D03 phương trình mặt cầu (xác định tâm, bán kính, viết PT mặt cầu đơn giản, vị trí tương đối hai mặt cầu, điểm đến mặt cầu, đơn giản) muc do 4

Câu 48: [2H3-1.3-4] (TOAN HỌC TUỔI TRẺ 484-10/2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho mặt cầu

có bán kính

và mặt phẳng

đường thẳng

Trong các số

đây, số nào thỏa mãn

đồng thời tâm

theo thứ tự dưới

của

thuộc đường thẳng

và

tiếp xúc với mặt phẳng
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A.
Ta có
Do

tiếp xúc với

Mặt khác

nên

có tâm

bán kính

Xét khi
Do

nên ta loại trường hợp này.

Xét khi
Do
Câu 49:

nên thỏa.
[2H3-1.3-4] (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Trong

mặt phẳng tọa độ
. Gọi

. Biết rằng

đó có bán kính

,

là tập hợp tất cả các điểm

đẳng thức

A.

, cho bốn điểm

,

,

trong không gian thỏa mãn
là một đường tròn, đường tròn

bằng bao nhiêu?

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A.
Gọi

là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có
,

Từ giả thiết:

,

,

.


Suy ra quỹ tích điểm

là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm

và mặt cầu tâm

Ta có:

,

,

.

.

Dễ thấy:

.

Câu 49. [2H3-1.3-4] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với
hệ tọa độ

, cho hai điểm

,

. Gọi

và

là tâm của

hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung
luôn có một mặt cầu
A.

đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính

.

B.

.

C.

.

của

. Biết rằng
.

D.

.

Lời giải
Chọn C.

Gọi

là đường thẳng đi qua

và vuông góc với mặt phẳng

mặt cầu đi qua đường tròn tâm
, khi đó

là đường thẳng đi qua

chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm

cả hai đường tròn tâm
Ta có

;

và

có tâm

,

là giao điểm của

. Đường thẳng
.

, khi đó

chứa tâm các

và vuông góc với mặt phẳng
. Do đó, mặt cầu

và

và bán kính

có véc-tơ pháp tuyến là

đi qua


Phương trình đường thẳng
Ta có

là

.

,

. Đường thẳng

có véc-tơ pháp tuyến là

.
Phương trình đường thẳng

là

.

Xét hệ phương trình:

Bán kính mặt cầu

. Suy ra

.

là

.

Câu 43. [2H3-1.3-4] (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2017-2018)
Trong không gian

cho hai đường thẳng

,

cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng
A.

.

B.

.

C.

. Gọi

và

là mặt

. Bán kính mặt cầu

.

D.

.

.

Lời giải
Chọn B.
,

.

Ta có
VTCP của đường thẳng

là

VTCP củả đường thẳng

là

.
.

Ta có
. Suy ra

.

Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng
dài đoạn

nên có bán kính

và

có đường kính bằng độ

.

Câu 45. [2H3-1.3-4] (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018)
Trong không gian tọa độ

, cho các điểm

. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều

,
điểm trên?

,

,

,


A. .

B.

.

C.

.

D. Không tồn tại.

Lời giải
Chọn C.
Ta có

,

Ta lại có

,

. Suy ra

là hình bình hành.

,

là hình chóp đáy là hình bình hành nên các mặt phẳng cách đều
+ Mặt phẳng qua trung điểm của cạnh bên.
+ Mặt phẳng qua trung điểm lần lượt của
,
.

Câu 46.

+ Mặt phẳng qua
+ Mặt phẳng qua

trung điểm lần lượt của
trung điểm lần lượt của

,
,

.
.

+ Mặt phẳng qua

trung điểm lần lượt của

,

.

điểm là

[2H3-1.3-4] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa
độ

, cho đường thẳng

đường thẳng

và điểm

sao cho mặt phẳng

. Hai điểm

vuông góc với mặt phẳng
. Biết rằng quỹ tích các điểm

A.

C.

B.

.

.

di động trên

Gọi điểm

chiếu vuông góc của điểm
lên đường thẳng
định, tính bán kính đường tròn này.
.

,

D.

là hình

là đường tròn cố
.

Lời giải
Chọn D.
+ Ta có: một véctơ chỉ phương của đường thẳng
+ Gọi

là hình chiếu của
. Do

+ Suy ra

là

. Suy ra

trên đường thẳng
nên
và

.
nên

.

Do đó ta có:
Vậy

thuộc mặt cầu

.
đường kính

.

.


+ Gọi

là trung điểm

Phương trình mặt cầu
+ Mặt khác

. Mặt phẳng

có một véctơ pháp tuyến là

.
Phương trình mặt phẳng

+ Vậy

:

.

thuộc đường tròn cố định là đường tròn

có bán kính
Câu 47.

, giao tuyến của mặt cầu

, với

và

và

.

.

[2H3-1.3-4] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa
độ

, cho điểm
;

thuộc mặt cầu
. Biết rằng quỹ tích các điểm

tròn cố định, tính bán kính

A.

và ba điểm

.

thỏa mãn

,
là đường

đường tròn này.

B.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Mặt cầu
Gọi

có tâm

, bán kính

.

ta được
.
.

Ta có:

.
.

Suy ra
Nên

thuộc mặt cầu

tâm

là đường tròn

, bán kính
có tâm

.

là trung điểm của đoạn

(do

).


Vậy bán kính của đường tròn
Câu 47:

:

.

[2H3-1.3-4] (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ-LẦN 2-2018) Trong không

gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

. Có tất cả bao

nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình
là phương trình của một mặt cầu
sao cho qua hai điểm

,

có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu

đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng .
A. .

B.

.

C. .
Lời giải

Chọn D.
Đặt
Ta có
,
,
,
là phương trình mặt cầu

D.

.

.
khi
.

mặt cầu

có tâm

TH1:
là
thẳng hàng.

và

, bán kính

.

có bán kính

và

,
TH2:
Gọi

cách

,

,

,

không

.
một khoảng lớn nhất, đồng thời

là hình chiếu của

lên
,

và

, ta có

.


Ta có
Vậy có hai giá trị của
Câu 40:

thỏa ycbt.

[2H3-1.3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ

vaf và hai điểm

điểm

,

và tiếp xúc với

,

A.

.

B.

. Mặt cầu

tại điểm

đường tròn cố định. Tính bán kính

cho mặt phẳng

. Biết rằng

đi qua hai
luôn thuộc một

của đường tròn đó.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Ta có VTPT của

là

suy ra

.
.

,

.

Gọi
Ta có

.

Vậy

nằm trên đường tròn

cố định trên mặt phẳng

và có bán kính

.
Câu 45: [2H3-1.3-4] (THPT HỒNG LĨNH HÀ TĨNH-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt cầu

có tâm

ngoại tiếp hình chóp đều

. Khoảng cách từ
A.

.

B.

đến mặt phẳng
.

Chọn D.

, đỉnh

bằng:
C. .

Lời giải

,

,

D. .


Ta có
Tam giác

.
và tam giác

đồng dạng có:

.