HH12 : Chương III : Bài 1 : Hệ tọa độ

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG
HỆ TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 1 :

I. Tọa độ của điểm và của vectơ
1) Hệ tọa độ :
Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz.
vuông góc với nhau từng đôi một . Gọi
; ;i j k
r r r
là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho
z’
Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề
các vuông góc Oxyz trong không gian
Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz
Điểm O gọi là gốc tọa độ
Các mặt phẳng (Oxy) ;

(Oyz) ;

(Ozx) ;

Đôi một vuông góc được gọi là các mặt
phẳng tọa độ
Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi
là không gian Oxyz
Vì
; ;i j k
r r r
là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên
2 2
2
1i j k= = =
r r r
và
. . . 0i j k j k i= = =
r r r r r r
O
x’
x
y’ y
z
i
r
j
r
k
r
Click

Trong không gian Oxyz , cho một điểm M . Hãy phân tích véc tơ

OM
uuuur
theo 3 véc tơ

không đồng phẳng
; ;i j k
r r r
đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz
2. Tọa độ của một điểm :
O
x
y
z
i
r
j
r
k
r
M
Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý .

Vì không đồng phẳng nên có 1 bộ
ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho
x
y
z
. . .OM x i y j z k= + +
uuuur r r
Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một

điểm M duy nhất trong không gian thỏa :

. . .OM x i y j z k= + +
uuuur r r
Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết :
M = ( x ; y ; z) hay M(x ; y ; z)

3. Tọa độ của một véctơ :
Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ
a
r
Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a
1
;a
2
;a
3
)

sao cho :

1 2 3
. . .a a i a j a k= + +
r r r
Vậy : tọa độ của véctơ

( )
1 2 3
; ;a a a a=

r
Do đó M(x ; y ;z)
( )
⇔ OM = x;y;z
uuuur
Click
; ;i j k
r r r
M (x ; y ; z)

Ví dụ minh họa : Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
điểm A trùng với gốc O , có
; ; 'AB AD AA
uuur uuur uuur
theo thứ tự cùng hướng với

; ;i j k
r r r
và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c . Hãy tính tọa độ các véc tơ :
; ; ' ;AB AC AC AM
uuur uuur uuuur uuuur
trong đó M là trung điểm của C’D’ .
O = A
y
z
i
r
j
r
k

r
C’
B
D
A’
C
B’
D’
a
b
c
( ;0;0)AB a=
uuur
( ; ;0)AC a b=
uuur
' ( ; ; )AC a b c=
uuuur
M
(?;?;?)AM =
uuuur
( ; ; )
2
a
AM b c=
uuuur
Thầy trò cùng đi tìm ….?
Click
x

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lí :
Trong không gian cho 2 vectơ
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
; ; & ; ;a a a a b b b b= =
r r
Trong đó k là một số thực
( )
1 1 2 2 3 3
) ; ;a a b a b a b a b+ = + + +
r r
( )
1 1 2 2 3 3
) ; ;b a b a b a b a b− = − − −
r r
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
) . ; ; ; ;c k a k a a a ka ka ka= =
r
Chứng minh :
Theo giả thiết :
1 2 3
a a i a j a k= + +
r r r r
1 2 3
b b i b j b k= + +
r r r r
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 3 3
a b a b i a b j a b k⇒ + = + + + + +

r r r r r
Vậy :
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r r
Chứng minh tương tự cho b) và c)
Click