D07 vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng, giữa mặt cầu và mặt phẳng muc do 3

Câu 43:

[2H3-2.7-3] (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017Trong

2018)

không

gian

,

. Mặt cầu
điểm

và gốc tọa độ

trình mặt cầu

cho

có tâm

điểm

,

mặt

nằm trên mặt phẳng

sao cho chu vi tam giác

phẳng
, đi qua

bằng

. Phương

là

A.

và

B.

và

C.

và

D.

và

.
.
.

.
Lời giải

Chọn D.
Giả sử

.

có

và tâm

qua

và

nên

.

Cộng vế theo vế

và

Chu vi tam giác

bằng

ta suy ra

. Từ đó, suy ra

.

nên
.

+ Với

. Do đó

+ Với

. Do đó

Câu 28: [2H3-2.7-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018)Trong không gian tọa
độ

, cho mặt cầu

và mặt phẳng
. Mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là một đường tròn có

bán kính là:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C.
Mặt cầu

có tâm

Khoảng cách từ
Mặt phẳng

đến mặt phẳng
cắt mặt cầu

bán kính

.

là

.

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:

.
Câu 28: [2H3-2.7-3] (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018)
Trong không gian với hệ trục

, cho mặt cầu

có tâm

và mặt phẳng


. Biết mặt phẳng
tròn có diện tích là

cắt mặt cầu

.Viết phương trình mặt cầu

A.

.

B.

C.

.

D.

theo giao tuyến là một đường

.
.

Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Ta có
Gọi
là đường tròn giao tuyến có bán kính
Vì
Mà

.
.

Vậy phương trình mặt cầu tâm

Câu 6.

.

và bán kính

.

[2H3-2.7-3] (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Trong không gian
. Mặt phẳng

đi qua

là trực tâm tam giác
A.

và cắt các trục

. Viết phương trình mặt cầu tâm
.

B.

,

,

tại

,

, cho điểm
,

sao cho

và tiếp xúc với mặt phẳng

.
C.
Lời giải

.

D.

.
.

Chọn C.

Ta có

là trực tâm tam giác

Thật vậy:

.
(1)

Mà

(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

) (2)
(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**) suy ra
Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

.
tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính

.

là

.

Câu 39. [2H3-2.7-3] (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không
gian

với

hệ

tọa

độ

, cho hai

điểm

,

và mặt cầu


. Số mặt phẳng chứa hai điểm

,

và tiếp xúc với mặt cầu

là
A.

mặt phẳng.

B.

mặt phẳng.

C.
Lời giải

mặt phẳng..

D. Vô số mặt phẳng..

Chọn A.
Gọi phương trình mặt phẳng là

.

Theo đề bài, mặt phẳng qua

nên ta có:

. Vậy mặt phẳng
có tâm
Vì

và

tiếp xúc với

Suy ra

có dạng:

.

.
nên

.

.

Vậy phương trình mặt phẳng

.

Câu 46. [2H3-2.7-3] (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho mặt phẳng

và mặt cầu

bao nhiêu giá trị nguyên của
tròn
A.

để mặt phẳng

có chu vi bằng
.

,
. Có

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường

.
B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn C.
có tâm
Gọi

và bán kính

là hình chiếu của

lên

.
.

Khi đó

.

Đường tròn

có chu vi là

cắt mặt cầu

nên có bán kính là

theo giao tuyến là đường tròn

.
có chu vi bằng
.

Vậy có

giá trị nguyên của

thỏa mãn.

Câu 49. [2H3-2.7-3] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Biết rằng có
mặt phẳng có phương trình tương ứng là
(nhưng không đi qua
sao cho hình chóp
A.
.
Chọn D.

B.

) và cắt các trục tọa độ

là hình chóp đều. Tính tổng
.
C.
.
Lời giải

đi qua
,

,

theo thứ tự tại
.
D.

.

,

,


Gọi

,

,

, với

(nhưng không đi qua
có dạng:
Vì

, khi đó phương trình mặt phẳng

) và cắt các trục tọa độ

,

,

đi qua

theo thứ tự tại

,

,

.

đi qua

nên

Hình chóp

.

là hình chóp đều nên

.

Ta có các khả năng sau:
•

: thay vào

ta được

đề bài là

. Như vậy

•

: thay vào

•
•

;

•

;

;

•

;

•

;

ta được

(vô lí).

: thay vào

ta được

(vô lí).

ta được

, phương trình mặt phẳng

. Như vậy

.

: thay vào

ta được

(loại).

: thay vào

ta được

(loại).

: thay vào

ta được

thỏa mãn đề bài là
Như vậy, chỉ có

(loại).

: thay vào

: thay vào

thỏa mãn

.

ta được

thỏa mãn đề bài là
•

, phương trình mặt phẳng

, phương trình mặt phẳng

. Như vậy

.

mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

.

Câu 30. [2H3-2.7-3] (CỤM 5 CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG NĂM 2018) Trong không
gian với hệ trục tọa độ
Biết

rằng

, cho ba điểm
đi

qua

,

điểm

và

. Tính
A.

.

B.

,

.

tiếp

xúc

với

.
C.

.

D.

Lời giải
Chọn D.
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng

là

Vì điểm

nên

thuộc mặt phẳng

với

.

.

.
mặt

cầu


Mặt khác mặt phẳng

tiếp xúc với

khoảng cách từ tâm

của cầu tới mặt phẳng

là

mà

.

Câu 42. [2H3-2.7-3] Trong không gian

, cho hai điểm

,

. Viết

phương trình mặt cầu có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
và tiếp xúc với mặt phẳng

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B.
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác
tiếp, ta có
Ta có

, với

.
với

,

,

,

.

có phương trình

”.
.

.

Mặt phẳng

là tâm đường tròn nội

.


Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

nên mặt cầu có bán kính

.
Vậy phương trình mặt cầu là
Câu 32:

.

[2H3-2.7-3] (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Trong không gian

với hệ tọa độ

cho các mặt cầu

lượt có tâm là các điểm

,

,

,

,

tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu
A.

.

B.

có bán kính

.

và lần

. Gọi

là mặt cầu

có bán kính nhỏ nhất là

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.

Ta có

,

trung điểm của

,

nên tam giác

, khi đó

vuông tại

. Do đó mặt cầu

đề bài là mặt cầu có bán kính

và mặt cầu
,

A.

C. .
Lời giải

B.

.

thỏa mãn

, cho hai điểm
. Hỏi có tất cả bao

nhiêu mặt phẳng chứa hai điểm
.

là

.

Câu 43: [2H3-2.7-3] (Sở GD&ĐT Bình Phước) Trong không gian
,

. Gọi

và tiếp xúc với

.
D.

.

Chọn C.
Có:
Gọi

Ta có

.
là mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
nếu tồn tại
Ta thấy

thì

tiếp xúc với

tại

.

duy nhất một mặt phẳng thỏa

mãn bài toán.
Ghi chú : Bài toán này thường thường thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn,
nhưng với số liệu của bài này thì chỉ có một mặt phẳng thỏa mãn bài toán.


Câu 47:
[2H3-2.7-3] (CHUYÊN ĐH VINH-2018) Trong không gian
các điểm , ,
(không trùng ) lần lượt thay đổi trên các trục
và luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác
tích khối tứ diện

bằng

Biết rằng mặt phẳng

cho
,
,
và thể

luôn tiếp xúc

với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.

Ta có
Mà

nên

.

Vậy mặt phẳng

luôn tiếp xúc mặt cầu tâm

, bán kính

.

Câu 41: [2H3-2.7-3] (CHUYÊN HẠ LONG-LẦN 2-2018) Trong không gian
, cho ba điểm
,
và
. Biết mặt phẳng qua ,
và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
A.

có một vectơ pháp tuyến là
.
B. .

. Tổng
là:
C. .
Hướng dẫn giải

Chọn B.
Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
Ta có phương trình

:

.

.

.

Phương trình mặt phẳng
Tâm

là

D.

:

cách đều hai mặt phẳng

.
và

suy ra:
.

Nhận xét: hai điểm
Hai điểm

và

và

nằm về cùng phía với

nằm về khác phía

Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là

nên loại

nên nhận
thì

.

.
,

.Vậy

.

Câu 22: [2H3-2.7-3] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA-LẦN 2-2018) Trong không gian với hệ
trục tọa độ

cho mặt cầu

, mặt phẳng


. Gọi
vecto

và

là mặt phẳng vuông góc với

tiếp xúc với

song song với giá của

. Lập phương trình mặt phẳng

A.

và

.

B.

C.

và

. D.
Lời giải

.

và

.

và

.

Chọn C
có tâm

và bán kính

Suy ra VTPT của
Do đó

. Véc tơ pháp tuyến của

là

.

.

có dạng:

Mặt khác

là

.

tiếp xúc với

nên

Hay

.

Vậy PTMP

:

Câu 41: [2H3-2.7-3] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA-LẦN 2-2018) Trong không gian với hệ
tọa độ

, cho mặt cầu
. Gọi

cầu

và các điểm

là mặt phẳng đi qua hai điểm

,

có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình

Tính
A. .

,

sao cho thiết diện của

với mặt

dưới dạng

.

.
B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Mặt cầu có tâm
Ta có ,
thiết diện.

bán kính là

nằm trong mặt cầu. Gọi

Ta có diện tích thiết diện bằng
lớn nhất. Mà

suy ra

.
là hình chiếu của

trên

và

là hình chiếu của

. Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi
qua

và vuông góc với

.

lên


Ta có

suy ra

là trung điểm của

. Vậy

Vậy

.

.

Vậy

Câu 43:

và

.

[2H3-2.7-3] (TH TUỔI TRẺ SỐ 6-2018) Trong không gian với hệ trục

tọa độ

, cho mặt phẳng

và mặt cầu
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường tròn

để mặt

có chu vi bằng

.
A.

.

B.

.

C. .
Lời giải

D. .

Chọn C.
có tâm
Gọi

và bán kính

là hình chiếu của

lên

.
.

Khi đó

.

Đường tròn

có chu vi là

cắt mặt cầu

nên có bán kính là

theo giao tuyến là đường tròn

.
có chu vi bằng
.

Vậy có

giá trị nguyên của

thỏa mãn.

Câu 41: [2H3-2.7-3] (SGD Đồng Tháp - HK2 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
phẳng

, mặt phẳng

số thực
A.

để hai mặt phẳng
.

B.

,

chứa trục

, cho mặt

và qua điểm

. Tìm

vuông góc.
.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D.
Ta có :

,

.Mặt phẳng

qua điểm

có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng

có vecto pháp tuyến

và chứa trục

.
.
.

Câu 30: [2H3-2.7-3] (THPT KINH MÔN -LẦN 2-2018) Trong không gian
,

. Gọi

cho các mặt phẳng

là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành,

đồng thời

cắt mặt phẳng

cắt mặt phẳng

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng

cho chỉ có đúng một mặt cầu
A.

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng

.

. Xác định

và
sao

thỏa yêu cầu.

B.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi

là tâm mặt cầu có bán kính

. Ta có

,

,

là các khoảng cách từ

đến

và

và

Theo đề ta có
.
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình

có đúng một nghiệm m

.
Câu 30: [2H3-2.7-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-LẦN 5-2018) Trong không gian
. Mặt phẳng
là trực tâm tam giác
A.

đi qua

và cắt các trục

. Viết phương trình mặt cầu tâm
.

B.

.

C.

Chọn C.

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
(1)
Mà

(vì

Từ (1) và (2) suy ra

là trực tâm tam giác

) (2)
(*)

,

tại

,

,

sao cho

và tiếp xúc với mặt phẳng
.

Hướng dẫn giải

Ta có

,

, cho điểm

D.

.
.


Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**) suy ra
Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

.
tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính
là

.
.