chuyên đề ứng dụng của tích phân Câu hỏi vận dụng cao có giải chi tiết

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Phần 1. Áp dụng công thức…………………………………………………………
Phần 2. Đồ thị hàm f ( x ) ………………………………………………………………
Phần 3. Đồ thị hàm f ¢ ( x ) ……………………………………………………..…….
Phần 4. Diện tích hình phẳng …………………………………………….……
Phần 5. Thể tích khối tròn xoay …………………….……………………….
Phần 6. Bài toán vận tốc …………………….……………………………………..


Phần 1. Áp dụng công thức

Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [a; b ] và có
đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.

b

ò

f ¢ ( x ) dx là độ dài đoạn thẳng NM .

a

B.

b

ò

f ¢ ( x ) dx là độ dài đường cong AB.

a

C.

b

ò

f ¢ ( x ) dx là độ dài đoạn thẳng BP .

a

D.

b

ò

f ¢ ( x ) dx là diện tích hình thang cong ABMN .

a

Lời giải. Ta có

b

ò

f ¢ ( x ) dx = f ( x ) a = f (b ) - f (a ) = BM - MP = BP . Chọn C.

b

a

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [0;4 ] và có đồ thị như
hình bên. Tích phân

4

f ( x ) dx bằng

ò
0

A. 0.

B. 1.

C. 5.

D. 8.

Lời giải. Kí hiệu các điểm như trên hình vẽ.
Ta có:

4

ò
0

2

4

f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = S ABCO - SCDE .
0

2

Diện tích hình thang ABCO là: S ABCO =
Diện tích hình tam giác CDE là: SCDE =
Vậy

4

ò

2.(1 + 2)
2

= 3.

2.2
=2
2

f ( x ) dx = S ABCO - SCDE = 3 - 2 = 1. Chọn B.

0

Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [0;3] và có đồ thị
như hình bên. Biết

3

ò

f ( x ) dx = 2,3 và F ¢ ( x ) = f ( x ), "x Î [0;4 ].

1

Hiệu F (3) - F (0) bằng
A. 0,3.

B. 1,3.

C. 3,3.

D. 4,3.

Lời giải. Kí hiệu các điểm như trên hình vẽ. Ta có
3

ò
0

1

3

f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = S ABCO + 2,3 = 2 + 2,3 = 4,3.
0

1


3

Lại có

ò
0

3

3

f ( x ) dx = ò F ¢ ( x ) dx = F ( x ) 0 = F (3) - F (0).
0

Suy ra F (3) - F (0) = 4,3. Chọn D.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [-2;2 ] và có đồ thị
0

đối xứng qua gốc tọa độ như hình bên. Biết

ò

f ( x ) dx = 2. Tích

-2

phân

2

ò

f ( x ) dx bằng

0

A. -2.

B. 0.

C. 2.

D. 4.

Lời giải. Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua gốc tọa độ nên hàm số y = f ( x ) là
hàm số lẻ. Áp dụng tính chất hàm lẻ, ta có

2

ò

f ( x ) dx = 0.

-2

Mà

2

ò

-2

0

2

2

f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = 0. Suy ra
-2

ò

0

f ( x ) dx = -2. Chọn A.

0

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [-2;2 ] và có đồ thị
đối xứng qua trục tung như hình bên. Biết

2

ò

f ( x ) dx =

0

Tích phân

0

ò

12
.
5

f ( x ) dx bằng

-2

12
24
.
.
B.
5
5
5
.

C.
D. I = 0.
12
Lời giải. Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua trục tung nên hàm số y = f ( x ) là

A.

0

2

-2

0

hàm số chẵn. Áp dụng tính chất hàm chẵn, ta có ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx =
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [-3;5] và có đồ
thị như hình bên (phần cong của đồ thị là một phần của
Parabol y = ax + bx + c ). Tích phân
2

3

ò

f ( x ) dx bằng

-2

43

.
2
95
.
C.
6

A.

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra

53
.
3
97
.
D.
6

B.

12
. Chọn A.
5


3

0

1
3
ổ4
ửữ
97
ỗ
f ( x ) dx = ũ ỗ x + 4ữữ dx + ũ (4 - x ) dx + ũ (4 x - x 2 ) dx = . Chn D.
ỗố 3
ứ
6
-2
0
1

ũ

-2

Cõu 7. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm liờn tc trờn [1;4 ] v cú
th nh hỡnh bờn. Tớch phõn

4

ũ

f  ( x ) dx bng

1

B. 2.

A. 0.

C. 4.

D. 6.

Li gii. Da vo th ta thy:
f (1) = f (4 ) = 0; f (2) = 3.
Hm s y = f ( x ) ng bin trờn khong (1;2) v nghch bin trờn khong (2;4 )
ỡ
ùf
nờn suy ra ùớ
ù
ù
ợf

Do ú

 ( x ) > 0 khi 1 < x < 2
 ( x ) < 0 khi 2 < x < 4

4

ũ
1

2

.

4

2

4

1

2

f  ( x ) dx = ũ f  ( x ) d x - ũ f  ( x ) d x = f ( x ) - f ( x )
1

2

= f (2) - f (1) - ộở f (4 ) - f (2)ựỷ = 6. Chn D.
Cõu 8. Cho hm s y = f ( x ) liờn tc trờn v hm s
y = g ( x ) = x . f ( x 2 ) cú th trờn on [1;2 ] nh hỡnh v bờn.
5
Bit phn din tớch min c tụ mu l S = , giỏ tr ca tớch
2
4

phõn I = ũ f ( x ) dx bng
1

A.

5

.
4

5
.
2

B.

C. 5.

D. 10.

2

Li gii. Din tớch phn tụ mu l: S = ũ g ( x ) dx .
1

Theo gi thit S =

2

5
5
ũ x . f ( x 2 ) dx = .
2
2
1

ùỡ x = 1 t = 1

t t = x 2 ắắ
dt = 2 xdx . i cn: ù
.
ớ
ùùợ x = 2 t = 4
2
4
4
5
1
2
ũ f (t ) dt = 5 hay
Khi ú = ũ x . f ( x ) dx = ũ f (t ) dt ắắ
2
2
1
1
1

4

ũ

f ( x ) dx = 5. Chn C.

1

Cõu 9. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm liờn tc trờn [-1;2 ].
th ca hm s y = f  ( x ) c cho nh hỡnh bờn. Din tớch
cỏc hỡnh phng ( K ), ( H ) ln lt l

tớnh f (2 ).

8
5
19
v . Bit f (-1) = ,
12
12
3


2
A. f (2) = - .
3

2
B. f (2) = .
3

Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy:

C. f (2) =
2

ò

0

-1

2

Mặt khác:

ò

11
.
6
2

f ¢ ( x ) dx = ò f ¢ ( x ) d x + ò f ¢ ( x ) dx =
-1

0

2

f ¢ ( x ) dx = f ( x ) -1 = f (2) - f (-1) = f (2) -

-1

Từ đó suy ra f (2) -

D. f (2) = 3.
5 8
9
- =- .
12 3
4

19
.
12

19
9
9 19
2
= - ¾¾
 f (2) = - + = - . Chọn A.
12
4
4 12
3

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

[-2;4 ]. Đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ) được cho như hình
bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị
hàm số y = f ¢ ( x ) trên đoạn [-2;1] và [1;4 ] lần lượt bằng
9 và 12. Cho f (1) = 3. Tổng f (-2) + f (4 ) bằng

A. 2.

B. 3.

Lời giải. Theo giả thiết, ta có

C. 9.

1

ò

D. 21.
4

f ¢ ( x ) dx = -9 và

ò

-2

f ¢ ( x ) dx = -12.

1

1

•

ò

f ¢ ( x ) dx = -9  f (1) - f (-2) = -9  3 - f (-2) = -9 ¾¾
 f (-2) = 12.

-2

4

•

ò

f ¢ ( x ) dx = -12  f (4 ) - f (1) = -12  f (4 ) - 3 = -12 ¾¾
 f (4 ) = -9.

1

Vậy f (-2 ) + f (4 ) = 12 + (-9) = 3. Chọn B.

Phần 2. Đồ thị hàm f ( x ).
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có
đồ thị như hình bên. Giá trị của biểu thức
4

2

f ¢ ( x - 2 ) dx + ò f ¢ ( x + 2) dx bằng

ò
0

0

B. 2.

A. -2.
C. 6.

D. 10.

Lời giải. Ta có

4

ò

f ¢ ( x - 2 ) dx

ò

f ¢ (t ) dt và

2

2

ò

f ¢ ( x - 2 ) d x + ò f ¢ ( x + 2 ) dx =

ò

4
-2

0

2

ò

t = x +2

f ¢ ( x + 2 ) dx =

0

4

0

= f (t )

=

-2

0

Khi đó

t = x -2

2

-2

4

ò

f ¢ ( t ) dt .

2

4

4

f ¢ ( t ) dt + ò f ¢ (t ) dt = ò f ¢ ( t ) dt

= f (4 ) - f (-2) = 4 - (-2) = 6. Chọn C.

2

-2


Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục
trên [0;2 ] và có bảng biến thiên như hình bên.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để thỏa
mãn điều kiện

2

ò éë f ( x )- m ùû dx = 0

?

0

A. 11.

B. 12.

C. 13.

D. 14.

Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có
ì
max f ( x ) = 7
ï
2
2
2
2
ï
ï
x Î[0;2 ]
ï
 ò (-5) dx £ ò f ( x ) dx £ ò 7dx hay -10 £ ò f ( x ) dx £ 14.
í
ï
min f ( x ) =- 5
ï
0
0

0
0
ï
x Î[0;2 ]
ï
î
Từ giả thiết

2

ò
0

2

é f ( x ) - m ù dx = 0  2m = f ( x ) dx . Do đó để phương trình có nghiệm
ò
ë
û
0

 -10 £ 2m £ 14  -5 £ m £ 7 . Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn. Chọn C.
1
và
Câu 3. Cho hai hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx 2
g ( x ) = dx 2 + ex + 1 (a, b, c , d , e Î  ). Biết rằng đồ thị hàm số
y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt là -3; -1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn
bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

9
A. 4.
B. .
C. 5.
D. 8.
2
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f ( x ) và g ( x ) là
1
3
ax 3 + bx 2 + cx - = dx 2 + ex + 1  ax 3 + (b - d ) x 2 + (c - d ) x - = 0 (*).
2
2
Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm
3
là -3; -1; 1. Ta được a ( x + 3)( x + 1)( x -1) = ax 3 + (b - d ) x 2 + (c - d ) x - . Đồng nhất
2
3
1
hai vế ta suy ra -3a = -  a = .
2
2
1
1
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ò ( x + 3)( x + 1)( x - 1) dx = 4. Chọn A.
2
-3

Câu

4.

Cho

hai

hàm

số

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx - 1

và

1
(a, b, c , d , e Î  ). Biết rằng đồ thị hàm số
2
y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

g ( x ) = dx 2 + ex +

lượt -3; -1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi
hai đồ thị đã cho có diện tích bằng


A.

125
.
12

B.

253
.
12

C.

125
.
48

D.

253
.
48

1
Lời giải. Tương tự như bài trên ta được a = .
4
2
1
253
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ò ( x + 3)( x + 1)( x - 2 ) dx =
. Chọn D.
4
48
-3

Câu

5.

Cho

hai

hàm

số

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx - 2

và

g ( x ) = dx 2 + ex + 2 (a, b, c , d , e Î  ). Biết rằng đồ thị hàm số
y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt

là -2; -1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị đã cho có diện tích bằng
9
13
A. .
B.
.
2
2

37

.
6

C.

D.

37
.
12

Lời giải. Tương tự như bài trên ta được a = 2.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

1

ò

2 ( x + 2)( x + 1)( x - 1) dx =

-2

Câu 6. Cho hai hàm số

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx +

3
4

37

. Chọn C.
6

và

3
(a, b, c , d , e Î  ). Biết rằng đồ thị hàm số
4
y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

g ( x ) = dx 2 + ex -

lượt là -2; 1; 3 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn
bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
125
253
A.
B.
.
.
24
24

C.

125
.
48

D.

253
.
48

1
Lời giải. Tương tự như bài trên ta được a = .
4
3
1
253
. Chọn D.
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là ò ( x + 2 )( x -1)( x - 3) dx =
4
48
-2

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục
trên đoạn [-5;3] và có đồ thị như hình vẽ. Biết
rằng diện tích hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn bởi
đồ

thị

hàm

số

y = f (x )

và

đường

cong

y = g ( x ) = ax 2 + bx + c lần lượt là m, n, p.

Tích phân

3

ò

f ( x ) dx bằng

-5

A. m - n + p -

208
.
45

B. m - n + p +

208
.
45

C. -m + n - p -

208
.
45

D. -m + n - p +

208
.
45

Li gii. th hm y = g ( x ) = ax 2 + bx + c i qua cỏc im O (0;0), A (-2;0), B (3;2 )
2 2 4
x + x.
15
15
Da vo th, ta cú

nờn suy ra g ( x ) =

-2

m-n + p = ũ

-5

0

3

-2

0

ộ f ( x ) - g ( x )ự dx - ộ g ( x ) - f ( x )ự dx + ộ f ( x ) - g ( x )ự dx
ũở
ũở
ở
ỷ
ỷ
ỷ

3

3

= ũ f ( x ) dx - ũ g ( x ) dx .
-5

-5

3

3

-5

-5

Suy ra ũ f ( x ) dx = m - n + p + ũ g ( x ) dx = m - n + p +

208
. Chn B.
45

Cõu 8. Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh v liờn tc
trờn on [-3;3] v cú th nh hỡnh v. Bit rng
din tớch hỡnh phng S1 , S2 gii hn bi th hm
s y = f ( x ) v ng thng y = -x -1 ln lt l
M ; m. Tớch phõn

3

ũ

f ( x ) dx bng

-3

A. 6 + m - M .

B. 6 - m - M .

C. M - m + 6.

D. m - M - 6.
1

1

-3

-3

1

1

Li gii. Ta cú M = ũ ộở-x -1 - f ( x )ựỷ dx = ũ (-x -1) dx - ũ f ( x ) dx = 0 - ũ f ( x ) dx ;
3

-3

3

-3

3

3

1

1

m = ũ ộở f ( x ) - (-x -1)ựỷ dx = ũ f ( x ) dx + ũ ( x + 1) dx = ũ f ( x ) dx + 6.
1

1

3

1

3

1

-3

-3

Suy ra m - M = ũ f ( x ) dx + 6 + ũ f ( x ) dx = 6 + ũ f ( x ) dx .
Suy ra

3

ũ

f ( x ) dx = m - M - 6. Chn D.

-3

Cõu 9. Cho hm s y = f ( x ) cú o hm liờn tc trờn
1

v cú th nh hỡnh bờn. t K = ũ x . f ( x ). f  ( x ) dx ,
0

khi ú K thuc khong no sau õy?
A. (-3; - 2 ).

ổ
3ử
B. ỗỗ-2;- ữữữ.
ỗố
2ứ

ổ 3 2ử
C. ỗỗ- ;- ữữữ.
ỗố 2 3 ứ

ổ 2 ử
D. ỗỗ- ;0ữữữ.
ỗố 3 ứ


ïìïdu = dx
ìu = x
ï
ï
2
 ïí
.
Lời giải. Đặt í
ïïdv = f ( x ). f ¢ ( x ) dx ïïv = f ( x )
î
ïïî

2
1

Khi đó K = ò
0

1

1
1
x f 2 (x )
1
1 1
2
¢
x . f ( x ). f ( x ) dx =
- ò f ( x ) dx = - ò f 2 ( x ) dx .
2
2 0
2 2 0
0

Từ đồ thị, ta thấy:
1

● f ( x ) > 2 - x , "x Î [0;1]  ò
0

1

● f ( x ) < 2, "x Î [0;1]  ò
0

2

1
1
f 2 (x )
f 2 (x )
(2 - x )
7
1
2
dx > ò
dx =  K = - ò
dx < - .
2
2
6
2 0
2
3
0

1
1
f (x )
f 2 (x )
1
3

dx > ò 2 dx = 2  K = - ò
dx > - . Chọn C.
2
2 0
2
2
0
2

Câu 10*. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 . Hai điểm A , B di dộng
trên ( P ) sao cho AB = 2 . Khi diện tích phần mặt phẳng giới
hạn bởi ( P ) và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai
điểm A, B có tọa độ xác định A ( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ). Giá trị
của biểu thức T = x A2 x B2 + y A2 y B2 bằng
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Do A, B Î ( P ) nên giả sử A (a; a 2 ), B (b; b 2 ) với b > a.
x -a
y - a2
=
hay y = (a + b ) x - ab.
Phương trình đường thẳng AB :
b - a b2 - a2
2

2
2
2
Ta có AB = 2  (b - a ) + (b 2 - a 2 ) = 4  (b - a ) éê 4 + (b + a ) ùú = 4
ë
û
2

 (b - a ) =

4
2

1 + (b + a )

£ 4. Suy ra b - a £ 2.

b

é
ù b
é(a + b ) x - ab - x 2 ù dx = ê 1 (a + b ) x 2 - abx - 1 x 3 ú
êë
úû
êë 2
3 úû a
a
é1
1 ù é1
1 ù 1

8 4
3
= ê (a + b ) b 2 - ab 2 - b 3 ú - ê (a + b ) a 2 - a 2 b - a 3 ú = (b - a ) £ = .
êë 2
3 úû êë 2
3 úû 6
6 3
ì
ïb - a = 2 ì
ïa = -1
Dấu " = " xảy ra  ï
ï
 A (-1;1), B (1;1)  T = 2. Chọn B.
í
í
ï
ïb + a = 0 ï
ïb = 1
î
î

Ta có S = ò

Phần 3. Đồ thị hàm f ¢ ( x ).
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục trên
. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ) trên [-5;4 ]. Giá

trị nhỏ nhất của f ( x ) trên [-5;4 ] là
A. f (-5).

B. f (-4 ).

C. f (1).

D. f (4 ).


Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy ra
bảng biến thiên như hình bên. Khi đó:
min f ( x ) = min { f (-4 ); f (4 )}.
x Î[-5; 4 ]

Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có

4

ò

f ¢ ( x ) dx > 0.

-4

Suy ra f (4 ) > f (-4 ). Vậy min f ( x ) = f (-4 ). Chọn B.
x Î[-5; 4 ]

Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục trên 
và đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ) cắt trục hoành tại ba điểm có
hoành độ a, b, c (hình bên). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f (c ) > f (a ) > f (b ).

B. f (a ) > f (c ) > f (b ).

C. f (b ) > f (c ) > f (a ).

D. f (a ) > f (b ) > f (c ).

Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy
ra bảng biến thiên như hình bên. Khi đó:
min { f (a ); f (b ); f (c )} = f (b ).
Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có

c

ò

f ¢ ( x ) dx > 0.

a

Suy ra f (c ) > f (a ). Vậy f (c ) > f (a ) > f (b ). Chọn A.
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên
tục trên . Hình bên là đồ thị của hàm số f ¢ ( x ) trên
đoạn [-2; d ]. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
hàm số y = f ( x ) trên đoạn [-2;d ] lần lượt là
A. f (a ) và f (b ). B. f (a ) và f (-2).
C. f (c ) và f (b ). D. f (c ) và f (d ).
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy ra bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m = min { f (a ); f (c )} , M = max { f (-2); f (b ); f (d )}.
Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có

c

•

ò
a

c

f ¢ ( x ) dx > 0  f ( x ) > 0  f (c ) - f (a ) > 0  f (c ) > f (a ).
a


b

•

ò

d

f ¢ ( x ) dx > 0 ¾¾
 f (b ) > f (-2) và

ò

-2

f ¢ ( x ) dx < 0 ¾¾
 f (b ) > f (d ).

b

Vậy m = f (a ), M = f (b ). Chọn A.
Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục trên .
Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ¢ ( x ) và trục hoành đồng thời có diện tích S = a. Biết rằng
1

1

ò ( x + 1) f ¢ ( x ) dx = b
0

và f (3) = c . Tính I = ò f ( x ) dx .
0

A. I = a - b + c . B. I = -a + b - c .
C. I = -a + b + c . D. I = a - b - c .
ìïu = x + 1
ìïdu = dx
.
Lời giải. Đặt ïí
 ïí
ïïdv = f ¢ ( x ) dx ïïv = f ( x )
î
î
1

1

1

Khi đó b = ò ( x + 1) f ¢ ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) - ò f ( x ) dx = 2 f (1) - f (0) - I .
0

0

1

3

0

1

0

Mặt khác, ta có a = S = ò f ¢ ( x ) dx - ò f ¢ ( x ) dx = f (1) - f (0) - éë f (3) - f (1)ùû
= 2 f (1) - f (0) - f (3) = 2 f (1) - f (0) - c .

Suy ra 2 f (1) - f (0) = a + c . Vậy I = 2 f (1) - f (0) - b = a + c - b. Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục
trên [-2;1]. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ). Đặt

x2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. g (-2 ) < g (1) < g (0 ). B. g (1) < g (-2) < g (0).

g ( x ) = f ( x )-

C. g (0) < g (1) < g (-2).

D. g (0) < g (-2) < g (1).

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = f ¢ ( x ) - x ; g ¢ ( x ) = 0  f ¢ ( x ) = x . Suy ra nghiệm của phương
trình g ¢ ( x ) = 0 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) và đường thẳng
y = x . Dựa vào đồ thị ta thấy đường y = x cắt đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) tại các điểm

có hoành độ -2; 0; 1 (tham khảo hình vẽ)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max { g (-2); g (1); g (0)} = g (0).
Dựa vào đồ thị, ta có

0

ò

-2

1

é f ¢ ( x ) - x ù dx > é x - f ¢ ( x )ù dx hay
òë
ë
û
û
0

0

ò

-2

1

g ¢ ( x ) dx > -ò g ¢ ( x ) dx
0


 g (0) - g (-2) > g (0) - g (1)  g (-2) < g (1). Chọn A.

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục
trên [-3;3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ). Đặt
g ( x ) = 2 f ( x ) + x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. g (3) < g (-3) < g (1).

B. g (-3) < g (3) < g (1).

C. g (1) < g (3) < g (-3).

D. g (1) < g (-3) < g (3).

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = 2 f ¢ ( x ) + 2 x ; g ¢ ( x ) = 0  f ¢ ( x ) = -x . Ta thấy đường thẳng
y = -x cắt đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min { g (-3); g (1); g (3)} = g (1).

Dựa vào đồ thị, ta có

3

3

-3

-3

ò g ¢ ( x ) dx = ò éë2 f ¢ ( x ) + 2 x ùû dx < 0. Suy ra

g (3) < g (-3).

Vậy g (1) < g (3) < g (-3). Chọn C.
Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục
trên [-3;3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ).
Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) + ( x + 1) . Gọi m là số thực thỏa mãn
2

3

ém
ù
ê
ú dx = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
g
x
(
)

ò êë 3
úû
-3
A. 6 g (1) < m < g (-3).

B. 6 g (1) < m < 6 g (-3).

C. 3 g (1) < m < 3 g (-3).

D. -3 g (1) < m < 3 g (-3).

3

3
ém
ù
Lời giải. Từ giả thiết ò ê - g ( x )ú dx = 0, suy ra 2m = ò g ( x ) dx .
ê3
úû
-3 ë
-3

Ta có g ¢ ( x ) = 2 f ¢ ( x ) + 2 x + 2; g ¢ ( x ) = 0  f ¢ ( x ) = -x -1. Ta thấy đường y = -x -1
cắt đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min { g (-3); g (1); g (3)} = g (1).
1

Dựa vào đồ thị, ta có S1 > S2  ò

3

-3

é-x -1 - f ¢ ( x )ù dx > é f ¢ ( x ) + x + 1ù dx
òë
ë
û
û
1

1

 2ò

-3

3

é-x -1 - f ¢ ( x )ù dx > 2 é f ¢ ( x ) + x + 1ù dx
òë
ë
û
û
1

1

3

 -ò g ¢ ( x ) dx > ò g ¢ ( x ) dx
-3

1

 - éë g (1) - g (-3)ùû > g (3) - g (1)  g (-3) > g (3).
ì
ï
g ( x ) = g (1)
ïmin
[-3;3]
Suy ra ïí
¾¾
 g (1) £ g ( x ) £ g (-3), "x Î [-3;3].
ï
max g ( x ) = g (-3)
ï
ï
î [-3;3]
3

3

Suy ra 6 g (1) £ ò

ò g ( x )d x
-3
 3 g (1) £ m £ 3 g (-3). Chọn C.
g ( x ) dx £ 6 g (-3) ¾¾¾¾¾

2 m=

-3

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục trên

[-3;3]. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ). Biết f (1) = 6
2

( x + 1)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. Phương trình g ( x ) = 0 không có nghiệm thuộc [-3;3].

và g ( x ) = f ( x ) -

B. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3;3].
C. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm thuộc [-3;3].
D. Phương trình g ( x ) = 0 có đúng ba nghiệm thuộc [-3;3].
Lời giải. Từ giả thiết f (1) = 6 ¾¾
 g (1) = 4.
Ta có g ¢ ( x ) = f ¢ ( x ) - ( x +1); g ¢ ( x ) = 0  f ¢ ( x ) = x + 1. Ta thấy đường thẳng y = x + 1
cắt đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3.

Dựa vào đồ thị, ta có
1

•

ò

-3
3

•

ò
1

1

é f ¢ ( x ) - ( x + 1)ù dx > 4  g ¢ ( x ) dx > 4  g (1) - g (-3) > 4 ¾¾
 g (-3) < 0.
ò
ë
û
-3

3

é( x + 1) - f ¢ ( x )ù dx < 4  - g ¢ ( x ) dx < 4  - é g (3) - g (1)ù < 4 ¾¾
 g (3) > 0.
ò
ë
û
ë
û
1

Từ BBT suy ra phương trình g ( x ) = 0 có đúng một nghiệm thuộc [-3;3]. Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục trên

[-2;1]. Hình bên là đồ thị của hàm số y = f ¢ ( x ). Đặt
x2
. Điều kiện cần và đủ để phương trình g ( x ) = 0
2
có bốn nghiệm phân biệt là
g ( x ) = f ( x )-

ì
ï g (0 ) > 0
.
A. ïí
ï
g
1
0
<
(
)
ï
î

ì
ï g (0 ) < 0
.
B. ïí
ï

g
1
0
<
(
)
ï
î

ì
ï g (0 ) > 0
.
C. ïí
ï
g
2
0
<
(
)
ï
î

ì
ï
g (0 ) > 0
ï
ï
D. ïí g (1) > 0 .
ï

ï
ï
ï
î g (-2) < 0

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = f ¢ ( x ) - x ; g ¢ ( x ) = 0  f ¢ ( x ) = x . Ta
thấy đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) tại các
điểm có hoành độ -2; 0; 1.
Dựa vào đồ thị, ta có

0

1

ò éë f ¢ ( x )- x ùû dx > ò éë x - f ¢ ( x )ùû dx
-2

0

hay

0

1

ò g ¢ ( x ) dx > -ò g ¢ ( x ) dx
-2

0

 g (0) - g (-2) > - éë g (1) - g (0)ùû  g (-2) < g (1).
Từ đó ta có bảng biến thiên như hình bên.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số
y = g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
ìï g (0) > 0
 ïí
. Chọn A.
ïï g (1) < 0
î
Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục

trên . Hàm số y = f ¢ ( x ) có đồ thị như hình bên. Tổng giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) trên
đoạn [-2;2 ] bằng
A. f (1) + f (0).

B. f (4 ) + f (0).

C. f (1) + f (4 ).

D. f (1) + f (0) - f (4 ).

éx = 0
2
ê
¢
¢
¢
Lời giải. Ta có g ( x ) = 2 xf ( x ); g ( x ) = 0  ê
.

2
êë f ¢ ( x ) = 0
é 2
ê x = -1 é x 2 = 1
é x = 1
Dựa vào đồ thị ta suy ra f ¢ ( x 2 ) = 0  êê x 2 = 1  êê 2
ê
.
ê
ê 2
êë x = 4
ë x = 2
êë x = 4


• Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g ( x ) = f (1).
[-2;2 ]

• Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta thấy

4

ò

4

f ¢ ( x ) dx < 0  f ( x ) < 0  f ( 4 ) - f ( 0 ) < 0
0

0

 f (4 ) < f (0 ). Kết hợp với bảng biến thiên ta suy ra min g ( x ) = f (4 ).
[-2;2 ]

Vậy max g ( x ) + min g ( x ) = f (1) + f (4 ). Chọn C.
[-2;2 ]

[-2;2 ]

Phần 4. Diện tích hình phẳng

Câu 1. Cho Parabol như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới
hạn bởi Parabol và trục hoành bằng
16
.
B.
A. 16.
3
28
32
.
.
D.
C.
3
3
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta xác đinh được phương trình của ( P ) : y = -x 2 + 4.
2

Khi đó diện tích hình phẳng cần tính bằng: S = ò (-x 2 + 4 ) dx =

-2

Cách 2. Áp dụng công tính nhanh S 

32
. Chọn D.
3

2
2
32
Bh  .4.4 
(với B = 4 là chiều dài của
3
3
3

đáy, h = 4 là chiều cao).
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm ở hình bên.
10
20
B. S = .
A. S = .
3
3
25
D. S = 9.
C. S = .
6
Lời giải. Áp dụng công thức tính nhanh, ta có diện tích miền khép kín giới hạn bởi

2
2
32
Parabol và đường y = 4 là S AOB = Bh = .4.4 = .
3
3
3
Diện tích tam giác ABC là SDABC = 4.
Suy ra diện tích phần tô đậm S = S AOB - SDABC =

20
. Chọn B.
3


Câu 3. Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình
chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để
giảm bớt chi phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An
chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và không tô đen)
như hình bên. Phần tô đen gồm hai miền diện tích
bằng nhau và đường cong AIB là một Parabol đỉnh I .
Phần tô đen được trồng cỏ nhân tạo với giá cỏ nhân tạo với giá 130 000 đồng /m 2 và
phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 000 đồng /m 2 . Hỏi ông An phải trả bao
nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
B. 151 triệu đồng.
A. 135 triệu đồng.
C. 165 triệu đồng.

D. 195 triệu đồng.

Lời giải. Diện tích hình chữ nhật: S0 = 30 ´50 = 1500 m 2 .

2
2
Diện tích hai phần tô đen: S1 = 2 ´ Bh = 2 ´ .30.10 = 400 m 2 .
3
3
Suy ra diện tích phần không tô đen: S2 = S0 - S1 = 1100 m 2 .
Vậy tổng chi phí: T = 130 000.S1 + 90 000.S2 = 151000000 đồng. Chọn B.
Câu 4. Nhà ông An cần sơn mặt trước của cổng có dạng như
hình bên, các đường cong có dạng là Parabol với các kích
thước được cho như hình. Biết giá thuê nhân công là 100.000
đồng /m 2 . Hỏi ông An phải trả cho bên thi công bao nhiêu
tiền để sơn cổng?
A. 2 468 650 đồng.
B. 1866 667 đồng.
C. 1775361 đồng.

D. 1668 653 đồng.

2
56 2
Lời giải. Công thức tính nhanh, ta có diện tích cần sơn: S = .(8.8 - 6.6) =
m .
3
3
56
Vậy số tiền cần phải trả: 100000. » 1866667 (đồng). Chọn B.
3

Câu 5. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa
mỏng hình vuông cạnh 10 cm bằng cách khoét bỏ đi bốn
phần bằng nhau có hình dạng Parabol (như hình vẽ). Biết
AB = 5 cm , OH = 4 cm . Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng
40
140
cm 2 .
cm 2 .
A.
B.
3
3
160
C.
D. 50 cm 2 .
cm 2 .
3
Lời giải. Diện tích hình vuông: S0 = 10 2 = 100 cm 2 .
æ2 ö
æ2
ö 160
Diện tích của bốn hình Parabol được khoét bỏ là: S1 = 4 çç Bh÷÷÷ = 4 çç .5.4 ÷÷÷ =
cm 2 .
èç 3 ø
èç 3
ø
3


Suy ra diện tích bề mặt hoa văn là: S2 = S0 - S1 = 100 -

160 140
cm 2 . Chọn B.
=
3
3

Câu 6. Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật,
chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Các nhà Toán học
dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung
điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối
diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai
Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa
hồng là 45 000 đồng /m 2 . Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa
trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 1920 000 đồng. B. 2159 000 đồng.
C. 2715000 đồng. D. 3322 000 đồng.
Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy và gọi tên các đỉnh
như hình vẽ bên. Dễ dàng xác định được

1
• Parabol đi qua ba điểm A, I , B là ( P ) : y = - x 2 + 8.
8
1
• Parabol đi qua ba điểm C , O , D là ( P ¢) : y = x 2 .
8
1
1
Phương trình hoành độ giao điểm: - x 2 + 8 = x 2  x = 4 2.
8

8
Suy ra diện tích trồng hoa là: S =

4 2

ò
-4 2

1
1
128 2
- x 2 + 8 - x 2 dx =
m 2 ).
(
8
8
3

Vậy chi phí trồng hoa là: T = 45000.S = 45000.

128 2
» 2715000 đồng. Chọn C.
3

Câu 7. Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở
chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6 m , chiều dài
CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m; cung EIF
có hình dạng là một phần của cung Parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và
đi qua hai điểm C , D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng /m 2 . Hỏi công ty cần
bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A. 20.400.000 đồng.

B. 20.600.000 đồng.

C. 20.800.000 đồng.

D. 21.200.000 đồng.


Lời giải. Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới

x2
Dễ dàng xác định được Parabol đi qua ba điểm D, F , I , E , C là ( P ) : y = - .
6
Hai điểm M , F nằm trên đường thẳng x = -2; N , E nằm trên đường thẳng x = 2.
2
æ x2
ö
208 2
m .
Khi đó diện tích hình MNEIF là: S MNEIF = ò ççç- + 6÷÷÷ dx =
÷ø
9
è 6
-2

Kinh phí làm bức tranh: 900000.

208

= 20800000 (đồng). Chọn C.
9

Câu 8. Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách
giữa hai chân cổng là AB = 8 m. Người ra treo một tâm phông hình
chữ nhật có hai đỉnh M , N nằm trên Parabol và hai đỉnh P , Q nằm
trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô
đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1 m 2 cần số tiền
mua hoa là 200.000 đồng, biết MN = 4 m, MQ = 6 m. Hỏi số tiền dùng để mua hoa
trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?
A. 3373 400 đồng. B. 3 434 300 đồng.
C. 3 437 300 đồng.

D. 3733300 đồng.

Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Parabol đối xứng qua Oy nên có dạng ( P ) : y = ax 2 + c . Vì
1
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và trục Ox là

( P ) đi qua B (4;0) và N (2;6) nên ( P ) : y = - x 2 + 8.
4

æ 1
ö
128 2
S = 2 ò çç- x 2 + 8÷÷÷ dx =
m .
çè 2

ø
3
0

Diện tích phần trồng hoa là S = S1 - S MNPQ =
Do đó số tiền cần dùng để mua hoa là

128
56 2
- 24 =
m .
3
3

56
´ 200000 = 3733300 đồng. Chọn D.
3


Câu 9. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = 4 x - x 2 và
trục hoành (hình vẽ bên). Đường thẳng y = m chia H thành hai
phần có diện tích bằng nhau. Biết m = a + 3 b với a, b là các số hữu
tỉ, tính S = a.b.
A. S = -64.

C. S = 32.
D. S = 64.
2
2
32

Lời giải. Diện tích hình phẳng H là S = Bh = .4.4 = .
3
3
2
éx = 2 + 4 - m
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 x - x 2 = m  êê
; "m Î (0;4 ).
êë x = 2 - 4 - m
Suy ra A 2 + 4 - m ; m , B 2 - 4 - m ; m ; M (2; m ) là trung

(

B. S = -32.

) (

)

điểm AB; I (2;4 ) là đỉnh của (C ). Khi đó diện tích miền
khép kín giới hạn bởi Parabol và đường y = m (phần gạch
sọc) là S1 =

4

2
2
AB.IM = .2 4 - m .(4 - m ) =
3
3
4

(

4-m

(

4-m
3

)

)

3

.

3

ìïa = 4
16
 m = 4 - 3 16 ¾¾
 ïí
. Chọn D.
ïïîb = 16
3
3
Câu 10. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( P ) của hàm
1

Theo giả thiết, ta có S1 = S 
2

=

số y = 6 x - x 2 và trục hoành. Hai đường thẳng y = m và y = n
chia hình H thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính
3

3

P = (9 - m ) + (9 - n ) .
A. P = 403.

B. P = 405.

C. P = 407.

D. P = 409.

ìïm = 9 - 3 3 3
Lời giải. Như bài trên, ta được ïí
 P = 405. Chọn B.
ïïn = 9 - 3 3 12
î
Câu 11. Cho hình phẳng H (phần tô đậm) được giới hạn bởi

các đường y = 4 - x 2 ,

y=x

và y = 2 có diện tích là

S = a + b p với a, b Î . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a + b <1.

B. a + 2b = 3.

C. a 2 + 4b 2 ³ 5.

D. a > 1 và b > 1.
2

(

Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta có S = ò 2 - 4 - x
0

1
Suy ra a = 2, b = - . Chọn C.
2

2

2

)dx + ò (2 - x )dx = 2 - p2 .
2

Câu 12. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 8. Trên AB
lấy hai điểm M , N đối xứng nhau qua O sao cho MN = 4.
Qua M , N kẻ hai dây cung PQ và EF cùng vuông góc với AB.
Diện tích phần giới hạn bởi đường tròn và hai dây cung PQ, EF
(phần tô đậm như hình vẽ) bằng
A. 5p + 5.

B. 6p + 8 3.

C. 12p - 7.

D.

16
p + 8 3.
3

Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Dễ dàng xác định phương trình đường tròn là x 2 + y 2 = 16.
Suy ra cung PE có phương trình y = 16 - x 2 .
Diện tích hình phẳng cần tính
2

S = 2 ´ ò 16 - x 2 dx =
-2

16
p + 8 3. Chọn D.
3

Câu 13. Biết rằng đường Parabol ( P ) : y 2 = 2 x chia đường
tròn (C ) : x 2 + y 2 = 8 thành hai phần lần lượt có diện tích là

S1 , S2 (hình bên). Khi đó S2 - S1 = ap dương và
A. 13.

b
với a, b, c nguyên
c

b
là phân số tối giản. Tổng a + b + c bằng
c
B. 14.

C. 15.

D. 16.

Lời giải. Diện tích hình tròn S = 8p.
Phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) và (C ) là
ìï x ³ 0
ïïì y 2 = 2 x
ïí

« x = 2.
í 2
ïï x + y 2 = 8 ïïî x 2 + 2 x = 8
î
2 2

æ2
÷ö 4
çç
Suy ra S1 = 2.ç ò 2 x dx + ò 8 - x 2 dx ÷÷÷ = + 2p.
çç
÷ø 3
è0
2

ì
a=4
ï
ï
4
8
ï
ï
Suy ra S2 = S - S1 = 6p - ¾¾
 S2 - S1 = 4 p - ¾¾
 íb = 8 . Chọn C.
ï
3
3
ï
ï
ï
îc = 3
Câu 14. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường
kính bằng 4 5 m. Trên đó người thiết kế hai phần để

trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình Parabol có
đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của
cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 m,
phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết
các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100 000 đồng /m 2 .


Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn
đến hàng nghìn).
C. 2 388 000 đồng.
D. 3895000 đồng.
A. 1194 000 đồng. B. 1948 000 đồng.

(

Lời giải. Hình tròn có diện tích S1 = p 2 5

)

2

= 20p.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó phương trình nửa đường tròn là: y = 20 - x 2 .
Parabol có đỉnh là gốc O và đi qua điểm (2;4 ) nên có phương trình ( P ) : y = x 2 .
2

Khi đó diện tích phần tô đậm: S2 = ò

(

)

20 - x 2 - x 2 dx @ 11,94 m 2 .

-2

S1
 S2  19, 47592654.
2
Vậy số tiền cần dùng: T  S  100 000  1948 000 (đồng). Chọn B.

Diện tích phần trồng cỏ Nhật Bản (phần không tô màu): S 

Câu 15. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người
thiết kế đã sử dụng bốn đường Parabol có chung đỉnh tại tâm
của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu như hình
bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
400
A. 250 cm 2 .
B.
cm 2 .
3
800
1600
cm 2 .
cm 2 .
C.
D.

3
3
Lời giải. Gắn hệ trục tọa độ như hình bên (ta chuyển về
đơn vị tính là dm )
Xét cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Đường cong trên ứng
x2
với y = 2 x , đường cong dưới ứng với y = .
2
Khi đó diện tích cần tính
2
æ
x2 ö
4
400
cm 2 ). Chọn B.
S = ò çç 2 x - ÷÷÷ dx = (dm 2 ) =
(
÷
çè
2ø
3
3
0
Câu 16. Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip
diện tích của hình thoi có các đỉnh là đỉnh của Elip đó. Tỉ số
A. p.
Lời giải.

B.

p
.
2

C.

p
.
3

x 2 y2
+
= 1 và S2 là
9
1

S1
bằng
S2
D.

2p
.
3


Từ phương trình Elip

x 2 y2
+

= 1, suy ra đường Elip nằm trong góc phần tư thứ nhất
9
1
3

x2
x2
có phương trình y = 1 - . Suy ra diện tích Elip S1 = 4 ´ ò 1 - dx = 3p.
9
9
0
1
Diện tích hình thoi có các đỉnh là đỉnh của elip: S2 = .6.2 = 6.
2
S1 3p p
Khi đó
=
= . Chọn B.
S2
6
2

Chú ý: Ta có công thức nhanh: ( E ) :

x 2 y2
+
= 1 có diện tích S = pab.
a2 b2

Câu 17. Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có

chiều dài 100 m và chiều rộng là 60 m người ta
làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ).
Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là
hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục
lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình
chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2 m. Kinh
phí cho mỗi m 2 làm đường 600 000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 293804 000 đồng.
C. 294 053 000 đồng.

B. 293 904 000 đồng.
D. 294153 000 đồng.

Lời giải. Diện tích Elip lớn là: S1 = p50.30 = 1500p m 2 .
Diện tích Elip lớn là: S2 = p 48.28 = 1344 p m 2 .
Suy ra diện tích cần trang trí là: S3 = S1 - S2 = 1500p -1344 p = 156p m 2 .
Vậy chi phí cần: S3 ´ 600 000 = 156p ´ 600 000 » 294 053 000 đồng. Chọn C.
Câu 18. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài
10 m và chiều rộng 6 m, được phân chia thành các phần
bởi một đường chéo và một đường Elip nội tiếp bên trong
như hình vẽ bên. Hãy tính diện tích phần tô đậm (theo
đơn vị m 2 )?
45 (4 - p )
A. 5 (p - 2).
B. 5 (4 - p ).
C.
.
7

D.

45 (4 - p )
8

.


Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình.
x 2 y2
Phương trình Elip là:
+
= 1. Suy ra
25 9
3 25 - x 2
;
• đường Elip nằm trên trục Ox là: ( E1 ) : y =
5

• đường Elip nằm dưới trục Ox là: ( E 2 ) : y = -

3 25 - x 2
.
5

3x
. Phường trình đường thẳng AB : y = -3.
5
æ 5 2 3 2 ö÷
÷÷.

Tọa độ giao điểm của ( E1 ) và OD là: E ççç
;
çè 2
2 ÷ø

Phương trình đường thẳng OD : y =

Do đó diện tích phần tô đậm là:
5 æ
5 æ
2 ö
2
45 (4 - p )
÷ö
çç 3 x 3 25 - x ÷÷
ç 3 25 - x
S= ò ç . Chọn D.
+ 3÷÷÷ dx =
÷÷ dx + ò çççèç 5
ççè
5
5
8
÷
÷
ø
ø
0
5 2
3

Câu 19. Một biển quảng cáo có dạng hình Elip với bốn đỉnh
A1 , A2 , B1 , B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm
là 200 000 đồng /m 2 và phần còn lại là 100 000 đồng /m 2 .
Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào
dưới đây, biết A1 A2 = 8 m, B1 B2 = 6 m và tứ giác MNPQ là
hình chữ nhật có MQ = 3 m ?
A. 5.526.000 đồng.

B. 5.782.000 đồng.

C. 7 213000 đồng.

D. 7 322 000 đồng.

Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình.
Diện tích Elip: S = p.4.3 = 12p m 2 .
x 2 y2
+
= 1. Suy ra đường
Phương trình Elip là: ( E ) :
16
9
3
Elip nằm trên trục Ox là: y =
16 - x 2 .
4
Từ giả thiết MQ = 3 m suy ra M , N nằm trên đường thẳng d : y =

æ

3
3ö
¾¾
 N çç2 3; ÷÷÷.
çè
2
2ø

2 3

æ3
ö
Diện tích phần tô màu: S1 = 4 ´ ò çç 16 - x 2 ÷÷÷ dx = 8p + 6 3 m 2 .
çè 4
ø
0

Suy ra diện tích phần không tô màu: S2 = S - S2 = 4 p - 6 3 m 2 .
Vậy số tiền cần chi phí

(

)

(

)

T = 200000 ´ 8p + 6 3 + 100000´ 4p - 6 3 » 7 322 000 đồng. Chọn D.

Câu 20. Nhà trường dự định làm một vườn hoa
dạng hình Elip được chia ra làm bốn phần bởi hai
đường Parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau
qua trục của Elip như hình vẽ bên. Biết độ dài trục
lớn, trục nhỏ của Elip lần lượt là 8 m và 4 m; F1 , F2
là hai tiêu điểm của Elip. Phần A, B dùng để trồng hoa; phần C , D dùng để trồng cỏ.
Kinh phí để trồng mỗi mét vuông trồng hoa và trồng cỏ lần lượt là 250 000 đồng và
150 000 đồng. Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).

A. 4 656 000 đồng.

B. 4 766 000 đồng.

C. 5 455000 đồng.

D. 5676 000 đồng.

Lời giải. Diện tích Elip: S = p.4.2 = 8p m 2 .
Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình.
x 2 y2
Phương trình Elip là: ( E ) :
+
= 1. Suy ra đường
16
4
16 - x 2
Elip nằm trên trục Ox là: y =
.
2

Giao điểm của đường thẳng d : x = 2 3 đi qua tiêu điểm F2 và nửa Elip nằm bên trên

(

)

(

)

 N -2 3;1 .
trục Ox là M 2 3;1 ¾¾

(

)

(

)

Parabol đi qua các điểm M 2 3;1 , O (0;0), N -2 3;1 có phương trình ( P ) : y =

x2
.
12

2
æ

x 2 ÷÷ö
8p + 2 3
çç 16 - x
Khi đó diện tích S A = ò ç
- ÷÷ dx =
.
ççè
2
12
3
÷
ø
-2 3
2 3

Vậy số tiền cần chi phí:
T = 2S A ´ 250000 + (S - 2S A )´150000 » 5676 000 đồng. Chọn D.
Câu 21. Cho hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = sin x , y = cos x và S1 , S2 là
diện tích của các phần được gạch chéo như
hình vẽ. Tổng S 12 + S22 bằng
A. 10 - 2 2.

B. 10 + 2 2.

C. 11 -12 2.

D. 11 + 2 2.
p
Lời giải. Ta có: cos x = 0  x = + k p, (k Î ).

2
æ
pö
p
sin x = cos x  sin çç x - ÷÷÷ = 0  x = + k p, (k Î ).
çè
4ø
4
p
4

5p
4

Dựa vào hình vẽ ta có S1 = ò (cos x - sin x ) dx = 1 + 2; S2 = ò (sin x - cos x ) dx = 2 2.
-

p
2

p
4


(

Suy ra S12 + S22 = 1 + 2

) + (2 2 )
2

2

= 11 + 2 2 . Chọn D.

Câu 22. Kí hiệu H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x ,
y = 0, x = 0 và x = 1. Đường thẳng x = k (0 < k < 1) chia H

thành hai phần có diện tích tương ứng S1 , S 2 như hình vẽ bên,
biết S1 > S2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
e -1
.
2
e +2
C. e k >
.
2

e +1
.
2
e +3
D. e k >
.
2

A. e k >

B. e k >

k

Lời giải. Ta có S1 = ò e dx = e
x

k

x

0

0

1

= e - 1 và S 2 = ò e x dx = e x
k

k

1

= e -ek.

k

e +1
. Chọn B.
2
Câu 23. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường

y = x 2 , y = 0, x = 0, x = 4. Đường thẳng y = k

Theo giả thiết S1 > S2  e k -1 > e - e k  e k >

(0 < k < 16) chia hình H thành hai phần có diện tích
S1 , S2 (hình vẽ). Tìm k để S1 = S2 .

A. k = 3 .

B. k = 4 .

C. k = 5.

D. k = 8 .

x >0
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 = k ¾¾¾
 x = k . Ta có:
4

● S1 + S2 = ò
0

x3
x dx =
3

4

2

=
0

64
.
3

æx3
ö
● S1 = ò ( x - k ) dx = çç - kx ÷÷÷
÷ø
çè 3
4

4

2

k

= -4 k +
k

2 k k 64
+ .
3
3

1

2 k k 64 32
Theo giả thiết S1 = S2 ¾¾
 S1 = (S1 + S2 )  -4 k +
+
=
2
3
3
3
(
)
 2 k k -12 k + 32 = 0 ¾¾¾¾¾
 2t 3 -12t 2 + 32 = 0  t = 2 ¾¾
 k = 4. Chọn B.
t = k 0
Câu 24. Xét hình phẳng H

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = ( x + 3) , trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A (0;9 ),
2

B (b;0) (-3 < b < 0 ). Tìm giá trị của tham số b để đoạn thẳng
AB chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A. b = -2 .

3
B. b = - .

2

C. b = -1.

1
D. b = - .
2

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: ( x + 3) = 0  x = -3.
2