HSG TOÁN 9 ý yên 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)

Câu 1. (6,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: 2 + 3 + 2 − 3.
1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + + .
2
a b c
2. Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a b c

 

xy + x
xy + x
A =  x +1 +
+ 1 ÷:  1 −
− x +1 ÷
 xy + 1 1 − xy
÷ 
xy − 1
xy + 1 ÷

 

3. Cho biểu thức
với x, y > 0; xy≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức A.
1 + 1 =6
y
b) Cho x
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Câu 2. (5,0 điểm)
2
1. Giải phương trình: 12x − 3x − 1 = 3x + 1.
 x 2 + xy − 2y 2 = 0
.
 2
x + 5y + 4 = 0


2. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:
2x 2 + 4x = 19 − 3y 2 .

Câu 4. (5,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Một điểm A bất kỳ nằm trên
đường tròn (A không trùng với B và C). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥ AB (M∈ AB); HN
⊥ AC (N ∈ AC).
3

CN  AC 
=

÷.
2·
2·
sin
AMN
+
c
os
OAC
=
1
BM
AB


1. Chứng minh:
và

2. Gọi D là điểm nằm giữa O và C;Kẻ DE ⊥ AB (E∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈ AC). Chứng
minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC.
3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị
lớn nhất.. Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R.
1
1
1
+
+
=1
Câu 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 1 + x 1 + y 1 + z .
3

x+ y+ z≤
xyz.
2
Chứng minh
rằng:

…………….Hết …….…….
Họ tên thí sinh:………………………………..
Số báo danh:………………………………….

/>
Chữ ký giám thị 1:…………………
Chữ ký giám thị 2:………………….


HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2018 - 2019
Nội dung
Điể
m
Câu 1 ( 6, 0điểm)
1. (1,0 đ).Rút gọn 2 + 3 + 2 − 3.
Ta có
2+ 3 + 2− 3 =

1
2

4+2 3 +

1
2

4−2 3 =

1
2

( 3 + 1) 2 +

1
2

( 3 − 1) 2

0,5
0,5

1
2 3
( 3 + 1 + 3 − 1) =
= 6 ⇒ 2+ 3 + 2− 3 = 6
2
2

=

2. ( 2,0 đ). Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1

+ 2+ 2 = + + .
2
a b c
a b c

0,5

2

1
1 1
1
1 
 1 1 1
 1
+ 2 + 2 =  + + ÷ − 2 + + ÷
2
a b c
a b c
 ab bc ca 

Ta có

2

0,5

2

0,5

1 1 1
 a+b+c 
=  + + ÷ − 2
÷
a b c
 abc 
1 1 1
=  + + ÷
 a b c  (do a + b + c = 0 )
1 1 1
+ +
=a b c .

0,5


 

xy + x
xy + x
A =  x +1 +
+ 1÷:  1 −
− x +1 ÷
 xy + 1 1 − xy
÷
xy − 1
xy + 1 ÷

 


3.(3,0 đ). Cho biểu thức

với x, y > 0; xy ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức A.
1 + 1 =6
y
b) Cho x
. Tìm giá trị lớn nhất của A.

a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có:
A=

(

x + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy )

(
=
=

(

(

(

xy + 1) ( 1 − xy )

:

xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy )

(

xy + 1) ( 1 − xy )

x + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) + ( xy + 1) ( 1 − xy )
xy + 1) ( 1 − xy ) + ( xy + x ) ( xy + 1) − ( x + 1) ( 1 − xy )

=

0,5
=

2+2 x
= 1
2x y + 2 xy
xy .

1 ; 1
b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương x y , ta có:

/>
0,5
1,0
0,5


1 + 1 ≥2

x
y

1 ⇒ 1 ≤9
xy
xy





Dấu bằng xảy ra ⇔ 

1 + 1 =6
y
(do x
)

1 = 1
x
y

1
⇔ x = y = 9 (thỏa mãn) .
1
Vậy giá trị lớn nhất của A là 9 tại x = y = 9 .
Câu 2.( 5,0 điểm)
2
1.(2,5đ) Giải phương trình 12x − 3x − 1 = 3x + 1.
x≥−

Đ:

1 + 1 =6
x
y

0,25

1
3

0,5

12x 2 − 3x − 1 = 3x + 1

(

0,5

)

2

⇔ 12x 2 − 3x − 1 = 3 x + 1( ÐK :12x 2 − 3x − 1 ≥ 0)

⇔ 144 x 4 + 9 x 2 + 1 − 72 x3 − 24 x 2 + 6 x = 3 x + 1
⇔ 144 x 4 − 72 x3 − 15 x 2 + 3 x = 0
⇔ x 144 x3 − 72 x 2 − 15 x + 3 = 0

0,5

 x = 0(ktm)
⇔
3
2
144 x − 72 x − 15 x + 3 = 0(1)
(1) ⇔ ( 4 x + 1) ( 36 x 2 − 27 x + 3 ) = 0

0,5đ

(

)

1

x = − (tm)

⇔
4

2
36 x − 27 x + 3 = 0(2)

Giải (2) tìm được hai nghiệm
KL nghiệm của pt…..

x1 =

27 + 297
27 − 297
(tm); x2 =
(ktm)
72
72

0,5
0,25

 x + xy − 2y = 0
.
 2
x + 5y + 4 = 0 ( *)


2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình
x 2 + xy − 2 y 2 = 0 ⇔ ( x − y ) ( x + 2 y ) = 0
2

c x = y hoặc x = -2y

2

0,5
0,5

khi đó ta đượ
Với x = y thay vào phương trình (*) ta được pt y2 +5 y +4 = 0.
0,5

Giải phương trình, tìm được y = -1; y = -4
Từ đó tìm được x....
0,25
2
Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta được 4y + 5y + 4 = 0. Chứng minh 0,5đ
phương trình này vô nghiệm
KL nghiệm của hệ
0,25đ
Câu 3. (2,0 điểm).
2
2
Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2 x + 4 x = 19 − 3 y .
/>

2 x 2 + 4 x = 19 − 3 y 2 <=> 2 x 2 + 4 x + 2 = 21 − 3 y 2 ⇔ 2( x + 1) 2 = 3(7 − y 2 ) (1)

0,5

Với x, y nguyên thì vế trái của (1) chia hết cho 2 nên từ (1) có:
3(7 − y 2 )M2 ⇒ 7 − y 2 M2 ⇒ y lẻ

0,5

2
2
2
Ta lại có 7 − y ≥ 0 nên chỉ có thể y = 1 . Khi đó 2( x + 1) = 18

0,5

Ta được: x + 1 = ±3 , do đó: x1 = 2; x2 = −4
Các cặp số (2 ; 1), 2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1). KL ……..

0,25
0,25

Câu 4. (5,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Một điểm A bất
kỳ nằm trên đường tròn (A không trùng với B và C). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC);HM ⊥
AB (M∈ AB); HN ⊥ AC (N∈ AC).
3

CN  AC 
=
÷.
2·
2·
sin
AMN
+
c
os
OAC
=
1
BM
AB


1. Chứng minh:
và

2. Gọi D là điểm nằm giữa O và C; Kẻ DE ⊥ AB (E∈ AB);DF ⊥ AC (F ∈
AC). Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC.
3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN
đạt giá trị lớn nhất.. Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R.

1.(2đ) Chứng minh được
Do đó sin2

=

+ cos2

(=
= sin2

)
+ cos2

CM được AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC. Do đó

0,5
=1

0,25
⇒ 0,5

(1)
CM được CH2 =CN.AC ; BH2 = BM. AB. Kết hợp với (1) ⇒

0,5
0,25

⇒

(đpcm)

/>

2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( vì DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí
0,5
Talet ta có
( vì CM được DF = AE)(2)

CM tương tự có:
Nhân

từng

vế

(3)
của

(2)

và

(3)

ta

có

0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

0,25

.
Từ đó CM được DB.DC = EA.EB + FA.FC.(đpcm)

0,25

3.(1,5đ) CM được AMHN là hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4)

0,25

CM được AH2 = AM.AB ⇒ AM =

0,5

CM tương tự có AN=
Từ

(4),(5),(6)

có

(5)

(6)
SAMHN

=

0,5

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMHN là

. Khi đó điểm A thuộc 0,25

đường tròn (O), sao cho ABC vuông cân tại A.
1
1
1
+
+
=1
Câu 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 1 + x 1 + y 1 + z

.
Chứng minh

rằng:

x+ y+ z≤

1

1
1
= a,
= b,
=c
1+ y
1+ z
Ta đặt 1 + x
(ĐK: a, b, c > 0 )
1− a b + c
1− b a + c
1− c a + b
⇒x=
=
,y=
=
,z =
=
a
a
b
b
c
c

/>
3
xyz.
2

0,5


Do đó

x+

CM được :

y+ z≤

3
xyz
⇔
2

a
b
b
c
c
a
3
.
+
.
+
.
≤
b+c c+a

c+a a+b
a + b b + c 2 (*)

a
b
1 a
b 
.
≤ 
+
÷
b+c c+a 2 a+c b+c

0,5
0,5

b
c
1 b
c 
.
≤ 
+
÷
c+a a +b 2b+a c +a 
c
a
1 c
a 
.

≤ 
+
÷
a+b b+c 2 c+b a+b 

Do đó
a
b
b
c
c
a
1 a
b
b
c
c
a  3
.
+
.
+
.
≤ 
+
+
+
+
+
=

b+c c+a
c+a a+b
a +b b +c 2  a +c b +c b +a c + a c +b a +b ÷
 2

Vậy BĐT(*) luôn đúng, suy ra đpcm.

/>
0,5


PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TOÁN 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: A =
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của A khi

.

c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên.
Bài 2 (4,5 điểm ):
a, Chứng minh

thì

b, Giải phương trình
c, Tìm số tự nhiên có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương.
/>

Bài 3 (4 điểm ):
a, Tìm các số thực x để

và

đồng thời là các số nguyên.

b, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

+3

Bài 4 (6,5 điểm ):
1, Cho ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH. Trên cùng 1 nửa mặt
phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ 2 tia Bx, Cy cùng vuông góc với BC. Qua A kẻ đường
thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q. Chứng minh:
a, AP = BP và AQ = CQ.
b, PC đi qua trung điểm của AH.
c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 . Tìm vị
trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn
nhất đó.
2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của 1 tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích tam
giác nhỏ hơn

.

Họ và tên thí sinh ...................................................... SBD.........

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 NĂM HỌC: 2018-2019
THỨ TỰ

Ý

Bài 1 (5đ)
a (2đ)
b (1,5đ)

/>

c (1,5đ)

a (1,5đ)

b (1,5đ)
Bài 2 (4,5đ)

c (1,5đ)

Bài 3 (4đ)

/>
a (2đ)

b (2đ)

0,5đ

1a (2đ)

Bài 4
(6,5đ)
1b (1,5đ)

/>

1c
(1,5đ)

2, (1đ)

Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

/>