Gián án đề thi và đáp án hsg toán 9- huyện yên dũng

Phòng giáo dục và đào tạo
Yên Dũng Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Môn Toán 9
Năm học 2009-2010
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1. (2 điểm)
a. Cho biểu thức
2


ì
ữ
ữ
ữ


x - 2 x + 2 1- x
P = -
x -1
x + 2 x +1 2
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi x =
( )
( )
10 + 2 6- 2 5 3+ 5
Bài 2. (2 điểm) Giải phơng trình sau:
a.
( )
2
2
2

25x
x + =11
x +5
b.
2
x-2 + 4-x = x -6x +11
Bài 3. (2 điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
M = (2x+y+1)
2
+ (4x+my+5)
2
b. Cho pa rabol (P) :
2
x
y =
4
. Điểm A trên P có hoành độ là 2. Tìm phơng trình tiếp
tuyến tại A với (P).
Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C, có
1
BC = AB
2
. Trên cạnh BC lấy
điểm E ( E khác B và C), từ B kẻ đờng thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d
với AE, AC kéo dài lần lợt là I và K.
a. Tính độ lớn của
ã
CIK
.

b. Chứng minh rằng KA. KC = KB. KI
c. Gọi H là giao điểm của đờng tròn đờng kính AK với cạnh AB, chứng minh rằng
I, K, E thẳng hàng.
d. Khi E chạy trên BC thì I chạy trên đờng nào?
Bài 5 . (2 điểm)
Cho các số dơng a, b, c thoả mãn a + b +c = 3. Chứng minh rằng rằng :

2 2 2
a b c 3
+ +
b +1 c +1 a +1 2
Hớng dẫn chấm
Bài ý Nội dung Điểm
1
a
ĐK: x

0; x

1.
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
1 1
1 1
1

+
ữ
ữ
ì
ữ
ữ
+
ữ
+


x x
x - 2 x + 2
P = -
2
x x
x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1


+ +
ữ

ữ
ì
ữ
ữ
ữ
+ +


x - 2 x x + 2 x x x
P = -
2
x x x x
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1
2
1 1
+

ì
+
x x
x
P =
2
x x
( )
1P = x x

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
b
x=
( )
( )
10 + 2 6- 2 5 3+ 5
x=
( ) ( )
2
2 15 + 1 5 3+ 5
x=
( ) ( ) ( )
1 1 5 + 1 5 5 6+2 5
x=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 16 =5 + 1 5 5 5 + 1


P = 4(1-4)= -12
0,25
0,25
2
a
Điều kiện :
5x

Biến đổi phơng trình về dạng
2
2
2 2 2
5 10 10
11 11 0
5 5 5 5
x x x x
x
x x x x


+ = + =
ữ
ữ
+ + + +


Đăt t =
2
5
x
x +
thì phơng trình trở thành t
2
+10t-11=0
vì a+b+c= 0 nên phơng trình có nghiệm t
1
=1; t
2

=-11
Với t=1
1 21
2
x

=
Vời t= -11

x
2
+11x+55 = 0( Pt vô nghiệm)
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Điều kiện:
2 4x

Đặt A =
x-2 + 4- x
; B =
2
x -6x +11

A
2
= x-2+4-x+2
.x-2 4-x

A
2


2+ x-2+4-x=4

A

2 (1)
Lại có B =
2
x -6x +11
= (x-3)
2
+2

2 (2)
Để A=B
2
3x

=

=



2

x-2 + 4- x
x -6x +11= 2
0,25
0,25
025
0,25
3 a
Ta có M
0
. Dấu "=" xảy ra
2 1 0
4 5 0
x y
x my



+ + =
+ + =

(m-2)y +3=0
* Nếu m

2 thì
2
2
5
2 4
x
m

m
y
m


=






=



nên giá trị nhỏ nhất của M là 0.
* Nếu m=2 khi đó M = (2x+y+1)
2
+ (4x+2y+5)
2
Đặt t = 2x+y+1 thay vào M ta có
M = t
2
+ (2t+3)
2
M= 5t
2
+ 12t +9 = 5
2

6 9 9
5 5 5
t

+ +
ữ

.
M nhỏ nhất bằng
9
5
dạt đợc khi 2x +y +1 +
6
5
= 0
hay y = -2x -
11
5
.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Vì A thuộc (P) và x
A
=2 =>y
A
=1
Vậy A(2;1)

Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng : y = ax +b
Vì A thuộc (d) nên => 1= 2a+b hay b =1 -2a
Khi đó phơng trình đờng thẳng (d) thở thành
y= ax + 1 - 2a . Phơng trình xác định hoành độ giao điểm
của (d) và (P) là :
2
x
4
= ax + 1 - 2a

x
2
- 4ax + 8a - 4 = 0
( )
2
'
4 1a =
Để (d) tiếp xúc với (P) thì
'
0 1a = =

khi a=1 => b= -1
Vậy đờng thẳng cần tìm có phơng trình là : y = x-1.
0,25
0,25
0,25
0,25
4 a
H
I

C
B
A
E
K
a. Tứ giác ACIB nội tiếp đợc trong một đờng tròn

ã
CIK
=
ã
KAB
( Cùng bù với
ã
CIB
)
0,25
Lại có
ã
KAB
= 30
0
(Sin
ã
KAB
=0,5)

ã
CIK
=30

0
0,25
b
b.Tam giác KIA đồng dạng với tam giác KCB

KI KA
=
KC KB

KA. KC = KB. KI
0,25
0,25
c
c.
ã
KHA
=90
0
( Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)

KH

AB (1)
Mà E là trực tâm của tam giác AKB

KE

AB (2)
Từ (1) và (2)

ba điểm I, K, E thẳng hàng.
0.25
0,25
0.25
d
d.
ã
AIB
= 90
0
(gt) mà A, B là hai điểm cố định

Điểm I
thuộc đờng tròn đờng kính AB.
0,25
5
ta có
2
2 2
=
a ab
a -
b +1 b +1
mà theo BĐT Côsi ta có b
2
+1

2b

2
1
2
b
b +1


2
2
ab -ab
-
b +1 2


2
2
ab ab
a - a
b +1 2
hay

2
2
a ab
a -
b +1

(1)
Tơng tự ta có

2
2
b bc
b-
c +1
(2)


2
c
2
c ca
-
a +1
(3)
Từ (1), (2) và (2)


2 2 2
a b c ab + bc + ca
+ + a + b + c-
b +1 c +1 a +1 2
Mặt khác lại có a
2
+b
2
+c
2

ab +bc +ca

ab+bc+ca

1
3
(a+b+c)
2

hay ab+bc+ca

3


2 2 2
3a b c
+ + a + b + c-
b +1 c +1 a +1 2


2 2 2
3
2
a b c
+ +
b +1 c +1 a +1
0,75
0,25
0,25
0,5

0,25