phương pháp tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA : TOÁN TIN HỌC
------------------------------------------------

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU:

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
& GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

GVHD: Tạ Thị Nguyệt Nga

Sinh viên thực hiện:


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bài Tiểu luận này, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn các
thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu
và rèn luyện ở Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh nói
chung và khoa Toán-Tin học nói riêng.
Nhóm chúng em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới giảng viên hướng dẫn
Tạ Thị Nguyệt Nga tận tình, chu đáo hướng dẫn nhóm chúng em trong từng buổi học
trên lớp và xuyên suốt bài Tiểu luận này.
Mặc dù, nhóm chúng em cũng đã rất cố gắng để hoàn thành bài Tiểu luận một
cách hoàn chỉnh nhất. Song do còn nhiều hạn chế về mặt kiến thức, kinh nghiệm thực
tế, kèm theo thời gian khá gấp rút nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định
mà nhóm chưa nhìn nhận ra được. Nhóm chúng em rất mong nhận được sự góp ý của
cô để bài Tiểu luận hoàn chỉnh hơn.
Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn!
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 4 năm 2018

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.....................................................................................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………………….3
3.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM:..................................................................................................4
1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn:..............................................................................................4
2 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một miền vô hạn:................................................................................6

3.2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:.............................................................................................10
1. Trước tiên định nghĩa của bất đẳng thức là gì?......................................................................................10
2. Các bất đẳng thức thường sử dụng:........................................................................................................10


Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường:..........................................................................11

3. Ứng dụng của Bất đẳng thức vào trong thực tế:.....................................................................................11
4. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bất đằng thức:.....................................................................11

3.3. SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:..........................14
3.4 PHƯƠNG PHÁP  LẶP:........................................................................................................20
3.5. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN:................................................................................26
PHỤ LỤC..........................................................................................................................................35

2


LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em
càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét
hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Nói
chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó
nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số
liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư
duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi
học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất. Tuy nhiên hiện nay sách giáo khoa rất ít bài tập tham khảo về dạng toán này và cũng
không có hệ thống phương pháp giải nên nhóm quyết định chọn đề tài:

“PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT”

3


CHƯƠNG 3
MỘT VÀI TRỌNG ĐIỂM VỀ GIẢI TÍCH TRONG
CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG.
BÀI 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.
3.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM:
Phương pháp này được chia làm hai loại:
 Loại 1: Với tập xác định hữu hạn.
 Loại 2: Với tập xác định vô hạn.

1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn:
– Lý thuyết:
Lời giải cho các bài toán thuộc loại này được dựa trên nguyên tắc sau:

– Nguyên tắc: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a;b),
thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên [a;b] luôn tồn tại và tìm như sau:
 Bước 1: Giải phương trình f(x)=0 chỉ lấy nghiệm trong (a;b). Giả sử chỉ được các nghiệm
là x1,x2,...,xn (có thể không có nghiệm nào).
 Bước 2: Tính f(a),f(b) và các f(x1),f(x2),...,f(xn) (nếu có).
max
a ;b 
�
 Bước 3: x��
f(x) = max{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),..., f(xn)} và

min

x��
a ;b 
�

f(x) = max{ f(a),f(b),f(x1),f(x2),..., f(xn)}

1
y  f ( x)   x3  x 2  2 x  1
 1;0 .
3
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
trên đoạn
Hướng dẫn giải:
1
y  f ( x)   x3  x 2  2 x  1
 1;0
3

Hàm số
xác định trên đoạn
/
2
* f ( x)   x  2 x  2

4


/
2
* f ( x)  0 �  x  2 x  2  0

Ta có:

Vậy:

f (1) 

11
3 ; f (0)  1

max f ( x) 
 1;0

11
min f ( x)  1
3 ;  1;0
y

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

2 x 2  3x  3
 0; 2 .
x 1
trên đoạn

Hướng dẫn giải:
y

 4 x  3  x  1   2 x 2  3x  3

2
 x  1

/

Ta có:

Lại có y (0)  3 ,

y (2) 



2 x2  4x

 x  1

2

0

x � 0; 2 

.

17
3

17
min y  3 max y 
x� 0;2
3
Suy ra:
,
x� 0;2

Nhận xét:





�min f ( x)  f (a)
x� a ;b
 a; b � �
�
max f ( x)  f (b)
�

f đồng biến trên
�x� a ;b
;
�min f ( x )  f (b)
x� a ;b
 a; b � �
�
max f ( x )  f (a )
�
f nghịch biến trên
�x� a ;b

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

y

ln 2 x
1; e3 �
�
�.
x trên đoạn �

Hướng dẫn giải:
� ln x �
2
2
�
�x  ln x 2 ln x  ln 2 x
x
�

y/  �

x2
x2
Ta có:

Với mọi

x � 1; e3 

ta có
5


y /  0 � 2ln x  ln 2 x  0 � ln x  0 hoặc ln x  2
� x  1 hoặc



x  e 2 � x  e 2 1� 1; e3 



Vậy

� 9 4�
min y  min  y (1); y(e3 ); y (e2 )  min �
0; 3 ; 2 � 0
�e e
đạt được � x  1

� 9 4� 4
max y  max  y (1); y (e3 ); y (e)  max �
0; 3 ; 2 � 2
e đạt được � x  e 2 .
�e e
Bài tập tự luyện:
Tìm GTLN,GTNN của các hàm số:
2
Bài 1: y  x  2 x  5 trên đoạn [  2;3] .
2
Bài 2: y   x  2 x  4 trên đoạn [2; 4] .

3
[-3; ]
3
y

x

3
x

3
2 .
Bài 3:
trên đoạn
1
y  x3  2 x 2  3x  4
3
Bài 4:

trên đoạn [-4;0] .
3
2
Bài 5: y  x  3 x  9 x  1 trên đoạn [-4; 4] .
3
Bài 6: y  x  5 x  4 trên đoạn [-3;1] .
4
2
Bài 7: y  x  8 x  16 trên đoạn [1;3] .

Bài 8:

y

2 x2  5x  4
 0;1 .
x2
trên đoạn

 7 �
�
; �
�
y

s
inx
6
6 �.
�

Bài 9:
trên đoạn

2 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một miền vô hạn:
Đối với dạng toán này khi giải ta nên lập bảng biến thiên.
 Tìm tập xác định của hàm số.
'
'
 Tìm y , cho y  0 giải nghiệm.
6


 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

y  x 5

1
x trên khoảng (0; �)

Hướng dẫn giải:
Trên khoảng (0; �) , ta có
y/  1

1 x2 1
 2
x2
x ;

y /  0 � x 2  1  0 � x  1.
Bảng biến thiên

x

0
-

y/
y

�

1
0

+

�

�
-3

Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; �) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá
trị nhỏ nhất của hàm số.
Vậy

min f ( x)  3

 0;�

(tại x=1).

 Không tồn tại giá trị lớn nhất của f ( x ) trên khoảng (0; �) .

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số

y  f ( x) 

9
x
 �;0  .
x
trên khoảng

Hướng dẫn giải:
y  f ( x) 

y/ 

y 
/

Vì

9
x
x

f / ( x)  1 

9
x2

f / ( x)  0 � 1 

x3
�
9
0� �
2
x  3
x
�

x � �;0  nên ta lấy x  3 , loại x  3
7


Bảng biến thiên:

x

y
y

3
0

�

/

+

0
+

6
�

�

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy GTLN của hàm số trên khoảng
không có GTNN vì hàm số giảm xuống �.
Vậy

max y  6
 �;0

 �;0 

là 6 và

tại x  3

 Hàm số không có GTNN
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  x  x  4
Hướng dẫn giải:
TXĐ: D  [4; �)
y/  1

1
2 x4

y/  0 � 1

1
0�
2 x4

x4 

1
1
17
� x4 � x 
2
4
4

Bảng biến thiên:

x

17
4

4

y

/

-

0

�
+

8


y

�

4

15
4
15
Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy GTNN của hàm số là 4 và không có GTLN vì hàm
số tăng lên �

Vậy

min y 

 4; �

15
17
x
4 tại
4

Hàm số không có GTLN
3
2
Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  x  3 x  9 x  5 trên tập xác định.

Hướng dẫn giải:
3
2
Hàm số y  x  3 x  9 x  5 .



TXĐ: D=R
y /  3x2  6 x  9




x  1
�
y /  0 � 3x2  6 x  9  0 � �
x3
�

Bảng biến thiên:



x

y
y

�

+

/

-1
0

-

3
0

�
+

�

10
�

-22

 Hàm số không có GTLN và GTNN.
Bài tập tự luyện:
3
 0;� .
Bài 1: y   x  3 x  1 trên khoảng

9


Bài 2:

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 6:

y  x

4
x trên khoảng  0;� .

y  x

1

x  1 trên khoảng  1; � .

y  x

1
x trên khoảng  2;� .

y  x

1
x trên nửa khoảng  0; 2 .

y

x
x  2 trên nửa khoảng  2; 4 .

�  �
� ; �
Bài 7: y  sin x  cos 2 x  s inx  2 trên khoảng � 2 2 �
.
3

Bài 8:

Bài 9:

y  x  3 

y

1
x  2 trên nửa khoảng  4; 2  .

x2  3
x  2 trên khoảng  �; 2  .

3
 0; � .
Bài 10: y   x  3 x  1 trên khoảng

3.2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Trước tiên định nghĩa của bất đẳng thức là gì?
+ Là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.
ab
ab
a �b
a �b

(với a,b là hai đối tượng để so sánh)

2. Các bất đẳng thức thường sử dụng:
 Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)
 Sơ lược về bất đẳng thức AM-GM:

10


 Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh
bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều

người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách
chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên.
 Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân
của n số thực không âm được phát biểu như sau:
 Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng,
và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
Với 2 số :
ab
� ab
2
Dấu bằng xảy ra khi a=b

Với n số :

x1  x2  ...  xn n
� x1 .x2 .....xn
n
lưu ý: n là số tự nhiên lớn hơn 1.
 Sơ lượt về bất đẳng thức Cauchy-schwars:
 Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức
Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–
Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS.
 Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường:
a b
 a²   b²   c²   d ²    �  ac    bd  ² Dấu bằng xảy ra khi c  d

3. Ứng dụng của Bất đẳng thức vào trong thực tế:
Trong thực tế bất đẳng thức được sử dụng thường xuyên mà bạn không hề biết. ví dụ như bạn hay
so sánh chiều cao của bạn với một người nào đó cũng là bất đẳng thức. Nếu không có bất đẳng thức

trong cuộc sống bạn nghĩ điều gì sẽ xảy ra? Mệnh giá tiền sẽ như nhau, bạn không thể biết được 1 bó
rau và 2 bó rau bó nào nhiều rau hơn, Và bạn sẽ không biết được người yêu cũ và người yêu mới ai yêu
bạn nhiều hơn, ai hợp với bạn hơn…
Đó là những điều đời thường nhất mà bất đẳng thức có trong cuộc sống của bạn. Còn trong nghiên
cứu toán học, bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn
trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích
phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai…, và còn
trong nhiều lĩnh vực thuộc nhiều ngành khoa học khác nữa.
Một trong những ứng dụng của bất đẳng thức là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

11


4. Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bất đằng thức:
2

Ví dụ 1: Diện tích của hình chữ nhật ABCD là 16cm , tìm chu vi nhỏ nhất của hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
S  a.b  16
p  2.(a  b)
Mà a  b �2 ab theo bất đẳng thức AM-GM.
Vậy p đạt giá trị nhỏ nhất khi a=b, ta có:
p  2.2 ab = 2.2 16  16
a2  1
a 1 .
Ví dụ 2: Cho a>1, tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
P

a 2  2a  1  2 a  2  2
a 1
2
(a  1)
2( a  1)
2



a 1
a 1
a 1
2
 a 1
2
a 1
P

2
2
�2. (a  1).
a 1
a  1 (theo bất đẳng thức AM-GM)
Nên ta có:
a 1

2
2
 2 �2. ( a  1).
22 22

a 1
a 1
2
a 1 
Pmin  2 2  2
a 1 � a  1 2
Vậy
khi
x 2  y 2  1 , tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của F  x  y 3
:
Cho
Ví dụ 3
.
Hướng dẫn giải:
a 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:



F2  x  y 3

   x.1  y. 3 
2

2

2

�( x 2  y 2 )(1  3 )  4

� 2 �F �2

12


y
�x
�1  3
�
�
� �x 2  y 2  1 �
�
�x  y 3  2
�
MaxF  2 .

� 1
x
�
� 2
�
�y  3
�
2
�

y
�x


�1
3
�
�2
MinF  2 � �x  y 2  1 �
�
�x  y 3  2
�

� 1
�x  2
�
�
�y   3
�
2
�

2
2
Ví dụ 4: Cho x  y �2 x  4 y , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F  2 x  y .
Hướng dẫn giải:
2
2
x  y �2 x  4 y

� x 2  y 2  2 x  4 y �0
� ( x 2  2 x  1)  ( y 2  4 y  4) �5
�  x  1   y  2  �5
Mặt khác:

F  2 x  y  2 x  2  y  2  4  2.( x  1)  ( y  2)  4
� F  4  2.( x  1)  ( y  2)
2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

 F  4

2





  2.( x  1)  1.( y  2)  �(22  12 ). ( x  1) 2  ( y  2) 2 �25
2

� 5 �F  4 �5 � 1 �F �9
1
�2
�x  1  y  2
�
�x  3
2
2
�
max F  9 � �
 x  1   y  2   5 � �

�y  3
�
2x  y  9
�
�
�
1
�2

�x  1 y  2
�
�x  1
2
2
�
min F  1 � �
 x  1   y  2   5 � �
�y  1
�
2 x  y  1
�
�
�
Tất cả các ví dụ lúc nãy chỉ để tham khảo cách làm, các bạn có thể tự tìm kiếm được trên mạng
hay trong sách hay bất cứ tài liệu nào liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất bằng bất
13


phương trình. Điều mình muốn nói ở đây không chỉ là việc tìm và giải những bài khó, mà là đa số
các bạn ở đây đều theo hướng sư phạm và mình muốn các bạn tìm ra những phương thức khiến

học sinh dễ tiếp thu hơn thích thú hơn với việc học tập thay vì ngồi nghe những kiến thức khô
khan, nhàm chán. Như ví dụ 1 các bạn có thể tìm ra những giải pháp để làm cho bài toán đó trở
nên thực tế hơn ví dụ như bài làm chuồng của nhóm bạn Đạt đã thuyết trình, hay một bài toán
liên quan đến thực tế và có ý nghĩa hay một bài toán khiến học sinh thích thú. Những đứa học trò
mà bạn dạy không chỉ thích một người thầy hay một người cô có kiến thức vững vàng mà còn
muốn người giáo viên của mình truyền cảm hứng cho mình nữa. vì thế mình mong rằng các bạn
hãy tự tìm ra sự hứng thú cho học sinh khi học bất đẳng thức nói riêng hay toán học nói chung.
Ví dụ 5: Vào những ngày cận kề tết thì có ba Á với Á gói bánh tét với bánh chưng (ba Á thì gói
bánh còn Á thì cột dây bánh lại).Gói 10 cái bánh tét thì lãi được 200 ngàn, gói 10 cái bánh chưng
thì lãi được 160 ngàn. Muốn làm được 10 cái bánh tét thì phải mất 1 giờ 30 phút để gói và 30
phút cột dây bánh. Muốn làm 10 cái bánh chưng thì gói mất 30 phút gói bánh và 30 phút cột dây.
Ba Á đau lưng nên chỉ làm 3 tiếng một ngày là nghỉ, còn Á thì buồn ngủ nên chỉ làm không quá 2
tiếng là đi ngủ mai rồi dậy làm tiếp. Vậy giờ gói bao nhiêu cái bánh tét bao nhiêu cái bánh chưng
trong 1 ngày để có lãi cao nhất?
Hướng dẫn giải:
Gọi x,y lần lượt là số cái bánh tét và bánh chưng làm được trong 1 ngày ( x, y �0 ). Khi đó số
tiền lãi một ngày là L=200.000x+160.000y và số giờ làm việc của mỗi người là:
Ba: 1,5x+0,5y và Á: 0,5x+0,5y.
Vì mỗi ngày Ba không là việc quá 3 giờ và Á không làm việc quá 2 giờ nên x,y thỏa mãn hệ bất
phương trình:
1,5 x  0,5 y �3
�
�
0,5 x  0,5 y �2
�
�x, y �0
�
(*)
Khi đó bài toán trở thành:
 x  x0 , y  y0  sao cho

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm
L=200.000x+160.000y lớn nhất.
Vẽ biểu diễn các miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trục số ta sẽ nhận được kết quả bài
toán.
 Đáp số: 440.000đ

3.3. SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Giả sử

f  x

f  x
xác định trên tập M , để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
trên M ,

người ta có thể giải bằng cách tìm tập
là tập giá trị của

f  x

f M

hay còn gọi là tập giá trị của

f  x

trên M . Gọi G

f  x  y
trên M , thì y �G khi và chỉ khi tồn tại x �M để

Điều này

14


f  x  y
tương đương với phương trình
có nghiệm trong M .Đến đây người ta dùng kiến thức
phương trình để rút ra điều kiện của y và từ đó xác định được G .

Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của các hàm

f ( x)  ax 2  bx  c với a �0 và g ( x )  a cos x  b sin x  c .
Hướng dẫn giải:
2
Gọi G là tập giá trị của f ( x )  ax  bx  c .

y �G khi và chỉ khi phương trình ax 2  bx  c  y có nghiệm.
� ax 2  bx  c  y  0

(*)

  b 2  4a  c  y  �0
Để (*) có nghiệm thì
2
Hay   b  4ac �4ay





y�
4a
Nếu a  0 thì

�
�
; ��
�
�
� Tập giá trị của f  x  là �4a




y�
4a
Nếu a  0 thì

�  �
��;
�
� Tập giá trị của f  x  là � 4a �
 Nhận xét :




4a .
Nếu a  0 thì
có giá trị nhỏ nhất là


max f  x  
f
x


4a .
Nếu a  0 thì
có giá trị lớn nhất là
f  x

min f  x  

g  x
Gọi D là tập giá trị của

y �D khi và chỉ khi phương trình a cos x  b sin x  c  y  0 có nghiệm.
15


a cos x  b sin x  c  y  0
�  a cos x  b sin x    y  c 
2

2

.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars:

 a cos x  b sin x  �a 2  b2
2
�  y  c  �a 2  b 2
2

�  a 2  b2 �y  c � a 2  b 2
� c  a 2  b 2 �y �c  a 2  b 2
�D�
c  a 2  b2 ; c  a 2  b2 �
�
�
 Kết luận:

max g  x   c  a 2  b 2 .
min g  x   c  a 2  b 2 .

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f  x 

2cos x  sin x  1
cos x  sin x  2 .

Hướng dẫn giải:
Vì cos x  sin x  2  0

x

Nên hàm số xác định với mọi x
f  x

Gọi G là tập giá trị của

2cos x  sin x  1
y
y �G khi và chỉ khi phương trình cos x  sin x  2
có nghiệm.
�  2  y  cos x   1  y  sin x   1  2 y   0

��
 2  y  cos x   1  y  sin x �
�
�  1  2 y 
2

có nghiệm.

2

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars:

�
 2  y  cos x   1  y  sin x �
�
�� 2  y    1  y 
2

2

2

16


�  1  2 y  � 2  y    1  y 
2

2

2

� 2 y 2  2 y  4 �0
� 1 �y �2
� G   1; 2
 Kết luận:

min f  x   1
max f  x   2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

sin 2 x
cos x  sin x  2 .

Hướng dẫn giải:
Hàm số xác định với mọi x
Gọi G là tập giá trị của y
m �G khi và chỉ khi phương trình sin 2 x  m  cos x  sin x   2m  0 có nghiệm.

sin 2 x  m  cos x  sin x   2m  0

Đặt t  sin x  cos x

,

 *

t ��
 2; 2 �
�
�

� t 2  cos 2 x  sin 2 x  2cos x sin x
� t 2  1   sin 2 x
� sin 2 x  1  t 2

 *

trở thành:

t 2  mt  2m  1  0
Đặt

f  t   t 2  mt   2m  1

t 2  mt  2m  1  0

,

t ��
 2; 2 �
�
�

 1

17


  m 2  8m  4
�
m  4  2 3
0� �
m  4  2 3
�

 2; 2 �
 1 có một nghiệm t  2  3 ��
�
�
Với m  4  2 3 khi đó
 2; 2 �
 1 có một nghiệm t  2  3 ��
�
�
Với m  4  2 3 khi đó




  0 � m 2  8m  4  0





�
� m � �; 4  2 3 �
4  2 3; �
�U �
Khi đó
Để

 1

có hai nghiệm phân biệt

 1 có nghiệm thuộc

 2

x1, x2

�
 2; 2 �
�
�khi một trong các trường hợp sau xảy ra:

�

 2; 2 �
�
Trường hợp hai nghiệm thuộc �

���۳
2 x1 x2

2

� 2 2
m�
�
2
�
 2 �0
� 2 2
۳ �
m
2 0
2
�
�
�
2 2�
2 2 �m �2 2
S
�
m
�


2
2;
�
�
�
2� � 2
2 � *
�
2
�

�
�f
�
�
�f
�
�

�

 
 

�
 2; 2 �
�
Trường hợp một nghiệm thuộc �
�
 2 �x1 � 2 �x2

� f  2 f
�
x1 � 2 �x2 � 2
�
�



  2  �0 � 2m

2

�
2 2 2 2�
 4m  1 �0 � m ��
;
�
2 � **
� 2

�
2 2�
� m ��
2 2;
�
2 �  3
 * và  **
�
Kết hợp
�

2 2�
� m ��
4  2 3;
�
2 �
2
3


�
Giao
và
18


�
2 2 �
m ��
4  2 3;
�
 2; 2 �
2 �
 1 có nghiệm thuộc �
�
�
�
Vậy với
thì phương trình
�
2 2 �

4  2 3;
�
�
2 �
 Vậy tập giá trị của hàm đã cho là �
 Do đó :

min y  4  2 3
max y 

2 2
2
.

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

x2
x  x 1
2

Hướng dẫn giải:
Vì mẫu số dương với mọi x nên hàm xác định với mọi x .
Gọi G là tập giá trị của y

x2
m
m �G khi và chỉ khi phương trình x  x  1
có nghiệm.

2

� mx 2   m  1 x   m  2   0
mx 2   m  1 x   m  2   0




có nghiệm.

 *

 * có nghiệm x  2
Với m  0 thì phương trình
Với m �0 :

  3m 2  10m  1
Để

 * có nghiệm

�   3m 2  10m  1 �0
�
52 7 5 2 7 �
� m ��
;
�
3 �
� 3

�
52 7 5 2 7 �
m ��
;
�
3
3 �
�
Kết hợp với m  0 , ta được
19


�
52 7 52 7 �
G�
;
�
3
3 �
�
Vậy tập giá trị
 Do đó:
min y 

52 7
3

max y 

5 2 7

3

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y

x2
x  2x  1 .

y

2x 1
x  2 x  10 .

y

cos 2 x  cos x sin x
cos 2 x  1
.

y

cos 4 x  sin 4 x
cos6 x  sin 6 x  cos 2 2 x .

y

cos 4 x  sin 4 x  1
cos6 x  sin 6 x .

2

2

3.4 PHƯƠNG PHÁP  LẶP:
2
2
Lý thuyết: Cho tam giác bậc hai f ( x )  ax  bx  c với biệt thức   b  4ac . Khi đó chúng

ta có:


f ( x ) có nghiệm khi và chỉ khi  �0 .



f ( x ) �0 với mọi x khi và chỉ khi a  0 và  �0 .



f ( x ) �0 với mọi x khi và chỉ khi a  0 và  �0 .

Sử dụng các tính chất này, người ta dễ dàng giải quyết được các vấn đề về cực trị cũng như các
bất đẳng thức đối với các đa thức bậc hai nhiều biến.

20


2
2
2
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2x  2 y  3z  2 zy  2xz  2x-2y+2z+3 > 0 với mọi
x,y,z.

Hướng dẫn giải:
Ta xem x là biến còn y,z là các tham số. Ta có:

2x 2  2 y 2  3z 2  2 zy  2xz  2x-2y+2z+3 > 0
� 2x 2  2(1  z ) x  (2 y 2  3z 2  2zy  2 y  2z  3)  0 với mọi x,y,z
�a  3  0
� �'
�1  0 với mọi y,z
� 1'  (1  z ) 2  2(2 y 2  3z 2  2zy  2 y  2z  3)  0 với mọi y,z.
� 1'  4 y 2  4( z  1) y  (5z 2  6z  5)  0 với mọi y,z.

Ta xem y là biến còn z là tham số nên ta có:

�a  4  0
� �'
� 2  0

với mọi z
�  '2  4( z  1) 2  4(5z 2  6z  5)  0 với mọi z.
�  '2  16z 2  16z  16  0 với mọi z.

a  16  0
�
� �'
3  0
�
�  3'  64  162  192  0 luôn đúng.

 Điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức với các biến x,y,z

A  x 2  2 y 2  3z 2  2zy  xz  2x  2 y .
Hướng dẫn giải:
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
۳ A m với mọi x,y,z ( tồn tại x,y,z để xảy ra đẳng thức).
21


� x 2  2 y 2  3z 2  2zy  xz  2x  2 y  m �0 với mọi x,y,z.
Ta xem z là biến còn x,y là các tham số. Ta có:

3z 2  (2 y  x) z  ( x 2  2 y 2  2x  2 y  m) �0 với mọi z,x,y.
�a  3  0
��
�1 �0

với mọi x,y

� 1  (2 y  x) 2  12( x 2  2 y 2  2x  2 y  m) �0 với mọi x,y.
� 1  20 y 2  4( x  6) y  (11x 2  24x  12m) �0 với mọi x,y.

Ta xem y là biến còn x là tham số nên ta có:

a  20  0
�
� �'
 2 �0
�
với mọi x
�  '2  4( x  6) 2  20(11x 2  24x  12m) �0 với mọi x.
�  '2  24 �
9x 2  22x  (6  10m) �
�
��0

với mọi x.

�  '2  9x 2  22x  (6  10m) �0 với mọi x.

�a  9  0
� �'
� 3 �0
Để x tồn tại:
�  3'  121  9(6  10m)  0
�m

35

18

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là min

A

35
18

2
2
2
Ví dụ 3: Với điều kiện nào của m thì x  y  z  mzy - xz  x  y  1 �0 với mọi x,y,z ?

Hướng dẫn giải:
Ta xem x là biến còn y,z là tham số. Ta có:
22


x 2  y 2  z 2  mzy - xz  x  y  1 �0 với mọi x,y,z.
� x 2  (1  z ) x  ( y 2  z 2  mzy  y  1) �0 với mọi x,y,z.
a 1 0
�
��
1 �0
�
với mọi y,z
� 1  (1  z ) 2  4( y 2  z 2  mzy  y  1) �0 với mọi y,z.
� 1  4 y 2  4( mz  1) y  (3z 2  2z  3) �0 với mọi y,z.

Ta xem y là biến còn z là tham số nên ta có:

�a  4  0
� �'
� 2 �0
với mọi z
�  '2  4(mz  1) 2  4(3z 2  2z  3) �0 với mọi z.
�  '2  4 �
( m 2  3) z 2  2( m  1) z  2 �
�
��0 với mọi z.

�  '2  (m 2  3) z 2  2(m  1) z  2 �0 với mọi z.

a  m3 0
�
� �'
 3 �0
�
�m  3
� �'
2
2
�3  (m  1)  2(m  3) �0
5
�m �1
Giải hệ ta được 3
:
2
2

2
Ví dụ 4: Chứng minh tồn tại giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  4 y  z  2x  8 y  6z+15 và tìm
giá trị đó?

Hướng dẫn giải:
2
2
2
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biếu thức x  4 y  z  2x  8 y  6z+15

� x 2  4 y 2  z 2  2x  8 y  6z+15 �m
23


� x 2  4 y 2  z 2  2x  8 y  6z+15-m �0
Ta xem x là biến còn y,z là tham số. Ta có:

� x 2  2x  (4 y 2  z 2  8 y  6z+15-m) �0 với mọi x,y,z ( x,y,z tồn tại)
a 1 0
�
� �'
1 �0
�
với mọi y,z
� 1'  1  (4 y 2  z 2  8 y  6z  15  m) �0 với mọi y,z.
� 1'  4 y 2  8 y  ( z 2  6z  14  m) �0 với mọi y,z.

Ta xem y là biến còn z là tham số nên ta có:

�a  4  0

� �'
� 2 �0

với mọi z

�  '2  16  4( z 2  6z  14  m) �0 với mọi z.
�  '2   z 2  6z  10  m �0 với mọi z.

�a  1  0
� �'
�3 �0
Để tồn tại z để bất đẳng thức xảy ra:
� 3'  m  1  0

� m 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất nếu có của các biểu thức sau
2
2
2
a) 4x  y  z  zy  xz  x  y  1 .
2
2
2
b) x  y  3 z  2 zy  z  x  y .
2
2
2
c) x  2 y  z  y  xz  x .
2

2
2
d) -x  y  z  zy  xz  x  y  1

24