40 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (373.07 KB, 24 trang )
40 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ LOGARIT
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
Câu 1. Cho ba số thức a;b;c khác 1. Đồ thị các hàm số y log a x, y log b x, y log c x được cho như
hình vẽ dưới
A. b c a.
B. c a b.
C. a b c.
D. c b a.
Câu 2. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho:
l 2 log a 2019 22 log
a
A. 2019.
2019 ... n 2 log n a 2019 10102 20192 log a 2019
B. 2018.
Câu 3. Cho a, b là số thực f x a ln 2017
C. 2017.
D. 2016.
x 2 1 x bx sin 2018 x 2. Biết f 5logc 6 6, tính giá trị
của biểu thức P f 6logc 5 với 0 c 1.
A. P 2
B. P 6.
C. P 4.
D. P 2.
Câu 4. Đặt a log12 6, b log12 7. Hãy biểu diễn log 2 7 theo a và b
A.
b
.
a 1
B.
b
.
1 a
C.
a
.
b 1
D.
a
.
b 1
Câu 5. Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi
số thực dương a a 1 thì log a x, log
biểu thức P
1959 x 2019 y 60 z
y
z
x
2019
.
2
B. 60.
A.
Câu 6. Cho f x
A. 1008.
a
y, log
a
z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của
C. 2019.
2018 x
1
. Giá trị của S f
x
2018 2018
2017
B.
2016.
C. 2017.
D. 4038.
2
f
...
2017
2016
f
là
2017
D. 1006.
1
Câu 7. Cho các số thực x,y,z thay đổi và thỏa mãn x 2 y 2 z 2 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P xy yz 2 zx
A. min P 5.
8
x y z
2
xy yz 2
B. min P 5.
Câu 8. Cho 0 x y 1. Đặt m
A. m 4.
là
C. min P 3.
D. min P 3.
1
y
x
ln
ln
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
y x 1 y
1 x
B. m 1.
C. m 4.
D. m 2.
Câu 9. Cho các số a, b 1 thỏa mãn log 2 a log 3 b 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P log 3 a log 2 b bằng
A.
log 2 3 log 3 2
B.
log 3 2 log 2 3
C.
1
log 2 3 log3 2
2
D.
2
log 2 3 log 3 2
Câu 10. Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục
tung mà cắt các đồ thị y log a x, y log b x và trục hoành lần lượt là A, B và H ta đều có 3HA = 4HB
(hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a 3b 4 1.
C. a 4b3 1.
B. 3a 4b.
Câu 11. Cho log ab b 3 a 0, b 0, ab 1 . Tính log
A. 5.
B. – 4.
ab
D. a 4 b3 .
a
2
b
C. – 10.
D. – 16.
Câu 12. Cho a, b, c 1. Biết rằng biểu thức P log a bc log b ac 4 log c ab đạt giá trị nhỏ nhất
bằng m khi log b c n. Tính giá trị m n.
A. m n 12.
B. m n
25
.
2
C. m n 14.
D. m n 10.
4a 2b 5
Câu 13. Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn log 5
a 3b 4. Tìm giá trị nhỏ nhất
ab
của biểu thức T a 2 b 2 .
A.
1
.
2
B.
5
.
2
C.
3
.
2
D. 1.
Câu 14. Cho đồ thị hàm số y e x như hình vẽ, ABCD là hình chữ nhật thay đổi sao cho B và C luôn
thuộc đồ thị hàm số đã cho, AD nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật
ABCD là:
2
A.
2
.
e
B.
2
.
e
C.
2
.
e
D.
2
.
e
Câu 15. Cho hàm số y log 2 ln x . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x e.
B. Tập xác định hàm số là 1;
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; e .
D. Hàm số đồng biến trên e; .
Câu 16. Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2
. Biểu thức A
có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. log 2017;log 2018 .
B. log 2019;log 2020 .
C. log 2018;log 2019 .
D. log 2020;log 2021
Câu 17. Cho hàm số f x 32 x 2.3x có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. 2.
(1)
Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số (C) có hoành độ x log 3 2
(2)
Bất phương trình f x 1 có nghiệm duy nhất.
(3)
Bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là ;log 3 2
(4)
Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
3
1
1
Câu 18. Tích 2017!. 1
1
trong các cặp sau?
2
1
1
1 ... 1
2 2017
2017
được viết dưới dạng a b , khi đó a; b là cặp nào
A. (2018;2017).
B. (2019;2018).
Câu 19. Cho f x
4x
1
. Tính tổng S f
x
4 2
2019
A. S
3032
.
3
B. S
3023
.
3
C. (2015;2014).
C.
P 4a 3 b3 4 log 2 4a 3 b3 là
A. 4 log 2 6.
B.
2
f
...
2019
3026
.
3
Câu 20. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn
D. (2016;2015).
D.
2018
f
f 1
2019
3029
.
3
1
2
log 2 a log 2 . Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
b
4
4
4 log 2
. C. 4 1 log 2 3 .
ln 2
ln 2
D. – 4.
Câu 21. Số 6303268125 có bao nhiêu ước số nguyên?
A. 420.
B. 630.
C. 240.
D. 720.
Câu 22. Xét các số thực x; y thỏa mãn x 2 y 2 1 và log x2 y 2 2 x 3 y 1. Giá trị lớn nhất của Pmax
của biểu thức P 2 x y bằng
A.
7 10
2
B.
19 9 11
2
C.
7 65
2
Câu 23. Xét các số thực dương x; y thỏa mãn log
Pmax của biểu thức P
A. 0.
x y
x x 3 y y 3 xy. Tìm giá trị
x y 2 xy 2
2
C. 1.
Câu 24. Xét các số thực dương x; y thỏa mãn log
A. 0.
11 10 2
3
3x 2 y 1
x y6
B. 2.
Pmax của biểu thức P
3
D.
D. 3.
3
x y
x x 3 y y 3 xy. Tìm giá trị
x y 2 xy 2
2
3x 2 y 1
x y6
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Câu 25. Cho các số thực a,b thỏa mãn điều kiện 0 b a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P log a
A. 6.
4 3b 1
8log 2b a 1
9
a
B. 3 3 2
C. 8.
D. 7.
Câu 26. Cho hàm số f x a 2 1 ln 2017 x x 2 1 bx sin 2018 x 2 với a,b là các số thực và
f 7 log5 6. Tính f 5log 7
4
A. 4.
B. – 2.
C. 2.
D. 6.
1
Câu 27. Cho hàm số f x ln 1 2 . Biết f 2 f 3 .. f 2018 ln a ln b ln c ln d với a,b,c,d
x
là các số nguyên dương trong đó a,c,d là các số nguyên tố và a b c d . Tính P a b c d
A. 1986.
B. 1698.
C. 1689.
D. 1968.
Câu 28. Cho a ; b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông. Trong
đó c b 1 và c b 1. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. log c b a log c b a 2 log c b a log c b a
B. log c b a log c b a log c b a log c b a
C. log c b a log c b a 2 log c b a log c b a
D. log c b a log c b a log c b a log c b a
Câu 29. Cho log 7 12 x;log12 24 y, log 54 168
axy 1
trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính giá trị
bxy cx
biểu thức S a 2b 3c.
A. 4.
B. 19.
Câu 30. Giả sử f x ln
C. 10.
D. 15.
1 x
ab
. Tập các giá trị của a, b thỏa mãn đẳng thức f a f b f
1 x
1 ab
là
A. 1 a 1; 1 b 1.
B. 1 a 0; 1 b 0.
C. a b 0.
D. 0 a 1;0 b 1.
3
5
Câu 31. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn log a b ;log c d . Nếu a c 9 thì
2
4
b d nhận giá trị nào
A. 85.
B. 71.
C. 76.
Câu 32. Cho x, y là các số thực thỏa mãn
D. 93.
x 3 y 1
2
2
5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 y 2 4 xy 7 x 4 y 1
P
là
x 2 y 1
A. 2 3
B.
3
C.
114
11
D. 3
Câu 33. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a 2 b 2 7 ab. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 2 log 2
ab
log 2 a log 2 b
3
B. 2 log 2 a b log 2 a log 2 b
C. 2 log 2
ab
2 log 2 a 2 log 2 b
3
D. 4 log 2
ab
log 2 a log 2 b
3
5
Câu 34. Ông An đầu tư vào thị trường nông sản số tiền là xn , lợi nhuận của ông được xác định bởi
hàm số y 2e x log x. Gọi x0 là số tiền ông cần đầu tư để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Tính giá
trị của biểu thức P log 2
A. P
3
.
2 ln 2
e.x0
log 2 e 1
x0 1
3
B. P
2
.
3ln 2
C. P
Câu 35. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log
trị Pmax của biểu thức P
A. 0.
2
.
3ln 3
3
D. P
3
.
2 ln 3
x y
x x 3 y y 3 xy . Tìm giá
x y 2 xy 2
2
5x 4 y 4
x y3
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 36. Trong tất cả các cặp x; y thỏa mãn log x2 y 2 2 2 x 4 y 6 1. Tìm m để tồn tại duy nhất
cặp x; y sao cho x 2 y 2 2 x 2 y 2 m 0
A. 13 3 và 13 3
C.
13 3
B. 13 3
2
D.
2
13 3 và
13 3
2
Câu 37. Số 2017201820162017 có bao nhiêu chữ số:
A. 147278481
B. 147278480
5
Câu 38. Cho hàm số y
2018
khoảng (1;2)
C. 147347190
D. 147347191
e m 1 e 1
3x
x
. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên
A. 3e 2 1 m 3e3 1.
B. m 3e 4 1.
C. m 3e 2 1.
D. 3e3 1 m 3e 4 1
Câu 39. Cho f x a.ln x x x 2 1 b.x 2017 2018 với a, b . Biết rằng f log log e 2019.
Tính giá trị của f log ln10
A. 2017.
B. 2020.
Câu 40. Cho 0 x; y 1 thỏa mãn
C. 2018.
D. 2019.
20181 x
x 2 2019
. Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của
2018 y
y 2 2 y 2020
biểu thức P 4 x 2 3 y 4 y 2 3 x 25 xy, khi đó M + m bằng bao nhiêu?
A.
391
.
16
B.
383
.
16
C.
136
.
3
D.
25
.
2
6
HƯỚNG DẪN GIẢI
1-B
2-A
3-A
4-B
5-D
6-A
7-D
8-A
9-A
10 - C
11 – D
12 – A
13 – B
14 - A
15 – D
16 - D
17 – B
18 - A
19 – D
20 – C
21 – D
22 – C
23 – C
24 – C
25 – D
26 – B
27 – C
28 – A
29 – D
30 – A
31 – D
32 – D
33 - A
34 – B
35 - D
36 – D
37 - A
38 – B
39 - A
40 – A
Câu 1. Chọn B.
Phương pháp:
Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số và suy ra tính chất và so sánh a, b, c.
Cách giải:
Ta thấy đồ thị hàm số y log c x đi xuống 0 c 1.
Đồ thị hàm số y log a x, y log b x đi lên hay hàm số này đồng biến a 1; b 1
Đồ thị hàm số y log a x nằm trên đồ thị hàm số y log b x a b.
Câu 2. Chọn A.
Phương pháp:
Biến đổi VT để xuất hiện log a 2019
n 2 n 1
Sử dụng công thức 1 2 3 ... n
4
3
3
3
2
3
Cách giải:
Ta có: VT 12 log a 2019 22 log
a
2019 ... n 2 log
a
2019
13.log a 2019 23 log a 2019 ... n3 log a 2019 13 23 ... n3 log a 2019
VP 10102.20192.log a 2019
Có VT = VP 13 23 ... n3 log a 2019 10102.20192.log a 2019
2
n 2 n 1
2
10102.20192 n 2 n 2020.2019
4
2
n 2019 0;
n 2 n 2020.2019 vì n 2 n 0n 0
n 2020 0;
Câu 3. Chọn A.
Phương pháp:
+ Chứng minh 5logc 5 6logc 5
+ Biến đổi f x theo f x và tính ra P.
Cách giải:
7
Đặt t 5logc 6 ln t log c 6.ln 5
Ta có: P f t a ln 2017
a ln 2017
1
t 1 t
2
ln 5.ln 6
log c 5.ln 6 t 6logc 5
ln c
t 2 1 t bt sin 2018 t 2
bt sin 2018 t 2 a ln 2017
t 2 1 t bt sin 2018 t 2 4
f t 4 6 4 2
Câu 4. Chọn B.
Phương pháp:
Biểu diễn số theo hai giá trị của giả thiết qua các công thức thường sử dụng
Cách giải:
Ta có: log12 6 log12
Vậy log 2 7
12
1 log 12 2 a log 12 2 1 a
2
log12 7
b
log12 2 1 a
Câu 5. Chọn D.
Phương pháp:
Bước 1. Gọi q là công bội của cấp số nhân và d là công sai của cấp số cộng. Sử dụng giả thiết để thiết
lập một hệ phương trình về mối liên hệ giữa x,y,z và q và một hệ giữa log a x, log a y, log a z và d. Sử
dụng các kết quả này để chứng minh q = 1.
Bước 2. Khi q = 1 thì x = y = z. Thay vào biểu thức để nhận được giá trị cần tính.
Cách giải:
Bước 1: Gọi q là công bội của cấp số nhân và d là công sai của cấp số cộng. Khi đó theo giải thiết ta có
y qx
hệ cho cấp số nhân
1 , và hệ cho cấp số cộng
2
z
qy
q
x
log
Từ (2) ta có:
log
a
a
log
log
a
y log a x d
a
z log a y d
2
y log a x d
2 log a y log a x d
(3)
z log a y d
3log a z log a y d log a x 2d
Thay (1) vào (3) ta có:
2 log a qx log a x d
d 2 log a q log a x 4
2 log a x 2 log a q log a x d
2
3log a z log a y d log a x 2d
3log a q x log a x 2d
6 log a q 2 log a x 2d 5
Thay (4) vào (5) ta nhận được log a q 0 q 1
Bước 2. Thay q = 1 vào (1) ta nhận được x = y = z.
Do đó P
1959 x 2019 y 60 z
1959 2019 60 4038
y
z
x
Câu 6. Chọn A.
8
Phương pháp: Tính f(x) và f(1 – x) và tìm mối liên hệ giữa f(x) và f(1 – x)
Cách giải: f x
2018 x
2018 x 2018
2018
20181 x
2018
2018
2018 x
f 1 x
x
2018
20181 x 2018
2018 2018 x
2018 2018 2018.2018
x
2018
2018 x
2018
1
x
2018 2018
2018 2018 x
f x f 1 x
1
Ta có: S f
2017
2
f
...
2017
2006
f
2017
1
f
2017
2016 2
f
f
2017 2017
1008
2015
f
... f
2017
2017
1
f
2017
1 2
f 1
f
2017 2017
2
f
... f
2017
1009
f
2017
1008
1
2017
1008
f 1
2017
1 1 ... 1 (có 1008 số 1) = 1.1008 = 1008.
Câu 7. Chọn D.
Phương pháp: Biến đổi điều kiện cho trước và biểu thức P rồi đặt ẩn phụ và tìm giá trị nhỏ nhất của
hàm thu được .
Cách giải:
Từ gt ta có: x 2 y 2 z 2 1 x y z 2 xy 2 yz 2 zx 1 x y z 1 2 xy 2 yz 2 zx
2
2
Thay vào biểu thức P ta có:
P xy yz 2 zx
8
2
xy yz 2 zx
2
x y z
2
xy yz 2 zx
2
xy yz 2
8
1 2 xy 2 yz 2 zx xy yz 2
8
xy yz 2 zx 3
Ta có: x y z 0 x 2 y 2 z 2 2 xy yz xz 0 1 2 xy yz zx 0
2
xy yz zx
1
2
Dấu “=” xảy ra x y z 0 và x 2 y 2 z 2 1
Lại có xz x . z
1 2
1
1
1
1
x z 2 1 y 2 xz
2
2
2
2
2
Hay giá trị nhỏ nhất của xz là
1
x z (vì tích âm nên hai số trái dấu)
2
9
y 0
x y z 0
y 0
1 1
1
2
2
2
Vậy min xy yz 2 zx 1 xảy ra x y z 1 x z x
2 2
2
x z
2 x 2 1
1
z
2
hoặc
y 0
1
x
2
1
z
2
Đặt t xy yz 2 xz t 1 khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của P t 2
8
t 1
t 3
Xét f t t 2
f t 2t
8
t 1
t 3
t 3
2t t 3 8
2
8
2
t 3
2
2t 3 12t 2 18t 8
t 3
2
2 t 1 t 4
2
t 3
2
Thấy f t 0t 1 nên giá trị nhỏ nhất f t trên 1; là f 1 1
8
3
2
Vậy minP = 3
y 0
y 0
1
1
hoặc x
x
2
2
1
1
z
z
2
2
Câu 8. Chọn A.
Phương pháp: Biến đổi biểu thức đã cho theo m sau đó xét hàm đặc trưng và đánh giá các trường hợp
xảy ra theo m.
Cách giải: Ta có: m
1
y
x
ln
ln
* với 0 x y 1.
y x 1 y
1 x
1
1 t
t
1
0t 0;1
Xét hàm số f t ln
0 t 1 f t t
1 t
t 1 t
1 t
2
f t là hàm đồng biến trên (0;1) nên với y x thì f y f x
10
ln
y
x
1
y
x
ln
0
ln
ln
0m0
1 y
1 x
y x 1 y
1 x
Ta có: * ln
y
x
x
y
ln
my mx mx ln
my ln
1
1 y
1 x
1 x
1 y
Xét hàm đặc trưng g u mu ln
g u m
u
;0 u 1
1 u
h u
1
mu 2 mu 1
u 1 u
u 1 u
u 1 u
Vì m 0 nên h u là tam thức bậc hai và vì 0 u 1 nên u 1 u 0 dấu của g u là dấu h u
h u 0 h u 0 g u 0
Nếu
hay
g u
là hàm nghịch biến trên (0;1) nên
g x g y x y (mâu thuẫn gt x y ) nên (1) chỉ xảy ra khi h u có hai nghiệm phân biệt
thuộc (0;1)
Xét h u 0 mu 2 mu 1 0 mu 1 u 1 m
1
2 có hai nghiệm phân biệt thuộc
u 1 u
(0;1)
Xét u
1
2u 1
1
, 0 u 1 có u
0 u tm
2
u 1 u
2
u u 2
BBT của u trên(0;1)
u
1
2
0
u
u
0
1
+
4
Từ BBT để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) thì m > 4.
Câu 9. Chọn A.
Phương pháp: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ax by a 2 b 2 x 2 y 2
2
Cách giải: Với a, b 1;log 2 a log 3 b 1
P2
log 3 a log 2 b
2
log 3 2.log 2 a log 2 3.log 3 b
2
log 3 2 log 2 3 log 2 a log 3 b log 2 3 log 3 2
Vậy P log 2 3 log 3 2
Câu 10. Chọn C.
Cách giải:
11
Giả sử H x0 ;0 , x0 1, x0 0. Khi đó tọa độ các điểm A x0 ;log a x0 , B x0 ;log b x0
3HA 4 HB 3 log a x0 4 log b x0 3log a x0 4 log b x0 (vì A và B nằm khác phía so với Ox)
log a x0
4
4
log a b 3log a b 4 log a b3 4 b3 a 4 a 4b3 1
log b x0
3
3
Câu 11. Chọn D.
Phương pháp: Sử dụng các công thức của hàm logarit:
log a b
1
b
;log a bc log a b log a c;log a log a b log a c;log a b n n log a b
log b a
c
Cách giải: Ta có: log ab b 3
1
log b ab
3 3 log b a log b b 1
2
3
3log b a 3 1 log b a log a b
3
2
log
ab
a
2 log
b
ab
a log
ab
b 2 2 log ab a 4 log ab b
2
2
2
4..3
12
12 16
3
log a ab
1 log a b
1
2
Câu 12. Chọn A.
Phương pháp: Đặt log a c x;log b c y;log a b z x, y, z 0 do a, b, c 1 x yz để tìm GTNN
của P m n
Cách giải: Đặt log a c x;log b c y;log a b z x, y, z 0 do a, b, c 1 x yz
P log a bc log b ac 4 log c ab log a b log a c
1
1
1
log b c 4
log a b
log a c log b c
1
4 4
1
4
4 Cosi
z x y z x y 2 4 4 10
z
x y
z
x
y
12
Pmin
z 1
m 10
10 x 2 log b c y 2
m n 12
n
2
y 2
Câu 13. Chọn B.
Phương pháp: Biến đổi giả thiết để sử dụng được hàm đặc trưng. Xét tính chất của hàm đặc trưng từ
đó tìm được mối liên hệ của a,b.
Biến đổi biểu thức T rồi đánh giá T theo hằng đẳng thức.
Cách giải:
4a 2b 5
Ta có: log 5
a 3b 4 log 5 4a 2b 5 log 5 a b a 3b 4
ab
log 5 4a 2b 5 4a 2b 5 log 5 a b 5a 5b 1
log 5 4a 2b 5 4a 2b 5 log 5 5a 5b 5a 5b
Xét hàm f x log 5 x x, x 0 f x
1
1 0x 0 f x là hàm đồng biến trên tập xác
x ln 5
định
Khi đó: f 4a 2b 5 f 5a 5b 4a 2b 5 5a 5b a 3b 5
2
15 5 5
2
Xét T a 2 b 2 3a b b 2 10b 2 30b 25 10b
10 2 2
Vậy Tmin
3
a
5
2
2
b 1
2
Câu 14. Chọn A.
Phương pháp:
+) Biểu diễn tọa độ của các đỉnh A,B,C,D theo 1 ẩn x.
+) Tính diện tích hình chữ nhật theo x sau đó tìm giá trị lớn nhất của diện tích bằng cách dùng hàm số .
Cách giải: Gọi D x;0 C x; e x ; A x;0 ; B x; e x
2
Khi đó AB e x ; AD 2 x S ABCD 2 x.e x
2
với x 0
2
Xét hàm số y 2 x.e x , x 0 y 2.e x 2 x.e x 2.e x 1 2 x 2 0 x
2
2
2
2
1
2
2
BBT của y 2 x.e x , x 0
x
y
1
2
0
+
13
y
1
2
1
Từ BBT suy ra max y y
khi x
2
e
2
Câu 15. Chọn D.
Phương pháp:
A xác định khi A 0, log a b xác định khi 0 a 1; b 0
+) Tìm TXĐ của hàm số
+) Sử dụng điều kiện về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Cách giải:
x 0
x 1
x e nên TXD D e;
Ta có: y log 2 ln x có đk ln x 0
x
e
log ln x 0
2
log ln x
y
2
2 log 2 ln x
1
2 x.ln x.ln 2. log 2 ln x
0x e nên hàm số đồng biến trên e;
Câu 16. Chọn D.
Phương pháp: Dựa vào các đánh giá bất đẳng thức log x xx 1, với các hàm số logarit
Cách giải: Ta có: A log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2 ...
log 2017 log 2016 log 2017 3 log 2020 A log 2020
Áp dụng bất đẳng thức log x xx 1, ta có
2015 log 2014 log ... log 3 log 2 ... 2015 2014 log ... log 3 log 2 ...
2015 2014 2013 ... 3 3
2017.2014
2
2017.2014
Khi đó log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2 ... log 2016
4
2
Vậy A log 2017 4 log 2021
A log 2020;log 2021
Câu 17. Chọn B.
Phương pháp:
- Giải phương trình f x 0
- Quanh sát đồ thị hàm số, đánh giá sự đồng biến, nghịch biến và số giao điểm của đồ thị hàm số với
đường thẳng y = 0.
Cách giải: 32 x 2.3x 0 3x 3x 2 0 3x 2 x log 3 2
3
x
0x Mệnh đề (1) đúng.
14
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:
+) Bất phương trình f x 1 vô số nghiệm Mệnh đề (2) sai.
+) Bất phương trình f x 0 có tập nghiệm là log 3 2; Mệnh đề (3) sai.
+) Đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số (C) tại 1 điểm duy nhất là log 3 2;0 Mệnh đề (4) sai.
Vây có tất cả 1 mệnh đề đúng.
Câu 18. Chọn A.
Phương pháp: Quy đồng, tính từng phân số để đưa về tính các số hạn
Cách giải:
1
1
Ta có: 2017!. 1
1
2
1
1
1 ... 1
2 2017
2017
3
2017!.2 .
2
1
2
3
4 2018
. ...
3 2017
2017
1 1 1
1 20182017
2017!. . . ...
.
20182017 a b a; b 2018; 2017
1 2 3 2016 2017
Câu 19. Chọn D.
Phương pháp: Chú ý quan trọng của bài toán là 2 giá trị trong ngoặc có tổng bằng 1, từ đó xác định
tổng hai giá trị có giá trị không đổi để tính tổng
Cách giải: Ta có: f x
f x f 1 x
1
Khi đó f
2019
4x
41 x
f
1
x
4x 2
41 x 2
4x
41 x
4x
4
4x
2
1
x
1 x
x
x
x
4 2 4 2 4 2 2.4 4
4 2 2 4x
2018
f
1;
2019
1
Vậy S f
2019
2
f
2019
2
f
...
2019
4
2017
f
1 …và f 1
6
2019
2018
4 3029
2018
f
.1
f 1
2
6
3
2019
Câu 20. Chọn C.
Phương pháp: Tìm mối liên hệ giữa các biến ở giả thiết, đưa về khảo sát hàm số với điều kiện của ẩn.
Cách giải: Ta có:
1
2
2
2
4
log 2 a log 2 log 2 a log 2 a a 2
2
b
b
b
b
Đặt t 4a 3 b3 b3
256 b3 b3 256
6 3
b6
2 2
b
Khi đó P f t t 4 log 2 t f t 1
3
b3 b3 256
12 t 12;
2 2 b6
4
0t 2
t.ln 2
f t là hàm đồng biến trên 12; f t f 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là Pmin 12 4 log 2 12 12 4.log 2 3.22 4 1 log 2 3
Câu 21. Chọn D.
15
Phương pháp: Sử dụng công thức tính ước nguyên của một số. Giả sử A a m .b n thì A có số ước
nguyên là 2 m 1 n 1
Cách giải: Ta có 6303268125 54.35.73.112
Suy ra 63032681252 có 2 4 1 5 1 3 1 2 1 720 ước số nguyên.
Câu 22. Chọn C.
Phương pháp: Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa về tổng các bình phương, từ biểu thức P đưa về hạng
tử trong tổng bình phương và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn nhất
Cách giải: Vì x 2 y 2 1 y log x2 y 2 f x là hàm số đồng biến trên tập xác định.
Khi đó: log x2 y 2 2 x 3 y log x2 y 2 x 2 y 2 2 x 3 y x 2 y 2
2
3 9 13
3 13
2
x 2 x y 3 y 0 x 2 x 1 y 2 2. y. x 1 y
2 4 4
2
4
2
2
2
3 7
3
7
Xét biểu thức P ta có: P 2 x y 2 x 1 y 2 x 1 y P
2 2
2
2
2
2
3
3 65
2
2
2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 2 x 1 y 2 1 x 1 y
2
2 4
7 65
Pmin
7 65
7 65
7 65
2
P
P
2
4
2
2
P 7 65
max
2
2
Câu 23. Chọn C.
Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất
của biểu thức.
Cách giải: log
3
x y
x x 3 y y 3 xy 1
x y 2 xy 2
2
x
y 2 xy 2 x 2 3 x y 2 3 y xy
log
3
x y log
log
3
x y 3x 3 y log
log
3
x y 2 3x 3 y log
3
log
3
3x 3 y 3x 3 y log
x
3
2
3
x
Đặt f t log 3 t , t 0 f t
2 f 3x 3 y
3
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy
2
x
2
2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2 2
1
1 0t 0 f t đồng biến trên 0;
t ln 3
f x 2 y 2 xy 2 3 x 3 y x 2 y 2 xy 2
4 x 2 4 y 2 4 xy 12 x 12t 8 0
16
2 x y 6 2 x y 5 3 y 1 0 1 2 x y 5
2
Khi đó P
2
2 x y 5 0
3x 2 y 1
2x y 5
1
1 vì
x y6
x y6
x y 6 0
2 x y 5 0
x 2
Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi
y 1 0
y 1
Câu 24. Chọn C.
Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất
của biểu thức.
Cách giải: log
3
x y
x x 3 y y 3 xy 1
x y 2 xy 2
2
x
y 2 xy 2 x 2 3 x y 2 3 y xy
log
3
x y log
log
3
x y 3x 3 y log
log
3
x y 2 3x 3 y log
3
log
3
3x 3 y 3x 3 y log
x
3
2
3
x
Đặt f t log 3 t , t 0 f t
2 f 3x 3 y
3
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy
2
x
2
2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2 2
1
1 0t 0 f t đồng biến trên 0;
t ln 3
f x 2 y 2 xy 2 3 x 3 y x 2 y 2 xy 2
4 x 2 4 y 2 4 xy 12 x 12t 8 0
2 x y 6 2 x y 5 3 y 1 0 1 2 x y 5
2
Khi đó P
2
2 x y 5 0
3x 2 y 1
2x y 5
1
1 vì
x y6
x y6
x y 6 0
2 x y 5 0
x 2
Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi
y 1 0
y 1
Câu 25. Chọn D.
Phương pháp: Chứng minh
4 3b 1
b2
9
Biến đổi và đặt t log a b, đưa về hàm số f t và tìm GTNN của hàm số đó.
Cách giải: 3b 2 0 9b 2 12b 4 0 4 3b 1 9b 2
2
log a
4 3b 1
b2
9
4 3b 1
log a b 2 2 log a b
9
17
8log 2b
a
8
log 2a
b
a
8
log a b 1
Đặt t log a b, ta có P 2t
2
8
t 1
2
1 f t
TXD: D \ 1
Ta có: f t 2
f 3 2.3
16
0 t 1 8 t 3
3
t 1
3
8
1 7 f t 7 P 7
22
Câu 26. Chọn B.
Phương pháp: Biến đổi f x theo f x
Cách giải:
f x a 2 1 ln 2017 x x 2 1 bx sin 2018 x 2
f x 2 a 2 1 ln 2017 x x 2 1 bx sin 2018 x
f x 2 a 2 1 ln 2017 x
x
x 1 bx sin
2
1 bx sin 2018 x
a 2 1 ln 2017 x x 2 1 bx sin 2018 x a 2 1 ln 2017
a 2 1 ln 2017 x
2
2018
1
x x 1
2
bx sin 2018 x
x f x 2 f x 2
f x f x 4 f 5log 7 f 5log 7 4 f 7 log5 4 6 4 2
Câu 27. Chọn C.
b
Phương pháp: Phân tích, sử dụng các công thức log a bc log a b log a c; log a log a b log a c
c
0 a 1; b, c 0
Cách giải: Xét hàm số f x trên [2;2018] ta có:
x2 1
1
f x ln 1 2 ln 2 ln x 2 1 ln x 2 ln x 1 2 ln x ln x 1
x
x
f 2 f 3 .. f 2018 ln1 2ln 2 ln 3 ln 2 2ln 3 ln 4 .. ln 2017 2ln 2018 ln 2019
ln1 ln 2 ln 2018 ln 2019
ln 2 ln 2 ln 2019 ln 3 ln 673
ln 3 ln 4 ln 6733 ln1009
18
a 3
b 4
tm P a b c d 1689
c
673
d 1009
Câu 28. Chọn A.
Phương
log a
pháp:
Sử
dụng
công
log a b
thức
1
0 a, b 1 ,
log b a
a 2 b2 c2 ,
f x
log a f x log 0 a 1, f x , g x 0
g x
Cách giải: log b c a log c b a
log a c b log a c b
1
1
log a c b log a c b log a c b .log a c b
a2
Có a c b c b c b c b
cb
2
2
2
log a c b log a c b log a c b log a
log c b a log c b a
a2
log a c b 2 log a c b 2
c2 b2
2
2 log c b a.log c b a.
log a c b .log a c b
Câu 29. Chọn D.
Phương
pháp:
Sử
log a b log a c log a
dụng
các
công
thức
log a b.log b c log a c, log a b log a c log a bc ,
b
(giả sử các biểu thức đã cho là có nghĩa).
c
Cách giải: xy log 7 12.log12 24 log 7 24
log 7 7.24a
a.log 7 24 1
log 7 24a log 7 7
log 54 168
log 24b.12c 7.24a
b
c
b
c
b.log 7 24 c.log 7 12 log 7 24 log 7 12
log 7 24 .12
a 1
a 1
7.24a 168
a 1
b c
3b b 2 c c
3b 2c 1 b 5 tm
3
2 .3 .2 .3 2.3
24 .12 54
b c 3
c 8
S a 2b 3c 1 2. 5 3.8 15
Câu 30. Chọn A.
Phương pháp:
+) Tìm TXĐ của hàm số.
+) Sử dụng các công thức log a x log a y log a xy x, y 0;0 a 1
Cách giải: Đk:
1 x
0 1 x 1
1 x
19
f a f b ln
1 a 1 b ln 1 a b ab
1 a
1 b
ln
ln
1 a
1 b
1 a b ab
1 a 1 b
ab
1
a
b
1 ab ln 1 ab a b
f
ln
ab
1 ab a b
1 ab
1
1 ab
ab
f a f b f
a, b 1;1
1 ab
Câu 31. Chọn D.
Phương pháp: log a b x a x b
3
5
3
5
2
Cách giải: log a b b a ;log c d d c 4
2
4
Do b, d là các số nguyên đặt a x 2 , c y 4 x, y a c x y 2 x y 2 9
3
x y 2 1
x 5
x 5 b 5 125
b d 93
2
2
5
x y 9
y 2 d 2 32
y 4
Câu 32. Chọn D.
Phương pháp:
Từ phương trình x 3 y 1 5 thế 6 x 2 y x 2 y 2 5 vào P.
2
2
Phân tích tử theo mẫu và rút gọn.
Đặt ẩn phụ. Sử dụng các bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện của ẩn phụ và sử dụng BĐT
Cauchy để đánh giá GTNN của P.
Cách giải: Từ giả thiết: x 2 6 x 9 y 2 2 y 1 5 6 x 2 y x 2 y 2 5
P
3 y 2 4 xy 7 x 4 y 1 3 y 2 4 xy 6 x 2 y x 2 y 1
x 2 y 1
x 2 y 1
P
x 2 4 y 2 4 xy x 2 y 4 x x 2 y 1 2 y x 2 y 1 4
4
x 2y
x 2 y 1
x 2 y 1
x 2 y 1
Đặt y x 2 y P t
4
t 1
2
2
2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có x 3 2 y 1 12 22 x 3 y 1 25
5 x 3 2 y 1 5 5 x 2 y 5 5 0 t 10
Áp dụng BĐT Cauchy ta có t 1
4
4
4 P 3. Dấu “=” xảy ra t 1
t 1
t 1
t 1
20
x 1
y 0
x 2 y 1
Khi đó
x 17
2
2
x 3 y 1 5
5
6
y
5
Câu 33. Chọn A.
Cách giải: a 2 b 2 7 ab a 2 2ab b 2 9ab a b 9ab
2
log 2 a b log 2 9ab log 2
2
2 log 2
a b
2
log 2 a log 2 b
9
ab
log 2 a log 2 b a, b 0
3
Câu 34. Chọn B.
Phương pháp: Khảo sát hàm số trên khoảng 0; tìm x0 để hàm số đạt giá trị lớn nhất.
Tính giá trị của biểu thức P log 2
e.x0
log 2 e 1
x0 1
3
Cách giải: y 2e x log x, x 0 y log x
2e x 2e x x log x ln10
x ln10
x ln10
+ Tìm nghiệm của phương trình y 0
y 0
2e x x log x ln10
0 2e x x log x ln10 0 2e x x ln x 0
x ln10
x x ln x 2e 0 *
Xét f x x x ln x 2e, x 0 f x ln x, f x 0 x 1
Dễ dàng kiếm tra x 1 không là nghiệm của (*)
+ Trên khoảng 1; hàm số f x đồng biến f x 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà f e 0, e 1; x e là nghiệm duy nhất của (*) trên khoảng 1;
+ Trên khoảng (0;1), hàm sô f x nghịc biến
Mà lim f x lim 2e x x ln x 2e 0, f 1 1 2e 0 f x 0x 0;1
x 0
x 0
Vậy (*) có 1 nghiệm duy nhất x e.
BBT của hàm số y 2e x log x, x 0
x
0
y
||
y
e
+
0
e log e
21
Hàm số đạt GTLN tại x x0 e
GT biểu thức P log 2
3
e.x0
e.e
2
2
log 2 e 1 log 2
log 2 e 1 log 2 e
x0 1
e 1
3
3ln 2
3
Câu 35. Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp hàm số.
Cách giải: log
3
x y
x x 3 y y 3 xy 1
x y 2 xy 2
2
x
y 2 xy 2 x 2 3 x y 2 3 y xy
log
3
x y log
log
3
x y 3x 3 y log
log
3
x y 2 3x 3 y log
3
log
3
3x 3 y 3x 3 y log
x
3
2
3
x
Đặt f t log 3 t , t 0 f t
2 f 3x 3 y
3
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy
2
x
2
2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2 2
1
1 0t 0 f t đồng biến trên 0;
t ln 3
f x 2 y 2 xy 2 3 x 3 y x 2 y 2 xy 2
4 x 2 4 y 2 4 xy 12 x 12t 8 0
2 x y 6 2 x y 5 3 y 1 0 1 2 x y 5
2
Khi đó P
2
2 x y 5 0
5x 4 y 4
2x y 5
3
3 vì
x y3
x y3
x y 3 0
2 x y 5 0
x 2
Vậy Pmax = 3 khi và chỉ khi
y 1 0
y 1
Câu 36. Chọn D.
Phương pháp: Từ bất phương trình log x2 y 2 2 2 x 4 y 6 1 tìm tập hợp các điểm biểu diễn điểm
x; y
Từ phương trình x 2 y 2 2 x 2 y 2 m 0 tìm tập hợp các điểm biểu diễn điểm x; y
Tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Cách giải: Ta có: x 2 y 2 2 2 1x, y
log x2 y 2 2 2 x 4 y 6 1 2 x 4 y 6 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x 4 y 4 0
x 1 y 2 9 1
2
2
22
Giả sử M x; y thỏa mãn phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn (C1) tâm I 1; 2 bán
kính R1 3
x 2 y 2 2 x 2 y 2 m 0 x 1 y 1 m 2
2
2
Với m 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm J 1;1 bán kính R2 m
Để tồn tại duy nhất cặp (x;y) thỏa mãn khi và chỉ khi (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau
m
13 m 3
IJ R1 R2
13 m 3
JI R1 R2
m
13 3
13 3
2
2
Câu 37. Chọn A.
Phương pháp: Số n có k chữ số 10k 1 n 10k
Cách giải: Đặt n 2017201820162017
Ta có: log n log 2017201820162017 20162017 log 20172018
n 1020162017 log 20172018 101472788480,5 Có 147278481 chữ số
Câu 38. Chọn B.
Phương pháp: Để hàm đồng biến trên (1;2) y 0x 1; 2
Cách giải: TXĐ: D
5
Ta có: y 3e m 1 e
2018
3x
e3 x m 1 e x 1
x
5
ln
0
2018
Để hàm đồng biến trên (1;2) y 0x 1; 2
5
Ta có:
2018
e3 x m 1 e x 1
5
0;ln
0 y 0x 1; 2
2018
3e3 x m 1 e x 0x 1; 2
e x 3e 2 x m 1 0x 1; 2 3e 2 x m 1 0x 1; 2 3e 2 x 1 mx 1; 2
m max 3e 2 x 1
1;2
Xét hàm số f x 3e 2 x 1 f x 6e x 0x 1; 2 max f x f 2 3e 4 1
1;2
Vậy m 3e 4 1
Câu 39. Chọn A.
Phương pháp: Đặt g x f x 2018 a ln x x 2 1 bx 2017 . Chứng minh g x là hàm lẻ.
Cách giải: Đặt g x f x 2018 a ln x x 2 1 bx 2017 .
23
g x a ln x x 2 1 bx 2017
1
2017
a ln x x 2 1 bx 2017 g x
a.ln
bx
2
x x 1
f x 2018 f x 2018 f x f x 2036
log10
1
Ta có: f log ln10 f log
f log
f log log e
log e
log e
f log log e 4036 2019 4036 2017
Câu 40. Chọn A.
Cách giải:
20181 x
x 2 2019
20181 x
x 2 2019
20181 y
x 2 2019
2
2
2018 y
y 2 2 y 2020
2018 y
2018 x
y 1 2019
y 1 2019
2018 x x 2 2019 20181 y 1 y 2019 1
2
Xét hàm số y f t 2018t t 2 2019 , t 0;1
y f t 2018t ln 2018. t 2 2019 2t.2018t
2018t t 2 ln 2018 2t 2019 ln 2018 0t 0;1
Hàm đồng biến trên đoạn [0;1]
Phương trình (1) trở thành: f x f 1 y x 1 y x y 1
Ta có: P 4 x 2 3 y 4 y 2 3 x 25 xy 16 x 2 y 2 12 x3 12 y 3 9 xy 25 xy
16 x 2 y 2 12 x y 3 xy x y 34 xy
3
16 x 2 y 2 12 36 xy 34 xy 16 x 2 y x 2 xy 12
1
1
Với x, y 0;1 ; x y 1: 0 xy . Đặt xy z , z 0; , ta có:
4
4
P g z 16 z 2 2 z 12, g z 32 z 2 0 z
1
16
25
191
391
1 191 1 25
;g
M ,m
M m
Mà g 0 12; g
2
16
16
16 16 4 2
24
