50 bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

50 BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3+4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Cho hai hàm số f  x  

1
x 2

và g  x  

x2
2

. Gọi d1,d 2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số

f  x  , g  x  đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?
A. 600

B. 45 0

C. 30 0

D. 90 0

Câu 2: Cho hàm số y  f  x   x 3  6 x 2  9 x  3(C). Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ
số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại
A và B sao cho OA = 2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  2 x  m cắt đồ thị (H) của hàm số
2x  3
tại hai điểm A, B phân biệt sao cho P  k12018  k22018 đạt giá trị nhỏ nhất (với k1, k2 là hệ số góc
x2
của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).
y

A. m = -3

B. m = -2

C. m = 3

D. m = 2

1
; điểm M có hoành độ x M  2  3 thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C)
x
tại M lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB.

Câu 4: Cho đồ thị hàm số  C  : y 

A. SOAB  1.

B. SOAB  4.

C. SOAB  2.

D. SOAB  2  3.

Câu 5: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 4  4 x 2  2017 và đường thẳng d : y 

1
x  1. Có bao nhiêu tiếp tuyến
4

của (C) vuông góc với đường thẳng d?
A. 2 tiếp tuyến

B. 1 tiếp tuyến

C. Không có tiếp tuyến nào

D. 3 tiếp tuyến

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

4x  3
cùng với hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích
2x 1

bằng
A. 6

B. 7

C. 5

D. 4

ax  b
có đồ thị cắt trục tung tại A(0;1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc –3. Khi đó giá
x 1
trị a, b thỏa mãn điều kiện sau

Câu 7: Cho hàm số y 

A. a + b = 0

B. a + b = 1

C. a + b = 2

D. a + b = 3

1


Câu 8: Cho hàm số f(x) có đồ thị là đường con (C), biết đồ thị của f’(x) như hình vẽ. Tiếp tuyến của (C) tại
điểm có hoành độ bằng 1 cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt có hoành dộ lần lượt là a, b. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau:

A. 4  a  b  4

B. a, b  0

D. a2  b2  10

C. a, b  3

Câu 9: Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m  2 có đồ thị (C). Gọi  là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm
thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số m thì  vuông góc với đường thẳng
1
d : y   x  2016
4
A.m = -1

B. m = 0

C. m = 1

D. m = 2

Câu 10: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 x  5 có đồ thị (C). Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp
tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
A. Không tồn tại cặp điểm nào

B. 1

C. 2

D. Vô số cặp điểm

x 1
có đồ thị (C) và đường thẳng d : y  2 x  m  1 (m là số thực). Với mọi m,
x2
đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với

Câu 11: Cho hàm số y 

2

2

(C) tại A và B. Xác định m để biểu thức P   3k1  1   3k2  1 đặt giá trị nhỏ nhất.
A. Pmin  98  m  2

B. Pmin  98  m  2

C. Pmin  98  m  2

D. Pmin  98  m  2

x2
biết tiếp tuyến đó cắt trục tung và trục hoành
2x  3
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân là

Câu 12: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. y   x  2

B. y  x  2

C. y  x  2

D. y   x  2

Câu 13: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4 có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực của k để đường
thẳng y  k  x  2  cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt M(2;0), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P
vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
2


A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

x  2
có đồ thị (C) và điểm A(a;1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a
x 1
để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Câu 14: Cho hàm số y 

A. 1

B.

Câu 15: Cho hàm số y 

3
2

C.

5
2

D.

1
2

x 1
. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng
2x  3

cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng
A. d 

1

B. d = 1

2

C. d  2

D. d  5

Câu 16: Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  m  1 có đúng một tiếp tuyến
song song với trục Ox. Tìm tổng các phần tử của S.
A. -3

B. -1

Câu 17: Cho hàm số y 

C. 3

D. 2

x2  x  1
, có đồ thị (C). Hỏi từ điểm I(1;1) có thể kẻ được tất cả bao nhiêu tiếp
x 1

tuyến của đồ thị (C)?
A. Có một tiếp tuyến

B. Không có tiếp tuyến nào.

C. Có hai tiếp tuyến

D. Có vô số tiếp tuyến.

Câu 18: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  2 x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số
y

x 1
là:
x 1

A. m  6; 1

B. m = -1

C. m = 6

D. m  7; 1 .
2

3

Câu 19: Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn  f 1  2 x    x   f 1  x   .
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ bằng 1.
A. y   x 

6
7

B. y 

1
8
x
7
7

1
8
C. y   x 
7
7

1
6
D. y   x 
7
7

2x
, có đồ thị (C) và điểm M  x0 ; y0    C  , với x0  0. Biết khoảng cách từ
x2
điểm I(-2;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 20: Cho hàm số y 

A. x 0 2 y0  4.

B. x 0 2 y0  2.

C. x 0 2 y0  -2.

D. x 0 2 y0  0.

Câu 21: Cho hàm số y  x 3  3 x  2 có đồ thị (C). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng y  9 x  14 sao
cho kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)?
3


A. 4 điểm

B. 2 điểm

C. 3 điểm

D. 1 điểm

x
có đồ thị là (C). Tìm m sao cho đường thẳng y  x  m cắt (C) tại 2 điểm
2x 1
phân biệt A, B và tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B lớn nhất.

Câu 22: Cho hàm số y  

A. 

1
2

B. 0

C. 1

D. -1

 19 
Câu 23: Cho đồ thị hàm số  C  : y  f  x   2 x 3  3 x 2  5. Từ điểm A  ;4  kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
 12 
tới (C)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 24: Cho đồ thị  C  : y  x 3  3 x 2 . Có bao nhiêu số nguyên b   10;10  để có đúng một tiếp tuyến của
(C) đi qua điểm B(0;b)?
A. 17

B. 9

C. 2

D. 16

1 4
x  x 3  6 x 2  7 có đồ thị (C) và đường thẳng d : y  mx Gọi S là tập
2
các giá trị thực của m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với d. Số các phần tử nguyên
của S là

Câu 25: Cho hàm số y  f  x  

A. 27.
Câu 26: Cho hàm số y 

B. 26.

C. 25.

D. 28.

x 1
. M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của
x 1

đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
B. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.
D. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 27: Cho hàm số y 

x 1
, gọi d là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2. Biết
x2

đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A  x1; y1  và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm
số tại điểm B  x2 ; y2  . Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2  y1  5. Tính tổng bình phương các phần tử
của S.
A. 4

B. 0

C. 10

D. 9

Câu 28: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  3 có đồ thị (C). Tìm các giá trị thực của tham số k để tồn tại hai

tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai
tiếp tuyến đó với (C) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2018OA.
4


A. 6054

B. 6024

C. 6012

D. 6042

Câu 29: Cho hàm số y  2 x 3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. c2  b2  d 2

B. b  d  c

C. b  c  d  1

D. bcd  144

Câu 30: Cho hàm số f  x  xác định trên R và hàm số y  f '  x 
có đồ thị như hình bên dưới:
Xét các khẳng định sau:
(I) Hàm số y  f  x  có ba cực trị.
(II) Phương trình f  x   m  2018 có nhiều nhất ba nghiệm.
(III) Hàm số y  f  x  1 nghịch biến trên khoảng (0;1).
Số khẳng định đúng là:

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Câu 31: Cho hàm số y  x 3  3 x 2 có đồ thị (C) và điểm M  m; 4  . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc
đoạn [-10;10] sao cho qua M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến (C).
A. 20

B. 15

C. 17

D. 12

x 2
có đồ thị (C) và điểm A(m;1). Gọi S là tập các giá trị của m để có đúng một
1 x
tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tính tổng bình phương các phần tử của tập S.

Câu 32: Cho hàm số y 

A.

13
.
4

B.

5
.
2

C.

9
.
4

D.

25
.
4

Câu 33: Cho hàm số y   x 3  mx 2  mx  1 có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến có hệ số góc
lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O?
A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

5

Câu 34: Cho hàm số y  x 4  4 x 2  3 có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3
tiếp tuyến đến đồ thị (C).
A. 3

B. 2

C. 1

D. 0



Câu 35: Cho các hàm số y  f  x  ; y  f  f  x   ; y  f x 2  4
Đường thẳng x = a cắt

 có đồ thị lần lượt là  C1  ; C2  ; C3  .

 C1  ;  C2  ;  C3  lần lượt tại M, N, P. Biết rằng phương trình tiếp tuyến của (C1) tại M

và của (C2) tại N lần lượt là y  3 x  2 và y  12 x  5. Phương trình tiếp tuyến của (C3) tại P là:
A. y  8 x  1

B. y  4 x  3

Câu 36: Cho hàm số y 

C. y  2 x  5

D. y  3 x  4

2x  3
có đồ thị (C). Một tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm
x 2

A, B và AB  2 2. Hệ số góc tiếp tuyến đó bằng
A.  2

C. 

B. -2

Câu 37: Cho hàm số f  x  ; g  x  ; h  x  

f x

3 g x

1
2

D. -1

. Hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị hàm số đẫ

cho tại điểm có hoành độ x0  2018 bằng nhau và khác 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f  2018   

1

4

B. f  2018   

1
4

C. f  2018  

1
4

D. f  2018  

1
4

Câu 38: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn 2 f  2 x   f 1  2 x   12 x 2 . Phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y  2 x  2

B. y  4 x  6

C. y  2 x  6

D. y  4 x  2

Câu 39: Gọi M  x M ; yM  là một điểm thuộc  C  : y  x 3  3 x 2  2, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại
2
điểm N  xN ; yN  (khác M) sao cho P  5 x 2M  xN

đạt GTNN. Tính OM.

A. OM 

5 10
.
27

B. OM 

7 10
.
27

C. OM 

10
.
27

D. OM 

10 10
.
27

3

Câu 40: Cho hàm số y  x  3 x 2  1 có đồ thị (C). Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có thể
kẻ đến (C) đúng ba tiếp tuyến?

A. 0

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Câu 41: Cho hàm số y  x 3  x 2  3 x  1 có đồ thị (C). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để
từ điểm M(0;m) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn [1;3]?
A. 61

B. 0

C. 60

D. vô số
6


Câu 42: Cho đồ thị  C  : y 

x 1
và d1, d2 là hai tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng cách lớn
2x

nhất giữa d1 và d2 là
A. 3

B. 2 3.

C. 2.

D. 2 2.

Câu 43: Họ parabol  Pm  : y  mx 2  2  m  3 x  m  2  m  0  luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi
m thay đổi. Đường thẳng d đó đi qua điểm nào dưới đây?
A. (0;-2)

B. (0;2)

C. (1;8)

D. (1;-8)

Câu 44: Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số y   x 3 3 x 2  x  4 sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới
đây?
A. (-1;5)

B. (-1;-5)

C. (-1;5)

D. (1;5)

Câu 45: Gọi A và B là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị y 

2x 1
. Khi đó khoảng

x2

cách AB bé nhất là?
A. 2 5

B. 10

C.

5

D. 2 10

Câu 46: Trên đồ thị (C) của hàm số y  x 3  3 x có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M cắt (C) tại
điểm thứ hai N thỏa mãn MN  333.
A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Câu 47: Biết rằng hai đường cong y  x 4  6 x 3  15 x 2  20 x  5 và y  x 3  2 x 2  3 x  1 tiếp xúc nhau tại
một điểm duy nhất. Tìm tọa độ điểm đó.
A. (2;-7)

B. (1;-5)

C. (3;-1)

D. (0;5)

Câu 48: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  6 x  12 và các tiếp tuyến tại các điểm
A(1;7) và B(-1;19)
A.

1
3

B.

2
3

C.

4
3

D. 2

Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
y

x3 x2

 x  1 sao cho tiếp tuyến này vuông góc với nhau?
3
2

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Câu 50: Tập hợp tất cả các giá trị của m để qua điểm A(2;m) kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm
số y  x 3  3 x 2 là:
A. (-5;4)

B. (-2;3)

C. (-5;-4)

D. (4;5)
7


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-D

2-C

3-B

4-C

5-D

6-C

7-D

8-D

9-A

10-D

11-B

12-A

13-A

14-C

15-A

16-C

17-B

18-D

19-D

20-A

21-C

22-B

23-C

24-A

25-D

26-A

27-C

28-D

29-C

30-B

31-C

32-A

33-B

34-C

35-A

36-D

37-A

38-D

39-D

40-C

41-A

42-C

43-A

44-D

45-D

46-C

47-B

48-B

49-A

50-C

Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
+ Tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số: điểm M(a;b).
+ Tính hệ số góc của d1 và d2 lần lượt bằng f '  a  và g '  a 
+ Dựa vào quan hệ của 2 hệ số góc để tìm ra góc giữa hai đường thẳng: Nếu tích của chúng bằng –1 thì 2
tiếp tuyến vuông góc
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số:

1
x 2



x2
2

 x3  1  x  1

 1 
Vậy 2 đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm duy nhất M  1;

2

1
1

; k1  f '  x M   f ' 1  

 f ' x   2
2
x 2
Ta có hệ số góc của d1 và d2 lần lượt là k1 và k2. Ta có: 
g '  x   x 2; k  g '  x   g ' 1  2
2
M


Vì k1k2  1 nên d1 và d2 vuông góc với nhau.
Câu 2: Chọn C.
Phương pháp:
Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số
bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó (điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  , có
hoành độ là nghiệm của phương trình y ''  0)
Cách giải:
Ta có y '  3 x 2  12 x  9; y ''  6 x  12  x  2  Điểm uốn của đồ thị hàm số là U(-2;1).
Xét đường thẳng d đi qua U(-2;1) có phương trình y  kd  x  2  + 1 hay y  kd x  2 kd  1 .

 2k  1 
d cắt Ox, Oy lần lượt tại A   d
;0  , B  0;2 kd  1 .
kd


8


OA  2017OB 
Nếu kd  

2 kd  1
1
1
 2017 2 kd  1  kd  
; kd   .
kd
2017
2

1
1
thì y   x nên A  B (loại).
2
2

Khi đó ta có hệ số góc của d là kd  

1
. Do đó có 2 đường thẳng d thỏa mãn
2017

Từ đó suy ra có 2 giá trị k thỏa mãn bài toán
Câu 3: Chọn B.
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện để đường thẳng d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt
+ Tìm điều kiện để d đi qua giao điểm I của 2 đường tiệp cận của (H).
Lưu ý: Biểu thức P  k12018  k22018 đạt GTNN khi đường thẳng AB đi qua tâm đối xứng của đồ thị (H) hay
d đi qua I là giao điểm hai đường tiệm cận.
Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d đã cho và (H)
2 x  m 

2x  3
  x  2  2 x  m   2 x  3
x2

 2 x 2   m  4  x  2 m  2 x  3  2 x 2   6  m  x  3  2 m  0(*)

d cắt (H) tại 2 điểm phân biệt  Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2

    6  m   8  3  2 m   0  m 2  4 m  12  0 (luôn đúng)
(H) có giao 2 tiệm cận tại I(-2;2) d đi qua I  2  2.2  m  m  2
Câu 4: Chọn C.
Phương pháp:
- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; f  x0   : y  f '  x0  x  x0   f  x0  .
- Tìm tọa độ hai giao điểm A, B của tiếp tuyến với các trục tọa độ Ox, Oy.
1
- Diện tích tam giác OAB là: SOAB  OA.OB.
2

Cách giải:
y





1
1
1
 y '   . Ta có: x M  2  3  yM 
 2  3  M 2  3;2  3 .
2
x
2 3
x





Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M 2  3;2  3 là:
9


d : y  y '  x M  x  x M   yM  

1





Cho y  0  x 

42 3

2  3 

2




3

2 3

Cho x  0  y  4  2 3  B 0;4  2

2
2 3

x  2  3  2 
2



 4  2 3  A 4  2 3;0



3   2 3



2

x  4  2 3.



1
1
Vậy SOAB  .OA.OB  4  2 3 4  2 3  2.
2
2

Câu 5: Chọn D.
Phương pháp:
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 của hàm số y  f  x  có hệ số góc k  f '  x0  .
Hai đường thẳng  d  : y  kx  a;  d '  : y  k ' x  b vuông góc với nhau thì k.k '  1.
Cách giải:
Ta có: y '  4 x 3  8 x. Gọi (d’) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 và vuông góc với
đường thẳng d thì hệ số góc của d’ là: k  y '  x0   4 x03  8 x0
1
Vì d '  d  k.  1  k  4
4


 x0  1

1  5
3
3
2
 4 x0  8 x0  4  x0  2 x0  1  0   x0  1 x0  x0  1  0   x0 

2

1  5

 x0 
2





Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa mãn.
Câu 6: Chọn C.
Phương pháp:
+ Chọn 1 điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x 
+ Viết phương trình tiếp tuyến
+ Tính diện tích tam giác cần tìm
Cách giải:
Chọn M (-1;7) thuộc đồ thị hàm số

10


Có y ' 

10

 2 x  1

2

; y '  1  10

Phương trình tiếp tuyến tại M : y  10  x  1  7  y  10 x  17
1
Phương trình các tiệm cận: x   ; y  2
2
 1   1
  3 
Tam giác IAB vuông tại I tạo bởi 3 đường trên có 3 đỉnh: I   ;2  ; A   ;12  ; B   ;2  và có diện tích:
 2   2
  2 
1
1
S  IA. IB  .10.1  5
2
2

Câu 7: Chọn D.
Phương pháp:
Từ tọa độ A suy ra b
Tính đạo hàm của hàm số tại 0, suy ra a
Cách giải
Đồ thị hàm số đi qua A  0;1  1 
Khi đó y 

a.0  b
 b  1
0 1

ax  1
a  1
 y' 
x 1
 x  12

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A có hệ số góc y '  0   3  a  1  3  a  4  a  b  3
Câu 8: Chọn D.
Phương pháp:
+ Lập bảng biến thiên của f(x)
+ Chứng minh a2  b2  10
Cách giải:
Xét bảng biến thiên của f(x):

x
f ' x



-1
-

0

1
+

0

+

3
-

0

+

f x
f(1)
f(-1)

f(3)

Dựa vào bảng biến thiên: Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 thì song song với trục hoành và cắt
(C) tại hai điểm có hoành độ a, b (không mất tổng quát giả sử a < b) với a < –1 và b > 3
11


Suy ra a2  b 2  10
Câu 9: Chọn A.
Phương pháp:
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

x  x0 là k  y '  x0  .
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d  k.k '  1 với k’ là hệ số góc của d.
Cách giải:
Ta có: y '  4 x 3  4  m  1 x  y ' 1  4 m
Tiếp tuyến  thỏa mãn yêu cầu bài toán có hệ số góc k  y ' 1  4
Vậy m thỏa mãn đề bài là m  1

Chú ý khi giải:
HS thường nhầm lẫn điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là tích các hệ số góc bằng 11 dẫn đến chọn
nhầm đáp án C.
Câu 10: Chọn D.
Phương pháp:
Gọi hệ số góc của hai tiếp tuyến song song là m, khi đó số cặp điểm thỏa mãn chính là số cặp nghiệm của
phương trình y '  m với m bất kì
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  6 x  2
Số cặp điểm thuộc đồ thị (C) có tiếp tuyến song song nhau  số cặp nghiệm phương trình 3 x 2 6 x  2  m
với m  R thỏa mãn phương trình 3 x 2 6 x  2  m có hai nghiệm phân biệt.
Có vô số giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm.
Chú ý khi giải:
Có thể sử dụng nhận xét dưới đây: Các tiếp tuyến với đồ thị hàm số bậc ba tại hai tiếp điểm mà đối xứng với
nhau qua điểm uốn thì đều song song.
Do đó có vô số cặp điểm thuộc đồ thị hàm số mà đối xứng với nhau qua điểm uốn nên sẽ có vô số cặp điểm
thỏa mãn bài toán.
Câu 11: Chọn B.
Phương pháp:
- Chứng minh d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
- Xét phương trình hoành độ giao điểm và nêu định lý Vi-et.
- Tính y '  các hệ số góc của tiếp tuyến.
12


- Biểu diễn P qua hoành độ các giao điểm, từ đó áp dụng Vi-et và tìm Pmin .
Cách giải:
Ta có: y ' 

1

 x  2 2

.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

x 1
 2 x  m  1  2 x 2   m  6  x  3  2 m  0  x  2  .
x2

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
 m  6 2  8  3  2 m   0
m 2  4 m  12  0
  0

(luôn đúng)



2

1

0
 x  2

2.  2    m  6  .  2   3  2 m  0


m 6

 x1  x2  2
Do đó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A  x1; 2 x1  m  1 , B  x2 ; 2 x2  m  1 thỏa mãn: 
 x x  3  2m
 1 2
2

Hệ số góc của các tiếp tuyến tại A, B lần lượt là k1 

 k1  k2 

1

 x1  2 

2



1

 x 2 2 

2



1

 x1  2 

2

; k2 

1

 x2  2 

2

.

2
x1  x2   4  x1  x2   2 x1 x2  8


2
 x1x2  2  x1  x2   4 
 x1x2  2  x1  x2   4 2

x22  4 x2  4  x12  4 x1  4

2

m 6
3  2m
 m 6 
 2   4. 2  2. 2  8 m 2  4 m  8 1




:  m2  4m  8
2
4
4
m 6
 3  2m

 2  2. 2  4 


k1k2 

1

1

.

1



 x1  2 2  x2  2 2  x1x2  2  x1  x2   4 2



1

4
1/ 4

Khi đó:

 3k1  12   3k2  12  9  k12  k22   6  k1  k2   2  9  k1  k2 2  2k1k2   6  k1  k2   2















 



2
2


 9  m 2  4 m  8  2.4   6 m 2  4 m  8  2  9 m 2  4 m  8  6 m 2  4 m  8  70



2

2

2
 3 m 2  4 m  8  1  71  3  m  2   13  71  132  75  98





 P  98  Pmin  98
13


Vậy Pmin  98 khi m = -2.
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Tam giác OAB cân tại O nên đường tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng y  x hặc đường thẳng
y   x.
Cách giải:
y

x2
1
 y' 
2x  3
 2 x  3 2

3

Gọi điểm M  x0 ; y0   x0    thuộc đồ thị hàm số (C).
2


Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y 

x 2
x  x0 0

2
2 x0  3
 3

1

 2 x0

Tiếp tuyến giao với trục hoành và trục tung tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O nên tiếp
tuyến d vuông góc với một trong 2 đường phân giác y  x hoặc y   x.
+) TH1: d vuông góc với đường phân giác y  x thì ta được:

2 x  3  1
 x  1  y0  1
2
.1  1   2 x0  3  1   0
 0
2 x0  3  1  x0  2  y0  0

 2 x0  32
1

Với x0  1; y0  0 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y   x (loại)
Với x0  2; y0  0 ta có phương trình tiếp tuyến tại M là: y   x  2
+) TH2: d vuông góc với đường phân giác y   x thì ta được:

1

 2 x0  3

2

2

.(1)  1   2 x0  3  1(ktm)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  x  2
Câu 13: Chọn A.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y  k  x  2  và (C) là:





x 3 3 x 2  4  k  x  2    x  2  x 2  x  2  k  x  2   0
x  2
  x  2  x2  x  k   0   2



 x  x  k  0(*)
*) x  2  y  0  M  2;0 
*) x 2  x  k  0
14


Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt M, N, P thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
1
   0  1  4 k  0  k   (2*)
4

Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của điểm N, P. Theo Vi – et, ta có: x1  x2  1; x1. x2  k
Ta có: y  x 3 3 x 2  4  y '  3 x 2 6 x
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

 y '  x1  . y '  x2   1







2

 3 x12  6 x1 3 x22  6 x2  1   3 x1 x 2   18 x1 x2  x1  x2   36 x1 x2  1  0
2

  3k   18.  k  .1  36.  k   1  0

 9k 2  18k  1  0  k 

Dễ dàng kiểm tra, với k 

3 2 2
(tm(2*))
3

3 2 2
32 2
hoặc k 
phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
3
3

Vậy tổng các phần tử của S là: 2
Câu 14: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;1) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  x0 , viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm có hoành độ x  x0 là: y 

1

 x0  1

2

 x  x0  

 x0  2

(d )
x0  1

+) A  d  Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d, tìm điều kiện để phương trình đó có duy
nhất nghiệm x0 .
Cách giải:
TXĐ: x  R \ 1 ; y ' 

1

 x  1 2

Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;1) là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  x0 , khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng: y 

1

 x0  1

 x  x0  
2

 x0  2
(d )
x0  1

Vì A  d nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có:

1

1

 x0  1

 a  x0  
2

 x0  2
x 0 1
15


 a  x0  x02  3 x0  2  x02  2 x0  1
 2 x02  6 x0  3  a  0(*)

Để chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình (*) có 1 nghiệm.
3
TH1: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất   '  0  9  2  3  a   0  3  2 a  0  a  .
2

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm x0  1
 2 6 3 a  0  a 1

3 
 S   ;1
2 

Câu 15: Chọn A.
Phương pháp:
- Xét đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 

ax  b
 C  có tâm đối xứng
cx  d

 d a
I ; 
 c c

Lấy M   C  .
Tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M cắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó, dễ
dàng chứng minh được: S ABI  const và M là trung điểm của AB.
Cách giải:

Gọi độ dài đoạn thẳng IA, IB lần lượt là a, b.
Kẻ IH  AB, H  AB.
Tam giác IAB vuông tại I, IH  AB



1
IH 2



1
IA2



1
IB 2

 IH 2 

IA2 . IB 2 Co  si
IA2 . IB 2 IA. IB
 Cosi

 SL
2 IA. IB
2
IA2  IB 2
16


 IHmax  SIAB khi và chỉ khi IA = IB.
Khi đó, tam giác IAB vuông cân tại I, M trùng H.

 Ta tìm M bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng IM với đồ thị (C).
*) Viết phương trình đường thẳng IM:
Ta có: y 

x 1
1
3
 y' 
 0, x  : Hàm số nghịch biến trên các khoảng
2x  3
2

 2 x  3 2

3 3


 ; 2  ,  2 ;   .

 


( Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ bên).
3 1
Đường thẳng IM là đường thẳng đi qua điểm I  ;  song song với phân giác của góc phần tư thứ nhất:
2 2
y  x, có phương trình là: y  x  1.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

 x  1
 y  x  1 
y  x 1
y  x 1
y  x 1




 y  0

x 1  

x 1  
3   x  1  
x  2
 y  2 x  3
 x  1  2 x  3
 x  1 2 x  3  1  0, x  2
 x  2


  y  1
Vậy M(1;0) hoặc M(2;1).
*) Khoảng cách từ I đến đường tiếp tuyến của (C) tại M :
2

2

2

2

3
3  1
2
 3 

IH  IM   1     9     2     1   
2
2  2
2
 2 


Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:

y '  x0   0 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 và song song với trục Ox.
Cách giải:
Có y '  4 x 3  4 x  Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là y '  x0   4 x03  4 x0
Trục Ox có phương trình y = 0, để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  m  1 song song với trục Ox

 x0  0

3
thì y ' x0  4 x0  4 x0  0   x0  1

 

 x0  1

Với x0  0  phương trình tiếp tuyến là y  m  1
Với x0  1  Phương trình tiếp tuyến là y  m  2  Để có duy nhất 1 đường tiếp tuyến của đồ thị hàm
số song song với trục Ox thì một trong hai đường tiếp tuyến trên phải trùng với trục Ox
17


m  1  0
m  1


 S  1;2  tổng các phần tử của S là 1 + 2 = 3.
m  2  0

m  2
Câu 17: Chọn B.
Phương pháp:
Xây dựng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thông qua đạo hàm, cho điểm I thuộc tiếp tuyến tìm giá
trị của tham số, kết luận số tiếp tuyến có thể có.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  là y  y0  y '  x0  x  x0  .
Cách giải:
Ta có: y ' 

 2 x  1 x  1   x 2  x  1
 x  12



x2  2x

 x  12

.

Điểm M  a; y  a     C  suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
y  y0  y '  x0  x  x0   y 

Mà I 1;1   d  nên suy ra 1 

a2  a  1 a2  2 a
a2  2 a
2 a2  4 a  1

. x  a  y 

.x 
a 1
 a  12
 a  12
 a  12

a2  2 a

 a  1

2



2 a2  4 a  1

 a  1

2

1

  a  1

 a  1

2

2

 1 (vô lí)

Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I(1;1).
Câu 18: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số.
Cách giải:
Để d tiếp xúc với (C)

x 1

x 1

m

2
x


2
x

m

x 1



x 1
 x  0  n  1

x 1

m  2 x 
x

1





x  2  m  7 .
2
x

1




2


 2 x  m   

 x 1  1
2





 x  1
 x 1 

Câu 19: Chọn D.
Phương pháp:
+) Công thức đạo hàm hàm hợp: y  f  u  x    y '  f '  u  x   .u '  x 
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M0  x0 ; y0  : y  f '  x0  .  x  x0   f  x0 
Cách giải:
18


 f 1  1
2
3
2
3
Ta có:  f 1  2 x    x   f 1  x   . Cho x  0   f 1   0   f 1   
 f 1  0
2

3

Đạo hàm hai vế của  f 1  2 x    x   f 1  x   . ta được:
2

2. f 1  2 x  .  f 1  2 x   '  1  3.  f 1  x   .  f 1  x   '
2

 2. f 1  2 x  . f ' 1  2 x  . 1  2 x  '  1  3.  f 1  x   . f ' 1  x  . 1  x  '

2

 4 f 1  2 x  . f ' 1  2 x   1  3  f 1  x   . f ' 1  x 
Cho x  0  4 f 1 . f ' 1  1  3 f 2 1 . f ' 1 .
+) Nếu f 1  1 thì 4 f ' 1  1  3 f ' 1  f ' 1 

1
7

1
1
6
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  f ' 1 .  x  1  f 1  y   .  x  1  1  y   x 
7
7
7

+) Nếu f 1  0 thì 4.0. f ' 1  1  3.00. f ' 1  0  1 vô lý.
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị hàm số, xác định khoảng cách d thông qua
khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và dùng phương pháp tìm GTLN của hàm số để tìm GTLN của
khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M.
Cách giải:
Ta có y ' 

4

 x  2

2

 y '  x0  

4

 x0  2 

 d  : y  y  x0   y '  x0  x  x0   y 

2

và y  x0  
4

 x  2 2

2 x0
nên phương trình tiếp tuyến là
x0  2

 x  x0  

2 x0
2 x02
4

xy
 0.
2

2
x0  2
 x  2
 x0  2 

Khoảng cách từ điểm I(-2;2) đến (d) là
d  I; d  

8 x0  16

 x0  2 2  16



8 x0  2

 x0  2 2  16

Đặt t  x0  2  t  0   d  I ; d  
Xét hàm số f  t  

t
4

t  16

8t
t 4  16

trên  0;  ta có

19


t 4  16 

t.4t 3

4
4
 x  2(tm)
16  t 4
2 t 4  16  t  16  2t

0 
t 4  16
t  2(ktm)
t 4  16 . t 4  16
t 4  16 t 4  16

f 't  









f 0  0

2
4

f 2 

2
2
 f t  
4
4

 max f  t  

0; 

 d  I ; d   8.

2
2 2
4

Dấu “=” xảy ra

 x  0(ktm)
2.(4)
 t  2  x0  2  2   0
 y0 
4
4  2
 x0  4(tm)

 2 x0  y0  2.(4)  4  4
Câu 21: Chọn C.
Phương pháp:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 : y  f '  x0  x  x0   y  x0  (d )
Lấy điểm A(a;9a – 14) thuộc đường thẳng y  9 x  14, cho A  d  pt (1).
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Tìm điều kiện của a để
phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Có bao nhiêu giá trị của a thì có bấy nhiêu điểm thỏa mãn yêu cầu bài
toán.
Cách giải:
TXĐ: D = R.
Ta có: y '  3 x 2  3.
Phương

trình



tiếp

tuyến

của

đồ

thị

(C)

tại

điểm



M x0 ; x03  3 x0  2



là:



y  3 x02  3  x  x0   x03  3 x0  2(d )
Lấy điểm A  a;9a  14    y  9 x  14  , vì A  d nên ta có:





9a.-14= 3 x02  3  a  x0   x03  3 x0  2 1
 9a  14  3ax02  3 x03  3a  3 x0  x03  3 x0  2
20


 2 x03  3ax02  12 a  16  0





  x0  2   2 x02   3 x  4  x0  6 a  8  0
 x0  2  0
 2
 20   3a  4  x0  6 a  8  0
 x0  2
 2
 20   3a  4  x0  6 a  8  0(2)

Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
TH1: x 0  2 là nghiệm của phương trình (2) ta có: 2.22  6 a  8  6 a  8  0  a  2

x  2
Khi đó phương trình (2) có dạng 2 x02  2 x0  4  0   0
 phương trình (1) có 2 nghiệm phân
 x0  1
biệt. Vậy a = 2 thỏa mãn.
TH2: x0  2 không là nghiệm của phương trình (2), khi đó để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) có nghiệm
kép khác 2.

4

   3 x  4 2  8  6 a  8   0
9a2  24 a  48  0
a



3


a  2
a  2
 a  4
Vậy có 3 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm, xác định tổng hệ số góc của tiếp tuyến và tìm giá trị lớn nhất.
+) Gọi M  x0 ; y0  là một điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  . Khi đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x 
tại M có hệ số góc là: k  f '  x0  .
Cách giải:
Điều kiện: x  
Ta có: y  

1
2

x
1
 y'  
.
2
2x 1
2
x

1



Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm phương trình:


x
 x  m   2 x  1 x  m   x  0  2 x 2  2  m  1 x  m  0 (*)
2x 1
21


2

Có  '   m  1  2 m  m 2  1  0, m suy ra (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Gọi A  x1; y1  và B  x2 ; y2  là hai giao điểm của hai đồ thị  x1, x2 là nghiệm của (*).
 x1  x2    m  1

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
m
 x1 x2 

2

Khi đó tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B là:

k1  k2  



1

2 x  1


1

1



2

  2 x2  1

2



 2 x 1 12  2 x2  12  4 x1x2  2  x1  x2   12





4 x12  x22  4  x1  x2   2

 4 x1x2  2  x1  x2   12

2



4  x1  x2   8 x1 x2  4  x1  x2   2

 4 x1x2  2  x1  x2   12

m
 4  m  1  2
4 m 2 8m  4  4 m  4 m  4  2
2

2
2
2 m  2 m  2  1
 m


4.

2
m

1

1

 
 2


2



4  m  1  8.





  4 m 2  2  4 m 2  2.
Khi đó k1  k2  4 m 2  2  2 vì m 2  0. Vậy k1  k2 max  m  0.
Câu 23: Chọn C.
Phương pháp:





+) Gọi điểm M a;2 a2  3a2  5 thuộc đồ thị (C).
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M: y  y '  a  x  a   2 a3  3a2  5
+) Cho tiếp tuyến đi qua A, giải phương trình ẩn a, phương trình có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu tiếp
tuyến đi qua A.
Cách giải:
Ta có: y '  6 x 2  6 x









PTTT của (C) tại điểm M a;2 a3  3a2  5 là: y  6 a2  6 a  x  a   2 a3  3a2  5



 19 
Do tiếp tuyến đi qua điểm A  ;4  nên 4  6 a2  6 a
 12 

  1219  a   2a3  3a2  5
22


1

a  8

25
19
 4 a3  a 2  a  1  0   a  1
2
2
a  2


 19 
Vậy từ điểm A  ;4  kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C).
 12 

Câu 24: Chọn A.

Phương pháp:
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 : y  y '  x0  x  x0   y0 .
+) Thay tọa độ điểm B vào phương trình tiếp tuyến, suy ra phương trình có dạng b  f  x0  , tìm điều kiện
của b để phương trình đó có nghiệm duy nhất.
+) Phương trình b  f  x0  có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số

y  f  x0  tại một điểm duy nhất. Lập BBT của đồ thị hàm số y  f  x0  và kết luận.
Cách giải:





Phương trình tiếp tuyến của (C) tại  0; b   b  3 x02  6 x0   x 0   x03  3 x02  2 x03  3 x02
Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua B(0;b) thì phương trình b  2 x03  3 x02 có duy nhất một nghiệm.

x  0  y  0
Xét hàm số y  2 x 3  3 x 2  y '  6 x 2  6 x  0  
x  1  y  1
BBT:

x



y'

y

0

-

0

+

1
+

0

-

+
1
0
-

b  1
Dựa vào BBT của đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi 
b  0

23


Với b   10;10   b  9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;2;3;4;5;6;7;8;9  có 17 giá trị nguyên của m thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 25: Chọn D.
Phương pháp:
Viết phương trình tiếp tuyến, sử dụng điều kiện song song và yêu cầu bài toán tìm m

Cách giải:
Gọi M  a; b    C  , ta có f '  x   2 x 3  3 x 2  12 x  f '  a   2 a3  3a2  12 a.
Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y  f  a   f '  a  x  a    .

 f '  a   m(1)
Vì    song song với d  
.
a. f '  a   f  a   0(2)
a  a1  
Giải (2), ta có a. f '  a   f  a   3a 4  4 a3  12 a2  14  0  
a  a2  
Giải (1), ta có m  g  a   2 a3  3a 2 12 a; a  .

 a  1
Có g '  a   6 a2  6 a  12  0  
.
a  2
Bảng biến thiên

x



y'

-1
+

y

0

-

0

+


7
-

+

2

20

Dựa vào bảng biến thiên, để m  g  a  có ít nhất hai nghiệm  20  m  7.
Câu 26: Chọn A.
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau  y '  x M   y '  xN  x M  xN 
Cách giải:
y

x 1
2
2
 1
 x  1  y ' 

x 1
x 1
 x  12


2  
2 
Gọi M  x M ;1 
 ;N  xN ;1 
 là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.
x

1
x

1

M
 
N

24


Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau  y '  x M   y '  xN  x M  xN 



2

 x M  12

yM  yN  1 



 x  xN (ktm)
2
2
  x M  1   xN  1   M
 x M  xN  2
2
x

1

1

x
(
tm
)

M
N
x

1
 N 
2

2
xM 1

1

x  1  xN  1
2
 2  2. M
 2.
xN  1
 x M  1 xN  1

Gọi I là trung điểm của MN ta có: I(1;1).
Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là y = 1 và tiệm cận đứng x  1  I (1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận
 C đúng.

TCN y = 1 và tiệm xứng đứng x = 1 rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN  B, D đúng.
Câu 27: Chọn C.
Phương pháp:
+)

Viết

phương

trình

tiếp

tuyến

của

đồ

thị

hàm

số

tại

điểm

có

hoành

độ:

y  f '  m  2  x  m  2   y  m  2  d 
+) Xác định các giao điểm của d và các đường tiệm cận  x2 ; y1
+) Thay vào phương trình giải tìm các giá trị của m.
Cách giải:
TXĐ: D  R \ 2 .
Ta có y ' 

3

 x  2 2

 y 'm  2 

3
m2

hàm số tại điểm có hoành độ là: y 

; y m  2 

3
m

2

m  2 1 m  3

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
m22
m

 x  m  2 

m 3
d 
m

Đồ thị hàm số có đường TCN y = 1 và tiệm cận đứng x  2.

* y  2  
*1 

3
m

 m  
2

3
m

 x  m  2 
2

m  3 3 m  3 m  6
m 6 
m 6




 A  2;
 y1 

m
m
m
m
m 

m


m  3 3  x  m  2   3m

0
m
m2

 x  m  2  m  x  2 m  2  B  2 m  2;1  x2  2 m  2
 x2  y1  2 m  2 

m 6
 5  2 m 2  2 m  m  6  5m
m

m  1
2
 2m2  4m  6  0  
 S  1; 3  12   3  10
 m  3
Câu 28: Chọn D.
25