47 ĐAHS ôn tập các đường đặc biệt trong tam giác (b4)

Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu. Trong trường hợp
các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp. Sau
khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô.

Hình học lớp 7 CB
Bài 47: Ôn tập các đường đặc biệt trong tam giác (b4)
Bài 1: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Ta có AM = ½ BC

⇒

AM = MB = MC
·
·
⇒ MAB = MBA
∆AMB cân tại M
(1)
·
·
⇒ MAC
= MCA
∆AMC cân tại M

(2)
·
·

·
·
·
BAC
= MAB
+ MAC
= MBA
+ MCA

Từ (1) và (2) suy ra
·
·
·
BAC
+ MBA
+ MCA
= 1800
Mà

·
BAC
= 900

Do đó
.
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Bài 2: Cho tam giác ABC. AA’, BB’, CC’ là ba đường trung tuyến. Chứng minh rằng:
3
4
AA’ + BB’ + CC’ > (AB + AC+ BC).

Hướng dẫn:
Ta có AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại G.
2
2
2
3
3
3
AG = AA’; BG = BB’; CG = CC’
2
⇒ 3
∆GAB có: GA + GB > AB
(AA’ + BB’) > AB
2
3
Tương tự (AA’ + CC’) > AC
2
3
(BB’ + CC’) > BC
3
4
Suy ra AA’ + BB’ + CC’ > (AB + AC+ BC).

Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

1

∆ABC

vuông tại A.

Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Trên
·
·
AEF
= 2EMH
đoạn AH lấy điểm E và trên đoạn AC lấy điểm F sao cho
. Chứng
·EFC
minh rằng FM là tia phân giác của
.
Hướng dẫn:
µ 1 = 900 − HME
·
⇒E
Xét ∆HME vuông tại H

µ 2 = 1800 − E
µ1 −E
µ3
E

Ta có:
µ1 =E
µ2 ⇒

⇒E

(

)

·
·
1800 − 900 − HME
− 2.HME
=

=

·
900 − HME

EM là tia phân giác của góc BEF
Vì tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AM cũng là phân giác của góc BAC
Xét ∆AEF có:
AM là phân giác trong tại đỉnh A
EM là phân giác ngoài tại đỉnh E
⇒
FM là phân giác ngoài tại đỉnh F.
Hay FM là tia phân giác của góc EFC.
µ = 1200
A
Bài 4: Cho tam giác ABC có
·
ADC

a) DE là tia phân giác của
b) ∆EDF vuông.

và ba phân giác AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

.
Hướng dẫn:

a) Ta có

µ 1 = 1800 − BAC
·
·
A
= 600 = DAC
·
DAx

Suy ra AE là tia phân giác của
Xét ∆ABD có :
BE là phân giác trong tại đỉnh B
AE là phân giác ngoài tại đỉnh A
·
⇒
ADC
DE là phân giác ngoài tại đỉnh D hay DE là tia phân giác của
.
b) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có DF là tia phân giác của góc ADB.
·
·

ADC
ADB
⊥
Mà
và
là hai góc kề bù nên suy ra DE DF.
Suy ra ∆EDF vuông tại D.
Bài 5: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ các đường vuông góc MA, MB lần
lượt xuống Ox và Oy. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM, P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng
minh rằng CP là đường trung trực của tam giác ABC.
Hướng dẫn:

Xét ∆AOM vuông tại A, có trung tuyến AC
Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

2

⇒

1
2
AC =

OM (1)


Trung tâm Unix
Tầng 1 – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân
 024.6269.1558 - 0916001075 |  |  unix.edu.vn

1
2

⇒
Xét ∆BOM vuông tại B, có trung tuyến BC
BC = OM (2)
⇒
Từ (1) và (2) suy ra AC = BC
∆ABC cân tại C.
Suy ra trung tuyến CP cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 6*: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH vuông góc với BC. Tia phân giác
của góc CAH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tam giác ABD cân
b) Các tia phân giác của góc BAH và BHA cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm
của AD. Chứng minh rằng ba điểm B, I, M thẳng hàng.

Hướng dẫn:

·
µ 4 = 900 ADH
·
µ 3 = 900
µ3 =A
µ4
·
·
BAD
+A
+A

A
BAD
= BDA
a) Vì
;
và
nên
Vậy tam giác ABD cân tại B.
b) Xét ∆ABH, vì I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc H
Nên BI là tia phân giác của góc B.
Mặt khác, ∆ABD cân tại B, suy ra phân giác BI cũng là trung tuyến ứng với
cạnh AD
Do đó BI đi qua trung điểm của AD hay ba điểm B, I, M thẳng hàng.

Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017

3