Ôn thi ĐH-Bài toán tháp cổ Hà Nội

Bài toán tháp cổ Hà Nội
Bài toán tháp Hà Nội (tiếng Anh gọi là Tower of Hanoi hay Towers of Hanoi) xuất phát từ trò chơi
đố Tháp Hà Nội.
Mục đích của bài toán là thực hiện được yêu cầu của trò chơi. Dạng bài toán thông dụng nhất là:
"Người chơi được cho ba cái cọc và một số đĩa có kích thước khác nhau có thể cho vào các cọc này.
Ban đầu sắp xếp các đĩa theo trật tự kích thước vào một cọc sao cho đĩa nhỏ nhất nằm trên cùng, tức là
tạo ra một dạng hình nón. Người chơi phải di chuyển toàn bộ số đĩa sang một cọc khác, tuân theo các
quy tắc sau:
* một lần chỉ được di chuyển một đĩa
* một đĩa chỉ có thể được đặt lên một đĩa lớn hơn (không nhất thiết hai đĩa này phải có kích thước liền
kề, tức là đĩa nhỏ nhất có thể nằm trên đĩa lớn nhất)".
Bài toán này có lời giải chính xác. Tuy nhiên các mở rộng cho trường hợp có nhiều hơn ba cọc cho đến
nay vẫn chưa được giải cặn kẽ.
Thuật giải đệ quy
* đặt tên các cọc là A, B, C -- những tên này có thể chuyển ở các bước khác nhau
* gọi n là tổng số đĩa
* đánh số đĩa từ 1 (nhỏ nhất, trên cùng) đến n (lớn nhất, dưới cùng)
Để chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc B thì cần:
1. chuyển n-1 đĩa từ A sang C. Chỉ còn lại đĩa #n trên cọc A
2. chuyển đĩa #n từ A sang B
3. chuyển n-1 đĩa từ C sang B cho chúng nằm trên đĩa #n
Phương pháp trên được gọi là thuật giải đệ quy: để tiến hành bước 1 và 3, áp dụng lại thuật giải cho n-
1. Toàn bộ quá trình là một số hữu hạn các bước, vì đến một lúc nào đó thuật giải sẽ áp dụng cho n = 1.
Bước này chỉ đơn giản là chuyển một đĩa duy nhất từ cọc A sang cọc B.
Giải thuật bằng biểu diễn nhị phân
Các vị trí đĩa có thể xác định được trực tiếp từ biểu diễn nhị phân của số thứ tự di chuyển (cơ số 2
với một chữ số cho mỗi đĩa) trong đó các dãy 1 và các dãy 0 tượng trưng cho các dãy các đĩa liền nhau
trên cùng cọc, và mỗi khi chữ số có thay đổi thì đĩa kế tiếp sẽ dời sang trái hay phải một cọc (hay
chuyển sang cọc ngoài cùng phía đối diện). Chữ số ở đầu đại diện cho đĩa lớn nhất và nếu là chữ số 0
thì có nghĩa là đĩa lớn nhất không dời khỏi cọc xuất phát và ngược lại. Đặt các chữ số 1 và 0 luân phiên
bên dưới các chữ số của một bước chuyển cho phép biết được di chuyển theo một chiều khi nó hợp với

chữ số của bước chuyển tại nơi chữ số thay đổi và theo chiều kia khi nó không hợp. Do đó bước
chuyển 00000000... có nghĩa là đặt 8 đĩa lớn nhất lên cọc ban đầu, bước chuyển 11111111... có nghĩa
là đặt chúng lên cọc cuối cùng, và bước chuyển 11011000... có hai đĩa lớn nhất trên cọc đích, đĩa tiếp
theo trên cọc xuất phát, hai đĩa tiếp theo ở cọc trung gian, và ba đĩa tiếp theo nữa trên cọc xuất phát, bất
kể có thêm bao nhiêu chữ số đại diện các đĩa nhỏ hơn. Ta có thể dễ dàng tính được các vị trí của các
đĩa trong một bộ tám mươi đĩa sau một số các bước tiến, nếu giới hạn đủ lớn để chứa nó. Việc dùng
phương pháp đệ quy cho trường hợp tám mươi đĩa như thế này có thể không thực tế.
Ứng dụng
Tháp Hà Nội là một bài toán thường được dùng để dạy về lập trình cơ bản. Một phiên bản bằng hình
của bài toán này được lập trình trong chương trình soạn thảo emacs, có thể truy cập được bằng cách gõ
M-x hanoi. Ngoài ra cũng có một thuật giải mẫu viết bằng ngôn ngữ Prolog.
Bài toán Tháp Hà Nội thường được dùng trong nghiên cứu tâm lý về cách giải quyết vấn đề. Cũng có
những biến thể khác của bài toán này gọi là Tháp Luân Đôn dùng trong chuẩn đoán và điều trị thần
kinh tâm lý đối với các chức năng thực hành.
Trường hợp bốn cọc trở lên
Mặc dù thuật giải tương đối đơn giản, bài toán với n đĩa sẽ cần ít nhất 2n-1 lần di chuyển. Tuy nhiên
với số lượng đĩa nhiều hơn 3 thì vẫn chưa biết được sẽ cần ít nhất bao nhiêu lần di chuyển để giải bài
toán. Do vậy việc áp dụng bước tiến dãy (tiếng Anh sequential advancement) để xác định vị trí của một
số lượng lớn các đĩa trên ba cọc sau một số lớn tuỳ ý các bước tiến là không thực tế. Lời giải tối ưu cho
bài toán Tháp Hà Nội với bốn cọc hay nhiều hơn vẫn còn là một bài toán mở. Đây là một ví dụ tiêu
biểu cho thấy một bài toán đơn giản, có thể giải được vẫn có thể trở thành khó hơn rất nhiều bằng cách
hơi nới lỏng một số ràng buộc của nó.
Mặc dù không biết được chính xác cần bao nhiêu lần di chuyển, có thể có một vài kết quả tiệm cận. Có
một "lời giải được coi như tối ưu" có thể áp dụng một cách đệ quy để tìm một lời giải–xem giải thích
cũng như một vài biến thể của bài toán bốn cọc trong bài khảo sát của Paul Stockmeyer (tiếng Anh).
Mặc dù với số đĩa nhỏ thử nghiệm trên máy tính thì "lời giải được coi như tối ưu" này là thực sự tối ưu,
nhưng nó vẫn chưa có một chứng minh tổng quát để coi là thực sự tối ưu. Tuy nhiên, những kết quả
nghiên cứu trong năm 2004 (tiếng Anh) đã cho thấy lời giải được coi như tối ưu phải nằm trong cùng
độ lớn với lời giải tối ưu.