20 bài tập tính đơn điệu của hàm số mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

20 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ-CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y 

1;   .
A. 4.

B. 5.

C. 9.

x 2  5x  m2  6
đồng biến trên
x 3

D. 3.

Câu 2: Cho hàm số y  f  x  xác định trên R và có đạo hàm

f '  x   1  x  x  2  g  x   2018

trong

đó

g  x   0, x  R.

f '  x  thỏa mãn
Hàm

số

y  f 1  x   2018 x  2019 nghịch biến trên khoảng nào?
A.

 3;   .

C.  ;3 .

B. (0;3).

D. 1;   .

Câu 3: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như

 

hình bên. Hàm số y  f x 2 đồng biến trên khoảng.
A. 1;   .

B.  1;   .

C.  ; 1 .

D. (-1;1).

Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R. Đường cong
trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  ( y  f '  x 





liên tục trên R). Xét hàm số g  x   f x 2  3 . Mệnh đề nào sau
đây sai?
A. Hàm số g  x  nghịch biến trên (1;2).
B. Hàm số g  x  nghịch biến trên (-1;0).
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên  2;   .
D. Hàm số g  x  nghịch biến trên  ; 1 .

1


Câu 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng  0;   .
A. 1.

B. 2.

3 4
1
x   m  1 x 2 
4
4x 4

C. 3.

D. 4.

Câu 6: Cho hàm số f  x   x 3  3 x 2  m. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

 m  2018

để với mọi bộ ba số phân biệt a, b, c  1;3 thì f  a  , f  b  , f  c  có độ dài ba cạnh

của một tam giác.
A. 2011.

B. 2012.

C. 2010.



D. 2018.



Câu 7: Số giá trị nguyên m < 10 để hàm số y  ln x 2  mx  1 đồng biến trên  0;  là:
A. 10.
Câu

8:

B. 11.
Có

bao



nhiêu

giá



C. 8.
trị

nguyên

của

D. 9.
tham

số

m

để

hàm

số

y  x  3  m  2  x  3 m  4 m x  1 nghịch biến trên khoảng (0;1)?
3

2

2

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2018;2018 để hàm số
y  x 2  1  mx  1 đồng biến trên  ;   .

A. 2017.

B. 2019.

C. 2020.

D. 2018.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   2 m  3 x   3m  1 cos x
nghịch biến trên  ?
A. 1.

B. 5.

C. 0.

D. 4.

mx  2 m  3
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
xm
nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng  2;   . Tìm số phần tử của S.

Câu 11: Cho hàm số y 

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 1.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng 1;   ?
A. 3.

B. 4.

C. 2.

x2
 mx  ln  x  1
2

D. 1.
2


Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên 
thỏa f  2   f  2   0 và đồ thị hàm số y  f '  x 
có dạng như hình vẽ bên dưới.
Hàm số y  ( f  x )2 nghịch biến trên khoảng nào
trong các khoảng sau:
3

A.  1;  .
2


B. (-2;-1),

C. (-1;1).

D. (1;2).

1
Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y  cos3 x  4 cot x   m  1 cos x đồng biến
3
trên khoảng  0;   ?

A. 5.

B. 2.

C. vô số.

D. 3.

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m  2
đồng biến trên khoảng (1;3).
A. m   ; 5 .

B. m   2;   .

C. m   5;2  .

D. m   ;2  .

Câu 16: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số f '  x 
như hình vẽ.
Hàm số y  f 1  x  

x2
 x nghịch biến trên khoảng
2

A. (-3;1).

B. (-2;0).

C. (1;3).

3


D.  1;  .
2


Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f '  x 
được cho như hình bên. Hàm số y  2 f  2  x   x 2 nghịch
biến trên các khoảng
A. (-1;0).

B. (0;2).

C. (-2;-1).

D. (-3;-2).
3


Câu 18: Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên R.
Biết hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ sau. Hỏi hàm số

y  f 1  x  đồng biến trên khoảng nào?
A. (-1;1) và  4;   .

B. (-3;0) và  2;   .

C.  ;1 và (1;4).

D. (-4;-1) và 1;   .

Câu 19: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  là hàm số





bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g  x   f  x 2  3 .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?



g  x  đồng biến trên khoảng  0; 5  .
g  x  đồng biến trên khoảng   2;0  .
g  x  đồng biến trên khoảng  2;   .

A. g  x  đồng biến trên khoảng ;  2 .
B.
C.
D.

Câu 20: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  là hàm số





bậc ba có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g  x   f x 2  1 đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 1;   .

B. (1;2).

C. (0;1).

D. (-2;-1).

4


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-A
2-A
11-A
12-A
Câu 1: Chọn A.

3-A
13-D

4-A
14-A

5-C
15-D

6-A
16-B

7-A
17-A

8-B
18-B

9-D
19-C

10-B
20-C

Phương pháp:
Hàm số đồng biến trên 1;   hàm số xác định và có y '  0x  1;   . Sau đó chọn các
giá trị nguyên dương của m thỏa mãn bài toán.
Cách giải:
Có y ' 

 2 x  5 x  3   x 2  5x  m2  6 
 x  3 2



x 2  6 x  9  m2

 x  3 2

Hàm số y liên tục trên đoạn 1;  nên nếu y đồng biến trên 1;  thì
y '  0, x  1;    m 2  x 2  6 x  9x  1;   (*)

Xét hàm số f  x   x 2  6 x  9 liên tục trên 1;  có f '  x   2 x  6  0x  1;   nên hàm
số đồng biến trên ( 1; ).

 f  x   f 1 x  1;   ; f  x   16  x  1.
Do đó (*)  m 2  16  m  1;2;3;4 (do m nguyên dương)
Thử lại nếu m  1;2;3;4 thì y '  0x  1;   nên hàm số đồng biến trên ( 1; ).
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 2: Chọn A.
Phương pháp:
+) Công thức đạo hàm hợp: y  f  u  x    y '  f '  u  x   .u '  x 
+) Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng D  f '  x   0, x  D ( f '  x   0 tại hữu hạn
điểm xi  D, i  0; n )
Cách giải:
Vì

f '  x   1  x  x  2  g  x   2018
5


 f '  x   1  1  x    1  x   2  g 1  x   2018  x  3  x  g 1  x   2018

Ta có:

y  f 1  x   2018 x  2019  y '  f ' 1  x  . 1  x   2018   f ' 1  x   2018
   x  3  x  g 1  x   2018  2018  x  x  3 g 1  x  .

x  0
Mà g  x   0, x  R, suy ra để hàm số nghịch biến thì x  x  3  0  
x  3
Vậy hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng  ;0  ,  3;   .
Câu 3: Chọn A.
Phương pháp:
Tính y’, giải bất phương trình y’>0

Cách giải:

 

 

 

y  f x 2  y ' x 2 .2 x  2 xf ' x 2

 

Với x  1;    x  0  x 2  1;    f ' x 2  0  y '  0x  1;   .
Câu 4: Chọn A.
Phương pháp:
Giải các bất phương trình g '  x   0; g '  x   0 và kết luận.
Cách giải:
Ta có
6


 x  2
f ' x  0  
x  1



g '  x   2 xf ' x 2  3



x  0

Với x  1;2   x  3   2;1  
 g '  x   0x  (1;2) 
2
 f ' x  3  0
2





Hàm số đồng biến trên (1;2) suy ra A sai.
Câu 5: Chọn C.
Phương pháp:
Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng  0;    y '  0x   0;   và y’ = 0 tại hữu hạn
điểm.
Đưa bất phương trình về dạng f  x   mx   0;    m  min f  x 

 0; 

Cách giải:
1 4
1
 3 x 3  2  m  1 x 
Ta có y '  3 x 3  2  m  1 x  .
5
4 x
x5

Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng  0;    y '  0x   0;   và y’ = 0 tại hữu hạn
điểm.
 3 x 3  2  m  1 x 
 3 x 3  2  m  1 x 
 f  x   3x 2 

1
x6

1
x5
1
x6

 0x   0;  
 0x   0;  

 2  2 mx   0;  

 2 m  min f  x 

 0; 

Ta có:
f ' x   6x 

6
x

7

 0  x 8  1  x  1

7


f 1  6; f  1  6
Lập BBT ta tìm được min f  x   f 1  6  2 m  6  m  3.

 0; 

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương  m  1;2;3 .
Câu 6: Chọn A.
Phương pháp:
Xét hàm số g  x   x 3  3 x 2 .
Sử dụng điều kiện để f  a  ; f  b  ; f  c  là ba cạnh của tam giác (BĐT tam giác).
Dựa vào GTLN và GTNN của hàm số g(x) để tìm điều kiện của m.
Cách giải:

x  0
Đặt g  x   x 3  3 x 2 ta có g '  x   3 x 2  6 x  0  
.
x  2
BBT



x
y'

0
+

0

1

2
-

0

+

3
+

+

Y

-
 min g  x   g  2   4;max g  x   g  3  0
[1;3]

[1;3]

 min f  x   4  m
[0;2]

Với mọi a, b, c ta có f  a  ; f  b  ; f  c   0a, b, c  [1;3]  m  4  0  m  4.
 m  g  x    g  a   g  b  
g  a   g  b   m  g  c 


Theo yêu cầu đề bài toán ta có:  g  b   g  c   m  g  a    m  g  a    g  b   g  c  


g
a

g
c
m

g
b






 m  g  b    g  a   g  c  


Vì a, b , c đóng vai trò như nhau nên ta có thể nói m  g  a    g  b   g  c   a, b, c  1;3
8

Theo giả thiết a, b, c phân biệt  max g  x   2 min g  x   0  2.4  8
[1;3]

[1;3]

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có 0  m  2018  Có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Câu 7: Chọn A.
Phương pháp:
Để hàm số đồng biến trên  0;    y '  0x   0;  
Cách giải:
ĐK: x 2  mx  1  0.
Ta có y ' 

2x  m
2

x  mx  1

2 x  m  0x   0;  1
Để hàm số đồng biến trên  0;    y '  0x   0;    
2
 x  mx  1  0x   0;   2 

1  m  2 xx   0;    m  0.
x2 1
 f  x  x   0;    m  max f  x 
 2   mx   x  1  m 
x
 0; 

2

Ta có f '  x  

2 x 2  x 2  1
x2



x2  1
x2

 0  x 1

 max f  x   f 1  2  m  2.

 0; 

Vậy m  0.





Khi m = 0 ta có y  ln x 2  1 có y ' 

2x
x2  1

 0x   0;    m  0 thỏa mãn.

Kết hợp điều kiện bài toán ta có m  Z ,0  m  10  m  0;1;2;3;...;9  có 10 giá trị.
Câu 8: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  a; b   f '  x   0x   a; b  , bằng 0 tại hữu hạn
điểm trên (a;b).
9


Cách giải:







y  x 3  3  m  2  x 2  3 m2  4m x  1  y '  3x 2  6  m  2  x  3 m2  4m
Hàm





y  x 3  3  m  2  x 2  3 m2  4m x  1

số

nghịch

biến



trên

khoảng

(0;1)

 f '  x   0, x   0;1 , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).





 3 x 2  6  m  2  x  3 m 2  4 m  0, x   0;1 , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).





Xét phương trình 3 x 2  6  m  2  x  3 m 2  4 m  0 (*).



2



 '  9  m  2   3.3. m 2  4 m  36  0, m  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x1  0  1  x2 .
m 2  4 m  0
 x1 x2  0
 x1 x2  0
4  m  0




 3  m  0.
2

3

m

1
1  x1 1  x2   0
1  x1 x2   x1  x2   0

1  m  4 m  2 m  4  0

Câu 9: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số đồng biến trên R  y '  0x  R.
Cách giải:
TXĐ: D = R.
Có y ' 

x
2

x 1

m

Để hàm số đồng biến trên R

 y '  0x  R 

x
2

x 1

 m  0x  R  f  x  

x
2

x 1

 mx  R  m  min f  x 
R

10


x 2  1  x.

Ta có f '  x  

x2  1

x
x2  1 

1
2



2



x 1 x 1

 0x  R.

Có lim f  x   1  min f  x   1  m  1.
x 

R

Kết hợp với điều kiện đề bài  m   2018; 1 .
Câu 10: Chọn B.
Phương pháp:
Tính đạo hàm, sử dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Cách giải:

Ta có: y '  2 m  3   3m  1 .sinx với x  .
Đặt t = sinx, với 1  t  1.
Khi đó g  t    3m  1 t  2 m  3

g  1  0
m  4  0
2
Yêu cầu bào toán  g  t   0; t   1;1  

 4  m  .
5
5m  2  0
g 1  0
Vậy m  4; 3; 2; 1;0 .
Câu 11: Chọn A.
Hàm số y  f  x  đồng biến trên D khi và chỉ khi f '  x   0, x  D, (bằng 0 tại hữu hạn điểm
D).
Cách giải:
y

mx  2 m  3
m2  2m  3
 y' 
, x  m.
2
xm
x

m




 m2  2m  3  0
1  m  3

Để hàm số đồng biến trên khoảng  2;  thì 

 1  m  2
m  2
m  2
Mà m  Z  m  1;0;1;2  S  1;0;1;2

11


Với m = -1, hàm số có dạng y 

x  2  3
 1 là hàm hằng, so đó không thỏa mãn.
x 1

Số phần tử của S là: 3.
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số đồng biến trên khoảng khi đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0.
Cách giải:
Ta có y '  x  m 
Để hàm số y 

1

.
x 1

x2
 mx  ln  x  1 đồng biến trên khoảng 1;   .
2

Thì y '  0 với x  1;   đồng biến trên khoảng 1;   ,  x 
 m  min f  x  .

1
 m với x  1;  
x 1

1; 

Xét hàm số f  x   x 

1
1
1  2
trên 1;  , có f  x   x  1 
x 1
x 1

 x  1

1
 1  3.
 x  1

 min f  x   3. Do m  * nên m  1;2;3 .

1; 

Câu 13: Chọn D.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm hợp, lập bảng biến thiên xét khoảng nghịch biến.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  ta lập được bảng biến thiên của y  f  x  như sau:

x



y'

-2
+

y

0

1
-

0

0

-

2
+

0

+

-

0

f 1

-

12


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f  x   0, x  R.
Xét hàm số y   f  x   , ta có y '  2 f  x  . f '  x  .
2

Do f '  x   0, x  1;2    ; 2  nên hàm số y   f  x   nghịch biến trên khoảng (-  ;2) và
2

(1;2).
Câu 14: Chọn A.
Phương pháp:

Tính đạo hàm và áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng.
Cách giải:
Ta có: y '   cos2 x.sinx 

4
2

sin x

  m  1 .sinx  sin3 x 

4
sin 2 x

 m.sinx.

Hàm số đồng biến trên  0;  khi và chỉ khi y '  0, x   0;   .
 sin3 x 

4
2

sin x

 m.sinx  0,  x   0;    sin 2 x 

Xét hàm số: g  x   sin 2 x 
Có g '  x   2 sin x.cos x 

4

sin3 x

12 cosx
4

sin x

4
sin3 x

 m,  x   0;   (1)

, trên khoảng  0;  .

 2 cos x.

sin 5 x  6
4

sin x

 g ' x  0  x 


  0;   .
2

Do đó 1  m  min g  x   m  5  m  5.
x 0; 

Kết hợp m nguyên âm nên m  5; 4; 3; 2; 1 .
Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn.
Câu 15: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y  f  x  đồng biến trên  a; b   f '  x   0 x   a; b  .
Cách giải:
Ta có y '  4 x 3  4  m  1 x.
13


Để hàm số đồng biến trên

1;3  y '  z   x  1;3  4 x 3  4  m  1 x  0 x  1;3 .





 4 x x 2  m  1  0 x  1;3  x 2  m  1  0 x  1;3
 x 2  1  m x  1;3

Ta có 2  x 2  1  10 x  1;3 , mà x 2  1  m x  1;3  m  2.
Câu 16: Chọn B.
Cách giải:

y  f 1  x  

x2
 x  y '   f ' 1  x   x  1
2

y '  0  f ' 1  x    1  x  .
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: Đồ thị hàm số f '  x  cắt đường thẳng y = -x tại 3 điểm phân biệt
là A(-3;3), B(-1;1), C(3;-3).

1  x  3
x  4
f ' 1  x    1  x   

1  1  x  3  2  x  0
Hàm số y  f 1  x  

x2
 x nghịch biến trên các khoảng  2;0  ,  4;   .
2

Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:

14


Tính đạo hàm của hàm hợp, giải bất phương trình dựa vào điều kiện để hàm số nghịch biến và đồ
thị hàm số f '  x  để tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Xét hàm số g  x   2 f  2  x   x 2 , có g '  x   2 f '  2  x   2 x;  x  .
Khi đó g '  x   0  f '  2  x   x  0  f ' 1  x    x  f '  2  x   2  x  2.
Đặt t = 2 –x, bất phương trình trở thành: f '  t   t  2.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy rằng f '  t   t  2 với 1  t  3  1  2  x  3  1  x  1
Vậy hàm số đã cho nghich biến trên khoảng (-1;0).

Câu 18: Chọn B.
Phương pháp:
Giải bất phương trình y’ > 0.
Cách giải:

y '   f ' 1  x 
Với x   3;0   1  x  1;4   f ' 1  x   0  y '  0  hàm số đồng biến trên (-3;0)
Với x   2;    1  x    ; 1  f ' 1  x   0  y '  0  hàm số đồng biến trên  2;   .
Vậy hàm số đồng biến trên (-3;0) và  2;   .
Câu 19: Chọn C.
Phương pháp:
Xét dấu g '  x  thông qua dấu của f '  x  . Từ đó đánh giá khoảng đồng biến, nghịch biến của
hàm số y  g  x  .
Cách giải:







g  x   f  x 2  3  g '  x   2 x. f '  x 2  3



  x 2  3  2
 x2  5
x   5
f ' x2  3  0  



  x 2  3  1
 x 2  2
 x   2





15


Bảng xét dấu:

x

 5

2x



f ' x2  3

 2

+



g ' x

+

0
+

-

0

-

0

+

-

0

-

0

+



 

 g  x  đồng biến trên khoảng  2;0 và

2

0

-

-

0

5

-

-

0

-

0

-

0

+

0

+



2; 5 .

Câu 20: Chọn C.
Phương pháp:





Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  để xét dấu g '  x   2 x. f ' x 2  1 .
Cách giải:





Xét với x thuộc (0;1) ta có f '  0  1  f ' x 2  1  f ' 1  1





Từ đồ thị hàm số y  f '  x  suy ra f ' x 2  1  0





Suy ra g '  x   2 x. f ' x 2  1  0
Suy ra hàm số g  x  đồng biến trên khoảng (0;1).

16