Bài tập phương trình vi phân

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BỔ SUNG
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Phương trình biến số phân ly, phương trình thuần nhất
′

Câu 1. ∗ Phương trình y =

3

y 2 +1
x4 +1

có thể phân ly biến số được nhưng tích phân

nhận được không thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp. Bằng cách nghiên cứu sự hội tụ
của tích phân hãy chứng minh rằng mỗi đường cong tích phân có hai tiệm cận ngang.
Câu 2. ∗ Tìm tất cả các hàm f (x) sao cho
f (x + y) =

f (x) + f (y)
1 − f (x)f (y)

Câu 3. Giải các phương trình sau
1. (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy,
2. (2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy =, 0
′

3. x − y − 1 + (y − x + 2)y = 0,
′

4. (x + 4y)y = 2x + 3y − 5,

′

5. (y + 1) ln y+x
=
x+3

y+x
.
x+3

Câu 4. a. Tìm đường cong mà đối với nó giao điểm của tiếp tuyến bất kỳ với trục
hoành cách đều tiếp điểm và gốc toạ độ.
b. Tìm đường cong sao cho khoảng cách giữa tiếp tuyến bất kỳ của nó tới gốc toạ độ
bằng hoành độ tiếp điểm.
Câu 5. a. Tìm đường cong sao cho tỷ số giữa đoạn thẳng trên trục Oy bị cắt bởi
tiếp tuyến và đoạn thẳng trên trục Ox bị cắt bởi pháp tuyến kẻ từ tiếp điểm là một
đại lượng không đổi.
b. Tìm đường cong mà đối với nó tỷ số giữa đoạn thẳng bị cắt bởi pháp tuyến trên
trục Ox và bán kính véctơ tại tiếp điểm là một đại lượng không đổi.
Câu 6. Chứng minh rằng bất kỳ đường cong nào nhận được từ đường cong tích phân
của phương trình thuần nhất bằng phép biến đổi đồng dạng, tâm tại gốc toạ độ cũng
là đường cong tích phân.
Phương trình tuyến tính, phương trình Bernoulli
Câu 7. Chứng minh rằng, phương trình
′

y + ay = P (x),
trong đó a = const, P (x) là đa thức cấp m của x, có nghiệm riêng dạng y1 =
Q(x), Q(x) là đa thức cấp m.

Câu 8. Chứng minh rằng bất kỳ phương trình tuyến tính
′

y + p(x)y = q(x)
có nghiệm riêng dạng y1 = b, là phương trình biến số phân ly.
Câu 9. Giải các phương trình tích phân sau:
x

1. y(x) = y(t)dt + 1 + x,
0
x

x

0

0

2. (x − t)y(t)dt = 2x + y(t)dt,
x

x

0

0

3. x y(t)dt = (x + 1) ty(t)dt.
Câu 10. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình tuyến tính

′

y + p(x)y = q(x)
thoả mãn điều kiện đầu y(x0 ) = y0 có thể viết dưới dạng
−

y=e

x

x

p(t)dt

[y0 +

x0

−

q(t)e

t

p(s)ds
x0

].

x0

Câu 11. Chứng minh rằng phương trình tuyến tính
′

y = ky + f (x),
trong đó k ̸= 0, f (x) là hàm tuần hoàn chu kỳ T có một nghiệm riêng duy nhất là
hàm tuần hoàn chu kỳ T . Hãy tìm nghiệm riêng đó.
Câu 12. Cho y1 , y2 là hai nghiệm khác nhau của một phương trình tuyến tính cấp
1. Hãy biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình đó qua hai nghiệm này.
Câu 13. Chứng minh rằng một trong các nghiệm của phương trình
′

y + ky = kq(x),

(0 ≤ x < +∞)

trong đó k là hằng số, là biểu thức y(x) = k

∞
0

q(x − t)e−kt dt (với điều kiện tích

phân này tồn tại).
Câu 14. Dựa vào dạng của phương trình Bernoulli hãy chứng tỏ trục Ox là đường
cong duy nhất có thể cho ta nghiệm kỳ dị của phương trình đó.
Phương trình vi phân toàn phần
Câu 15. Giải các phương trình sau đây, biết rằng chúng có thừa số tích phân dạng
α(x) hoặc α(y):
1. (x2 + y)dx = xdy,

2. (2xy 2 − y)dx + (y 2 + x + y)dy = 0,
3. ( xy + 1)dx + ( xy − 1)dy = 0,
4. (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0.
Câu 16. Tìm thừa số tích phân dạng α(x + y) và giải phương trình:
(2x3 + 3x2 y + y 2 − y 3 )dx + (2y 3 + 3xy 2 + x2 − x3 )dy = 0.
Bài toán quỹ đạo
Câu 17. Lập phương trình vi phân nhận họ đường cong sau làm họ nghiệm
1. y = Cx3 ,
2. y = sin(x + C),
3. Cy − sin(Cx) = 0,
4. (x − C)2 + y 2 = 1,
5. x = y 2 + 2y + C.
Câu 18. a. Lập phương trình vi phân của họ đường tròn bán kính bằng 1 và tâm
nằm trên đường thẳng y = 2x.
b. Lập phương trình vi phân của những đường tròn tiếp súc với cả hai trục toạ độ.
c. Lập phương trình vi phân của những parabol có trục song song với Oy và tiếp súc
với các đường thẳng y = 0 và y = x.
Câu 19. Hãy viết phương trình của quỹ tích những điểm (x, y) là điểm cực đại hoặc
′
điểm cực tiểu của nghiệm phương trình y = f (x, y). Làm thế nào để phân biệt
được điểm cực đại và điểm cực tiểu.
Câu 20. Tìm quỹ đạo trực giao của những họ đường cong sau:
1. (x2 + y 2 )2 = λ2 xy,
2.

x2
a2

+

y2
b2

= λ, (a, b cho trước),

3. (x − λ)2 + y 2 = a2 , (a cho trước),
4. x(x2 + y 2 ) = λ(x2 − y 2 ),
5. x3 + (x − 2λ)y 2 ,
6. r 2 = ln tgφ + λ,
7. r 2n − 2r n an cos(nφ) + a2n = b2n , (a, n cho trước).


CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Câu 21. Giải các phương trình sau:
1. x + sin y ′′ + 2y ′′ = 0,
′′

2. x = e−y + y ′′ ,
3. y ′′ 2 + y ′ = xy ′′ ,
4. (1 − x2 )y ′′ + xy ′ = 2,
′

5. xy ′′ = y ′ + x sin yx .
Câu 22. Giải các phương trình sau:
1. y ′′ = 2yy ′ ,
2. yy ′′ + 1 = y ′ 2 ,
3. y ′ (1 + y ′ 2 ) = ay ′′ ,
4. y ′ 2 = (3y − 2y ′ )y ′′ ,

5. (y ′ + 2y)y ′′ = y ′ 2 .
Câu 23. Giải các phương trình sau:
1. xyy ′′ − xy ′ 2 = yy ′ ,
2. (1 + x2 )(y ′ 2 − yy ′′ ) = xyy ′ ,
√
3. yy ′′ = y ′ 2 + 15y 2 x,
4. x2 yy ′′ = (y − xy ′ )2 ,
5. y ′′ +

y′
x

+

y
x2

=

y′
y

2

.

Câu 24. Cho hệ hàm y1 (x), y2 (x), . . . , yk (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Chứng
minh rằng hệ hàm trên phụ thuộc tuyến tính trên đoạn đó khi và chỉ khi
b
a

b
a

y12 (x)dx

b
a

b

y2 (x)y1 (x)dx

a

...
b
a

yk (x)y1 (x)dx

y1 (x)y2 (x)dx . . .
y22 (x)dx
...

b
a

...

b

a
b
a

y1 (x)yk (x)dx
y2 (x)yk (x)dx

...

yk (x)y2 (x)dx . . .

= 0.

...
b
a

yk2 (x)dx

Câu 25. Chứng minh rằng phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp
n với các hệ số liên tục trên (a, b) có đúng n + 1 nghiệm độc lập tuyến tính trên
(a, b).


Câu 26. Tìm phương trình vi phân tuyến tính nhận hệ hàm sau đây làm hệ nghiệm
cơ bản:
1. 1, x, x2 ;
2. cos2 x, sin2 x.
Câu 27. Giải các phương trình sau nếu biết một nghiệm riêng của phương trình thuần
nhất tương ứng

1. y ′′ + x2 y ′ + y = 0, y1 =

sin x
.
x

2. y ′′ sin2 x − 2y = 0, y1 = cotgx.
3. x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = 2x3 , y1 = x.
4. y ′′ +

x
y′
1−x

−

1
y
1−x

= x − 1, y1 = ex .

Câu 28. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + 6xy ′ − 6y = 0,
biết hai nghiệm riêng của nó là y1 = x, y2 = x2 .
Câu 29. Chứng minh rằng nghiệm y(x) của phương trình
y ′′ + λ2 y = f (x)
′

với điều kiện đầu y(0) = y (0) = 0 có dạng

x

sin λ(x − t)f (t)dt.

y(x) =
0

Câu 30. Cho phương trình
y ′′ + ay ′ + by = 0.
Tìm điều kiện của các hằng số a, b thoả mãn
1. Mọi nghiệm của phương trình đều bị chặn trên [0, +∞).
2. Mọi nghiệm của phương trình đều dần đến 0 khi x → +∞.
Câu 31. Tìm mọi giá trị của p, q để cho mọi nghiệm của phương trình
y ′′ + py ′ + qy = 0
là những hàm tuần hoàn của x.
Câu 32. Với giá trị nào của k và ω thì phương trình
y ′′ + k2 y = sin(ωx)
có ít nhất một nghiệm tuần hoàn.