50 bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số mức độ 2 thông hiểu đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU – ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1: Đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường
thẳng AB?
A. M(-1;0).

B. N(-1;10).

C. P(1;0).

D. Q(0;-1)

Câu 2: Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm.
B. Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.
C. Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số y  f  x  đã cho.
D. Nếu f '  x  đổi dấu khi x qua điểm x0 và f  x  liên tục tại x0 thì hàm số y  f  x  đạt cực trị tại
điểm x0.
1
Câu 3: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3 x 2  5 x  1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
3

A. (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
B. (C) có hai điểm cực trị thuộc hai phía của trục tung.
C. (C) tiếp xúc với trục Ox.
D. (C) đi qua điểm A(1;0).
Câu 4: Trong bốn khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định luôn đúng với mọi hàm số f(x)?
(I): f(x) đạt cực trị tại x0 thì f '  x0   0.
(II): f(x) có cực đại, cực tiểu thì giá trị cực đại luôn lớn hơn giá trị cực tiểu.
(III): f(x) có cực đại thì có cực tiểu.

(IV): f(x) đạt cực trị tại x0, thì f(x) xác định tại x0.
A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 1.

Câu 5: Giá trị cực tiểu của hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  2 là:
A. -20

B. 7.

C. -25.

D. 3.

Câu 6: Cho hàm số y  x  sinx  sin 2 x  2017. Tìm tất cả các điểm cực tiểu của hàm số.

A. x    k , k  .
3

C. x 


 k 2 , k  .
3



B. x    k 2 , k  .
3

D. x 


 k , k  .
3

1


Câu 7: Biết m0 là giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3 x 2  mx  1 có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho
x12  x22  x1 x2  13, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m0   15; 7 

B. m0   7; 1

C. m0   7;10 

D. m0   1;7 

Câu 8: Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y  x 3  3mx 2  3 x.
B. y  2  m  1 x  m

A. y  mx  3m  1





C. y  2 m3  2 x

D. y  2 x  2 m

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  2 mx 2  m 2 x  2 đạt cực tiểu tại x = 1.
A. m = 3.

B. m  1  m  3

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 
A. 0  m  1

m  0
B. 
m  1

C. m = -1

D. m = 1

mx 3
 mx 2  x  1 có cực đại và cực tiểu
3

C. 0 < m < 1

D. m < 0.

Câu 11: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 là:
A. y  2 x  1

B. y  2 x  1

C. y  2 x  1



D. y  2 x  1



Câu 12: Đồ thị hàm số y  x 3   3, 1 x 2  m 2  3m  2 x  3 có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai
phía của trục tung khi:
A. 1 < m < 2.

B. -2 < m < -1.

C. 2 < m < 3

D. -3 < m < -2

Câu 13: Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?
A. y  x 4  2 x 2

B. y  x 4  2 x 2  1

C. y  2 x 4  4 x 2  4

D. y   x 4  2 x 2  1

Câu 14: Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. y  x 3.

B. y  x 3  3 x 2  x

C. y  x 4

D. y  x 4  1

1 3 mx 2
 4 đạt cực đại tại x  2 ?
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   x 
3
3

A. m = 1.

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y   x 4  2 mx 2 có 3 điểm cực trị?
A. m < 0

B. m = 0

C. m > 0

D. m  0
2


Câu 17: Hàm số y 

1 4
x  2 x 2  1 có:
4

A. Một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. Một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
C. Một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
D. Một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
Câu 18: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3 x  1 là:
A. (-1;-1).

B. (1;-1).

C. (-1;1).

D. (1;3)

Câu 19: Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y  x 3  3 x 2  1 bằng:
A. -3.

B. -6

C. 3.

D. 0

Câu 20: Đồ thị hàm số y  x 3  3 x  2 có 2 điểm cực trị A, B. Diện tích tam giác OAB với O(0;0) là gốc tọa
độ bằng:
A. 2

B.

1
2

C. 1.

D. 3

Câu 21: Đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 ax  b có điểm cực tiểu A(2;-2). Tính a + b.
A. a  b  4.

B. a  b  2

C. a  b  -4

D. a  b  -2.

Câu 22: Cho hàm số y  f  x   x 2  2 x  4 có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x  có bao nhiêu cực trị?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 23: Gọi x1, x2  x1  x2  là hai điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  2 x 2  3. Tính P  3 x2  2 x1.
A. P = -1.

B. P = 0

C. P = 1

D. P = 2

Câu 24: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  mx 4  m3 x 2  2016 có ba điểm cực trị
A. m > 0

B. m  0

C. m  R \ 1

D. Không tồn tại m.
3






Câu 25: Cho hàm số y   x 3   2 m  1 x 2  m 2  1 x  5. Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?
A. m > 1.

B. m = 2

C. -1 < m < 1

D. m > 2 hoặc m < 1





Câu 26: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x 4  2 m 2  9 x 2  5m  2 có cực đại, cực tiểu
A. m   3;3

B. m   3;3

C. m   ; 3   3;   D. m   9;9 

1
Câu 27: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y  x 3  2 x 2 3 x  1
3

A. x  1.

B. x  3.

C. x  -3.

D. x  1.

Câu 28: Cho hàm số f  x   x 4  2 x 2  3. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ
thị hàm số.
A. S = 2.

1
B. S  .
2

C. S = 4.

D. S = 1.

Câu 29: Tính giá trị cực tiểu của hàm số y  x 3  3 x 2  1?
A. yCT  0.

B. yCT  1.

C. yCT  -3.

D. yCT  2.

x 2  ax  b
. Đặt A  a  b, B  a  2 b. Để đồ thị hàm số có điểm cực đại C(0;-1)
x 1
thì tổng giá trị của A + 2B là:

Câu 30: Cho hàm số y 

A. 0.

B. 6.

C. 3.

D. 1.

Câu 31: Số điểm cực trị của hàm số y  x  2 x 2 1 là
A. 2.

B. 1.

C. 0.

D. 3.

Câu 32: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên, đồ thị của đạo hàm f '  x  như hình vẽ sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
4


A. f đạt cực đại tại x  2.

B. f đạt cực tiểu tại x  0.

C. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.

D. f đạt cực tiểu tại x  2.

 x 2  2 x khi x  0

Câu 33: Hàm số y  2 x
khi -1  x<0
-3x-5 khi x < -1

A. Không có cực trị.

B. Có một điểm cực trị.

C. Có hai điểm cực trị

D. Có ba điểm cực trị.

Câu 34: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2
A. y  x  1
Câu 35: Cho hàm số y 

B. y  2 x  2

C. y   x  1

D. y  2 x  2

1 4
x  2 x 2  1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

4

A. Đồ thị có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.
B. Đồ thị không có điểm cực đại.
C. Đồ thị có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại.
D. Đồ thị có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
Câu 36: Cho hàm số y  x 3 2 x 2  ax  b,  a, b    có đồ thị (C). Biết đồ thị (C) có điểm cực trị là A(1;3).
Tính giá trị P = 4a – b.
A. P = 3.

B. P = 2.

C. P = 4.

D. P = 1.

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  3 x 2   m  1 x  2 có hai điểm cực trị.
A. m  2

B. m > 2





C. m < 2

D. m < -4.

Câu 38: Giá trị cực tiểu của hàm số y  e x x 2  3 là:

A.

6
e

B.

6

C. -3e

e3

D. -2e

Câu 39: Biết điểm M(0;4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số f  x   x 3  ax 2  bx  a2 . Tính f  3 .
A. f  3  14

B. f  3  49

Câu 40: Số điểm cực trị của hàm số y   x  1
A. 0.

B. 2017.

C. f  3  34
2017

D. f  3  13

là
C. 1.

D. 2016.

Câu 41: Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
A. y 

2x 1
x 1

B. y  x 4

C. y   x 3  x

D. y  x
5


Câu 42: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2. Diện tích S của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của
đồ thị hàm số đã cho có giá trị là
A. S = 3.

B. S 

1
2

C. S = 1.

D. S = 2.

Câu 43: Hàm số y  x 4  2 x 2  1 có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 0.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 44: Cho hàm số y   x 4  2 x 2  1. Điểm cực tiểu của hàm số là
A. x  1.

B. (0;-1).

C. x  -1

D. x  0

Câu 45: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 3  x  . Điểm cực đại của hàm số y  f  x  là
A. x  1

B. x  2

C. x  3

D. x  0

Câu 46: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y  x 3  x 2  mx  1 nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp  5;6   S
A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 47: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  1 là:
A. y  2 x  1

B. y  2 x  1

C. y  2 x  1

D. y  2 x  1

Câu 48: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3 2 x  1 bằng
A.

10 6
.
3

B.

10
.

3

C.

10 3
.
3

D.

10 6
.
9

Câu 49: Khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2 2 đến trục tung bằng
A. 4.

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 50: Điểm thuộc đường thẳng d : x  y  1  0 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  x 3  3 x 2  1 là
A. (2;1)

B. (0;-1).

C. (1;0).

D. (-1;2).

6


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-A

2-D

3-A

4-D

5-C

6-A

7-A

8-B

9-D

10-B

11-A

12-B

13-B

14-A

15-C

16-C

17-A

18-B

19-A

20-A

21-B

22-B

23-C

24-B

25-C

26-A

27-B

28-D

29-C

30-B

31-B

32-D

33-B

34-B

35-A

36-D

37-C

38-D

39-D

40-A

41-A

42-C

43-B

44-D

45-C

46-B

47-A

48-D

49-B

50-C

Câu 1: Chọn A.
Phương pháp:
Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số rồi viết phương trình đường thẳng AB. Lần lượt thay tọa độ
các điểm đã cho vào phương trình đường thẳng AB.
Cách giải:
y '  3 x 2  6 x  9  0  x 2  2 x  3  0   x  3 x  1  0  x  3 hoặc x = -1

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A(3;26) và B(1;6)
Phương trình đường thẳng AB là: 8 x  y  2  0
Kiểm tra: Ta thấy M 1;10   AB
Câu 2: Chọn D.
Cách giải:

Phát biểu “Hàm số y  f  x  đạt cực trị tại 0 x khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại
hàm số có cực trị tại điểm x0 không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm y  x đạt cực trị tại x =
0 mà không có đạo hàm tại điểm đó)
Phát biểu “Nếu f '  x0   0 và f ''  x0   0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số y  f  x  đã cho “ là sai
vì tồn tại hàm số, chẳng hạn y  x 4 có f '  0   0 và x  0 là cực trị của hàm số đó.
Phát biểu “Nếu f '  x  đổi dấu khi x qua điểm x0 và f  x  liên tục tại x0 thì hàm số y  f  x  đạt cực trị tại
điểm x0.” Là đúng.
Câu 3: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm đa thức bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  C  có 2 cực trị thuộc về hai phía của trục tung khi và chỉ
khi phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0
Cách giải:
7


Xét phương trình hoành độ giao điểm

1 3
x  3 x 2  5 x  1  0 ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên
3

đáp án A đúng. Do đó C sai.
Dễ thấy điểm A(1;0) không thuộc đồ thị hàm số vì

1
10
 3  5 1 
 0. Do đó D sai.
3

3

x  5
Ta có: y '  x 2  6 x  5  0  
có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên hai cực trị cùng nằm và bên
x  1
phải trục tung. Do đó B sai.
Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:

x0 được gọi là điểm cực trị của hàm số y  f  x  nếu qua x0 thì f '  x  đổi dấu.
Cách giải
(I) sai vì f '  x0   0 chỉ là điều kiện cần mà chưa là điều kiện đủ.
(II) sai vì hàm phân thức y 

ax 2  bx  c
có cực đại, cực tiểu nhưng giá trị cực đại nhỏ hơn giá trị cực tiểu.
cx  d

(III) sai vì có những hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu. Ví dụ y   x 2  2 x đạt cực đại tại x  1
mà không có cực tiểu.
(IV) đúng.
Câu 5: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực đại, cực tiểu của hàm số để làm. Cụ thể điểm x0 là cực đại của hàm
số
( tương ứng cực tiểu) khi và chỉ khi y '  x0   0, y ''  x0   0 (tương ứng y ''  x0   0).
Áp dụng vào bài toán này. Ta tính y', giải phương trình y '  x   0 để tìm x0. Sau đó kiểm tra điều kiện

y ''  x0   0) hay y ''  x0   0 và kết luận.

Cách giải:
Ta tính đạo hàm của hàm số đã cho. Ta có y  x 3 3 x 2  9 x  2  y '  3 x 2  6 x  0.
Cực trị của hàm số đã cho đạt được tại x0 thì điều kiện cần là

 x  1
y '  x0   0  3 x02  6 x0  9  0  x02  2 x0  3  0   0
.
 x0  3

8


Tính đạo hàm cấp 2. Ta có y ''  6 x  6. Ta có y ''  1  6.  1  6  12  0 nên điểm x0  1 là điểm làm
cho hàm số đạt cực đại.
Ta có y ''  3  6.3  6  12  0 nên điểm x0  3 là điểm làm cho hàm số đạt cực tiểu. Khi đó giá trị cực tiểu
của hàm số đã cho là y  3  33  3.32  9.3  2  25.
Câu 6: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện cần và đủ cho cực trị hàm số để tìm điểm cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
Tập xác định x  .
Ta có y '  1  2 cos 2 x  y'  x0   0  1  2 cos 2 x0  0  cos 2 x0  

1
2

 cos
 x0    k   k    .
2
3

3

Ta tính được y ''  4 sin 2 x.
Do đó:Với x0 

 


2

 k  thì y ''  x0   4 sin 2   k     4 sin
 0 vì vậy x0   k   k  Z  là điểm
3
3
3

 3

cực đại của hàm đã cho.

  


2 

Với x0    k  thì y ''  x0   4 sin 2    k     4 sin
 0 vì vậy x0    k   k  Z  là điểm
3
3
3


  3
cực tiểu của hàm đã cho.
Câu 7: Chọn A.
Phương pháp:
+ Tính y'; tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị (phương trình y '  0 có 2 nghiệm phân biệt)
+ Dùng định lý Vi-ét để đưa điều kiện đề bài về điều kiện của m
+ Giải phương trình tìm m
Cách giải
Xét phương trình y '  3 x 2  6 x  m  0(*). Hàm số có 2 cực trị  Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
  '  9  3m  0  m  3

  x1  x2  2

Ta có x1, x2 là 2 nghiệm của (*), theo Vi-et ta có: 
m
 x1 x2  3
m
2
Khi đó x12  x22  x1 x2  13   x1  x2   3 x1 x2  13  22  3.  13  m  9
3

Vậy m   15; 7 
Câu 8: Chọn B.
9


Phương pháp:
 y '  x0   0
- Gọi x0 là một điểm cực trị của hàm số y  f  x  , khi đó 

3
2
 y0  x0  3mx0  3 x0

- Từ hệ trên ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua  x0 ; y 0 
Cách giải:
Có: y  x   x 3  3mx 2  3 x  y '  x   3 x 2  6 mx  3
 y '  x0   0
Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên  x0 ; y0   d thỏa mãn: 
3
2
 y0  x0  3mx0  3 x0

3 x 2  6 mx  3  0
0
 0

2
2
 y0  x0 x0  2 mx0  3 x0  mx0





 x 2  2 mx  1
 x 2  2 mx  1
0
0
 0

 0
2
 y0  2 x0  mx0
 y0  2 x0  m  2 mx0  1





 y0  2 m 2  1 x0  m.
Câu 9: Chọn D.
Phương pháp:

 f '  x0   0
Điểm x  x0 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba y  f  x  nếu 
 f ''  x0   0
Cách giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y '  3 x 2  4 mx  m 2  y '  6 x  4 m
Để x  1 là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số x 3 dương thì:

m  1; m  3
 y ' 1  0
m 2  4 m  3  0



 m  1.

3

m

6  4 m  0
 y '' 1  0

2
Câu 10: Chọn B.
Phương pháp:
Điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực đại, cực tiểu là phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt.
Cách giải:
10


TH1: m  0  y  x  1. Hàm số không có cực trị.
TH2: TXĐ: D = R
Ta có: y 

mx 3
 mx 2  x  1  y '  mx 2  2 mx  1.
3

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình y '  0 phải có 2 nghiệm phân biệt.

m  0
  '  m2  m  0  
.
m  1
Câu 11: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình y '  0 tìm các điểm cực trị.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A  x1; y1  , B  x 2 , y2  (với x1  x2 ; y1  y2 là:
x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1

Cách giải:

 x  0, y  1
y '  3x 2  6 x; y '  0  3x  x  2   0  
 x  2, y  3
Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ A (0;1) và B(2;-3)
Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B là:

x  0 y 1

 4 x  2  y  1  y  2 x  1.
2  0 3  1

Câu 12: Chọn B.
Phương pháp:
Điều kiện để đò thị hàm số bậc ba có hai điểm cực đại, cực tiểu nằm vầ hai phía trục tung là phương trình
y '  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Cách giải:





y  x 3   3m  1 x 2  m 2  3m  2 x  3; y '  3 x 2   m  2  x  m 2  3m  2  0

Để cực tiểu và cực đại của y nằm về hai phía của trục tung thì x1 x2  0, với x1, x2 là hai nghiệm của
phương trình y '  0.


 m  1 m  2   0  2  m  1.
m 2  3m  2
0
3
3

Câu 13: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm số có 3 cực trị nếu phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
11


(Đặc biệt nếu các nghiệm của y’ đều là nghiệm đơn thì số cực trị bằng số nghiệm đơn đó).
Cách giải:
Xét phương án B ta thấy y '  4 x  x  1 x  1 .
Phương trình y '  0 có ba nghiệm đơn phân biệt cho nên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Chọn A.
Phương pháp:
Xét từng hàm số, tìm y', tìm nghiệm của y’và kiểm tra điều kiện y’ đổi dấu qua các nghiệm đó. Từ đó rút ra
kết luận.
Cách giải:
Xét phương án A, hàm số y  x 3 và y '  3 x 2 do đó phương trình y '  0 có nghiệm duy nhất x = 0.
Đồ thi hàm số khi đó có dạng:

Nhìn vào đồ thị của hàm số ta thấy rõ ràng hàm số không có cực trị, do đó chọn phương án A.
Câu 15: Chọn C.

Phương pháp:

 f '  x0   0
Điểm x  x 0 là một điểm cực đại của hàm số bậc ba y  f  x  nếu 
 f ''  x0   0
Cách giải:
2
2
y '   x 2  mx  y ''  2 x  m
3
3

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x  2
4
 2 2


2

m
.2

0

4

m0


m  3

 y '  2   0


3
3




m3
2
2
m

6

 y ''  2   0
2.2  m  0
4  m  0


3
3
12


Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
Điều kiện để hàm đa thức bậc 4 có ba điểm cực trị là phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt.
Cách giải:



y   x 4  2 mx 2  y '  4 x 3  4 mx  4 x x 2  4 m



Để phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt thì m > 0.
Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
Tính y', tìm các điểm làm cho y '  0, từ đó tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
y '  x 3  4 x  x  x  2  x  2  .

Do đó phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt là x 1  0, x2  2, x3  2)
Với x  0 thì y = 1.
Với x  2 thì y = -3.
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại 2 điểm x  2 và đạt cực đại tại x  0.
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
Câu 18: Chọn B.
Phương pháp:
Tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba ta chỉ cần:
- Tính y’.
- Giải phương trình y '  0 tìm nghiệm.
- Tính giá trị của y tại các điểm làm cho y '  0 và kết luận.
Cách giải:

x  0  y  1
Ta có y '  3 x 2  3 x, y '  0  
.

 x  1  y  1
Suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1;-1).
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
- Tính y’, tìm các điểm cực trị suy ra các giá trị cực trị rồi rút ra kết luận.
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  x  3 x  x  2 
13


 x  0, y  1
y'  0  
 x  2, y  3

 yCD . yCT  1.(3)  3
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị A, B.
- Tính diện tích tam giác OAB theo công thức: S 

1
a.h (với a là độ dài đáy, h là độ dài đường cao tương
2

ứng với đáy đã chọn).
Cách giải:

y  x 3  3x  2  y '  3x 2  3
y '  0  x  1
Tọa độ 2 điểm cực trị: A(1;0), B(-1;4).

1
1
1
Cách 1: SOAB  .OA.d B,OA   . x A . yB  . 1 . 4  2
2
2
2

Cách 2:
Tính AB 

 1  12   4  0 2

2 5

Lập phương trình đường thẳng AB: 2 x  y  2  0  d  O, AB  

2.0  0  2
22  1



2
5

1
1
2
SOAB  . AB.d  O; AB   .2 5.
 2.

2
2
5
14


Câu 21: Chọn B.
Phương pháp:
 f  x0   y0

Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại M  x0 ; y0    f '  x0   0

 f ''  x0   0

Cách giải:

y  x 3  3 x 2  2 ax  b  y '  3 x 2  6 x  2 a; y ''  6 x  6
23  3.22  2 a.2  b  2
4a  b  2

a  0
 2

 a  0

Hàm số có điểm cực tiểu tại A(2;-2)  3.2  6.2  2 a  0
b  2
6.2  6  0
6  0



 a  b  2.

Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
Quan sát đồ thị hàm số đã cho và nhận xét.
Cách giải:
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên hàm số có 3
cực trị.
Câu 23: Chọn C.
Phương pháp:
Tính y', tìm các nghiệm của y '  0, tìm các điểm cực tiểu x 1 , x2 của hàm số và thay vào biểu thức để tính
giá trị.
Cách giải:
Tập xác định D = R
Ta có:

x  0
y '  4 x 3  4 x; y '  0  
 x  1
Bảng biến thiên

x
y'



-1
-

0

0
+

0

+

1
-

0

+

y

15


Từ bảng biến thiên ta thấy x1  1 và x2  1
Vậy P = 1
Câu 24: Chọn B.
Phương pháp:
Hàm có ba điểm cực trị  phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
Cách giải:
Ta có:



y '  4 mx 3  2 m 3 x  2 mx 2 x 2  m 2



 y '  0  x  0 hoặc 2 x 2  m 2  0

 Hàm có ba điểm cực trị  phương trình y '  0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 3 nghiệm đó.
 2 x 2  m 2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 0  m  0
Câu 25: Chọn C.
Phương pháp:
Hàm số đa thức bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình 0 y
có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Cách giải:





Ta có: y '  3 x 2  2  2 m  1 x  m 2  1





Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung  3 x 2  2  2 m  1 x  m 2  1  0 có hai nghiệm phân biệt





 2 m  12  3 m 2  1  0

 1  m  1
trái dấu  
2
m  1  0
Câu 26: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng lý thuyết về cực đại, cực tiểu của hàm trùng phương
Cách giải:











Ta có: y  x 4  2 m 2  9 x 2  5m  2  y '  4 x 3  4 x m 2  9  4 x x 2  m 2  9



x  0
y'  0   2
2
 x  9  m 1

Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 9  m 2  0  3  m  3
16


Câu 27: Chọn B.
Phương pháp:

 y '  x0   0
x  x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y  f  x   
.
 y ''  x0   0
Cách giải:

 x  3
 x 2  4 x  3  0
y '  0

Ta có: 

   x  1  x  3.
 y ''  0
x  2
2 x  4  0

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là: x  3.
Câu 28: Chọn D.
Phương pháp:
Bước 1: Tính đạo hàm y '  f '  x  và giải f '  x   0.

Bước 2. Tìm các điểm cực trị. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0  f '  x0   0 và qua điểm x0 thì

f '  x  đổi dấu từ dương sang âm.
Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x0  f '  x0   0 và qua điểm x0 thì f '  x  đổi dấu từ âm sang dương.
Bước 3. Tính diện tích tam giác.
Cách giải:
Bước 1.

 x0  0

Ta có f '  x   4 x 3  4 x, f '  x0   0  4 x03  4 x0  0   x0  1 .
 x 0  1
Bước 2.
f '  x   0  4 x 3  4 x  0  x   1;0   1;  
f '  x   0  4 x 3  4 x  0  x   ; 1   0;1

Ta có BBT:

x
f ' x



-1
-

0

0
+

0

+

1
-

0

+

f x

17


Ta thấy qua x0  1;1 thì f '  x  đổi dấu từ âm sang sương, qua x0  0 thì f '  x  đổi dấu từ dương sang
âm.
Vậy x0  1;1 là điểm cực tiểu của hàm số y  f  x  và điểm x  0 là điểm cực đại của hàm số y  f  x  .
Vậy ba điểm của tam giác tạo thành là A  0;3 , B 1;2  , C  1;2  .
Bước 3. Quan sát thấy A là điểm thuộc trục tung và B, C là điểm đối xứng qua trục tung nên nếu I là trung
điểm của BC thì AI  BC, hay AI là đường cao của tam giác ABC. Ta tính được I(0;2).


Do đó AI   0; 1 , BC   2;0   AI  1, BC  2.
1
1
Vì vậy diện tích tam giác là S ABC  . AI. BC  .1.2  1.
2

2

Câu 29: Chọn C.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định, tính y’
Bước 2: Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên tìm ra giá trị cực tiểu của hàm số.
Cách giải:
Tập xác định D = R
Ta có

x  0
y '  3x 2  6 x  y '  0  3x 2  6 x  0  
.
x  2
Ta có
y '  0  3 x 2 6 x  0  x   ;0    x;  

y '  0  3 x 2 6 x  0  x  (0;2).
x



y'

0
+

y

+

2

0

-

0

+


1



-3

Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được yCT  3.
Câu 30: Chọn B.
Phương pháp:
- Tính y '  f '  x 
18


 f '  0   0
-C(0;-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số thì 
 f  0   1
Cách giải:

Ta có
y '  f ' x 

 2 x  a  x  1   x 2  ax  b 
 x  12



x2  2x  a  b

 x  12

 f '  0   0
a  b  0
x  1
Vì C(0;-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên: 


b  1
 f  0   1 a  1
Thay x  1, b  1 vào hàm số ta thấy điểm C(0=-1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy x  b  1  A  2 B  6.
Câu 31: Chọn B.
Phương pháp:
- Lập bảng xét dấu y’.
- Quan sát bảng xét dấu y’ và đếm số điểm cực trị: Điểm mà tại đó y’ đổi dấu từ dương sang âm, hoặc từ âm
sang dương.
Cách giải:

y  x  2x2  1  y '  1 

y'  0  1

2x
2

2x 1

2x
2x2  1

 0  2 x 2  1  2 x  0  2 x 2  1  2 x

x  0
2 x  0
1

 2


x


1

2
2
2 x  1  4 x
x   2


Bảng xét dấu y’:

x





y'



1



2

0

+

Câu 32: Chọn D.
Phương pháp:

19


Quan sát đồ thị, tìm điểm mà f '  x   0
Đánh giá các giá trị của f '  x  , và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  :

- Cực tiểu là điểm mà tại đó f '  x  đổi dấu từ âm sang dương.
- Cực đại là điểm mà tại đó f '  x  đổi dấu từ dương sang âm.
Cách giải:
Tại x  2, f '  x  đổi dấu từ dương sang âm  f đạt cực đại tại x  2.
Tại x  0, f '  x  đổi dấu từ dương sang âm  f đạt cực tiểu tại x  0.
Câu 33: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng cách tìm cực trị: tính y’, giải phương trình y’=0.
Chú ý đến từng khoảng cho trước.
Cách giải:
+) Nhận xét thấy các hàm số y  2 x và y  3 x  5 có đồ thị là các đường thẳng vì vậy hàm số không có
cực trị.
+) Xét hàm y  x 2  2 x với x  0. Ta có y '  2 x  2  0  x  1 (nhận).
Ta thấy với 0  x  1 thì y '  0,x  1 thì y '  0 nên x  1 là điểm cực trị của hàm số.
Vậy hàm số đã cho có 1 cực trị.
Câu 34: Chọn B.
Phương pháp:
Muốn tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ta lấy y chi cho y’ và lấy phần dư.
Cách giải:
Ta có y '  3 x 2  6 x
20






1
1
Khi đó x 3  3 x 2  2  3 x 2  6 x  x    2 x  2

3
3

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y  2 x  2
Câu 35: Chọn A.
Phương pháp:

 f '  x0   0
Điểm x0 là điểm cực đại của hàm số y  f  x  khi và chỉ khi 
 f ''  x0   0
 f '  x0   0
Điểm x0 là điểm cựa tiểu của hàm số y  f  x  khi và chỉ khi 
 f ''  x0   0
Cách giải:

x  0
y '  x  4 x  0   x  2
 x  2
3

y ''  3 x 2  4
y ''  0   4  x  0 là điểm cực đại của hàm số.
y ''  2   y ''  2   8  x  2 là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
Câu 36: Chọn D.
Phương pháp:

 f  x0   y0
Nếu M  x0 ; y0  là điểm cực trị của đồ thị hàm số đa thức bậc ba thì 
 f '  x0   0

Cách giải:

y '  3x 2  4 x  a

 y 1  3
a  n  4
b  3
Từ giả thiết A(1;3) là điểm cực trị ta có 


a  1  0
a  1
 y ' 1  0
Câu 37: Chọn C.
Phương pháp:
Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d ,  a  0  có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi y '  0 có 2 nghiệm phân biệt.
Cách giải:
y  x 3  3 x 2   m  1 x  2  y '  3 x 2  6 x  m  1
21


Hàm số y  x 3  3 x 2   m  1 x  2 có hai điểm cực trị  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt
  '  0  32  3.  m  1  0  m  2

Câu 38: Chọn D.
Phương pháp:

 y '  x0   0
+) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  x 0  
.

 y ''  x0   0
+) Giải hệ phương trình tìm x0  giá trị cực tiểu của hàm số là y  y  x0  .
Cách giải:













Ta có: y  e x x 2  3  2 xe x  y ''  e x x 2  3  2 xe x  2 xe x  2e x  e x x 2  4 x  1 .
Hàm số đạt cực tiểu tại






e x x 2  3  2 xe x  0
 y '  x0   0

x  x0  

 y ''  x0   0

e x x 2  4 x  1  0




 x  1

 x 2  2 x  3  0
  x  3


 x  1.
 x 2  4 x  1  0
 x  2  5
 x  2  5


Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  1  y 1  e1. 1  3  2e.
Câu 39: Chọn D.
Phương pháp:

 f '  x0   0
Điểm x  x0 được gọi là điểm cực đại của đò thị hàm số y  f  x   
 f ''  x0   0
Cách giải:
Có f '  x   3 x 2  2 ax  b; f ''  x   6 x  2 a
Điểm M  0;4  là điểm cực đại của đồ thị hàm số
 f ' 0  0
b  0
b  0



b  0

y  f  x    f ''  0   0  2 a  0  a  0  
.
a  2

 2
a  2

a  4
 f 0  4
22


 f  x   x 3  2 x 2  4  f  3  13.

Câu 40: Chọn A.
Phương pháp:
- Tính y’ và tìm các nghiệm của y '  0 và các điểm tại đó hàm số không xác định.
- Xét dấu y’ qua các điểm tìm được ở trên và kết luận:
Điểm làm cho đạo hàm đổi dấu là các điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Tập xác định: D = R

y   x  1

2017

 y '  2017  x  1

2016

 0, x

Do đó hàm số đồng biến trên R nên không có cực trị.
Câu 41: Chọn A.
Phương pháp:
Quy tắc 1:
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính f '  x  . Tìm các điểm mà tại đó f '  x  bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng xét dấu f '  x  .
- Đưa ra kết luận về cực trị.
Quy tắc 2:
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính f '  x  . Giải phương trình f '  x   0, tìm các nghiệm xi ,i  1,2,3...
- Tính f ''  x  và f ''  xi  .
- Dựa vào dấu của f ''  xi  , đưa ra kết luận về cực trị.
Cách giải:
*) y 

2x 1
3
TXD : D  R \ 1   y ' 
 0, x  D : Hàm số không có cực trị.

2
x 1
x


1
 

*) y  x 4  TXD : D  R   y '  4 x 3  0  x  0

x
y'



+

0
-

0

+

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

23


*) y   x 3  x  TXD : D  R   y '  3 x 2  1  0  x  

3
3

y ''  6 x
 3

3
3
3
, đạt cực tiểu tại x  
y '' 
 2 3, y ''  
 2 3  0  Hàm số đạt cực đại tại x 


 3 
 3 
3
3





 xkhix  0
*) y  x  
 xkhix  0
Ta có bảng xét dấu y’ như sau:

x

-

y'

+

0
-

||

+

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x  0.
Câu 42: Chọn C.
Phương pháp:
- Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Tính diện tích tam giác theo công thức S 

1
ah
2

Cách giải:

y  x 4  2 x 2  2(C)  y '  4 x 3  4 x
x  0
y'  0  
 x  1
Tọa độ các điểm cực trị của (C) là: A(0;2), B(-1;1), C(1;1).
Diện tích tam giác ABC: S ABC 

1
1
AH. BC  .  2  1 . 1  (1)   1
2
2

Câu 43: Chọn B.
Phương pháp:
+) Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là số nghiệm của phương trình f '  x   0 mà qua đó f '  x  đổi
dấu.
Cách giải:
Ta có:
f '  x   4 x3  4 x  f '  x   0

 4 x3  4 x  0
24


x  0
  x  1
 x  1
Nhận thấy qua cả 3 điểm trên f '  x  đều đổi dấu do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 44: Chọn D.
Phương pháp:
+) Tính y ', giải phương trình y '  0, tìm các nghiệm xi .
+) Tính y '', nếu y ''  xi   0 thì xi là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Cách giải:

x  0
Ta có y '  4 x  4 x  0   x  1

 x  1
3

Và y ''  12 x 2 4 nên y ''  0   4  0; y '' 1  y ''  1  8  0
Do đó x  0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Câu 45: Chọn C.
Phương pháp:

x0 là điểm cực đại của hàm số thì f '  x0   0 và f '  x  đổi dấu từ dương sang âm tại x0 .
Cách giải:

x  1
Ta có f '  x    x  1 3  x   0  
x  3
Bảng xét dấu của

x



y'

1



+

3
+



Từ bảng xét dấu ta có x  3 là điểm cực đại của hàm số y  f  x 
Câu 46: Chọn B.
Phương pháp:
+) Xét phương trình y’ = 0, tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba có 2 điểm cực trị.
+) Nhận xét hệ số a  1  0  xCT  xCD  giá trị của xCT
+) xCT  0, tìm S.
Cách giải:
25