46 ĐAHS ôn tập các đường đặc biệt trong tam giác (b3)

Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu. Trong trường hợp
các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp. Sau
khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô.

Hình học lớp 7 CB
Bài 46: Ôn tập các đường đặc biệt trong tam giác (b3)
Bài 1: Cho ABC . Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại K. Đường vuông góc với
AK tại K cắt các đường thẳng AB, AC ở D, E. Chứng minh rằng ADE là tam giác cân.
Hướng dẫn:
Trước hết chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của điểm K trên AB, BC, CA.
Xét KMB và KNB có:

�
�  90o
BMK
 BNK

KB cạnh chung

�  KBN
�
KBM
(gt)

� KMB  KNB (cạnh huyền – góc nhọn). Do đó KM = KN (1)
Tương tự KMB  KNB � KN  KP (2). Từ (1) và (2) suy ra: KM = KP.

Từ đó KMA  KPA (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

�
�
� KAM
 KAP
(góc tương ứng). Do đó AK là tia phân giác của góc A.

Tam giác ADE có đường cao cũng là đường phân giác nên là tam
giác cân.
Bài 2: Cho ABC cân tại A. Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của
AC tại K. Chứng minh rằng KA = KB = KC.
Hướng dẫn:
Do ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là trung trực của BC.
K là giao điểm các đường trung trực của BC, AC nên KA = KB = KC.
0
�
Bài 3: Cho ABC có B  90 . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao
điểm của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng
minh rằng d là đường trung trực của AE.

Hướng dẫn:
Gọi I là giao điểm của d và BC.
O thuộc đường trung trực của BC nên OB = OC.
Ta có OBC cân tại O có OI là đường trung trực nên cũng là đường
phân giác của góc O.
Mặt khác, OB = OC, BA = CE nên OA = OE.
Suy ra OAE cân tại O có OI là đường phân giác của góc O nên cũng
là đường trung trực của AE. Vậy d là đường trung trực của AE.
Bài 4: Cho ABC có AB = 8cm, AC = 10cm, BC = 14cm, các đường trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng:

a) BN + CP > 21 cm
b) AM + BN + CP > 24cm
Hướng dẫn:
Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017
1


Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

a) Gọi G là trọng tâm ABC .
Trong GBC , ta có:
2
2
3BC
GB  GC  BC � BN  CP  BC � BN  CP 
 21 cm (1)
3
3
2
b) Sử dụng cách chứng minh như trong câu a), ta cũng có:
3AC
AM  CP 
 15 (2)
2
3AB
AM  BN 
 12 (3)
2

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
2(AM  BN  CP)  21  15  12 � AM  BN  CP  24 cm
Bài 5: Cho ABC cân tại A, các đường trung trực cạnh AB và AC cắt đường thẳng BC tại N và M (N và M
nằm ngoài đoạn thẳng BC). Trên tia đối của tia AM lấy điểm P sao cho AP = MB. Chứng minh:
a) AMC và ANB cân.
b) AM = PC = AN.
Hướng dẫn:
a) M nằm trên đường trung trực AC nên MA = MC � AMC cân tại M
N nằm trên đường trung trực của AC nên NA = NB � ANB cân
b) Xét AMK và ANI có:

1
AI  AK  AB �
�
�
�
2
; MAK  C (vì AMC cân); IAN  B (vì ANB cân)
� � �
�
Mà B  C � MAK  IAN
Vậy AMK  ANI (cạnh góc vuông, góc nhọn) � AM  AN (1)
Xét ABM và CAP ta có:
AB = CA (giả thiết); DM = AP (giả thiết)
�  ABC
�  1800
MBA

(2)

�  MAC
�  180
PAC

(3)

0

�
�
�
�
Mà ABN  MCA (vì ABC cân); CAM  MCA (vì AMC cân)
�  MAC
�
� ABN
(4)
�
�
Từ (2) (3) và (4), suy ra: MBA  PAC .
Vậy ABM  CAP (c.g.c) � AM  PC
(5)
Từ (1) và (5) ta có: AM = AN = PC.

Bài 6*: Cho ABC , trên tia đối của tia BC lấy điểm E và trên tia đối của tia CB lấy điểm
F sao cho BE = CF. Chứng minh rằng ABC và AEF có cùng trọng tâm G.

Hướng dẫn:

2

AG  AM
3
Kẻ trung tuyến AM và trên AM lấy
, ta có G là trọng tâm của ABC
Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017
2


Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Ta sẽ chứng minh G cũng là trọng tâm của AEF . Thật vậy:
AM là trung tuyến của ABC nên BM = MC (1)
Theo giả thiết BE = CF

(2)

Từ (1) và (2) ta có: BM + BE = MC + CF hay ME = MF

2
AG  AM
3
Vậy AM cũng là trung tuyến thuộc cạnh EF của AEF mà
hay G cũng là trọng tâm của AEF

Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017
3