bậc của f  x  nhỏ hơn bậc của g  x   TCN : y  0

f x
x  2
*) Do: g  x   0  x 2  2 x  0  
và f  2   0  lim
   TCĐ: x = 2.
x 2 g  x 
x  0
*) Do f  0   0 nên kiểm tra:
2
5 x  1   x  1

25 x  9
lim
 lim
 lim
x 0 g  x  x 0 x  x  2   5 x  1  x  1  x 0  x  2   5 x  1 

f x

x 1





9

4

(Lưu ý: có thể kiểm tra bằng máy tính)
Do đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận là y = 0 và x = 2.
Câu 10: Chọn D.
Phương pháp:
+) Đường thẳng x  a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số nếu lim f  x   .
x a

+) Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số nếu lim f  x   b.
x 

Cách giải:
11


x  0

ĐK:  x  1
 2
mx  1  0

+) Với m = 0 ta có y 

x2  1
x  x  1 .

x2  1
x2  1
 lim
 1  hàm số có 1 đường TCN.  loại đáp án C.
x  x  x  1 x  x 2  x

Có lim

1
1
1
+) Với m < 0 ta thấy biểu thức mx 2  1  0  mx 2  1  x 2       x   , tức
m
m
m
là có điều kiện ràng buộc của x nên không thể xét x đến vô cùng được  loại đáp án B.
2

2

2

2

mx  1  x
mx  1  x
+) Với m > 0 ta có: lim
 lim
 lim
x  x  1
x 
x 
x 
x2  x

m
x

2



1

1
x4
1

1
 1.

x3

 Đồ thị hàm số có 1 đường TCN.
Vậy không có giá trị nào của m để đồ thị hàm số có 2 TCN.
Câu 11: Chọn A.
Phương pháp:
-

Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  :

Nếu lim f  x   a hoặc lim f  x   a  y  a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

-

x 

Nhân chia biểu thức liên hợp để biến đổi hàm số và tính các giới hạn

lim f  x 

lim f  x  và

x 

x 

Cách giải:
Tập xác định: D  .

12


 4x2  4x  3  4x2  1   4x2  4x  3  4x2  1 





lim  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1   lim 
 4x2  4x  3  4x2  1 
 x 
x  





2
4
4x  2
4
x
 lim
 lim

 1.
22
x  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 x 
4 3
1
4 
 4
x x2
x2

 4x2  4x  3  4x2  1   4x2  4x  3  4x2  1 





lim  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1   lim 
 x 
x  

4x2  4x  3  4x2  1

 lim

x 

4x  2
4x2  4x  3  4x2  1

4

 lim

x 

 4

2
x

4 3
1

 4
x x2
x2



4

 1.
2  2

Vậy, đồ thị hàm số y  4 x 2  4 x  3  4 x 2  1 có 2 tiệm cận ngang là y = 1, y = -1.
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số y  f  x 
Nếu lim y  a  y  a là TCN của đồ thị hàm số.
x 

Nếu lim y    x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số.
x  x0

Cách giải:

y

x 1

 x  1 

2 x 2  2 x  m  1  x  1   x  1  2 x 2  2 x  m  1  x  1 




2
2
2
2x  2x  m 1 x  2x 1

x  4x  m


2x2  2x  m  1  x 1
2 m  1
1
 1 
 1  
 1  x   2  x 
x


x2
lim y  lim
 2 1
4 m
x 
x 
1 
x x2

13


2 m  1
1
 1 
 1  
 1  x    2  x 
x



1
x2
lim y  lim

  2 1
4 m
x 
x 

2

1
1 
x x2

 đồ thị hàm số có 2 đường TCN. Để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải
có 2 đường tiệm cận đứng
Khi đó phương trình mẫu số phải có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của phương trình tử.

 điều kiện cần: phương trình x 2  4 x  m  0 xó 2 nghiệm phân biệt.
 y '  4  m  0  m  4  Loại C.
Đến đây việc thử từng đáp án là nhanh nhất.

 x  1 

2 x 2  2 x  2  x  1 

 , phương trình mẫu có 2

Khi m = -3, đồ thị hàm số có dạng y 
2
x  4x  3
nghiệm phân biệt x = 1 hoặc x = 3, trùng với nghiệm của tử, do đó m = -3 không thỏa mãn. Loại
B.

 x  1 

2 x 2  2 x  2  x  1 

 , phương trình mẫu có 2
Khi m = 5, đồ thị hàm số có dạng y 
2
x  4x  5
nghiệm phân biệt x = -1 hoặc x = 5, không trùng với nghiệm của tử, do đó m = 5 thỏa mãn. Loại
D.
Câu 13: Chọn B.
Phương pháp:
Đồ thị của hàm số y  f  x  có tiệm cận ngang  Tập xác định của y  f  x  chứa khoảng âm
 lim f  x   a
 x 
.
vô cực và dương vô cực và a, b  , a  b : 
 lim f  x   b
 x 

Cách giải:
3 x  mx 2 1

ye

x

 2018 m  x 2 1

14


mx 2  1  0
Điều kiện xác định: 
2
 2018  m  x  1  0
3 x  mx 2 1

Đồ thị của hàm số y  e

x

 2018 m  x 2 1 có 2 tiệm cận ngang

 Tập xác định D phải chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực.
m  0

 0  m  2018
2018  m  0
3 m 
3 x  mx 2 1

+) lim y  lim e
x 

 2018 m  x 2 1

x

x 

 lim e

1

1
x2

 2018 m  

1

3 m

2

1 2018 m

x

x 

 lim e
x 

a

Ta tìm m để tồn tại giá trị của a  R :
TH1: 1  2018  m  0  m  2017.
3 m

Khi đó: lim e

1 2018 m

x 

 a  R.

TH2: 1  2018  m  0  m  2017.
3 m

Khi đó: lim e

1 2018 m

x 

 a  0  R.
3 m 

3 x  mx 2 1

+) lim y  lim e

x 

x   2018 m  x 2 1

x 

 lim e

1
x2

1  2018 m  

1

3 m

2

1 2018 m

x

x 

 lim e
x 

 b  R, m  0;2018.

+) Giải phương trình:

e

3 m

3 m

1 2018 m

1 2018 m



e





3 m
1  2018  m

 





3 m

1  2018  m

 3  m 1  2018  m  3  m 1  2018  m


15


 3  3 2018  m  m  m  2018  m   3  3 2018  m  m  m(2018  m)

 6 2018  m  2 m  9.  2018  m   m  m 

e

3 m

3 m

1 2018 m

1 2018 m

e

m

9081
 0;2018 .
5

9081
.
5
3 x  mx 2 1

x   2018  m  x 2 1
 9081 
,
y

e
Vậy, với mọi số nguyên m  0;2018 \ 
hàm
số
luôn có hai tiệm

 5 
cận ngang.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019 số.
Câu 14: Chọn C.
Phương pháp:
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0 thì x0 là nghiệm của phương trình mẫu mà không là
nghiệm của phương trình tử.
Cách giải:
ĐK: x  1 và x 2  1  m  x  2 m  0
Xét phương trình 1  x  1  0 vô nghiệm.
Xét phương trình x 2  1  m  x  2 m  0(*).
Để đồ thị hàm số đã cho có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK
x  1.

m  5  2 6
2
   0  1  m   8m  0  m 2  10m  1  0  
.
 m  5  2 6
Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là x1 > x2 ta có:

af (1)  0
m  2  0
m  2

x1  x2  1   S


 2  m  4
2  m  2
m  4
 2  1
mZ

Kết hợp với điều kiện ta có: m   2;5  2 6   m  2; 1;0
16


x  4
Thử lại: Với m  2  x 2  3 x  4  0  
 TXD : D   4;   .
 x  1
Khi đó hàm số có dạng y 

1 x 1
2

x  3x  4

có tiệm cận đứng x  4  Loại.

x  1 3
Với m  1  x 2  2 x  2  0  
 TXD : D   1;1  3  1  3;  .
 x  1  3

 

Khi đó hàm số có dạng y 

1 x 1
2

x  2x  2



có 2 tiệm cận đứng x  1  3  TM.

x  1
Khi m  0  x 2  x  0  
 TXD : D   1;1   0;   .
x  0

Khi đó hàm số có dạng y 

1 x 1
x2  x

có 2 tiệm cận đứng x  0; x  1  TM.

Vậy m  1;0 .
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số (C), tính
khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó
từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N. Tính độ dài MN.
Cách giải:
TXĐ: D  R \ 3 .
Đồ thị hàm số có đường TCN y = 4(d1) và TCĐ x = 3(d2).
 4a  3 
Gọi điểm M   C  có dạng M  a;
 khi đó ta có:
 a3 

d  M; d 2   a  3 ; d  M; d 1  

4a  3
9
4 
a3
a3

 d  M; d 2   d  M; d 1   a  3 

9
2 9 3
a3
17


Dấu = xảy ra  a  3 

a  6
9
2
  a  3  9  
a3
a  0

 M  6;7  , N  0,1  MN  62  62  6 2

Câu 16: Chọn D.
Phương pháp:
Định nghĩa TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  : Nếu lim y    x  a là TCĐ của đồ thị hàm
x a

số y  f  x  .
Cách giải:
x 2  4 x  3

Ta có: y 

x2  x

x  f 2  x   2 f  x 





 x  1 x  3 x 2  x
x. f  x   f  x   2 

 x  x  1  0
 x   ; 1   0;  

x

0


ĐK: 
  f x  0
 f x  0

 f  x   2
 f x  2

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f  x   0 có nghiệm kép x = -3 và 1 nghiệm

x  a   1;0  , khi đó f  x   m  x  3
Xét phương trình

2

 x  a  m  0  .

f  x   2  0  f  x   2,

phương trình có 3 nghiệm phân biệt

x  1; x  b   3; 1 ; x  c   ; 3 , khi đó f  x   2  n  x  1 x  b  x  c  .
 x   ; 1   0;  

Khi đó điều kiện xác định là:  x  3
 x  b; x  c


x  1 x  3 x 2  x
x  1 x 2  x


y

2
x.m  x  3  x  a  .n.  x  1 x  b  x  c  mn. x.  x  3 x  a  x  b  x  c 
Khi x  a   0;1  Hàm số không xác định.
Vậy đồ thị hàm số có 4 TCĐ là x  0; x  3; x  b; x  c
18


Câu 17: Chọn B.
Phương pháp:

Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  .
Nếu lim f  x    hoặc lim f  x    hoặc lim f  x    hoặc lim f  x    thì
x  a

x  a

x  a

x  a

x = a là TCĐ của đồ thị hàm số.
Cách giải:

x  1
1

 g  x  là 
ĐKXĐ của hàm số y 
5.
2 f x  5
 f  x   2
Mà f  x  

5
tại 4 điểm phân biệt x 1  2  x2  1  x3  2  x4  TXĐ: D  R \ 1; x1; x2 ; x 3 ; x4 
2

Ta có: lim g  x   lim g  x   0
x 1

x 1

lim g  x   , lim g  x   

x  x1

x  x 1

lim g  x   , lim g  x   

x  x2 

x  x 2

lim g  x   , lim g  x   

x  x3

x  x 3

lim g  x   , lim g  x   

x  x4 

x  x 4

Vậy, đồ thị hàm số y 

1
có 4 TCĐ: x  x1, x  x2 , x  x3 , x  x4 .

2 f x  5

Câu 18: Chọn C.
Phương pháp:
Nếu lim y  a  y  a là TCN của đồ thị hàm số y  f  x  .
x 

Nếu lim y    x  x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y  f  x  .
x  x0

Cách giải:
19


1 m

xm
x x2
Ta có lim y  lim
 lim
 0  y  0 là TCN của đồ thị hàm số.
3 2
x 
x  x 2  3 x  2 x 
1 
x x2

x  1
xm
xm

Ta có x 2  3 x  2  0  
y

x 2  3 x  2  x  1 x  2 
x  2
Để đồ thị hàm số y 

xm
x 2  3x  2

có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số chỉ có 1 TCN

m  1

.
m  2
Câu 19: Chọn B.
Phương pháp:
+) Xác định đường TCĐ(d1) và TCN(d2) của đồ thị (C) xác định tâm đối xứng của (C) là giao
điểm của hai đường tiệm cận.
 1  3m 
+) Gọi M  m;
  C
 3 m 

+) Tính d  M;  d1   ; d  M;  d2   và sử dụng giả thiết d  M;  d1    2 d  M;  d2   tìm m, suy ra tọa
độ điểm M.
+) Tính IM.
Cách giải:
Đồ thị hàm số (C) có TCĐ x = 3(d1) và TCN: y = 3(d2)

 Tâm đối xứng của đồ thị (C) là : I(3;3)
1  3m
8
 1  3m 
  C  ta có: d  M;  d1    m  3 ; d  M;  d2   
Gọi M  m;
3 

3 m
3 m
 3 m 
Vì d  M;  d1    2 d  M;  d2    m  3 
Khi m  7  M  7;5  IM 

m  7
16
2
  m  3  16  
3 m
 m  1

 7  3 2   5  3 2

Khi m  1  M  1;1  IM 

2 5

 1  32  1  32

 2 5.
20


Câu 20: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức S ABC 

p  p  a  p  b  p  c  

1
r.  a  b  c 
2

Cách giải:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm x = a là: y 

3

 a  1

2

 x  a 

a2
d 
a 1



a2  4 a  5 
Đường thẳng d cắt các tiệm cận tại: A  1;
; B  2 a  1;1 .
2 

 a  1 

Suy ra:
AI 

6
; BI  2 a  2
a 1

 AI. BI  12a

Áp dụng công thức phần phương pháp ta có:

r

AI. BI
2

AI  BI  AI  BI

2



12

2 AI. BI  2 AI. BI



6
1 2

.

Dấu bằng xảy ra khi AI = BI, suy ra tam giác ABI vuông cân, suy ra khoảng cách từ I tới d bằng
6.

21


22