KHOANG CACH TU 1 DIEM DEN MAT PHANG

Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
- NĂM 2017 -

CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
(Phương pháp, ví dụ có giải chi tiết + bài tập luyện tập)

Thông tin học sinh
HỌ VÀ TÊN:
MÃ HỌC SINH:
LỚP:
TRƯỜNG:

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

1


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
DẠNG 1: DỰNG HÌNH CHIẾU VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
PHƢƠNG PHÁP CHUNG

(P)

*) Quy trình tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (α)

O

Bước 1: Tìm một mặt phẳng (P)  d
với d là đường thẳng nằm trong ( )
Bước 2: Tìm   ( P)  ( )
Bước 3: Từ O kẻ OH  
thì H là hình chiếu của O trên ( ) .

H

Khi đó, d(O;(α)) = OH
*) Tính OH

d

(α)

Dùng công thức diện tích, các hệ thức lượng trong tam giác, tam giác đồng dạng để tính OH
Với mỗi dạng bài ta lại có quy trình dựng cụ thể hơn mà chúng ta sẽ tìm hiểu dưới đây
Dạng 1.1. Khoảng cách từ O đến (α) chứa đƣờng cao hình chóp

( )  đáy
Bước
1:  THỨC
A – KIẾN
CHUNG
*) Dựng hình chiếu OH

SI: đường cao

S

( ) : ( SIB)

Bước 1:   ( )  đáy
Bước 2: Kẻ OH   .
Chứng minh OH  ( )  d (O;( ))  OH
*) Tính OH

Δ
A
B

Dạng này thường tính qua diện tích tam giác.
H
I
O
C
D

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

2


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
B – VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = 2a;
BC =

3a

; AD =3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của BD.
2

Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Giải:

S

*) Dựng hình chiếu CH

SI: đường cao

( ) : ( SBD) ;  : BD

Kẻ CH  BD, ( H  BD)
Ta có: SI  ( ABCD)  SI  CH (1)
Mà, CH  BD (2)
Từ

(1)

và

(2)

suy

ra, A

D

CH  (SBD)  d(C;(SBD)) = CH
*) Tính CH

I

Ta tính CH qua diện tích tam giác BCD.
SBCD 

H

1
1
AB.BC  BD.CH
2
2

 CH 

AB.BC
BD

.

Trong

đó :

B

BD  AB2  AD2  (2a)2  (3a)2  13a2  a 13 ; BC 

C

3a
2

3a
2  3a
 CH 
a 13
13
2a.

Vậy, d(C;(SBD)) =

3a
13

C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu
vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600 . Tính
khoảng cách
a. Từ B đến (SAM)
b. Từ C đến (SAH).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB = a 3 ; AC = a. Gọi I là điểm
1
2

trên BC sao cho BI  IC và H là trung điểm của AI. Biết rằng SH  ( ABC ) và góc giữa mặt phẳng

(SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách:
a. Từ B đến (SHC)
b. Từ C đến (SAI).
Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

3


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
Dạng 2 : Khoảng cách từ O chân đƣờng cao đến mặt phẳng (α) chứa cạnh trong mặt đáy
A – KIẾN THỨC CHUNG
*) Dựng hình chiếu OH
Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P)
qua O và vuông góc với CD bằng

S

SO: đường cao

( ) :( SCD); ( P) : ( SOM )
 :SM

cách kẻ từ S hoặc từ O đường vuông góc với CD.
Khi đó, (P) là (SOM)

Δ

d

Bước 2 :   (SOM )  (SCD)
Chứng minh OH  ( )  d (O;( ))  OH

A

D
H

*) Tính OH

O

Dạng này thường dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

M

C

B – VÍ DỤ
B

Ví dụ 1 : (Đề thi thử trường THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho
BH=2AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 60 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(SCD).

SH: đường cao

Giải :
*) Dựng hình chiếu HI

( ) :( SCD); ( P) : ( SHK )
 :SK

S

Kẻ HK  CD ( K  CD)
Ta có : SH  ( ABCD)  SH  CD
I

Mà HK  CD  (SHK )  CD
Kẻ HI  SK ( I  HK ) (1) CD  (SHK )  CD  HI (2)
Từ (1) và (2) suy ra HI  (SCD)  d ( H ;(SCD))  HI
*) Tính HI

2
a 13
Ta có : BH = 2AH  BH  a  CH 
3
3

B
a 39
1
1
1
a 13
SH 

. Ta có :



HI

3
4
HI 2 SH 2 SK 2

D

A
K

H
60°

C

a 13
4
Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

Vậy, d ( H ;( SCD)) 

4

Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB.
HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng
SA và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA  ( ABCD) , SC hợp với mặt
phẳng ( ABCD) một góc  với tan  

4
, AB=3a, BC=4a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
5

phẳng (SBC).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, BAD  60o . Gọi
H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 45 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
DẠNG 2 : DỜI ĐIỂM VÀ DỰNG KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP
A – KIẾN THỨC CHUNG
Trong một số trường hợp việc dựng khoảng cách trực tiếp từ O trở nên khó khăn. Do đó, ta có thể
dùng tính chất về tỉ số khoảng cách để dời khoảng cách từ O về khoảng cách từ điểm M đơn giản hơn
(về dạng 1.1 và 1.2 ở trên). Cụ thể :
*) Tính chất
- Nếu OM cắt mặt phẳng ( ) tại I thì ta có :

d (O;( )) OI

d ( M ;( )) MI

- Nếu OM / /( ) thì d (O;( ))  d (M ;( ))
*) Chú ý : Một số bài phức tạp có thể phải dời đến 2 lần

O

để việc tính tỉ số đơn giản hơn
O

M

M

I

(α)

(α)

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

5


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
B – VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 3 , hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB với O là tâm đáy. Biết góc giữa SC và
mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tínhkhoảng cách từ B đến (SAC).
Dời B về H

Giải : Thay vì dựng khoảng cách từ B đến (SAC) ta sẽ
dựng khoảng cách từ H đến (SAC) (theo dạng 1.2)

SH: đường cao

S

( ) :(SAC ); ( P) : ( SHK )
 :SK

*) Dựng khoảng cách HI
Kẻ HK  AC ( K  AC )
Ta có : SH  ( ABCD)  SH  AC
Mà HK  AC  (SHK )  AC
Kẻ HI  SK ( I  HK ) (1)
I

AC  (SHK )  AC  HI (2)

A
K

Từ (1) và (2) suy ra HI  (SAC )
 d ( H ;(SAC ))  HI

O
H

*) Tính HI
Theo công thức trung tuyến tính được :
HC 2 

60°

B

C

CO 2  BC 2 OB 2 7a 2
a 7
a 21


 HC 
 SH 
2
4
4
2
2

a 3
a 3
 HK 
Kẻ BM  AC (M  AC )  BM 
2
4
1

D

1

1

A

D
M
K

128

a 42



 HI 
2
2
2
2
16
HI
HK
SH
21a

O
H

 d ( H ;( SAC )) 

a 42
16

B

C

*) Tính khoảng cách từ B
Ta có : BH  (SAC) = O 
Vậy, d ( B;( SAC )) 

d(B;(SAC)) BO
a 42
=
= 2  d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) =
d(H;(SAC)) HO
8

a 42
8

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

6


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: (Đề thi thử THPT Bình Minh-Ninh Bình 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, BAD  60 . Gọi H là
trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
bằng 45 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2 (Đề thi thử THPT Chuyên Hùng Vương 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA  ( ABCD) ;
cạnh bên SC tạo với đáy góc  với tan  

2
. Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của DM
5

và AC, H là hình chiếu của A trên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDM).
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD)
và SA = a 3 . O là tâm hình vuông ABCD.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)
b. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 4: (Đề thi thử THPT Đông Du – ĐăkLăk 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông với đáy, SC
tạo với đáy một góc 45o và SC  2a 2 . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

7


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
DẠNG 3 : TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỂ TÍCH
A – KIẾN THỨC CHUNG

Trong một số trường hợp ngoài việc dừng hình chiếu hoặc dời điểm ta có thể tính khoảng cách thông

1
3V
qua công thức thể tích : V  S .h  h 
. Cụ thể :
3
S

S

Bước 1: Tính thể tích hình chóp S.OAB ( Chọn đỉnh là S;A hoặc B).
Bước 2: Tính diện tích của tam giác SAB
+) Phát hiện tam giác đặc biệt để tính diện tích đơn giản hơn
+) Nếu tam giác thường thì sử dụng hệ thức Herong :

SΔSAB = p(p - SA)(p - SB)(p - AB) với p =

SA + SB + AB
.
2

B

O

3V
1
VS.MAB = .d(M;(SAB)) .SΔSAB  d(M;(SAB)) = S.MAB
3

SΔSAB

Bước 3:
B-VÍ DỤ

A

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA vuông góc với đáy; BAD  120 ;

SA 

a 3
. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
2

Giải: +) Ta có ABC là tam giác đều cạnh a ( Vì AB = BC; BAC  60 )
+) SBCD 

S

1
1
3 2
S ABCD  .2.SABC 
a
2
2
4

+) Tính VS . BCD có h = SA =

a 3
2

1
1 3 2 a 3 a3
VS . BCD  .SBCD .SA  .
a.

3
3 4
2
8
+) Tính SSBC

A

D

2

a 3
a 7
2
BC  a; SB  SA2  AB 2  
 a 
2
 2 
2

a 3
a 7
2
SC  SA  AC  
 a 
2
 2 
2

2

 d(D;(SBC)) =

3VS.BCD
S ΔSBC

Vậy, d ( D;( SBC )) 

B

C

a3
a 6
= 2 8 =
4
a 6
4
3.

a 6
4

Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

8


Chúc các em học tốt và vui vẻ cùng Love MATH  
C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: (Đại học khối A;A1_2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD 

3a
. Hình chiếu vuông góc của S lên đáy
2

là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 2: (Đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần 1)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Biết SA vuông với đáy, SC hợp với mặt
phẳng đáy góc  với tan  

4
, AB = 3a, BC = 4a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
5

(SBC)
Bài 3: (Đại học khối D_2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC)

vuông góc với (ABC). Biết SB  2a 3; SBC  30 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(SAC) theo a.

Trên đây, Love MATH vừa giới thiệu đến các em học sinh những phương
pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình chóp. Với
khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (không vuông góc) ta cũng quy về
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và thực hiện một trong các cách giải trên.
Hi vọng đây là tài liệu bổ ích cho các em ôn thi THPT Quốc gia và các em
học sinh lớp 11. Thời gian tới, Love MATH sẽ ra mắt những bộ tài liệu chi tiết
và hấp dẫn hơn nữa. Để nhận bài giảng, tài liệu và để được tư vấn, giải đáp
thắc mắc mời các bạn truy cập fanpage :
hoặc
/>
Lớp học Love MATH – 0914.491.364 – 01666.439.718
Địa chỉ: Số 3 – Ngõ 4A – Đường Trần Quang Diệu – P. Trường Thi – TP Vinh

9