Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2017-2018 có đáp án_2

Header Page 1 of 128.

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)

Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Hòa Bình
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thạch Thành
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Lâm Thao
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Phù Ninh
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Quế Sơn
6. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Tiền Hải
7. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT thành phố Hồ Chí Minh
8. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Đăk Lăk
9. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Dương
10. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Lạng Sơn

Footer Page 2 of 128.


Header Page 3 of 128.

11. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An
12. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Quảng Bình
13. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Thanh Hóa
14. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Trà Vinh
15. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017-2018
có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Footer Page 3 of 128.


Header Page 4 of 128.
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO
TẠO HÒA BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017 - 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3  2013n2  2n chia hết cho 6.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho A  n2  10n  136 là một số chính
phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x2  12x+40 = x-2  10  x

1 1 1
x + y + z = 2

b) Giải hệ phương trình: 
 2 - 1 =4
 xy z2
Câu 3 (5,0 điểm).
a) cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x  y  z  2 . Tìm giá trị biểu thức

x2
y2
z2
M


y  z z x x  y
b)

cho

a,

b,

c

>

0

và

a  b  c  3.

Chứng

mimh

rằng :

a1 b1 c1


3
b2  1 c2  1 a2  1

Câu 4 (5,0 điểm)
Hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB, E là giao điểm
của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc CE và cắt AB tại F. M là trung điểm của EF
a) Chứng minh rằng CM vuông góc với EF
b) Chứng minh : ND.DE  a2 và B, D, M thẳng hàng
c) Tìm vị trí N trên AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích hình

vuông ABCD
- - - Hết - -

Họ và
thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................
Footer Page
4 oftên
128.


Header Page 5 of 128.

Footer Page 5 of 128.


Header Page 6 of 128.

Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.

Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.

Footer Page 8 of 128.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Header Page 9 of 128.
HUYỆN THẠCH THÀNH

Đề chính thức (Gồ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi 09/10/2017
(Thời gian: 150 phút không tính thời gian phát đề)

0 trang)

Bài 1: (4 điểm). Cho biểu thức:
 1
1 
2
1
A  

.
 
y  x  y x
 x

3
3
1 x  y x  x y  y

:
; (x > 0; y > 0).
y 
x 3 y  xy 3

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x  24  16 2  24  16 2 ;
y 2



24  16 2  24  16 2



c) Cho xy
T các giá trị của x, y ể A c giá trị nh nh t, t
Bài 2: (3 điểm). Giải các phương tr nh sau:
a) 1  x  (2 x  5)  6  x
b)

giá trị

.

x  1  x 3  x 2  x  1  1  ( x  1)( x 3  x 2  x  1)

Bài 3: (3 điểm).
a) Cho a; b nguyên dương và a + 1; b + 2007 ều chia hết cho
Chứng inh rằng 4a + a + b chia hết cho

b) Tìm các nghi
nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Bài 4: (6 điểm). Cho hình vuông ABCD và các iể E, F lần lượt trên các cạnh AB,
AD sao cho AE = AF Gọi H là h nh chiếu của A trên DE.
a) Chứng inh: AD2 = DH.DE; AH.DC = AF.DH
b) Xác ịnh vị trí của các iể E và F ể di n tích ta giác DHC g p 4 lần
di n tích ta giác AHF
c) Chứng

inh rằng Sin

DHC
DC

2
DH  HC

Bài 5: (4 điểm).
a) Cho ba số x; y; z  0 th a

ãn

1 1 1
  0
x y z

 xy yz zx

Tính giá trị của biểu thức: P   2  2  2  4 
x

y
z


b) Cho a; b; c là ba số dương th a
Chứng

inh rằng:

2017

ãn abc = 1

a2
b2
c2
3



b 1 c 1 a 1 2

Họ, tên thí sinh: .................................... Chữ ký của giám thị 1:...............................
Số báo danh:........................................... Chữ ký của giám thị 2:...............................
Footer Page 9 of 128.


HƯỚNG DẪN CH M BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 C P HUYỆN
Header Page 10 of 128.

MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2017 - 2018
§¸p ¸n

Bài

Điểm

a)
 1


x3 
1
2
1
1
.
A  

  :
y  x  y x y 
 x
 x y
2
x y x x  y x x

.

 :


xy
xy
x

y
x xy  y



 2
x  y 


:
 xy

xy




A
Bài 1
(4 điểm)

b)

x y
xy

.
2



x



y

y

xy

yy y
0,5

xy

0,5

0,5

(*)

4  2 2 





4  2 2 

2

x  42 2 42 2 8



x 3 y  xy 3



x  24  16 2  24  16 2 =
y 2

y3

x  y x  y 
xy x  y 

xy
x

y xx y

24  16 2  24  16 2 =


2


4  2 2 

2

2



0,5

4  2 2 

2





y  2 4  2 2  (4  2 2)   8

0,5
8 8 4 2
1


8

8.8
2

Thay x  8; y  8 vào (*) ta ược A 


c) Ta có: 



A

2

y   0  x  y  2


x

x
xy

x y 2
y



2

xy

xy



0,5

xy  0

xy
2

16
16

Vậy MinA = 1 khi x = y = 4 (thoả
a) 1  x  (2x  5)  6  x (1)

0,25
 1 (v xy = 16)

0,5

ãn ĐK ề bài)

0,25

1  x  0
5

x

ĐKXĐ 6  x  0
(**)
2
 (2 x  5)  0




Bài 2
(3 điểm)

b)

0,25



2

Ta c ( )  1  x   (2 x  5)  6  x  1  x.  (2 x  5)  x  5
 (1  x)(2 x  5)  ( x  5) 2 (ĐK x  5 )

0,5

 x 2  7 x  30  0  ( x  3)( x  10)  0
 x  3 (th a ãn các ĐK) x  10 (loại v
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S   3.

0,5
h ng th a

ãn (**))

0,25

x  1  x 3  x 2  x  1  1  ( x  1)( x 3  x 2  x  1) (2)
Điều i n: x  1

0,25

(2) 

0,5

Footer Page 10 of 128.





x 1 1



x  x  x  1 1  0
3

2

Header Page 11 of 128.  x  1  1
x  2


3
2
x0
 x  x  x  1  1 

0,5

x  2 (th a m n ĐK); x  0 (không TMĐK)
Vậy tập nghi của phương tr nh là: S  2.

0,25

a) 4a + a + b = (4a + 2) +(a + 1) + (b + 2007) – 2010
Ta c : a  16 ; b  20076 ; 2010 6

0,5









4 a  2  4 a  1  3  4  1 4 a1  4 a2  ...  4  1  33

t hác: 4 a  2 là số ch n  4 a  22 à (3;2)  1 nên 4 a  26
Vậy 4 a  a  b6

Bài 3
(3 điểm)

b) T các c p số nguyên dương (x; y) của phương tr nh: 7x - xy - 3y = 0
Ta có: 7x - xy - 3y = 0  ( x  3)(7  y)  21 (3)

0,5
0,25
0,25
0,5

x  3  7
x  4

7  y  3  y  4

Vì x    nên x  3  4 t ( ) suy ra 

 x  3  21  x  18

7

y

1

y  6

ho c 

Vậy phương tr nh ã cho c hai nghi nguyên dương là:
( x; y)  (4;4) ; ( x; y)  (18;6)
- Học sinh vẽ h nh úng

A

E

0,75
0,25

B

H

0,5

F

I
D

C

M

a) Xét tam giác ADE và tam giác HDA

Bài 4
(6 điểm)

Có DAE  DHA  900 (gt); ADH là góc chung
AD DE
HDA (g.g) 

 AD 2  DH .DE
Vậy ADE
HD DA
HDA
T ADE
AD AE
DC AF



ta có
(1) (do AD = DC; AE = AF (gt))
HD HA
HD HA
t hác HDC  ADH  900 ; HAD  HDA  900
suy ra HDC  HAD (2)
T ( ) và (2) suy ra HAF
HDC (c.g.c)
AH AF


 AH .DC  AF .DH

DH DC
AHF
b) Theo chứng inh câu a DHC
2

nên ta có

Footer Page 11 of 128.

0,5

0,5
0,5

2

SDHC  DC  SDHC
 DC 
2
2

4
 ;
  4  DC  4 AF  DC  2 AF
SAHF  AF  SAHF
 AF 

Vậy ể di n tích ta

0,5

giác DHC g p 4 lần di n tích ta

giác AHF thì E; F

1,0


1
Header Page 12 lần
of 128.
lượt thuộc AB và AD sao cho AE  AF  AB (hay E; F lần lượt là trung
2

iể của AB và AD)
c) Vẽ ường phân giác HM của ta

giác DHC, theo tính ch t ường phân giác

DM MC
DM DM  MC
DC




HD HC
HD
HD  HC HD  HC
Vẽ DI  HM ( I  HM ) suy ra DI  DM

Xét IHD có HID  900 ;
DI
DHC DI DM
DC
Do
hay Sin
SinDHI 



HD
2
HD HD HD  HC
DHC
DC
Vậy Sin

2
HD  HC

của ta

giác, ta c :

3

a)

1 1  1
1 1 1

1 1
1
   0           
x y z
x y
z
x y  z

 3  4

2017

  1

2017

0,5
0,5
0,25
0,5

1 1 1
3
1 1
1 1 1
1
 3 3      3  3  3  3 
3
x
y

z
xyz
x
y
xy  x y 
z
yz xz xy
 2  2  2 3
x
y
z
2017

0,75

3



 xy yz zx

P   2  2  2  4
x
y
z


0,5

 1

0,5
0,5

0,5

b) Áp dụng b t ẳng thức Cauchy ta c :

Bài 5
(4 điểm)

a2
b 1
a2 b 1
a

2
.
 2.  a (1)
b 1
4
b 1 4
2
2
b
c 1

 b (2)
Tương t ta c :
c 1

4
c2
a 1

 c (3)
a 1
4

0,25
0,25
0,25

Cộng t ng vế các b t ẳng thức ( ) (2) và ( ) ta ược:
a2
b2
c2
b 1 c 1 a 1





 abc
b 1 c 1 a 1
4
4
4
a2
b2
c2

3(a  b  c)  3




(4)
b 1 c 1 a 1
4

0,5

t hác c ng theo b t ẳng thức Cauchy ta c :
a  b  c  33 abc  33 1  3 (5)

0,25

a2
b2
c2
3.3  3 3




b 1 c 1 a 1
4
2
ảy ra khi a  b  c  1

0,25

T (4) và ( ) suy ra
u

Chú ý: - Học sinh là cách hác úng ở mỗi bài vẫn cho iểm tối a
- Bài 4 học sinh vẽ hình sai ho c không vẽ hình thì không ch

Footer Page 12 of 128.

0,25

iểm.


PHÒNG
Header
Page 13GD&
of 128.ĐT LÂM THAO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
Môn: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1.Giá trị x thỏa mãn : 2 x  1  5  2 là :
1
A. x  25

B.

1
x4
2
2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2 x  3 với x  3 là :
x

A.-3

B. 3

C.

C.-4

D.

1
 x  25
2

D.4

Câu 3. Cho x  5  2 6  5  2 6 thì giá trị biểu thức N  x  3x  2008 là
A.2017
B.2018
C.2019
D. 2020

3

3

3

2
3

1
và trục Ox là:
2
A. 146019/
B. 330 42/
C. 146030/
D. 33069/
Câu 5 . Trên mặt phẳng tọa độ Cho ba điểm A 1;3 ; B  3; 1 ; C  4; 2  thì diện tích tam giác ABC là:

Câu 4 . Góc tạo bởi đường thẳng y   x 

A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
Câu 6. Điều kiện của m để 2 đường thẳng y  m(m  3) x  5m  2 và đường thẳng
y  (m  8) x  m(m  4) song song là :
A. m  4
B. m  2; m  1
C. m  2 hoặc m  4
D. m  2; m  1

mx  2 y  m  1
có nghiệm duy nhất là
2 x  my  2m  1

Câu 7 . Giá trị m để hệ phương trình : 
A. m  2

B. m  2

C. m  2

D. Giá trị khác

 x  y  4m  1
2 x  y  5(m  1)
Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x  3 y  13
A. m  2
B. m  2
C. m  4
Câu 8. Cho hệ phương trình : 

D. m  4

 x  y  2(m  1)
2 x  y  m  8

Câu 9. Cho hệ phương trình 

Hệ có nghiệm duy nhất  x; y  thì giá trị nhỏ nhất của x 2  y 2 là:
A.-2

B. 20
C.16
D.18


Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH kẻ HD AB, HE AC
(H  BC, D  AB,E  AC) thì AD.BD+AE.EC bằng:
B. BC2
A. DE 2
C. AH2
D. 2AH2
Câu 11. Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4
thì tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
9

góc vuông đó trên cạnh huyền là:
A.

2
3

B.

16
81

C.

4
9

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =
3
Footer Page
A. 13 of 128.
4

B.

4
3

C.

21
35

D.

9
4

3
. Khi đó tanB là :
5
35
D.
21

Header
Page
14tam
of 128.
Câu 13..
Cho
giác đều có độ dài cạnh là a thì độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

đó là:
A.

a
3

B.

a 3
6

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 14. Cho đường tròn tâm O bán kính R=4cm dây AB=5cm trên dây AB lấy điểm C sao cho
AC=2cm kẻ CD vuông góc với đường kính AE tại D .Tính độ dài AD :
5
7
5
D. 1,5cm
A.
B.
C.
cm
cm
cm
3

4

4

Câu 15. Cho đường tròn tâm O bán kính R=15cm dây AB=24cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax, qua O
kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt Ax tại C thì độ dài OC là:
A. 20cm
B. 25cm
C. 30cm
D. 35cm
Câu 16. Nêú bạn An đi lên môt thang cuốn tốc độ là 1 bước trên giây thì bạn An sẽ đến đỉnh thang
trong 10 bước nêú bạn An tăng vận tốc lên 2 bước trên giây thì sẽ lên tới đỉnh thang trong 16 bước .
Hỏi thang cuốn có bao nhiêu bước.
A. 30
B. 40

C. 50
D. 60
II. PHẦN TỰ LUÂN( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph-¬ng tr×nh :

1  x  x 2  x3  y 3
b) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)
a)Giải phương trình: 2 x2  5x  5  5x  1

 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
 xy  x  1  7 y
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. T hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By với n a đường tròn , điểm M thuộc n a đường tròn (sao cho tia Ax, By và n a đường tròn
chứa điểm M cùng nẳm trên n a mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp
tuyến Ax và By l n lư t ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH.
b) ẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài n a đường tròn (O) (BE và BD cùng n a
mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì đường
thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC, AC,

(a  b  c) 2
BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2
4
ha  hb2  hc2

Câu 4 (1,5 điểm).
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
 1 1 1
P  21 a 2  b2  c 2   12  a  b  c  2017   
a b c

------HẾT-----Footer Page 14 of 128.

2


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9

Header Page 15 of 128.

I.PHẦN TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN( 8 điểm)
Mỗi lựa chọn đúng 0,5 điểm Câu có 2 trở lên phải chọn đủ mới cho điểm
1.D

2.C

3.B

4.A

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.A,C

11.B

12.A

13.D

14.C

15.B

16.B

II.PHẦN TỰ LUẬN(12 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 1  x  x 2  x3  y3
b) Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho giá trị của biểu thức x 2  x  6 là một số chính
phương.
ĐÁP ÁN

ĐIỂM

b) (1,5 điểm)Ta có
2

2

1 3
11  19


x  x  1   x     0;5 x 2  11x  7  5  x   
0
2 4
10  20



0,5

 x3  1  x  x 2  x3   x  2 

0,5

2

x3   x 2  x  1  1  x  x 2  x 3   8  12 x  6 x 2  x 3    5 x 2  11x  7 
3

vì x, y  Z mà y 3  1  x  x 2  x3

Suy ra

x  0
 1  x  x 2  x 3  x  x  1  0  
 x  1
Voi x  0  y  1
Voi x  1  y  0

 x  1

Vay

3

0,5

 x; y   0;1 ;  1;0 

b) (1,5 điểm)

x 2  x  6  n 2 ;(n, x  Z )  4 x 2  4 x  24  4n 2  4 x 2  4 x  1  4n 2  23

 2 x  1  2n  2 x  1  2n   23;2 x  1  2n  2 x  1  2n
2 x  1  2n
2 x  1  2n
4x  2

-1
23
22

5

x
ậy số nguyên x c n tìm là 5 hoặc –6
Câu 2 (3,5 điểm)
Footer Page 15 of 128.
a) Giải phương trình: 2 x2  5x  5  5x  1

-23
1
-22
-6

0,75

0,75

3


 x 2 y 2  1  10 y 2
b) Giải hệ phương trình : 
(I)
 xy  x  1  7 y

Header Page 16 of 128.

ĐÁP ÁN

1

5
2
2 x  5 x  5  5 x  1  2  x 2  3x  2   x  1  5 x  1  0

ĐIỂM

a)( 1,5 điểm) ĐKXĐ x 

 2  x 2  3x  2  

 x  1

2





5x  1

x  1  5x  1



0,5

2

0

x 2  3x  2
1


 2  x  3x  2  
 0   x 2  3x  2   2 
0
x  1  5x  1
x  1  5x  1 

2

0,5

1
1
do x   2 
0
5
x  1  5x  1
x 1
x 2  3x  2  0   x  1 x  2   0  
x  2

0,5

S  1;2
b)( 2 điểm)
ta thấy y=0 không thoả mãn hệ (I) với y  0
2


 2 1
1
x
x


10
 x    2  10
2

y


y
y
0,5
(I )  
 
x
1
x 1
x    7

x

 7


y y

y y

đặt
1

S

x


y


P  x

y
 S 2  2 P  10
P  7  S
 S  6  S  4
0,5
 2


thay vào (II) ta đư c 
 P  13  P  3
S  P  7
 S  2S  24  0
t  1
1
S  4

ới 
=> x và
là 2 nghiệm của phương trình t 2  4t  3  0   t  1 t  3  0  
y
P  3
t  3

x  1
x  1


* 1

1
 y  3  y  3

x  3
x  3

* Page
of
1 16
 128.
Footer
 y 1 y 1


4

Header
6 17 of 128.
 S Page

1
suy ra x và
là 2 nghiệm của phương trình

y
 P  13
2
t 2  6t  13  0   t  3  4  0 Vo nghiem

0,5

 1

 x; y   1;  ;  3;1
 3 


0,5
Câu 3 (4,0 điểm) .
1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. T hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp
tuyến Ax và By với n a đường tròn , điểm M thuộc n a đường tròn (sao cho tia Ax, By và n a
đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên n a mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba,
cắt các tia tiếp tuyến Ax và By l n lư t ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB
là H.
a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH;
b) ẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài n a đường tròn (O) (BE và BD cùng

n a mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì
đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định.
2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh BC,
AC, BC là ha, hb,,hc chứng minh rằng.

( a  b  c) 2
4
ha2  hb2  hc2

.

F

D

E

M
C
K
A

H

B

O

N
Footer Page 17 of 128.

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

5


Header
18 Theo
of 128.tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
a)( 2Page
điểm)

AC = CM, BD = DM.
ì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax

By, theo định lí Ta-l t ta

KD BD
KD MD
có:



 MK // AC mà AC  AB  MK  AB
KA MC
KA AC

Ta có

1,0

KH BK
KM DK
KD BK

(1);

(2);

(3);Tu (1)(2)(3) ta có :
AC BC
AC DA
AD BC

KH MK

 MK  KH
AC AC

1,0

b)( 1 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với
MB. Ta có BEF = 90 0 .
Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g)
 AB = BF=2R  BF không đ i,
F thuộc tia By cố định  F cố định.

0,5

ậy khi M di chuyển trên n a đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và
song song với MB luôn đi qua điểm cố định F.

0,5

c) ( 1 điểm)
D

c

ha

A

d

b
ha

c
ha
H
C

B

a

Qua A kẻ đường thẳng d BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD  2ha , AD  c

Trong tam giác ACD ta có DC  AD  AC  c  b  DC 2   b  c 

2

dấu “=: xảy ra khi ABC A  600
mà trong tam giác vuông DBC

DC  BD  BC  4h  a  4h   b  c   a   b  c  a  b  c  a  ,(1)
2

2

2

2
a

2

2
a

2

2

0,5

Tương tự 4hb2   a  c  b  b  c  a  ,(2);4hc2   a  b  c  b  c  a  ,(3)
T (1);(2);(3) ta có:

Footer Page 18 of 128.

6


4ha  4hb  4hc2   a  b  c  b  c  a  a  c  b  a  b  c    a  b  c 

Header Page
2 19 of
2 128.

a  b  c


2

2

ha2  hb2  hc2

0,5

4

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
Câu 4 ( 1,5 điểm) Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2
1 1 1
P  21 a 2  b2  c 2   12  a  b  c   2017    

a b c

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

Ta có Theo BĐT Bunhiacôpky ta có 3  a 2  b2  c 2    a  b  c  ;
2

1 1 1
9
 1 1 1
Mặt khác  a  b  c       9    
a b c a bc
a b c
Nên

P  19  a  b  c  
2

18153
8
8
2

 17849
 19  a  b  c  


Q

abc
a  b  c a  b  c  a  b  c


0,5

0,5

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

P  Q  19.3 3  a  b  c  .
2

8
8
17849
17849 18305
.

 228 

abc abc
2
2
2


a  b  c  0

18305

2
Min(P) 
 a  b  c  2
abc
2
3

8
2
 a  b  c  
abc


0,5

...................................... HẾT .................................
Chú ý : - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25
- Nếu cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với t ng ph n trong hướng dẫn chấm

Footer Page 19 of 128.

7


D C

Header Page 20 of 128.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN

Thời gian: 135 phút không kể thời gian giao đề
ề thi có: 03 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và ghi vào Tờ giấy thi (Ví dụ: 1 - D)
Câu 1. ếu phương trình
A. 0;
Câu 2.

1  x 

B. 1;

 m  0 có nghiệm thì giá trị của m là:

2

C. - 1;

D. - 2.

 x  1 x  5  3

ọi a là nghiệm của phương trình:

1  x  0 với x  1 thì

a 2  a bằng:
A. 10;

B. 12;

C. 14;

Câu 3. Cho hàm số bậc nhất: y =
R, ta có kết quả là :
A. m  -1
B. m  -1

D. 16.

2
x 1.
m 1

ìm m để hàm số đồng biến trong

C. m < - 1.

D. m > -1

Câu 4. Cho hàm số y  2x  5 . Kết luận nào sau đây là sai ?
A) ồ thị cắt trục tung tại điểm M(0;  5) .;
B) ồ thị cắt trục hoành tại điểm N(

5
;0) .
2

C) Các điểm E( 5; 4 5), F(1; 2  5) thuộc đồ thị hàm số.
D) Các điểm G( 2; 2 2  5), H(1; 5  2) không thuộc đồ thị hàm số.

Câu 5. hương trình 4 x 2  1 có nghiệm là:
A) x  

1
4

B) x 

1
2

C) x  

1
2

1
2

D) x  

 x  y  xy  5
Câu 6. iải hệ phương trình  2
. ập nghiệm của hệ phương trình là?
2
x  y  5

A.

S   2;3 ;  3; 2 

B. S   3; 2  ;  5;10 

C. S  1; 2  ;  2;1

D. S   2;5 ;  5; 2 

Câu 7. Biết rằng phương trình 3x2 - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên
dương bé hơn 3. Khi đó giá trị của m là:
A. - 1
B. 1
C. - 2
D. 2
Câu 8. Cho ABC có điểm M trên cạnh AC . Kẻ MN song song với BC  N  AB  ,
kẻ MP song song với AB  P  BC  . Biết S AMN  4  cm2  ; SCMP  9  cm2  . Tính S ABC  ?
A. 16  cm2 

B. 25  cm2 

C. 32  cm2 

D. 50  cm2 

Footer Page 20 of 128.

1


Câu
Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M

Header Page
21 9.
of 128.

thuộc cạnh AB và song song với BC, cắt AC ở , sao cho A = BM, khi đó độ dài
của đoạn AM là:
A. 3cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
Câu 10. Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn dài gấp 3 lần cạnh góc vuông
nhỏ và diện tích là 24 cm2 khi đó số đo cạnh huyền là
A. 13 cm
B. 12 cm
C. 4 10
Câu 11. Cho tam giác ABC có Â = 900, A
Kết quả nào sau đây là sai:
A) cos C =

AH
AC

D. 2 10
vuông góc với BC, sinB = 0,6.

; B) cos C = sin HAC; C) cos C = 0,6 ; D) cos C =

CH
AC

Câu 12. Cho ường tròn ( ;R) . Một dây cung của đường tròn có độ dài bằng
bán kính R . Khoảng cách từ tâm đến dây cung nầy là : ( Chọn câu đúng )
A. R 2 ;

B. R.

2
;
2

C.

R.

3
;
2

D. R. 3

Câu 13. Cho ( ; 6cm). ừ M nằm ngoài đường tròn tâm dựng tiếp tuyến MA
với đường tròn tâm , A là một tiếp điểm. MA = 10 cm thì khoảng cách từ M đến
O là:
A. 8 cm
B. 2 34 cm
C. 34 cm
D. 3 34 cm
Câu 14. Cho (O ; 3cm) và (O’ ; 2cm) ở ngoài nhau, OO’ = 10 cm. iểm M nằm ở
bên ngoài hai đường tròn sao cho các đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến ( ) và ( ’) bằng
nhau. ọi là hình chiếu của M trên OO’. độ dài của đoạn

là :
A. 4,75 cm
B. 5 cm
C. 5,25 cm
D. 5,5 cm
Câu 15. Cho  ABC vuông tại A , đường cao A . ọi (O; r ) , (O1; r1 ) , (O2 ; r2 ) theo
thứ tự là các đường tròn nội tiếp các  ABC,  ABH,  AC . Khẳng định nào sau
đây là đúng:
A. O, O1, O2 thẳng hàng
B. r  r1  r2  AH
D. Cả ba khẳng định trên đều sai.

C. r12  r22  r 2

Câu 16. Ba bạn học sinh am, Bắc, rung làm bài kiểm tra môn Toán đạt các
điểm khác nhau là 8, 9, 10. Biết rằng trong 3 mệnh đề:
a) am đạt điểm 10;
b) Bắc không đạt điểm 10; c) rung không đạt điểm 9.
Chỉ có một mệnh đề đúng. Khi đó điểm kiểm tra Toán của từng bạn là:
A. Bắc 10, rung 9, am 8
B. Bắc 10, rung 8, am 9
C. Bắc 8, rung 9, am 10
D. Không xác định được.
II. PHẦN T

LU N (12 điểm)

Câu 1. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết
cho 19

Footer Page 21 of 128.

2


Header Page 22 ofb)
128.ìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Câu 2. (3,5 điểm)
a) iải phương trình: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016 .
1 1 1 

1
b) Cho x, y, z thỏa mãn     : 
  1.
x
y
z
x

y

z

 










Tính giá trị của biểu thức B  x21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017 .
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm đường kính BC. ọi A là một điểm cố định trên
nửa đường tròn (A  B;C ), D là điểm chuyển động trên AC. ai đoạn thẳng BD
và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.
a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
b) Chứng minh rằng BM.BD + CM.CA không đổi khi D di chuyển trên
AC.
c) Khi D di chuyển trên AC ( D  C), chứng minh đường thẳng DK luôn đi
qua một điểm cố định.
Câu 4. (2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x + 1  4 x  5x 2 với -1 ≤ x ≤

1
5

……………… Hết ……….…….
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./

Họ và tên thí sinh:……………………………………..SBD:……………

Footer Page 22 of 128.

3

D C

Header Page 23 of 128.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
Đáp
án

1

2

3

A

B

C C,D C

II. PHẦN T

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

15

16

C B,C B

D

C

B,C

B

A

C

A

C

LU N (12 điểm)

Câu 1. (3,0 điểm)
a) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
iả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
a phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng
minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19 19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi
số tự nhiên n
n  24  k 2
b) Ta có: 
n  65  h 2

0,25
0,25
0,25

0,50
0,25
0,25

 k 2  24  h2  65
 k  hk  h  89  1.89
k  h  89 k  45


k  h  1
h  44

0,25
0,25

2

Vậy:
n = 45 – 24 = 2001
Câu 2. (3,5 điểm)

0,50
0,25

a) iải phương trình: x2  2015x  2014  2 2017 x  2016
2016
iều kiện x 
2017
 hương trình đã cho tương đương với

x2  2 x  1  2017 x  2016  2 2017 x  2016  1  0

  x  1 

2





2

2017 x  2016  1  0


x 1  0


 2017 x  2016  1  0

1,0

Footer Page 23 of 128.

4


Header Page 24 of
x 128.
1



2017 x  2016  1

 x  1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x  1 là nghiệm của phương trình đã cho.
1

b) Cho x, y, z thỏa mãn  
x


1 1 
1
 :
 1.
y z   x  y  z 





0,75



ính giá trị của biểu thức B  x21  y 21 y11  z11 z 2017  x2017



1



1 1 1
1 1 
1
 :
 1     x  y  z  1
 x y z  x yz 
x y z

Ta có:  

 (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
2
2
2
2
2
2
 xyz + zy + yz + zx + xyz + xz + yx + xy + xyz = xyz
2
2
2
2
2
2
 (xyz + zx + xy + yx )+ (zy + yz + xz + xyz) = 0
2
2
 x(yz + zx + y + yx)+ z(y + yz + xz + xy) = 0
x   y
 (yz + zx + y + yx)( x+ z) = 0  ( x  y)( y  z )( x  z )  0   y   z

 z   x

1,0

2

hay vào B tính được B = 0

0,75

Câu 3. (4,0 điểm)
D
A
M

B

K

O

C

I

a. Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK

0,25

ADB  ACB

(hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB )  MDK  MDA hay DM
là phân giác của tam giác ADK.
ương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác
ADK. Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK
b. Hai tam giác BMK và BCD đồng dạng


BM
BK



BC

 BM.BD  BK.BC
BD

ương tự ta có CM.CA  CK.CB

0,25
0,5
0,5

0,25

Footer Page 24 of 128.

5

2
Header Page
25BM.BD
of 128.  CM.CA  BK.BC  CK.BC  BC

0,25

Do BC không đổi, vậy BM.BD  CM.CA không đổi khi D
chuyển động trên cung AC

0,5

c. ường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I.

0,25

 AI // MK  IAC  KMC

0,25

Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC .
Vậy IAC  IDC tứ giác ADCI nội tiếp hay I  đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADC  I O  cố định, mà I  đường
thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định. Vậy I cố định hay DK qua
I cố định.

0,5
0,5

Câu 4. (2,0 điểm)
A  2x 

1  4 x  5 x 2 = 2x + ( x  1)(1  5x)
1
với 1  x  có (x 1)  0 và 1 5x  0
5

0,5
0,25

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x 1) và 1 5x không âm
Có ( x  1)(1  5x) 

( x  1)  (1  5 x)

0,5

 1 2x

2

A  2x 1 2x  A 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
(x 1) 1 5x  6x  0  x  0 thỏa điều kiện 1  x 
Vây giá trị lớn nhất của A là 1 đạt được khi x  0

0,25
0,25

5

0,25

………………… ết ………………….

Footer Page 25 of 128.

6