D03 khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng muc do 3

Câu 35: [1H3-5.3-3] (TOAN HỌC TUỔI TRẺ 484-10/2017) Cho hình chóp tam giác đều
độ dài cạnh đáy bằng
từ

, cạnh bên bằng

đến mặt phẳng

và

. Gọi

là tâm của đáy

là khoảng cách từ

,

có

là khoảng cách

đến mặt phẳng

. Tính

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Do tam giác

đều tâm

suy ra

tại

là trung điểm của

Ta có:

.

.

Từ giả thiết hình chóp đều suy ra

,

.

Dựng

.

Có

.

Có

.

Từ đó có

.

Trong tam giác vuông

có đường cao

nên:
.

Vậy

.

Câu 46: [1H3-5.3-3] (THPT ĐOÀN THƯỢNG -LẦN 1-2018) Cho hình chóp
có đáy
tam giác vuông tại ,
. Gọi
,
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
các cạnh
A.
.
Câu 5:

,

. Khoảng cách từ
B.
.

đến mặt phẳng
C.
.

là
lên

là đoạn thẳng nào sau đây?
D.

.

[1H3-5.3-3] (THPT Nguyễn Khuyến-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Cho
hình lập phương
có cạnh bằng . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và

.


A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

Ta có

và

Gọi ,
Ta có

. Suy ra

.

lần lượt là tâm hình vuông
và
nên

Do đó

và

. Kẻ

.

.

. Suy ra

Xét tam giác

.

vuông tại

có

,

Suy ra

.

.

Cách khác: Sử dụng công thức nhanh

.

Câu 17. [1H3-5.3-3] (THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình
chóp

có đáy

điểm
A.

là tam giác vuông tại

. Biết
.

,

,

. Khoảng cách từ
B.

.

C.
Lời giải

. Gọi

đến mặt phẳng

.

D.

là:
.

Chọn A. Vẽ lại hình,chú ý vị trí điểm
Theo đề ta có:
Suy ra tam giác

và
đều cạnh bằng

và hình chóp

là trung

.
là hình chóp đều.


Hạ

là trọng tâm của tam giác

Ta có

.

.

Mà
Tam giác vuông
Vậy khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ trong không gian

.
.

Câu 42. [1H3-5.3-3] (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và ,
,
là trung điểm cạnh
,
là đường cao của hình chóp
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng

.

.

B.

A.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.

Ta có
Vậy tam giác

vuông tại D.

Ta có:
Trong đó K là hình chiếu vuông góc của H lên SD. Ta có:
.
Câu 41. [1H3-5.3-3](THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình
lăng trụ
có mặt đáy
là tam giác đều cạnh
. Hình chiếu vuông góc
của

lên mặt phẳng

đáy bằng

. Tính theo

trùng với trung điểm
khoảng cách

từ điểm

của

. Biết góc giữa cạnh bên và mặt

đến mặt phẳng

.


A.

B.

C.

.

D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

.

Kẻ

(hình vẽ).

Ta có

.

.

Câu 39.

[1H3-5.3-3] (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại , ;
cạnh bên
vuông góc với đáy;

A.

là trung điểm

B.

. Tính khoảng cách

từ

đến mặt phẳng

C.

D.

Lời giải
Chọn B.

+ Ta có:

+ Kẻ

nên
tại

. Ta có:

vuông tại

và

.


nên
+

vuông tại

. Suy ra:

tại

. Suy ra:

có:

.

.

Suy ra:

.

+ Ta có:

nên

.

Suy ra:
Vậy

Câu 44. [1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho
hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại và
Biết
và
cách

từ

. Gọi

là hình chiếu vuông góc của

đến mặt phẳng

A.

B.

C.
Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Kẻ

. Ta có

mà
Tam giác

trên

;
có

là đường trung bình nên

Vậy
Cách 2: Dùng phương pháp thể tích:

D.

Tính khoảng

;
;

.

Câu 22: [1H3-5.3-3] (THPT Kiến An-Hải Phòng năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
đều,
A.

cạnh

, mặt phẳng

là trung điểm của

.

B.

vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác

. Tính khoảng cách từ
.

C.

đến mặt phẳng
.

D.

.
.

Lời giải
Chọn A.

* Gọi

là trung điểm của
. Hạ

và

là trung điểm của

. Ta có

.

* Khi đó

.

* Lại có

.

* Suy ra

. Vậy

.

Câu 44. [1H3-5.3-3] (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có
,
,
đôi một vuông góc với nhau và
,
,
. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
A.
C.

bằng
.

B.
.

D.
Lời giải

.
.

và


Chọn C.

Gọi

là hình chiếu của điểm

Gọi

lên mặt phẳng

,

suy ra

.

.

Ta có

.

Mặt khác

, mà hình chiếu của

lí ba đường vuông góc) hay

Do đó là trực tâm của tam giác

trên mặt phẳng

là

nên

(định

.
.

Ta có
và

.

Vậy khoảng cách từ

đến mặt phẳng

bằng

.

Câu 42. [1H3-5.3-3] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và ;

,
. Điểm
là trung điểm đoạn
Mặt phẳng
theo
A.

.

, mặt phẳng

và

tạo với mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt phẳng
một góc

.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Cách 1:

. Tính khoảng cách từ

.

D.

.

.
đến


Ta có

Trong mp

.

, kẻ

thì

.

Mặt khác
.
Lại có
Tam giác

.
vuông tại

có

Khi đó

Mà

;
.

Cách 2:

và


Ta có

.

Trong mp

, kẻ

thì

.

Mặt khác:
.
Lại có

.

Tam giác
Gọi

vuông tại

có

là trung điểm cạnh

Vì

và
và

là giao điểm của

.
và

là hình bình hành nên

Hai tam giác

và

Hai tam giác

đồng dạng nên

và

Vậy

.
.

đồng dạng nên

.

.

Câu 42. [1H3-5.3-3] (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và ;
,
. Điểm
là trung điểm đoạn
Mặt phẳng
theo
A.

.

, mặt phẳng

và

tạo với mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt phẳng
một góc

.
B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.
Cách 1:

. Tính khoảng cách từ

.

D.

.

.
đến

Ta có

Trong mp

.

, kẻ

thì

.

Mặt khác
.
Lại có
Tam giác

.
vuông tại

có

và

Khi đó

Mà

;
.

Cách 2:

Ta có

Trong mp

.

, kẻ

thì

.

Mặt khác:
.
Lại có
Tam giác

.
vuông tại

có

và

.

Gọi

là trung điểm cạnh

Vì

và

là giao điểm của

và

là hình bình hành nên

Hai tam giác

và

Hai tam giác

.

đồng dạng nên

và

.

đồng dạng nên

Vậy

.

.

Câu 17:
[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018)
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông tại ,
,
A.

. Tính khoảng cách từ điểm
.

B.

.

đến mặt phẳng

C.

.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.

Dựng

.

Ta có
Vậy

.

Xét tam giác vuông

có
.

Câu 39:
[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại ,
,
,
mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng

Tính khoảng cách từ
A.

.

B.

đến mặt phẳng
.

,

.
C.

Lời giải
Chọn B.

. Biết

.

D.

.

.

Trong

, kẻ

tại

Ta có

vuông tại

có

. Ta có

nên

.

;

;

.
Khi đó

nên

Trong

, kẻ

Ta có

; trong

nên

, kẻ

.

suy ra

hay

nên
Tam giác

.

vuông tại

Vậy

.

có

.

.

Câu 50:[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho
hình hộp chữ nhật
có
,
,
. Gọi
là điểm
trên đoạn
,

với
và

. Gọi

là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng

là độ dài khoảng cách từ

đến mặt phẳng

. Tính giá trị

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.

Ta có

.


Suy ra

.

Lại có:
Gọi

.

là hình chiếu vuông góc của

Gọi

là hình chiếu của

lên

lên

ta có:

.

ta có:
.

Trong tam giác

, ta có:

Trong tam giác

, ta có:

.

. Suy ra
Vậy

.
----------HẾT----------

Câu 27:

[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-

2018) Cho hình chóp

có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

theo

A.

B.

C.

.

.

đều và nằm

,
. Tính

.
.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

là trung điểm của
Gọi

là giao điểm của

thì
và

. Ta có
. Ta có

.
.


Vì

là

hình

vuông

nên

tại

.

.

Do

. Kẻ

, vì

nên

.
Trong tam giác

có

.

Vậy

.

Câu 33:
[1H3-5.3-3] (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho
hình chóp
,
là hình thang vuông tại
và
với
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi là trung điểm của
. Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng
bằng
A.

.

. Tính diện tích hình thang
B.

.

C.

.
.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

* Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
, mà tam giác

chiếu vuông góc của

lên

đều nên ta có
ta có:

.
* Do tam giác

vuông tại

lên

nên ta có:

ta có
, gọi

là hình


.
Câu 32: [1H3-5.3-3] (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và . Biết
,
.
Cạnh bên
vuông góc với mặt đáy, gọi
là trung điểm của
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
A.

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có

.

Dễ thấy

,

Vậy

dựng
.

Xét tam giác vuông

có

Vậy
Câu 40.

.

.

.

[1H3-5.3-3] [1D3-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp
tam giác đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải

Chọn C.
Gọi

là trọng tâm tam giác

, khi đó

Ta có
Ta có

.
.

nên suy ra
.

D.

.


Gọi

là giao điểm của

Kẻ

, với

Từ

và

Vì

với

, khi đó

, nên suy ra

. Từ

.

.

suy ra

, do đó

nên

.

.

Ta có

,

.

.

Vậy

Câu 40.

.

[1H3-5.3-3] [1D3-2] (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp
tam giác đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Gọi

là trọng tâm tam giác

, khi đó

Ta có

.
.

Ta có

nên suy ra
.

Gọi

là giao điểm của

với

, khi đó

, nên suy ra

.


Kẻ

, với

Từ

và

Vì

. Từ

.

suy ra

, do đó

nên

.

.

Ta có

,

.

.

Vậy

.

Câu 37. [1H3-5.3-3] (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lập
phương

có cạnh bằng

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A.

Gọi

,

lần lượt là tâm của hình vuông

và

.

.


Ta có

.

Dựng

, ta có

.

.
.
Xét

vuông tại

có

là đường cao.
.

Câu 40.

[1H3-5.3-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình
chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Hình chiếu vuông góc của
trên

là điểm

thuộc cạnh đáy

sao cho

. Tính khoảng cách từ

đến

.

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C.

Vẽ
,

vuông cân cho ta

.

Câu 32. [1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam
giác đều
có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng
. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Gọi

là trọng tâm tam giác

. Do hình chóp

đều nên

;
.
Câu 32. [1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tam
giác đều
có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng
. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải

Gọi

là trọng tâm tam giác

. Do hình chóp

đều nên

.


;
.
Câu 20.

[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho
hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, tam giác
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm
A.

.

B.

.

C.

đến mặt phẳng

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn B.

Gọi trung điểm của

là

Theo giả thiết tam giác

. Suy ra

. Do đó

đều nên

Do đó

,

nên

.

.

.

Câu 48. [1H3-5.3-3] (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018)
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Tam giác
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
và mặt phẳng

A.

.

bằng

B.

. Biết
. Tính khoảng cách

.

C.
Lời giải

Chọn B.

và góc tạo bởi đường thẳng
từ điểm

.

đến mặt phẳng

D.

.

.


Ta có

,

,

góc tạo bởi đường thẳng

.

và mặt phẳng
. Vẽ

là góc
tại

Ta có

,

.
tại

,

.

Đặt

,
,

. Ta có phương trình
,

,

.

Ta có

.
.

Câu 32. [1H3-5.3-3] (CỤM 5 CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG NĂM 2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng
. Gọi

là trung điểm của

. Tính theo

và mặt phẳng

khoảng cách

từ điểm

bằng
đến mặt phẳng

.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D.

.

D.

.


,

,

,

Gọi

là trung điểm

Gọi

là giao điểm của

Vẽ

tại

Vẽ

tại

,

.
.

và

. Theo Talet

.
.

.
Góc giữa

và

là góc

Ta có

vuông cân

.

.

Vậy

.

Câu 28. [1H3-5.3-3] (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 –
2018)Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại ,
. Biết
vuông
góc với đáy

A.

.

(Hình tham khảo). Khoảng cách từ điểm

B.

.

C.

Lời giải

Chọn C.

.

đến mặt phẳng

D.

bằng

.


Ta có:

. Gọi

là trung điểm

.

Ta có:

.

Câu 38. [1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 –
2018) Cho hình hộp chữ nhật

Gọi

là trung điểm cạnh

có

,

. Tính khoảng cách

từ điểm

,

.
đến mặt

phẳng
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Gọi

là trung điểm của

.

Kẻ
Ta có tam giác

Mặt khác gọi

vuông cân tại

là giao điểm của

nên

và

.

.
 Chú ý: Có thể giải nhanh bằng phương pháp tọa độ bằng cách chọn

,

,

,

.


Câu 32:
[1H3-5.3-3] (ĐHQG TPHCM – Cơ Sở 2 – năm 2017 – 2018) Cho hình
thoi
tâm
cạnh
và
. Từ trung điểm
của
, dựng
với
A.

. Khoảng cách từ

.

B.

.

đến mặt phẳng

C.

.

bằng

D.

.

Lời giải
Chọn B.

Dựng

;

Trong

;

mặt

.

phẳng

,

dựng

.
Ta có:

.
;

Vậy khoảng cách từ
Câu 28:

.
đến mặt phẳng

bằng

.

[1H3-5.3-3] (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018)
có đáy

giác đều cạnh

là tam giác vuông tại

,

từ điểm

đến mặt phẳng

A.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn B.

, tam giác

là tam

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính khoảng cách
.

Cho hình chóp

.
.

D.

.

Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
trên
.
Khi đó :
.
Do tam giác
đều nên
.
Lại do
nên
.
Ta có :

,

. Gọi

là hình chiếu của




.

Suy ra
Mặt khác, ta có :

.



.



.



.

Suy ra

.

Câu 25:
[1H3-5.3-3] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5
năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương
cạnh . Gọi ,
lần
lượt là trung điểm của
và
. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng
và
A.

.
.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn C.

Ta có:

.

.
Kẻ

.

.

D.

.