Bất đẳng thức (I)

Son:
Gi ng : Chuyên đề
Bất đẳng thức ( I )
I/ Kiến thức cần nhớ:
Với hai số a,b : a > b; a < b là các bất đẳng thức. Trong chơng trình Toán lớp 6,
chúng ta làm quen với một số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai luỹ
thừa; hai phân số...một số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm
khoảng giá trị số phải tìm . v.v...
*/ Tính chất của BĐT
a/ Tính bắc cầu: Nếu a > b ; b > c Thì a > c
b/ Tính đơn điệu của phép cộng
Nếu a > b Thì a + c > b + c
c/ Tính đơn điệu của phép nhân
Nếu a > b ; c > 0 Thì a.c > b.c
c < 0 Thì a.c < b.c
d/ Cộng từng vế của các BĐT cùng chiều
Nếu a > b; c > d Thì a + c > b + d
II/ Các ví dụ
A/ So sánh hai số:
a/ So sánh hai số tự nhiên
VD: Giá tiền 7 quyển vở nhiều hơn giá tiền 8 cái bút chì. Hỏi giá tiền 8 quyển vở
và 9 cái bút chì đằng nào nhiều hơn?
Giải:
Gọi giá tiền 1 quyển vở là x (đ)
giá tiền một cái bút chì là y (đ)
Theo bài ra ta có: 7x > 8y. Ta cần so sánh 8x và 9y
Từ 7x > 8y (1) => 7x > 7y => x > y (2)
Cộng từng vế của hai BĐT cùng chiều (1) và (2) ta đợc 7x + x > 8y + y
Hay 8x > 9 y
Vậy giá tiền 8 quyển vở nhiều hơn giá tiền 9 cái bút chì .
b/ So sánh hai phân số

*/ Các ph ơng pháp th ơng dùng để so sánh hai phân số:
1, Quy đồng mẫu:
Trong hai PS cùng mẫu, PS nào có tử nhỏ hơn thì PS đó nhỏ hơn

d
c
b
a
<
<=> a < c
2. Quy đồng tử:
Trong hai PS cùng tử , PS nào có mẫu nhỏ hơn thì PS đó lớn hơn

d
c
b
a
<
<=> d < b ( a,b,c,d

Z +)
3. Sử dụng tính chất:

d
c
b
a
<
<=> ad < bc ( a,b c,d

Z

d
c
b
a
>
<=> ad > bc b > 0; d > 0 )
4. Sử dụng phần bùtới đơn vị:
Hai PS đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phần bù đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó
nhỏ hơn.
Nếu
b
a
= 1 M ;
d
c
= 1 - K
mà M > K Thì
b
a
<
d
c
5. Sử dụng phần thừa tới đơn vị:
Hai PS đều lớn hơn đơn vị, nếu phần thừa đến đơn vị của PS nào lớn hơn thì PS đó
lớn hơn.
Nếu
b
a

= 1 + M ;
d
c
= 1 + K
mà M > K Thì
b
a
>
d
c
6. Dùng PS trung gian:
+/ Chọn một PS trung gian có cùng tử với một trong hai PS đã cho, cùng mẫu với
PS còn lại. VD: So sánh
49
12
và
47
13
Chọn PS
47
12
làm PS trung gian, ta có
49
12
<
47
12
(1)
47
12

<
47
13
(2)
Từ (1) và (2) =>
49
12
<
47
13
+/ Chọn một PS trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai PS
VD : So sánh
59
15
và
97
24
Ta thấy
59
15
>
60
15
=
4
1
(1)

97
24

<
96
24
=
4
1
(2)
Từ (1) và (2) =>
97
24
<
4
1
<
59
15
Nên
97
24
<
59
15
Ngoài ra ta còn hay dùng phơng pháp làm trội, làm giảm. các tính chất của
luỹ thừa ... để so sánh hai hay nhiều PS.
*/ Ví dụ
So sánh A =
110
110
16
15

+
+
và B =
110
110
17
16
+
+
Cách 1: Để so sánh A với B ta đi so sánh 10A với 10B. Ta có:
10A =
110
1010
16
16
+
+
= 1 +
110
9
16
+
10B =
110
1010
17
17
+
+
= 1 +

110
9
17
+
Dễ thấy
110
9
16
+
>
110
9
17
+
nên 10A > 10B => A > B
Cách 2 Ap dụng tính chất :
Nếu
b
a
< 1 thì
mb
ma
+
+
>
b
a
( m > 0)
Vì B < 1 nên B =
110

110
17
16
+
+
<
9110
9110
17
16
++
++
=
1010
1010
17
16
+
+
=
)110.(10
)110.(10
16
15
+
+
=
110
110
16

15
+
+
=A
Vậy A > B
c/ So sánh hai luỹ thừa
Khi so sánh hai luỹ thừa ta thơng dùng các phơng pháp:
+/ Đa về cùng cơ số => so sánh hai số mũ
+/ Đa về cùng số mũ => so sánh hai cơ số
+/ So sánh qua luỹ thừa trung gian
Lu ý: Với a
m
; a
n
( a,m,n

N; m> n)
+/ Nếu a = 0 hoặc a = 1 thì a
m
= a
n
+/ Nếu a > 1 thì a
m
> a
n
+/ Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
VD1 So sánh

a, 63
7
và 16
12
b, 3
23
và 5
15
c, 127
23
và 513
18
d,
7
32
1






và
9
16
1

e,
7
80
1






và
6
243
1






Ta có
a, 63
7
< 64
7

64
7

< 64
8
= ( 4
3
)
8
= 4
24
= 16
12
Nên 63
7
< 16
12
b, 3
23
= ( 3
3
)
7
. 3
2
= 27
7
.9
5
15
= ( 5
2
)

7
.5 = 25
7
. 5 Dễ thấy 27
7
.9 > 25
7
.5 Nên 3
23
> 5
15
c, 127
23
< 128
23
= ( 2
7
)
23
= 2
161

513
18
> 512
18
= ( 2
9
)
18

= 2
162
Dễ thấy 2
161
< 2
162
Nên 127
23+ <
513
18
d,
7
32
1






=
7
5
2
1

=
35
2
1







9
16
1






=
9
4
2
1

=
36
2
1






Dễ thấy
35
2
1






>
36
2
1

Nên
7
32
1






>
9
16
1






e,
7
80
1

>
7
81
1






=
7
4
3
1






=
28
3
1

6
243

1






=
6
5
3
1






=
30
3
1
Mà
28
3
1
>
30
3
1

Nên
7
80
1






>
6
243
1






VD2
CMR số 95
8
là một số có 16 chữ số khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân
Giải
Số tự nhiên nhỏ nhất có 16 cs là 10
15
Số tự nhiên nhỏ nhất có 17 cs là 10
16
Nh vậy ta cần c/m 10

15
< 95
8
< 10
16
Ta có 95
8
< 100
8
= ( 10
2
)
8
= 10
16
(1)
Giả sử 10
15
< 95
8
=>
8
15
95
10
< 1 <=>
8
16
95
10

< 10
Ta có
8
16
95
10
=
8
95
100






=
8
19
20






mà
8
19
20

<
.
19
20
18
19
.
17
18
....
.
13
14
12
13
=
12
20
< 10
Do đó 10
15
< 95
8
(2)

Từ (1) và(2) => 10
15
< 95
8
< 10
16
hay 95
8
là số có 16 cs.
VD3:
Số 2
1991
và 5
1991
viết liền nhau đợc một số có bao nhiêu chữ số?
Giải
Giả sử số 2
1991
có x chữ số; số 5
1991
có y chữ số ( x; y

N)
Ta đã biết số tự nhiên nhỏ nhất có x chữ số là 10
x -1
số tự nhiên nhỏ nhất có x+1 chữ số là 10
x
=> 10
x-1
< 2

1991
< 10
x
(*)
Tơng tự số tự nhiên nhỏ nhất có y chữ số là 10
y -1
số tự nhiên nhỏ nhất có y+1 chữ số là 10
y
10
y-1
< 5
1991
< 10
y
( **)
Nhân từng vế của BĐT (*) và(**) ta có:
10
x-1
. 10
y-1
< 2
1991
. 5
1991
< 10
x
. 10
y
<=> 10
x+y-2

< 10
1991
< 10
x+y
<=> x + y- 2< 1991 < x + y
Do x; y

N => x + y - 1 = 1991
=> x+y = 1992
Hay số 2
1991
và 5
1991
viết liền nhau đợc một số có 1992 chữ số
BT vân dụng
BT1/ Giá tiền 1 quyển sách, 6 quyển vở, 3 chiếc bút là 7700đ. Giá tiền 8 qyển
sách, 6 quyển vở, 6 chiếc bút là 16000đ.
So sánh giá tiền 1 quyển sách và 1 quyển vở.
BT2/ CMR 2
100
là số có 31 cs khi viết kết quả của nó trong hệ thập phân .
BT3/ So sánh A= 1+2+3+... +1000 và B = 1.2.3....20
C = 1.2.3.....11 và D = 1+2+3+... + 1000000.
B/ Chứng minh bất đẳng thức
VD1: Cho A =
101
1
+
102
1

+
103
1
+ ... +
200
1
CMR a, A >
12
7
b, A >
8
5
Giải: a, Tách A thành 2 nhóm , mỗi nhóm có 50 số hạng rồi thay môĩ PS trong
nhóm bằng PS nhỏ nhất trong nhóm ấy, ta đợc:
A = (
101
1
+
102
1
+...+
150
1
) + (
152
1
151
1
+
+ ... +

200
1
)
=> A > (
150
1
+
150
1
+ ... +
150
1
) + (
200
1
+
200
1
+ ... +
200
1
)
50 số hạng 50 số hạng
=> A >
150
1
. 50 +
200
1
. 50 =

12
7
4
1
3
1
=+

Vậy A >
12
7
.
b, Tách A thành 4 nhóm, lập luận tơng tự nh phần a, ta có
A=(
101
1
+
102
1
+. .+
125
1
)+(
150
1
...
127
1
126
1

+++
)+(
175
1
...
152
1
151
1
+++
) +
(
200
1
...
177
1
176
1
+++
)
A >
125
1
. 25 +
150
1
. 25 +
175
1

.25 +
200
1
. 25
A >
7
1
6
1
5
1
++
+
8
1
=
210
107
+
8
1
>
2
1
+
8
1
=
8
5

Vậy A >
8
5
VD2: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp a; a+1;... ; b-1; b trong đó b> a+1. Ghép các
số trên thành từng cặp hai số hai đầu và hai só cách đều hai đầu
a, CMR hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất; hai số thuộc cặp trong cùng
có tích lớn nhất.
b, áp dụng CMR
8
5
<
101
1
+
102
1
+
103
1
+ ... +
200
1
<
4
3
Giải:
a, Ta xét hai cặp ( a; b) và ( a+1; b-1)
Ta có (a+1) .( b-1) = ab a + b -1 = ab+ b ( a+1)
Mà b > a+1 => b- (a+1) > 0
=> ab + b- ( a+1) > ab Hay ( a+1) .( b-1) > a.b chứng tỏ rằng tích của hai cặp

ngoài cùng nhỏ hơn tích của hai cặp bên cạnh. Từ đó =>
+/ Hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất
+/ Hai số thuộc cặp trong cùng có tích lớn nhất.
b, áp dụng: Gọi A=
101
1
+
102
1
+
103
1
+ ... +
200
1
Ghép các số cách đều hai đầu thành từng cặp;
A =






+
200
1
101
1
+

+
199
1
102
1
+ ...+






+
151
1
150
1
=
200.101
301
+
151.150
301
...
199.102

301
++

= 301.






+++
151.150
1
...
199.102
1
200.101
1
Xét mẫu của 50 PS ở trong ngoặc. Theo c/m phần a, thì tích 101.200 có giá trị
nhỏ nhất; Tích 150.151 có giá trị lớn nhất .
=>
200.101
1
lớn nhất ;
151.150
1
nhỏ nhất
Do đó A < 301.
200.101
1

.50 =
404
301
<
404
303
=
4
3
(1)
A > 301.
151.150
1
. 50 =
453
301
>
453
300
>
480
300
=
8
5
(2)
Từ (1) và(2) =>
8
5
<

101
1
+
102
1
+
103
1
+ ... +
200
1
<
4
3
VD3