skkn phân tích đa thức thành nhân tử

phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A. Đặt vấn đề:
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lý luận
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng
tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết
vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn
đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là
một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan
tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của
Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo
dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là
một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa
học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong
cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các
hoạt động tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng
t duy của ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ
đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu
cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của ngời
học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với
học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tợng ngời
học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi
mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và
kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ
động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học
đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trớc vấn đề
đó ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá,

khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

các phơng pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với

từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây dựng cho học sinh
một hớng t duy chủ động, sáng tạo.

2. Cơ sở thực tiễn
Nội dung của chơng trình đại số 8 khá phong phú và đa
dạng, bao hàm rất nhiều kiến thức đòi hỏi sự chính xác và
logic. Mong muốn nắm vững kiến thức về toán học để học
khá và học giỏi môn toán là nguyện vọng

của nhiều học

sinh. Trong đó đặc biệt là chuyên đề Phân tích đa thức
thành nhân tử. Nó đợc đa ngay vào trong chơng đầu, sau
phần các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chuyên đề: Phân
tích đa thức thành nhân tử chứa đựng nhiều kiến thức, kỹ
năng và phơng pháp suy luận mà chơng trình đòi hỏi. Nó
liên quan tới rất nhiều nội dung khác trong chơng trình nh:
Quy đồng các phân thức, giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu,
phơng trình tích, bất phơng trình, chứng minh chia hết
của đa thức...
Các bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử đơn giản

mà vẫn hàm xúc, không khó nhng vẫn đòi hỏi sự sáng tạo,
chắc chắn chúng sẽ lôi cuốn các em và làm các em hứng thú
học toán hơn. Dần dần hình thành

cho các em học sinh

một thói quen đi tìm một phơng pháp tối u cho một công
việc nào đó trong cuộc sống này.
Các em học sinh thờng gặp nhiều khó khăn trong việc đi
tìm lời giải của bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
có những bài không biết bắt đầu từ đâu vận dụng kiến
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

thức gì trong chơng trình đã họ, có những bài giải đợc một
đoạn rồi đi vào ngõ cụt, bế tắc... Qua nhiều năm giảng dạy
tôi luôn chăn trở, suy nghĩ tìm tòi thu thập tài liệu sắp xếp
sao cho hợp lý mong muốn giúp đỡ các em bớt gặp khó khăn
trong quá trình đi tìm lời giải cho bài toán Phân tích đa
thức thành nhân tử
II. Mục đích nghiên cứu đề tài
Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát
triển khả năng t duy, năng lực tự học của học sinh, tạo điều
kiện cho các em hứng thú , say mê học tập bộ môn.
Nêu lên đợc một số kinh nghiệm của bản thân về dạy học:
Phân tích đa thức thành nhân tử

B. Giải quyết vấn đề:
Phần I: Các kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm
Phân tích một đa thức thành nhân tử( hay thừa số)
là biến đổi đa thức đó thành một tích của những
đơn thức và đa thức.
2. Một số phơng pháp phân tích đa thức thành
nhân tử:
a- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thông thờng:
- Đặt nhân tử chung ( thừa số chung)
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm hạng tử.

b- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài
phơng pháp khác( bổ sung nâng cao)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử
- Phơng pháp biến đổi (đặt ẩn phụ)
- Phơng pháp hệ số bất định.
- Phơng pháp xét giá trị riêng.

Phần 2:BàI TậP áP DụNG:
I/ ĐặT NHÂN Tử CHUNG ( THừA Số CHUNG)

1. Kiến thức: Phơng pháp này thờng đợc xét đến trớc
tiên và dựa vào tính chất phân phối của phép nhân
đôi với phép cộng các đa thức:
AB + AC = A(B + C)
2. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 1: A = 6x3 9x2 = 3x2 (2x - 3)
Ví dụ 2 : B = 3x(x 2y) + 6y(2y - x)
= 3x(x 2y) - 6y(x 2y)
= (x 2y)(3x 6y)
= (x 2y).3(x 2y)

(1)
(2)

= 3(x 2y)2
Ví dụ 3 : C = 4x(x - y) + 3 (y - x)2
= 4x (x - y) + (x - y)2
= (x - y)(4x + 3x 3y)
= ( x- y)(7x 3y)
3. Nhận xét.
- Khi các hạng tử của một đa thức có chung một hay nhiều
nhân tử, ta có thể đặt nhân tử chung đó ra ngoài dấu
ngoặc nh ví dụ 1.
- Nhiều khi ta phải đổi dấu mới làm xuất hiện nhân tử
chung nh ví dụ 2 :
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(2y - x) = - (x 2y)
ở ví dụ 3 do số mũ chẵn nên (y - x)2 = (x - y)2 tránh mắc
sai lầm nh ví dụ 2.
(y - x)2 = - (x - y)2 là sai. Vì ta cần chú ý : Tích không
đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử ( tổng quát một số chẵn
nhân tử).
- Một chú ý nữa mà các em cần nhớ đó là phải phân tích
Triệt để nh ở ví dụ 2 nếu ta dừng lại tại (1) hoặc (2) thì
đa thức đã đợc phân tích thành nhân tử rồi nhng cha
Triệt để
II/ PHƯƠNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC:
1. Kiến thức: Phơng pháp này dựa vào 7 hằng đẳng
thức đáng nhớ.
2. Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
VD1: A = a4 b4 = (a2)2 - (b2)2
= (a2 - b2) (a2 + b2)

(1)

= (a - b)(a + b) (a2 + b2) (2)
VD2: B = (x2 + 1)2 = 4x2
= (x2 2x + 1) (x2 + 2x + 1)

(1)

= (x2 - 1) (x2 + 1)

(2)

VD3: C = (x + y)2 2(x + y) + 1
= (x + y 1)2
3. Nhận xét :
ở VD1; VD2 ta đều dùng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a - b)
(a + b) nếu ở cả hai ví dụ ta dựng lại ở (1) thì đa thức đã
đợc phân tích nh chua Triệt để. Còn nếu ở VD2 từ (2)
ta lại phậ tích tiếp: (x2 - 1) (x2 + 1)

= (x2 - 1)2

- VD3 cho các em thấy ta phải quan sát kỹ biểu thức để
dùng hằng đẳng thức cho nhanh.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

III/ PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.

1. Kiến thức: Cần tìm cách nhóm các hạng tử một cách
thích hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng
hằng đẳng thức đã học .
2. Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a VD1 :

A = xy 5y + 2y 10

Cách 1:

A = (xy 5y) + (2x - 10) = y(x - 5) + 2(x - 5) =

(x - 5)(y + 2)
Cách 2:

A = (xy + 2x) (5y + 10)
= x(y + 2) 5(y + 2)
= (x - 5)(y + 2)

b- VD2 :

B = ax bx + ab x2
= (ax x2) + ( ab bx)
= x(a - x) + b(a - x)
= (a - x) (b + x)

c- VD3 :

C = x2- y2 + 4x + 4
= (x2+ 4x + 4) - y2
= (x + 2)2 - y2
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)

Nhận xét:
- ở ví dụ 1 có hai cách nhóm đều thích hợp
- ở ví dụ 2 nếu ta nhóm (ax - bx) + (ab - x2 ) = x(a - b)+
(ab - x2 ) đến đây bế tắc.
Nh vậy các em cần nhớ là quan sát cân nhắc để nhóm
sao cho thích hợp hơn.
c- VD4 :

D = (x + y)3 x3 y3
= (x + y)3 (x3 +y3)
= (x + y)( x2+ 2xy + y2) - (x + y)( x2 - xy + y2)
= 3xy (x + y)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Trong VD4 các em đã nhóm nhẵm xuất hiện hằng đẳng
thức (x3 +y3). Tuy nhiên cách giải này hơi dài, ta có thể
giải cách khác ngắn gọn hơn đó là khao triển hằng
đẳng thức (x + y)3
D= (x + y)3 x3 y3

Cách 2:

= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 x3 y3
= 3x2y + 3xy2
= 3xy (x + y)
c- VD4 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

E = x2(y - z)+ y2(z - x) + z2(x - y)
- Dạng bài tập này ta có hai cách giải:
Cách 1: Khai triển 2 trong 3 số hạng đã cho rồi lại tìm cách

nhóm sao cho xuất hiện nhân tử chung giống nhân tử số
hạng còn lại
E = x2(y - z)+ y2z - y2x + z2x - z2y
= x2(y - z)+yz(y - z) - x(y2 z2)
= (y-z)( z2+yz xy xz)
= (y-z) [x(x-y)z(x-y) ]
= (y-z)(x-y)(x-z)
Cách 2 : Tách z-x = -(y - z) (x - y)
Hoàn toàn tơng tự hoặc là: y z = - (x-y) (z - x)
Hay: x y = - (y - z) (z - x)
Ta sẽ có E = x2(y - x)- y2[(y-z) + (x -z) ] + z(x-y)
= (x-z)( x2- y2) (x - y)( y2- z2)
= ...
= y(y - z)(x- y)(x-z)
Ngoài ra dạng bài tập này còn có cách giải khác đó là phơng
pháp xét giá trị riêng (phần sau)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IV. PHƯƠNG PHáP TáCH MộT HạNG Tử THàNH NHIềU
HạNG Tử
1. Tam thức bậc 2: A = ax2 + bx + c
a.

Phơng pháp tách hạng tử bx :

- Tổng quát tìm tích của ac:
- Phân tích ac = b1b2 /b1 + b2 = b
- Tách ax2 + bx + c = ax2+ b1x+ b2x + c
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = 4x2 4x 3
Ta có : ac = 4(-3) = -12 = -6.2 ( vì -6 + 2 = -4 = b)
A = 4x2 6x + 2x 3

= 2x(2x -3)+ (2x -3)
= (2x-3)(2x+1)
Nhận xét: Phơng pháp tách bx nhằm xuất hiện hệ số tỉ lệ
a b2
=
nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung.
b1
c

* Phơng pháp này phần lớn các em hay dùng vì nó dễ nhớ
và cũng dùng cho khá nhiều bài toán.
*Tuy nhiên để phân tích ac = b1b2 /b1 + b2 = b ta cần
chú ý nh sau:
- Nếu ac>0 mà b>0 b1 và b2>0
Ví dụ: A = x2 + 5x + 4 có ac = 1.4 = 4> 0 và b = 5>0
b1 = 1 ; b 2 = 4

* b<0 b1 và b2 < 0
Ví dụ A = x2 - 5x + 4
Ta thấy : b = -5<0 ac = 1.4 = 4 = (-1)(-4) = b1b2
- Nếu ac<0 mà b>0 ac phân tích thành hai thừa số
trái dấu.Trong đó có một thừa số dơng có giá trị tuyệt

đối lớn hơn.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD : A = x2 +5x 6
Có b=5>0 vậy ac = 1(-6)= 6(-1) = b1b2
- Nếu ac<0 mà b<0 ac phân tích thành hai thừa số trái
dấu trong đó có thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
B = 2x2 5x 3
Có: b = -5<0 vậy ac=-6 = (-6).1 = b1b2
b.

Tách hạng tử ax2

- Tổng quát ax2 nhằm xuất hiện hằng đẳng thức : (a b)2
c2
VD: Phân tích đa thức thành nhân tử
A= 3x2 8x + 4
= 4x2 8x +4 x2 = (2x -2)2 x2 = (x-2)(3x -2)
c.

Tách hạng tử c

- Tách c nhằm xuất hiện hằng đẳng thức: (a b)2 c
Ví dụ : B = 4x2 4x 3
= 4x2 4x + 1- 4
= (2x - 1)2 - 22

= (2x-3)(2x+1)
* Nhận xét: Có nhiều cách tách 1 hạng tử thành hai hạng
tử khác trong đó cách thông dụng là tách bx và. Trong trờng
hợp tam thức ax2 + bx + c có b là lẻ hoặc a không là bình
phơng của một số nguyên thì ta tách bx sẽ gọn hơn tách c.
2. Đa thức bậc cao: a0xn + a1xn-1 + ...+ an-1x+ an =
f(x)
Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức
a/ Khái niệm nghiệm của đa thức:
* Số a đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) =
0.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nh vậy nếu f(x) có nghiệm x=a thì nó chứa thừa số
x-a
b/ Nếu đa thức có nghiệm nguyên :
Chú ý : 1- Khi xét nghiệm nguyên của một đa thức
thì nên nhớ 2 định lý sau:

a. - Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1
là nghiệm của đa thức . Khi đó f(x) cha nhân tử
x-1
VD1: A = x3 + 3x2 -4
Có 1+3-4=0 nên 1 là nghiệm của A và A chứa nhân
tử (x - 1)
Cách1:

A= x3 - x2 + 4x2 -4x + 4x -4 (phơng pháp tách dần
dần)
= x2(x-1)+ 4x(x-1)+4(x-1)
= (x-1)(x+2)2
Cách 2: A = x3 - x2 + 4x2 -4
= x2(x-1)+ 4(x2-1)
= (x-1)(x+2)2
Cách 3: A = x3 + 3x2 -4
= x3 1 + 3x2 -3
= (x-1)(x2 + x + 1) + 3(x- 1)(x+1)
= (x-1)(x+2)2
Nh vậy khi đã biết đa thức có nhân tử là x-1 ta sẽ
dùng mọi phơng pháp tách để làm xuất hiện nhân tử
chung x 1. Tuy nhiên cách làm dễ nhất là phơng
pháp tách dần.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b. Nếu đa thc f(x) có tổng các hệ số hạng bậc chẵn

bằng tổng các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm
của đa thức khi ấy đa thức chứa nhân tử x + 1.
VD2: B = x3 -5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = 9 -5 = 4
Nên x = -1 là nghiệm của B có nhân tử x + 1 khi đó
tách B làm sao có nhân tử chung là x +1
Cách 1: B= x3 + x2- 6x + 9x + 9 6x2

= x2(x+1)-6x(x+1)+9(x+1)
= (x+1)(x-3)2
C ách2: Phơng pháp nhằm xuất hiện hằng đẳng
thức.
B = x3 -5x2 + 3x + 9
= x3 +3x2 + 3x + 1 - 8 x2 + 8
= (x +1)3 -8(x+1)(x-1)
= (x+1)(x-3)2
Chú ý : 2- Nếu đa thức có nghiệm nguyên khác 1
thì nghiệm đó phải là ớc của các hạng tử tự do an.
vậy ta tìm ớc của an rồi thử.
- Để nhanh chóng loại trừ các ớc của hệ số tự do không
là nghiệm của đa thc, ta có thể dùng nhận xét sau:
x= a là nghiệm của f(x) và f(1) ; f(-1) 0 thì

f (1)
và
a 1

f ( 1)
đều nguyên
a +1

Chứng minh: Thật vậy nếu số a là nghiệm của f(x) thì f(x
a) . Q(a) (1)
Thay x = 1 vào (1) ta có : f(1 ) = (1 - a).Q(1)
Do f(1)> 0 1 a 0 a 1.
Q(1) =

f (1)

Z
a 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Thay x = -1 vào (1) hoàn toàn tơng tự ta cũng có

f ( 1)
là
a 1

số nguyên.
VD3: f(x) = 4x3 -13x2 + 9x 18
Ta có Ư(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
f(1) =
-18
f(-1)=

x 1không là nghiệm của f(x)

-44
Trong các ớc trên ta dễ dàng thấy nhanh là:
18
18
18
18

;
;
;
3 1
6 1 9 1
18 1

Và

44

2 +1

Nh vậy chỉ còn lại 2 ớc là 2 và 3. Thử lại lần nữa ta
thấy 3 là nghiệm .
Vậy f(x) = (x-3)(4x2 x + 6)
* Nhận xét: -Các em nên nhớ là x = a là nghiệm thì
f (1)
f (1)
và
phải cùng nguyên . Cho nên các em phải quan sát
a 1
a +1

và thử nhanh nếu

f (1)
thì loại ngay mà không cần thử
a 1

f ( 1)
nữa.
a +1

- Cuối cùng khi đã tìm đợc các ớc thoả mãn rồi ta vẫn
phải thử lại lần nữa.
c. Nếu f(x) không có nghiệm nguyên mà còn nghiệm
hữu tỉ.

- Nghiệm hữu tỉ x =

p
trong đó :
q

p là ớc của an
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

q là ớc dơng của

a0
VD4: f(x) = 3x3 7x2 + 17x -5
Xét các số

1 5

1
;
thì ta thấy là nghiệm nên đa thc
3 3
3
1
3

f(x) sẽ có nhân tử là (x - ) hay (3x -1) và ta sẽ dùng phơng
phap tách dần nhằm xuất hiện nhân tử (3x-1)
Vậy f(x) = 3x3 7x2 + 17x -5
= 3x3 x2 - 6x2 + 2x + 15x -5
= x2(3x-1) 2x(3x-1)+5(3x-1)
= (3x-1)(x2-2x+5)
d/ Nhận xét
- Thông thờng sau khi nhẩm đợc nghiệm x = a ta thờng
dùng phơng pháp tách dần ( hoặc phơng pháp hằng
đẳng thức ... nếu đợc) sao cho xuất hiện nhân tử (x
a).
- Ngoài ra còn có thể dùng lợc đồ Hoóc ne để
tách( phân tích đa thức) cho nhanh.
* Tổng quát : f(x) = a0xn + a1xn-1 + ...+ an-1x+ an
Có nghiệm x = a
Khi đó ta có lợc đồ nh sau:

x=

a0
b0 =

a1
b1 = ab0 +

a2
...
b2 = ab1 + ...

an
0

a a0
a1
a2
n-1
n-2
n-3
f(x) = (x a)(b0x + b1x + b2x + ...)
- Nếu nhân tử Q(x)= b0xn-1 + b1xn-2 + b2xn-3 + ...
Ta lại nhẩm thấy có nghiệm x = b thì lại tách tiếp trên lợc
đồ nh đã làm với x = a
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f(x) = x3 -5x2 + 3x + 9

Nhẩm nhanh ta thấy f(x) có nghiệm x = -1 và x = 3 ta có

lợc đồ Hoóc ne nh sau ( hớng dẫn cách thực hành)
1-539x=31-2-30
x
x
x

x=-11
x-30

Vậy : f(x) = (x - 3)(x + 1)(x 3)
= (x + 1)(x - 3)2
- Thực tế ta làm gọn nh sau: (Nhng nhớ là các hệ số ta viết
theo thứ tự của bậc tơng đơng giảm dần, bậc nào khuyết
thì hệ số của bậc đó là 0).
* VD : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
F(x) = x3 7x 6
Nhẩm nhanh ta có x = - 1 ; x = -2 là nghiệm.
Ta có lợc đồ Hoóc ne:
x = -1
x = -2

1
1
1

0
-1
-3

-7

-6
0

-6
0

Vậy f(x) = (x + 1)(x + 2)(x 3)
Bài tập : Phân tích đa thức thành nhân tử( vơi nhiều
cách): f(x) = x3 7x 6
Chú ý rằng : -1; -2; -3 là nghiệm của đa thức nên ta có các
cách sau:
- Phơng pháp tách dần:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách 1: f(x) = x3 + x2 - x2 x - 6x 6
= x2(x + 1)- x(x + 1)-6(x + 1)=
Cách 2: f(x) = x3 + 2x2 -2 x2 4x - 3x 6
= x2(x + 2)- 2x(x + 2)-3(x + 2)=
Cách 3: f(x) = x3 -32x2 +3 x2 9x +2x 6
= x2(x - 3)+3x(x -3)+2(x -3)=
- Phơng pháp xuất hiện hằng đẳng thức
Cách 4: f(x) = x3 +1 - 7x 7= (x + 1)( x2 x + 1)- 7(x +
1)=
Cách 5: f(x) = x3 +8 - 7x 14= (x + 2)( x2 2x + 4)- 7(x +
2)=
Cách 6: f(x) = x3 -27 - 7x + 21= (x -3)( x2+ 3x + 9)- 7(x

-3)=
- Phơng pháp số hạng -7x:
Cách tách số hạng -7x:
Cách 7: f(x) = x3 -x - 6x 6= x(x2 - 1)-6(x + 1)=
Cách 8: f(x) = x3 -4x - 3x 6= x(x2 - 4)-3(x + 2)=
Cách 9: f(x) = x3 -9x +2x 6= x(x2 - 9)+ 2(x -3 )=
-Tách x3
Cách 10: 7x3 7x -6x3 6
V. PHơNG PHáP THÊM Và BớT CùNG MộT HạNG Tử
Dạng 1: Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện hiệu
của 2 bình phơng.
VD1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = x4 + 64 = (x2)2 + 82
= x4 + 16x2 + 64 - 16x2
= (x2 + 8)2 (4x)2
= (x2 4x +8) (x2 + 4x +8)
VD2:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

B = 81x4 + 4 =(9x2)2 + 22

= 81x4 +36x2 +4 36x2
= (9x2 + 2)2 (6x)2
= (9x2 -6x + 2) (9x2 + 6x + 2)
Nhận xét : Nh vậy ở dạng này đã có a2 + b2, ta chỉ việc
thêm và bớt số hạng 2ab, trong đó 2ab = c2 khi đó: A = a2 +

b2 = (a + b)2 2ab
= (a + b)2 c2 = (a + b -c) (a + b+ c)
* Dạng 2: Thêm và bớt cùng một số hạng làm xuất hiện thừa số
chung.
* Tổng quát: f(x) = x3m + 1 + x3n +2 + 1 luôn luôn chứa thừa số
là (x2 +x + 1)
Ví dụ: x7 + x 2 + 1; x5 + x + 1; x7 + x5 + 1
X8 + x +1; x10 + x5 + 1; x4 + x2 + 1
* Ví dụ; Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1/ A = x7 + x 5 + 1
= x7 x + x5 x2 + x2 + x + 1
= x (x6 -1) + x2 (x3 -1) + (x2 + x +1)
= x (x3 + 1) (x3 - 1) + x 2 (x3 -1)+ (x2 + x + 1)
= (x - 1) (x2 + x + 1) (x4 + x) + (x - 1)( x2 + x + 1)x2
+ (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5-x4-x+1)
2/ B = x4 + x2 +1.
= x4 x + x2 + x +1
= x(x3 -1) + (x2 + x + 1)
= x(x-1)(x2 + x+1)+ (x2 + x+1)
= (x2 + x+1) (x2 - x+1)
C = x 5 + x + 1 = x 5 x2 + x 2 + x + 1
= x2(x3- 1)+ (x2 + x+1)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= x2(x-1)( x2 + x+1)+ (x2 + x+1)

= (x2 + x+1)(x3 x2 + 1)

* Nhận xét: - Nh vậy ở dạng trên ta thấy các đa thức
luôn chứa cùng một nhân tử đó là: x2 + x+1.
Nên luôn luôn xoay quanh làm sao để có x2 + x+1
Nghĩa là nếu ban đầu nếu f(x) chỉ có 1 thì ta sẽ thêm
và bớt x2, x nh VD1.
- Nếu ban đầu f(x) có x2 + 1 thì ta sẽ thêm và bớt x nh
VD2.
- Nếu ban đầu f(x) có x+ 1 ta sẽ thêm và bớt x 2 nh VD3.
VI- PHƯƠNG PHáP ĐổI BIếN ( ĐặT ẩN PHụ )
1/ Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A = (x2 + x)2 2(x2 + x)- 15
Đặt x2 + x = y khi đó ta có:
A = y2 2y 15 = y2 5y + 3y 15
= y(y-5) + 3 (y-5)
= (y-5)(y+3)
= (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
b/ B = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) - 24
= (x2 +7x+10)(x2+7x+12) - 24
Đặt : x2 + 7x+11 = y. Ta có :
B = (y-1)(y+1)-24
= y2 - 1- 24 = y2 - 25
= (y-5)(y+5)
= (x2 +7x+11-5)(x2 +7x+11+5)
= (x2 +7x+6) (x2 +7x+16)
= (x2 +x+6x+6) (x2 +7x+16)
= [ ( x + 1) x + 6( x + 1)] (x2 +7x+16)
= (x+1)(x+6)(x2 +7x+16)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

* Nhận xét :

ở VD1 các em dễ dàng nhận thấy luôn là cần phải đặt
ẩn phụ : x2+x=y.Sau đó ta phân tích đa thức với biến mới
thành nhân tử. Cuối cùng ta phải thay trả lại biến chính và
quan sát xem còn có thể phân tích đợc nữa không. Nh VD1
thì cả hai nhân tử (x 2+x-5) và (x2+x+3) đều không phân
tích đợc nữa ta dừng lại. Còn VD2 nhân tử (x 2 +7x+6) =
(x+1)(x+6) nên ta phải phân tích hết cho triệt để.
- ở VD2 các em phải tìm cách nhóm 2 trong 4 thừa
số(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) rồi nhân phá ngoặc ta mới biết
phải đặt nhóm số hạng nào làm ẩn phụ. Thông thờng ngời ta
hay viết 4 thừa số theo một trật tự nhất định ( tăng hoặc
giảm dần của hệ số tự do) nên cách làm là ta sẽ nhân phá
ngoặc thừa số đầu và cuối làm một nhóm và hai thừa số
giữa làm một nhóm. Sau khi nhân phá ngoặc rồi đến B(1)
khi đặt ẩn phụ các em lu ý nh sau : Quan sát ta thấy hai số
hạng tự do là 10 và 12 có tổng (10+12):2=11.
(nghĩa là chia hết cho 2) thì ta đặt : x 2 +7x+11 = y cách
giải sẽ nhanh hơn.
Nếu không ta có thể đặt theo cách khác (cách này thờng dùng khi tổng của 2 số hạng tự do không chia hết cho 2)
nhng khi giải sẽ dài hơn, khó khăn hơn.
Cách 2 : của B = (x2 +7x+10) (x2 +7x+12)-24
Đặt x2 +7x+10 = y. Ta có :
B = y(y+2)-24 = y2 +2y-24 = y2 + 6y -4y - 24

= y(y+2)-4(y+6)
= (y+6)(y-4)
c/ Ví dụ : C = (x2+3x+1)( x2+3x+2) - 6
Ta thấy (1+2): 2 nên ta phải đặt : x2+3x+1 = y
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi đó: C = y(y+1)-6 (bạn đọc tự phân tích)
d/ Ví dụ :
D= (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)-6

Ta phải nhân phá (4x+1)(3x+2) và (12x-1)(x+1)
D= (12x2 +11x+2)(12x2 +11x-1)-6

Đặt 12x2 +11x-1= y (bạn đọc tự giải tiếp)
2/ Ví dụ: E=4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)- 3x2
= 4(x2+17x+60)( x2+16x+60)- 3x2
Đặt x2+16x+60 = t. Ta c ó:
E= 4(t+x)t-3x2
= 4t2+4tx+x2-4x2
= (2t+x)2-4x2
= (2t+x-2x)(2t+x+2x)
= (2t+x)(2t+3x) (bạn đọc tự giải tiếp)
2/ Ví dụ: Phân tích thành nhân tử.
M= x4+6x3+7x2-6x+1.
- Với những đa thức thức mà các hệ số gần nh mang
tính chất đối xứng ta giải nh sau:

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của đa thức.
Khi đó:
M= x2(x2=6x+7-

6
1
+ 2)
x
x

1
2 1

( x 2 ) + 6( x ) + 7

x
x

= x2

Đặt x-

1
1
1
= y x2 + 2 = (x- )2 = y2 +2
x
x
x

Ta có: M= x2(y2+2+6y+7) = x2(y+3)2
1
x

= x2(x- +3)2 = (3x+x2-1)2
* Chú ý: Ví dụ trên còn có cách nh sau:
M= x4+6x3-2x2+9x2-6x+1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= x4+2x2(3x-1)+ (3x-1)2
= (x2=3x-1)2

VII/ PHƯƠNG PHáP Hệ Số BấT ĐịNH.
1/ Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
VD1: A= x3-19x-30.
Ta thấy rằng kết quả cần tìm phải có dạng:
A= (x+a)(x2+bx+c)
= x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac.
Ta phải tìm bộ 3 số a, b, c thoả mãn
x3-19x-30 = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac.
Vì 2 đa thức này đồng nhất nên ta có hệ sau;
a+b=0
a.c = - 30
ab+c = - 19
Vì a, c Z mà tích a. c = - 30.
a, c { 1,2,3,5,6,10,15,30} .

với a= 2, c= -15 b= -2 thoả mãn hệ.
Vậy A= x3-19x-30 = (x+2)(x2-2x-15)
VD2: B= x4-6x3+12x2-14x+3.
Ta nhận thấy các số 1,3 không là nghiệm của đa thức,
đa thức không có nghiệm nguyên, cũng không có
nghgiệm hữu tỉ. Nh vậy nếu đa thức phân tích đực
sễ có dạng:
B= (x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4+(a+c)x3+(ax+b+d)x2+ (ad+bc)x+bd
Đồng nhất với đa thức đã cho ta có hệ:
a+c = -6
ac+b+d=12
ad+bc=-14
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


phân tích đa thức thành nhân tử
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

bd=3

Xét bd = 3 mà b, d Z b, d { 1,3}
với b = 3, d= 1 ta có hệ

a+c = -6

(1)

ac = 8

(2)

a + 3c = -14

(3)

Từ (1), (3) 2c= -8 c = -4
Từ (2) a = -2
Vậy: B= (x2-2x+3)(x2-4x+1)
2/ Nhận xét:
- Phơng pháp hệ số này ta ít dùng vì nó quá phức
tạp. Tuy nhiên khi đã tìm ra kết quả ta nên tình
bày lời giải dới hình thức quen thuộc dễ hiểu (phơng pháp hệ số bất định cho nên nhẩm ngoài giấy
nháp).
Thật vậy ta có:
B=x4-6x3+12x2-14x+3
= x4 - 4x3 +x2-2x+8x2-2x+3x2-12x+3.
= x2(x2-4x+1)-2x(x2-4x+1)+3(x2-4x+1)
= (x2-4x+1)(x2-2x+3)
VIII- PHƯƠNG PHáP XéT GIá TRị RIÊNG.
1/ Trong phơng pháp này, trớc hết ta xác định dạng
các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các
giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
2/ Ví dụ: Phân tích thừa số:
a/ A= x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)

(1)

Giả sử thay x bởi y thì:

A= x2(y-z)+y2(z-x)+0 = 0
Nh vậy A chứa nhân tử (x-y)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× A kh«ng

®ỉi (x, y, z ho¸n vÞ vßng quanh). Do ®ã A ®· chøa (xy) th× còng chøa (y-z) vµ (z-x).
VËy A= k(x-y)(y-z)(z-x)
V× (1) b»ng (2) nªn k sÏ lµ h»ng sè (kh«ng chøa biÕn) vµ
sÏ ®óng mäi x, y, z nªn ta g¸n cho x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng
(chän t ý, chØ cÇn ®«i mét kh¸c nhau ®Ĩ (x-y)(y-z)
(z-x) ≠ 0).
Ch¼ng h¹n x= 2, y=1, z=0 ta ®ỵc:
4.1+1(-2)+0 = k.1.1.(-2)
⇒ k=-1

VËy P= - (x-y)(y-z)(z-x)= (x-y)(y-z)(x-z)
3/ NhËn xÐt:
Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng cã vỴ nhanh gän nhng
tr×nh bµy thµnh mét bµi l¹i kh¸ dµi. T theo tõng bµi ta
míi nªn ¸p dơng ph¬ng ph¸p nµy. Ch¼ng h¹n vÝ dơ trªn
cã 2 c¸ch gi¶i gän h¬n ®· tr×nh bµy ë phÇn “Ph¬ng
ph¸p nhãm nhiỊu h¹ng tư”- VD5.
C- KÕT QU¶
THỜI ĐIỂM

Từ tháng 9 đến
KSCL đầu năm
Từ tháng 11 đến thi
HKI
Từ tháng 01- 2013
đến giữa HKII
Tóm lại:

Học sinh có kỹ
năng giải bài
toán
TL

Học sinh chưa có
kỹ năng giải bài
toán
TL

45,2%

54,8%

59,5%

40,5%

78,6%

21,4%

Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy
nhiều học sinh nhìn nhận giải quyết bài toán chưa
đúng, chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm
của đề bài, chưa nắm được phương pháp giải từng
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

dạng toán. Cho nên nhiều học sinh làm bài còn mơ
hồ, trình bày không khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng
biến đổi còn hạn chế và chưa biết tự kiểm tra kết
quả.
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương

pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến
thức hơn, hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập
này. Phương pháp này giúp cho các học sinh yếu, học
sinh trung bình nắm vững chắc về cách phân tích đa
thức thành nhân tử trong chương trình đã học và rèn
kỹ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt
động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông
qua các dạng bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho
học sinh khá, giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một
số phương pháp giải khác, các dạng toán khác
nâng cao hơn phát huy được tính tự học, tìm tòi, sáng
tạo của học sinh trong việc học toán.
D- BµI HäC KINH NGHIƯM
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những

kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi
rút ra một số kinh nghiệm sau:

 Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình
liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần
rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng
nắm được phương pháp vận dụng tốt các phương
pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh
thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài
tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không
nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý

cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ
bản, kó năng biến đổi, kó năng thực hành và
việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào
từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học,
gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy
óc tìm tòi, chủ động chiếm lónh kiến thức.

 Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm
chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh
tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao
khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em

biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương
tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó tập cho học
sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác
thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm
phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình
tự nghiên cứu của các em.

 Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên
kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học
sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có
liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở
trên.
Giáo viên phải đònh hướng và vạch ra những
dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghó đến
để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp
học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và
được rèn luyện về những kó năng phân tích một
cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển
nhanh trong các bài tập tổng hợp, kó năng vận
dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử một cách đa dạng hơn trong giải toán.
Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát

triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự suy mê
hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và
khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động
trong học tập và trong học toán.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá
trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập
bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào
tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển
chọn được nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp
huyện, tỉnh,....



Hướng phổ biến áp dụng
Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng

rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8, cho các
năm học sau, cho những trường cùng loại hình.



Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
khác (nâng cao)
Đề tài nghiên cứu cho các đa thức phức tạp
hơn, đi sâu vào việc nghiên cứu các đa thức đặc
biệt.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------